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Mathematische Beschreibung gedämpfter elektromagnetischer Schwingungen

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Die Autor*innen
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Wolfgang Tews
Mathematische Beschreibung gedämpfter elektromagnetischer Schwingungen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Mathematische Beschreibung gedämpfter elektromagnetischer Schwingungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mathematische Beschreibung gedämpfter elektromagnetischer Schwingungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, inwiefern sich eine gedämpfte und ungedämpfte Schwingung unterscheiden.

    Tipps

    Stromdurchflossene Kabel erwärmen sich.

    Im Schwingkreis wird Energie zwischen magnetischer und elektrischer hin- und her transferiert.

    Lösung

    Der wesentliche Unterschied zwischen ungedämpfter Schwingung und gedämpfter Schwingung lässt sich anhand der Energie gut erklären.

    Die elektrische Energie, die einem Schwingkreis zugeführt wird, wird stets zwischen magnetischer und elektrischer Energie transferiert. Bei dieser Umwandlung treten nun Verluste auf, die allerdings nur bei der gedämpften Schwingung berücksichtigt werden.

    Zur Vereinfachung ist die ungedämpfte Schwingung dennoch ein geeigneter Ansatz.

    Die oben genannten Verluste treten in erster Linie infolge der Erwärmung der Schaltung auf. Wird ein Leiter von einem Strom durchflossen, so wird sich dieser erwärmen. Diese Wärme wird abgestrahlt und steht der Energie des Schaltkreises nicht weiter zur Verfügung. Dabei gilt, je größer der ohm'sche Widerstand ist, desto größer sind auch die Verluste.

  • Bezeichne die Bauteile im Schwingkreis.

    Tipps

    Bei einer ungedämpften Schwingung wird der ohm'sche Widerstand nicht berücksichtigt.

    Indem ein Kondensator geladen wird, wird dem Schwingkreis Energie hinzugefügt.

    Lösung

    Im Wesentlichen besteht der elektrische Schwingkreis aus vier Bauteilen:

    Einer Spannungsquelle, einem Kondensator, einer Spule und einem Schalter zur Regelung. Dazu kommen ein Voltmeter, sowie ein Amperemeter, um die stromtechnischen Größen zu erfassen.

    Mit der Spannungsquelle $U$ kann das System mit Energie geladen werden. Dazu wird die Spannungsquelle mit dem Kondensator verbunden (mittels Schalter). Infolge der Spannung bildet sich ein elektrisches Feld, welches Energie speichert.

    Nun kann der Schalter umgelegt werden und der Kondensator wird von der Spannungsquelle getrennt und mit der Spule verbunden. Da nun kein äußeres Potential anliegt, muss sich der Kondensator entladen. Es fließt nun ein Strom im Stormkreis $2$, sodass die Spule stromdurchflossen ist. So muss hier ein magnetisches Feld entstehen, welches die Energie des Systems speichert.

    Baut sich das Magnetfeld ab, so wird wieder eine Spannung am Kondensator induziert, wodurch dieser geladen wird.

    Die Beträge der Spannung und des Stromes können mittels der Messinstrumente Amperemeter und Voltmeter jederzeit erfasst werden.

  • Zeige die Eigenschaften der gedämpften und ungedämpften Schwingung.

    Tipps

    Unterscheide nach den Verlusten.

    Der Ohm'sche Widerstand spielt eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Verluste.

    Lösung

    Der wesentliche Unterschied zwischen der gedämpften und ungedämpften Schwingung besteht im Energieverlust, der infolge der Erwärmung der Kabel nur bei der gedämpften Schwingung berücksichtigt wird.

    Die ungedämpfte Schwingung im elektromagnetischen Schwingkreis zeichnet sich dadurch aus, dass dieser Energie perfekt konserviert. Das bedeutet: Wird der Schwingkreis einmal aufgeladen, so wird die Energie stets zwischen elektrischer und magnetischer Energie hin- und her transferiert.

    In der Realität weisen jedoch die Kabel, welche die Bauteile des Schwingkreises miteinander verbinden, einen ohm'schen Widerstand $R$ auf, sodass Verluste entstehen. Diese werden bei der Berechnung der Frequenz und Periodendauer sowie bei Bestimmung der Kreisfrequenz berücksichtigt. Es gilt $ f' = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$. Mit dem Zusammenhang $ f = \frac{1}{T} $ können wir auch die Periodendauer leicht daraus ableiten.

    Wie du siehst, wird für den Fall $ R =0$ die Formel zu $ f = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{LC}}$ vereinfacht. Diese Formel wird also genutzt um die Frequenz der ungedämpften Schwingung zu bestimmen.

  • Berechne die physikalischen Größen im ungedämpften Schwingkreis.

    Tipps

    $ E_{ges} = E_{el} + E{mgn} = const.$

    Die Frequenz entspricht dem Kehrwert der Umlaufdauer.

    Lösung

    Der ungedämpfte Schwingkreis ist ein Modell eines elektromagnetischen Schwingkreises, bei dem angenommen wird, dass keine Energie verloren geht. Dabei liegt die Energie immer in Form elektrischer Energie (im Kondensator) oder aber als magnetische Energie (in der Spule) vor.

    So ergibt sich $ E_{ges} = E_{el} + E{mgn} = const.$ zur mathematischen Beschreibung.

    Wird diesem Kreis also einmal eine Energie zugeführt, etwa indem der Kondensator geladen wird, wird diese zwar umgewandelt, jedoch ideal konserviert und ohne Verluste gespeichert.

    Thermische Verluste, wie sie bei einer elektrischen Schaltung zu erwarten sind, werden hier nicht berücksichtigt. So spielt auch der ohm'sche Widerstand der Kabel keine Rolle bei der Bestimmung der Frequenz, Kreisfrequenz oder Umlaufdauer der Schwingung.

    Diese physikalischen Größen sind allein von den elektrotechnischen Eigenschaften der Bauteile Kondensator und Spule, genauer deren Kapazität $C$ und Induktivität $L$ abhängig.

    Für die Periodendauer gilt $ T = 2 \pi \sqrt{LC} $. Diese steigt also mit der Kapazität des Kondensators und der Kapazität der Spule. Die Frequenz ist definiert als Kehrwert der Periodendauer, also $f = \frac{1}{T}$. Die Einheit der Frequenz ist Hertz.

    Um die Kreisfrequenz zu bestimmen, verwenden wir die Formel $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

  • Beschreibe den Ablauf im Schwingkreis.

    Tipps

    Du kannst hier von einer ungedämpften Schwingung ausgehen.

    Wird ein Kondensator entladen, so fließt ein Strom.

    Ist eine Spule stromdurchflossen, so entsteht ein Magnetfeld.

    Lösung

    Die Energieumwandlung im Schwingkreis läuft im Wesentlichen in vier Schritten ab.

    Zunächst wird der Kondensator geladen. Die Energie wird dem System also in Form potentieller Energie im elektrischen Feld zugeführt.

    Im zweiten Schritt wird der Kondensator entladen, sodass ein Strom vom Kondensator hin zur Spule fließt.

    Nun wird die Spule also von einem Strom durchflossen, sodass ein Magnetfeld entstehen muss (Rechte-Hand-Regel). Zu diesem Zeitpunkt liegt die Systemenergie also als magnetische Energie vor.

    Bricht das Magnetfeld in Schritt vier wieder zusammen, so fließt erneut ein Strom. Dieser lädt den Kondensator nun wieder und es herrschen exakt (bei der ungedämpften Schwingung) die gleichen Bedingungen, wie im Zustand eins.

    Diese Schritte laufen periodisch immer weiter so ab, sodass eine harmonische Schwingung für den ungedämpften Schwingkreis entsteht. Handelt es sich um eine gedämpfte Schwingung, verringert sich der Energiebetrag im Zuge jeder einzelnen Schwingung. Es geht hier also Energie verloren.

  • Berechne die physikalischen Größen im gedämpften Schwingkreis.

    Tipps

    Verluste infolge des ohm'schen Widerstandes der Schaltung müssen bei der mathematischen Modellierung der gedämpften Schaltung erfasst werden.

    $f = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}$

    Lösung

    Im Unterschied zu einer ungedämpften Schwingung muss der ohm'sche Widerstand der Schaltung berücksichtigt werden, um so die Verluste zu erfassen.

    Neben den Eigenschaften des Kondensators und der Spule, sind also auch die der Kabel $\Omega$ von Bedeutung. Generell gilt: Je höher der ohm'sche Widerstand ist, desto größer sind die Energieverluste über die Zeit.

    Diese Verluste müssen sowohl bei der Berechnung der Frequenz $f'$ als auch bei der Bestimmung von Kreisfrequenz$\omega$, Spannung $U$, Stromstärke $I$ und Energie $E_{ges}$ berücksichtigt werden.

    Diese Umstände müssen auch bei der Berechnung der Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz bestimmt werden.

    Betrachten wir ein Beispiel: Gegeben sind $L = 0,025 H$, $C = 3,1 \cdot 10^{-8} F$ und $R = 10 \Omega$. Für die Berechnung der Frequenz gilt die gezeigte Formel. Setzen wir nun ein, so ergibt sich: $ f = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{ \frac{1}{0,025 H \cdot 3,1 \cdot 10^{-8} F} - \frac{(10 \Omega)^2}{4 \cdot (0,025 H)^2}} = 5716,92 Hz$.

    Die Frequenz der der Schwingung beträgt also etwa $f = 5717 Hz$.

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