Der thomsonsche Schwingkreis – im Vergleich mit dem Federpendel
Vergleich von Schwingkreis und Federpendel: Ein Schwingkreis erzeugt elektromagnetische Schwingungen, ähnlich wie ein Federpendel mechanische Schwingungen erzeugt. Erfahre, wie elektrische und magnetische Energie im Schwingkreis umgewandelt wird und wie dies mit der Bewegung eines Federpendels vergleichbar ist. Interessiert? Lies weiter!
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Lerntext zum Thema Der thomsonsche Schwingkreis – im Vergleich mit dem Federpendel
Elektromagnetische Schwingungen
Elektromagnetische Schwingungen und elektromagnetische Wellen sind aus unserem Alltag nicht mehr wegzudenken: Handys, Radio, Fernsehen, Bluetooth, WLAN, GPS, Fernbedienungen – alle verwenden elektromagnetische Wellen, also sich im Raum ausbreitende elektromagnetische Schwingungen. Wie lassen sich aber elektromagnetische Schwingungen nun eigentlich erzeugen?
Thomsonscher Schwingkreis
Die Grundlage hierfür ist der thomsonsche Schwingkreis, eine Schaltung aus einem Kondensator und einer Spule. Um zu verstehen, wie es in dieser Schaltung zu einer Schwingung kommen kann, werden wir diese mit einem mechanischen Federpendel vergleichen. Um zu verstehen, was genau passiert, wenn wir beim Radiohören einen Sender einstellen, beschäftigen wir uns mit dem Zusammenhang zwischen Schwingkreis und harmonischer Schwingung, dazu vergleichen wir die Energiebilanz eines Schwingkreises und eines horizontalen Federpendels.
Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der thomsonschen Schwingungsgleichung für ungedämpfte elektromagnetische Schwingungen. Sie ist benannt nach dem Physiker William Thomson, auch bekannt als Lord Kelvin, der von 1824 bis 1907 lebte und maßgebliche Arbeiten in den Bereichen Elektrizitätslehre und Thermodynamik leistete. Darüber hinaus ist Thomson für die nach ihm benannte Temperaturskala, die Kelvinskala, bekannt, die vor allem in der Wissenschaft verwendet wird.
Um den Schwingkreis zu verstehen, solltest du bereits ein gewisses Vorwissen mitbringen. Dies betrifft insbesondere die Energie elektrischer Felder und die Energie magnetischer Felder, die Eigenschaften von Kondensatoren und Spulen sowie das Verständnis der Energiebilanz beim Federpendel. Zudem ist es hilfreich, die Eigenschaften harmonischer Schwingungen zu kennen.
Ungedämpfter elektromagnetischer Schwingkreis
Wir betrachten im Folgenden den Schwingkreis als Erzeuger einer ungedämpften elektromagnetischen Schwingung. Dabei vernachlässigen wir, dass die ohmschen Widerstände der verwendeten Drähte dazu führen, dass ein Teil der anfangs im Kondensator gespeicherten Energie während des Vorgangs als Wärme nach außen abgegeben wird, es sich also streng genommen nicht um eine ungedämpfte Schwingung handelt.
Zu Beginn des Vorgangs wird der Kondensator geladen und dann von der Spannungsquelle getrennt. Der geladene Kondensator hat die elektrische Feldenergie
$E_{el} = \frac{1}{2} C \cdot {{U}^2_{max}}$
gespeichert. Unter Vernachlässigung der ohmschen Widerstände im Schwingkreis wird die elektrische Feldenergie vollständig in magnetische Energie umgewandelt, indem sich der Kondensator über die Spule entlädt:
$E_{el} = 0$ und $E_{mag}= \frac{1}{2} L \cdot {{I}^2_{max}}$
Danach wird die magnetische Feldenergie abgebaut und vollständig in elektrische Feldenergie des Kondensators umgewandelt und nun wiederholt sich der Vorgang.
Die Gesamtenergie bleibt konstant, das System führt harmonische Schwingungen aus.
Schwingkreis und horizontales Federpendel – Vergleich
Die im Schwingkreis ablaufenden Prozesse lassen sich gut mit jenen eines horizontalen Federpendels vergleichen. Im elektromagnetischen Schwingkreis wird die elektrische Feldenergie des Kondensators vollständig in magnetische Feldenergie der Spule umgewandelt und wieder zurück.
Im Federpendel hingegen wird die potenzielle Energie (Spannenergie) in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt. In beiden Fällen bleibt die Gesamtenergie des Systems konstant.
Zur genaueren Untersuchung dieser Vorgänge kann man den Schwingkreis und das Federpendel in verschiedenen Zuständen betrachten. Am Anfang ist der Kondensator geladen und hat eine bestimmte elektrische Feldenergie gespeichert. Dies ist vergleichbar damit, dass das Federpendel zu einer Seite hin maximal ausgelenkt ist. Die Gesamtenergie ist dann als Spannenergie gespeichert.
Sobald der Kondensator sich entlädt und Strom fließt, nimmt die magnetische Feldenergie zu.
Gleichzeitig bewegt sich das Pendel mit steigender Geschwindigkeit, wodurch sich die kinetische Energie erhöht und die potenzielle Energie abnimmt.
Sobald der Kondensator vollständig entladen ist und der Strom maximal ist, befindet sich die gesamte Energie im Magnetfeld der Spule. Gleichzeitig bewegt sich das Pendel mit maximaler Geschwindigkeit durch die Ruhelage, sodass die kinetische Energie maximal ist und der Gesamtenergie entspricht.
In der nächsten Phase fließt der Strom weiter und die magnetische Feldenergie nimmt wieder ab. Infolge der Induktivität $L$ der Spule fließt der Strom mit abnehmender Stärke weiter.
Die Induktivität einer Spule beschreibt ihre Fähigkeit, beim Anlegen oder Abschalten einer Spannung die Änderung eines Stromflusses zu verzögern. Je höher die Induktivität, desto stärker die Verzögerung. Die Induktivität hängt von der Anzahl der Windungen, der Länge der Spule und dem Material des Kerns ab.
Entsprechend nimmt die magnetische Feldenergie ab. Beim Pendel bewegt sich die Kugel durch Trägheit über die Ruhelage hinaus, wodurch die kinetische Energie abnimmt und die potenzielle Energie erneut zunimmt.
Im Endzustand ist der Kondensator entgegengesetzt aufgeladen und es fließt kein Strom mehr. Das Federpendel hingegen ist voll zur anderen Seite ausgelenkt und die gesamte Energie ist wieder in den Federn gespeichert. Dieser Ablauf wiederholt sich dann in umgekehrter Richtung.
Die thomsonsche Schwingungsgleichung
Die harmonische Schwingung des Systems lässt sich durch die thomsonsche Schwingungsgleichung beschreiben, die allerdings nur für den Idealfall gültig ist, bei dem die ohmschen Widerstände im Schwingkreis vernachlässigt werden.
Die thomsonsche Schwingungsgleichung für den ungedämpften Schwingkreis lässt sich mit der Frequenz $f$ und der Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit) $\omega$ wie folgt darstellen:
$f=\frac {1}{2 \pi \sqrt{ LC}}$ ,
umgeschrieben mit der Schwingungsdauer $T=\frac{1}{f}$ ergibt sich die Gleichung:
$T=2 \pi \sqrt{LC}$
Die Frequenz $f$ wird oft als Eigenfrequenz des Schwingkreises bezeichnet und hängt nur von der Kapazität des Kondensators und der Induktivität der Spule ab. Daher kannst du beim Radiohören die Frequenz ändern, indem du die Kapazität veränderst, um deinen Lieblingssender einzustellen. Zum Abschluss sollte noch angemerkt werden, dass die thomsonsche Schwingungsgleichung nur für den Idealfall gilt, bei dem die ohmschen Widerstände im Schwingkreis vernachlässigt werden. Im realen Fall führen diese zu einer Erwärmung und somit zu einem Energieverlust, was zu gedämpften Schwingungen führt. Demnach muss bei praktischen Anwendungen stets mit einem gewissen Grad an Dämpfung gerechnet werden.
Zusammenfassung
- Ein ungedämpfter elektromagnetischer Schwingkreis führt harmonische Schwingungen aus, wobei die Energie zwischen elektrischem Feld des Kondensators und magnetischem Feld der Spule hin- und herpendelt.
- Die Schwingungsdauer und Frequenz des Schwingkreises lassen sich durch die thomsonsche Schwingungsgleichung berechnen und hängen von der Kapazität des Kondensators und der Induktivität der Spule ab.
- Thomsonsche Schwingungsgleichung: $T=2 \pi \sqrt{LC}$
- Der Vergleich mit einem horizontalen Federpendel verdeutlicht die Energieumwandlung zwischen kinetischer und potenzieller Energie.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Der thomsonsche Schwingkreis – im Vergleich mit dem Federpendel
Der thomsonsche Schwingkreis – im Vergleich mit dem Federpendel Übung
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Ordne die Bewegung im elektrischen Schwingkreis dem Äquivalent beim Federschwinger zu.
TippsDu kannst die Bilder mit der 1. bereits miteinander verbinden, dann hast du einen Anfang für die Schwingungsverläufe.
LösungElektrischer und mechanische Schwinger verhalten sich im Grunde gleich, allerdings kann man sich den elektrischen oft schwerer vorstellen. Deshalb vergleichen wir hier.
1. In der Ausgangslage ist der Kondensator geladen, der Massenpunkt ist nach rechts ausgelenkt.
2. Nun fließt der Strom des Kondensators durch die Spule. Dabei entsteht ein Magnetfeld. Äquivalent dazu beginnt der Massepunkt, sich nach rechts zu bewegen, da die ausgelenkte Feder zurückdrängt, und auch die gestauchte Feder in ihre Ausgangslage möchte.
3. Die gesamte Energie des elektrischen Stromkreises liegt nun in Form des Magnetfeldes vor. Das entspricht der Ruhelage des Federschwingers, bei dem der Massepunkt gerade mittig in seiner Ruhelage liegt.
4. Dann wird das Magnetfeld allmählich von der Spule absorbiert, also in elektrische Energie umgewandelt. Beim Federschwinger entspricht das der Schwingung nach links.
Man könnte sich die Schwingungen in diesem Fall so vorstellen, dass ein Strom nach rechts eine Auslenkung nach rechts ist, und der Rückweg dann die Auslenkung zur anderen Seite.
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Beschreibe die Thomson'sche Schwingungsgleichung.
Tipps$x^{-1}=\dfrac{1}{x}$
$f=\dfrac{1}{T}$
LösungBei der mechanischen Schwingung kann man sich Frequenz und Schwingungsdauer gut vorstellen. Nicht so beim elektrischen Oszillator.
Man kann sich ja sicher schon denken, dass die Frequenz etwas mit der Spule und dem Kondensator zu tun hat. Deren Haupteigenschaften sind die Kapazität (des Kondensators) und die Induktivität (der Spule).
Die Kreisfrequenz $\omega$ ist allgemein gegeben durch $2\pi$ mal der Frequenz $f$.
Dies stellt man das nach $f$ um:
$f=\dfrac{\omega}{2\pi}$.
Wieso nun $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}$, ist etwas komplizierter. Setzt man das ein, ergibt sich die Thomson'sche Schwingungsgleichung:
$f=\dfrac{1}{2\pi\cdot\sqrt{L\cdot C}}$.
Und weil $f=\dfrac{1}{T}$, ist ist die Schwingungsdauer $T=2\pi\cdot\sqrt{L\cdot C}$.
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Beschrifte die Energiezustände im elektrischen Schwingkreis.
TippsDie Bilder folgen in ihrer Reihenfolge dem zeitlichen Verlauf. So kannst du vielleicht besser einordnen, was passiert.
LösungEbenso wie die potentielle und kinetische Energie beim Federschwinger verhält sich die Energie beim elektrischen Schwinger.
Nur ist es hier eben die elektrische und die magnetische Energie.
Die magnetische Energie entsteht durch die elektrische Energie in der Spule. Andersherum wird die magnetische Energie dann wieder in elektrische umgewandelt.
So laufen immer wieder Umwandlungsprozesse ab von elektrischer zu magnetischer Energie und umgekehrt.
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Berechne die Frequenz eines elektrischen Schwingkreises.
TippsDu benötigst die Thomson'sche Schwingungsgleichung.
Achte auf die Größenordnungen der Einheiten.
LösungDie Thomson'sche Schwingungsgleichung ist
$f=\dfrac{1}{2\pi\cdot\sqrt{L\cdot C}}$.
Wir setzen ein:
$f=\dfrac{1}{2\pi\cdot\sqrt{2~\text{H}\cdot 100 \cdot 10^{-6}~\text{F}}}=\dfrac{35,36}{\pi}=11,3~\text{Hz}$.
Interessanter ist vielleicht, wie wir auf die Einheit $\text{Hz}$, also $\dfrac{1}{\text{s}}$, kommen.
Nun: 1/ haben wir ja schon, und $2\pi$ hat keine Einheit.
$L\cdot C$ hat die Einheit $\dfrac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}.{\text{A}^2\cdot\text{s}^2}\cdot\dfrac{\text{A}^2\cdot\text{s}^4}{\text{kg}\cdot\text{m}^2}$
Man kann sehen, dass sich alles rauskürzt und am Schluss nur noch $\text{s}^2$ stehen bleibt. Das erklärt dann auch, warum die Wurzel in der Thomson'schen Gleichung wichtig ist. Denn dadurch wird aus $\text{s}^2$ nur noch $\text{s}$, und wir kommen zur Einheit $\dfrac{1}{\text{s}}$, also $\text{Hz}$.
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Beschreibe den elektrischen Schwingkreis.
TippsÜberlege, was die Haupteigenschaft einer ungedämpften Schwingung ist. Also wie es sich da mit äußeren Kräften verhält.
LösungWie läuft dieser elektrische Schwingkreis nochmal ab?
Zunächst wird ein Kondensator geladen. Ab dann ist er sozusagen die Spannungsquelle für die Spule, die ein Magnetfeld erzeugt, dann aber die magnetische Energie wieder in elektrische Energie umwandelt. Dadurch wird der Kondensator immer wieder entladen, und andersherum gepolt beladen.
Er wechselt also periodisch seine Polung, während die Spule ein Magnetfeld auf- und abbaut.
Im Idealfall ginge das endlos hin und her, ohne dass man Energie von außen hinzufügen müsste. In der Realität sieht es aber anders aus.
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Löse die Differenzialgleichung für eine freie ungedämpfte E-Schwingung.
TippsDie Lösung ist der Ansatz ohne unbekannte Variablen. Du musst den Ansatz also so umschreiben, dass er nur noch Größen enthält, die man (eigentlich) immer kennt.
LösungFangen wir also an mit dem Ansatz $Q(t)=Q_0\cdot\cos(\omega\cdot t)$, wobei $Q_0$ die Anfangsladung ist.
Das können wir erstmal in die DGL einsetzen. Auch die zweite Ableitung von $Q$ sollten wir dort einsetzen. Daher berechnen wir diese zuerst einmal:
$\dot{Q}(t)=-Q_0\cdot\omega\cdot\sin(\omega\cdot t)$
$\ddot{Q} (t)=-Q_0\cdot\omega^2\cdot\cos(\omega\cdot t)$.
Und dann in die DGL eingesetzt:
$L\cdot \left[-Q_0\cdot\omega^2\cdot\cos(\omega\cdot t)\right] + \dfrac{Q_0\cdot\cos(\omega\cdot t)}{C}=0$.
Weil das so aber noch etwas hässlich aussieht, schreibt man es um in:
$Q_0\cdot\cos(\omega\cdot t)\cdot\left[-L\cdot\omega^2+\dfrac{1}{C}\right]=0$.
Da haben wir jetzt nichts verändert, sondern nur umgestellt. Aber man sieht: Ist der Term in den eckigen Klammern Null, dann geht die Gleichung auf. Klar: Der Kosinus und das $Q_0$ könnten auch Null sein, aber das würde uns nicht zum Ziel führen.
$-L\cdot\omega^2+\dfrac{1}{C}$ soll nun also $=0$ sein.
Eine dieser Größen ist uns aus diesem Video bereits bekannt. Aus der Thomson'schen Schwingungsgleichung wissen wir, dass $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}$ ist.
$-L\cdot\dfrac{1^2}{\sqrt{L\cdot C}^2}+\dfrac{1}{C}=0$
Und das stimmt, weil das Quadrat die Wurzel aufhebt , L gekürzt wird und dann dort steht:
$-\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C}=0$.
Also haben wir gezeigt, dass $\omega$ hier tatsächlich die Thomson'sche Formel ist, und wir sie so in unseren Ansatz einsetzen können:
$Q(t)=Q_0\cdot\cos\left(\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}\cdot t\right)$.
Und das die Lösung der DGL. Nur mit Werten, die wir messen können bzw. kennen, in Abhängigkeit von der Zeit $t$.
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