Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung

Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung Übung

• Nenne korrekte Aussagen zur gleichmäßig verzögerten Bewegung.

  Tipps

  Bedenke, dass es sich bei der gleichmäßig verzögerten Bewegung um einen Bremsvorgang handelt.

  Lösung

  Eine gleichmäßig verzögerte Bewegung beschreibt einen Bremsvorgang. Das bedeutet, dass ein Objekt eine Geschwindigkeit besitzen muss, die sich im Laufe dieses Vorganges verringert. Es gilt deshalb $v_2<v_1$. Da die Beschleunigung mit der Formel $a=\frac{v_2-v_1}{t_2-v_t}$ berechnet wird und zudem gilt $t_2>t_1$, nimmt die Beschleunigung bei der gleichmäßig verzögerten Bewegung negative Werte an.

• Beschreibe die Bewegungen anhand der dargestellten Grafik.

  Tipps

  Im v-t-Diagramm entspricht die Beschleunigung der Steigung der Geraden.

  Lösung

  Im v-t-Diagramm entspricht die Steigung der Geraden der Beschleunigung der Bewegung. Die gelbe Kurve hat eine positive Steigung. Die Geschwindigkeit nimmt bei dieser Bewegung also konstant zu. Die grüne Kurve hingegen hat eine negative Steigung. Die Geschwindigkeit sinkt konstant im Laufe der Bewegung. Um dies besser nachvollziehen zu können, kannst du auch nochmal die Geschwindigkeiten der beiden Bewegungen zu den Zeitpunkten $t_1$ und $t_2$ vergleichen. Hier stellt man fest, dass für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung $v_2>v_1$ und für die gleichmäßig verzögerte Bewegung $v_2<v_1$ gilt.

• Ermittle, welche Diagramme die gleichen Bewegungen darstellen.

  Tipps

  Die Steigung im v-t-Diagramm entspricht der Beschleunigung. Bei hoher Steigung im v-t-Diagramm werden daher schnell große Strecken im s-t-Diagramm erreicht.

  Lösung

  Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist im v-t-Diagramm eine Gerade mit positiver Steigung. Da die Steigung der Geraden der Beschleunigung entspricht, gilt außerdem: je größer die Steigung, desto größer die Beschleunigung. Da die Strecke bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung quadratisch zunimmt, erkennen wir die gleichmäßig beschleunigte Bewegung im s-t-Diagramm an einer Parabel. Je höher die Beschleunigung (= Steigung im v-t-Diagramm), desto schneller nimmt ihre Steigung zu.

  Die gleichmäßig verzögerte Bewegung erkennen wir im v-t-Diagramm an einer Geraden mit negativer Steigung. Auch hier gilt: je stärker das Gefälle, desto größer die Verzögerung (= negative Beschleunigung). Im s-t-Diagramm erkennen wir die gleichmäßig verzögerte Bewegung ebenfalls an einer Parabel, die in diesem Fall jedoch nach unten geöffnet ist. Sie steigt also immer langsamer zu einem bestimmten Maximalwert. Bei starker (negativer) Beschleunigung erreicht sie diesen Maximalwert schneller als bei schwacher (negativer) Beschleunigung.

• Berechne wie lange die Fahrzeuge zum Bremsen benötigen.

  Tipps

  Bedenke, dass die Geschwindigkeit bei der gleichmäßig verzögerten Bewegung mit $v=v_0+a\cdot t$ berechnet werden kann.

  Die Geschwindigkeit am Ende des Bremsvorgangs beträgt 0 m/s.

  Lösung

  Gegeben sind die Ausgangsgeschwindigkeiten ($v_0$) und die Beschleunigungen ($a$) der Fahrzeuge. Gesucht wird die zum Bremsen benötigte Zeit $t$. Für die gleichmäßig verzögerte Bewegung gilt:

  $v=v_0+a\cdot t$. Die Geschwindigkeit, die am Ende des Bremsvorgangs erreicht wird, beträgt $v=0\ m/s$. $v, v_0$ und $a $ können demnach in die Formel eingesetzt und es kann nach t umgestellt werden.

  Als Beispiel wird hier die Bremszeit des Tankers berechnet:

  gegeben: $v_0=10\,m/s, a=-0,01\,\frac{m}{s^2}$

  gesucht: $t$

  $v=v_0+a\cdot t \rightarrow 0=10\,m/s - 0,01\,\frac{m}{s^2} \cdot t \rightarrow t= 1000 s \approx 17\,$min.

• Beschreibe den Verlauf der Bewegungsarten.

  Tipps

  Bei der gleichmäßig beschleunigten und der gleichmäßig verzögerten Bewegung kommt es zu Geschwindigkeitsänderungen.

  Lösung

  In der beschriebenen Bewegung des Autos kommen drei Bewegungsarten vor, die sich durch folgende Eigenschaften auszeichnen:

  a) Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

  Ein gleichmäßig beschleunigtes Objekt erfährt einen gleichmäßigen Geschwindigkeitszuwachs. Die Beschleunigung a nimmt hier positive Werte an.

  b) Die gleichförmige Bewegung

  Ein Objekt, das gleichförmig bewegt ist, erfährt keine Geschwindigkeitsänderung. Die Geschwindigkeit ist konstant und die Beschleunigung hat hier den Wert null.

  c) Die gleichmäßig verzögerte Bewegung

  Ein Objekt, dessen Bewegung gleichmäßig verzögert ist, erfährt eine gleichmäßige Verringerung der Geschwindigkeit. Man spricht hier auch von Bremsvorgängen. Die Beschleunigung nimmt hier negative Werte an.

• Berechne die zurückgelegte Strecke.

  Tipps

  Die Bewegung des Autos lässt sich in drei Teilphasen untergliedern.

  Versuche, die zurückgelegten Strecken für die Teilphasen zu berechnen.

  Lösung

  Die Bewegung des Autos kann in drei Abschnitte unterteilt werden:

  a) Eine Phase gleichmäßig beschleunigter Bewegung,

  b) eine Phase gleichförmiger Bewegung,

  c) eine Phase gleichmäßig verzögerter Bewegung.

  Die Strecken, die das Auto in diesen Abschnitten zurücklegt, können separat berechnet werden:

  a) Für die Strecke bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung gilt:

  $s_1=0,5\cdot a\cdot t^2$.

  Das Auto beschleunigt mit $a_1=1,2\frac{m}{s^2}$ für $t_1=6\ s$.

  $\rightarrow s_1=0,5\cdot 1,2 \frac{m}{s^2}\cdot 36\ s^2 = 21,6\ m$

  b) Für die Strecke der gleichförmigen Bewegung gilt:

  $s_2=v\cdot t_2$.

  Das Auto bewegt sich in dieser Phase mit der konstanten Geschwindigkeit $ v=a_1\cdot t_1=7,2\ m/s$ für die Zeit $t_2=30\ s$.

  $\rightarrow s_2=7,2\ m/s \cdot 30\ s=216,0\ m$.

  c) Für die Strecke der gleichmäßig verzögerten Bewegung gilt:

  $s_3=0,5\cdot a\cdot {t_3}^2 + v\cdot t_3.$

  Das Auto bremst hier mit einer Beschleunigung von $a_2=-4\frac{m}{s^2}$. Es muss zunächst die für die Bremsung benötigte Zeit berechnet werden:

  $0=v+a\cdot t_3 \rightarrow 0=7,2\ m/s - 4\frac{m}{s^2}\cdot t_3 \rightarrow t_3=1,8\ s.$

  Hiermit kann nun mit der oben angegebenen Formel die Strecke $s_3$ berechnet werden.

  $\rightarrow s_3=0,5\cdot (-4) \frac{m}{s^2}\cdot 3,24\ s^2+7,2\ m/s\cdot 1,8\ s=6,5\ m$.

  Die Gesamtstrecke erhält man durch Addition der Teilstrecken:

  $s_{ges}=s_1+s_2+s_3\rightarrow s_{ges}=244,1\ m$.

  Antwort: Das Auto hat eine Gesamtstrecke von 244,1 m zurückgelegt.