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Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung

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Jakob Köbner
Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse

Beschreibung Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung

Inhalt

Der Bremsvorgang in der Physik

Hast du dich schon einmal gefragt, wie man einen Bremsvorgang beschreibt? Wenn ein Objekt mit einer konstanten Kraft abgebremst wird, bezeichnet man das in der Physik als gleichmäßig verzögerte Bewegung. Wir wollen uns im Folgenden genauer mit diesem Prozess beschäftigen.

Die gleichmäßig verzögerte Bewegung

Definition

Wir bezeichnen eine Bewegung als gleichmäßig verzögert, wenn eine konstante Beschleunigung $a$ der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ entgegenwirkt.

Diese Definition kommt dir sicher bekannt vor. Sie ist der Definition der gleichmäßig beschleunigten Bewegung sehr ähnlich. Um den Unterschied zwischen der gleichmäßig verzögerten Bewegung und der gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu erkennen, schauen wir uns noch einmal die Definition der Beschleunigung $a$ an. Diese ist definiert als die Änderung der Geschwindigkeit $\Delta v$ pro Zeitintervall $\Delta t$:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

In dieser Gleichung sind $t_1$ und $t_2$ die Zeitpunkte, zu denen die Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$ gemessen werden. Dabei ist $t_2 > t_1$. Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung wird die Geschwindigkeit mit der Zeit größer, also ist $v_2 > v_1$. Bei einer verzögerten Bewegung hingegen, also bei einem Bremsvorgang, wird die Geschwindigkeit mit der Zeit kleiner. Also ist $v_2 < v_1$. Daraus folgt, dass $v_2 - v_1$ negativ ist, und damit ist auch $a$ negativ. Der Unterschied zwischen einer beschleunigten und einer verzögerten Bewegung ist also das Vorzeichen der Beschleunigung. Man sagt deswegen auch, dass ein Bremsvorgang eine negative Beschleunigung ist.

Gleichmäßig verzögerte Bewegung – Diagramm

Mit diesem Wissen kennen wir auch schon die Formeln, mit denen man eine gleichmäßig verzögerte Bewegung berechnen kann – der einzige Unterschied zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist ja das Vorzeichen von $a$. Wir können also dieselben Formeln nutzen, um ein Diagramm zu zeichnen. Wir müssen lediglich beachten, dass $a$ negativ ist. Zur Erinnerung schreiben wir die Formeln noch einmal auf. Wir beginnen mit der Formel für die Geschwindigkeit $v(t)$:

$v(t) = at + v_0$

Hier ist $t$ die Zeit, $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit und $a$ die Beschleunigung. Diese Gleichung beschreibt eine Gerade mit dem y-Achsenabschnitt $v_0$. Bei einer Beschleunigung steigt die Gerade mit fortschreitender Zeit $t$ an. Da $a$ bei der verzögerten Bewegung negativ ist, fällt die Gerade mit wachsendem $t$ ab:

Gleichmäßig verzögerte Bewegung Beispieldiagramm für die Geschwindigkeit

Jetzt betrachten wir die zurückgelegte Strecke. Die Formel für die Strecke $s(t)$ lautet:

$s(t) = \frac{1}{2}at^{2}+v_0t$

Für eine beschleunigte Bewegung beschreibt diese Gleichung eine nach oben geöffnete Parabel. Durch das negative Vorzeichen bei der verzögerten Bewegung wird daraus eine nach unten geöffnete Parabel. Wir zeichnen die Parabel allerdings nur bis zu ihrem Scheitelpunkt – das ist gerade der Punkt, an dem die Geschwindigkeit null wird.

Gleichmäßig verzögerte Bewegung Beispieldiagramm für die Strecke

Mit diesem Wissen kannst du, je nachdem, welche Werte du gegeben hast, leicht den Bremsweg oder die negative Beschleunigung eines Beispielvorgangs berechnen. Du musst die Werte nur entsprechend in die Formeln einsetzen und umformen.

Anmerkung

Wir haben in diesem Text und Video die gleichmäßig verzögerte Bewegung betrachtet. Das bedeutet, dass wir angenommen haben, dass die negative Beschleunigung $a$ konstant ist, also immer den gleichen Wert hat. Bei den meisten Bremsvorgängen, die du im Alltag beobachten kannst, ist diese Annahme allerdings nicht korrekt. Beim Bremsen mit dem Fahrrad oder Auto hängt die Bremskraft, also die negative Beschleunigung, zum Beispiel von der Geschwindigkeit ab. Allerdings wird die Berechnung der Geschwindigkeit und der Strecke in diesem Fall kompliziert. Deswegen rechnet man in Aufgaben meistens vereinfacht mit einer konstanten negativen Beschleunigung.

Dieses Video

In diesem Video lernst du, was der Unterschied zwischen einer gleichmäßig beschleunigten und einer verzögerten Bewegung ist. Du lernst die wichtigsten Formeln und Diagramme kennen. Im Video wird dir außerdem anhand eines Beispiels gezeigt, wie du eine konkrete Rechenaufgabe lösen kannst. Neben Text und Video findest du außerdem interaktive Übungen.

Transkript Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir wollen uns heute mit einem Thema aus der Mechanik beschäftigen, nämlich der gleichmäßig verzögerten Bewegung. Wir lernen heute: Was ist eine gleichmäßig verzögerte Bewegung? Was unterscheidet eine gleichmäßig beschleunigte von einer gleichmäßig verzögerten Bewegung, vor allem bezüglich der s-t- und v-t-Diagramme und der Formeln? Und, an einer Beispielaufgabe, wie rechne ich das Ganze? Eine Bewegung ist gleichmäßig verzögert, wenn eine konstante Beschleunigung a der Anfangsgeschwindigkeit v(0) entgegenwirkt. Sie beschreibt dann also eine Art Bremsvorgang. Wir schreiben uns noch mal kurz die Formel für die Beschleunigung hin. a ist der Geschwindigkeitsunterschied Delta v während der Zeitspanne Delta t oder anders v(2)-v(1)/t(2)-t(1) Da es sich ja um einen Bremsvorgang handelt, halten wir fest, die Geschwindigkeit v(2) zum Zeitpunkt t(2) ist kleiner als die Geschwindigkeit v(1) zum Zeitpunkt t(1). Und das bedeutet also, bei einer gleichmäßig verzögerten Bewegung ist die Beschleunigung a negativ. Man sagt auch, das Objekt ist negativ beschleunigt. Und was der Unterschied zwischen negativer und positiver Beschleunigung ist, das sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Wir malen uns mal ein s-t- und ein v-t-Diagramm und verwenden für gleichmäßig beschleunigt die Farbe orange und gleichmäßig verzögert die Farbe blau. Ich sag es gleich schon mal, für gleichmäßig beschleunigte und gleichmäßig verzögerte Bewegungen, benutzen wir dieselben Formeln. Der Unterschied kommt allein durch das Vorzeichen der Beschleunigung. Die Geschwindigkeit v ist also a×t+v(0). Da für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung a positiv ist, bedeutet das also, dass die Geschwindigkeit v mit der Zeit von v(0) aus steigt. Sie ist im v-t-Diagramm also eine Gerade mit positiver Steigung. Für die gleichmäßig verzögerte Bewegung ist a jedoch negativ. Das heißt die Geschwindigkeit v sinkt von v(0) aus. Im v-t-Diagramm ergibt das ebenfalls eine Gerade, allerdings mit negativer Steigung. Wir machen weiter mit der Formel für den Weg. Diese lautet: s=1/2a×t+v(0)×t. Für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung bedeutet das, die Strecke steigt quadratisch. Wir sehen, eine quadratische Funktion und sowohl 1/2at2 als auch v(0)t haben positive Vorzeichen. Wir erhalten die vertraute Parabel. Für die gleichmäßig verzögerte Bewegung erhalten wir ebenfalls eine Parabel. Allerdings hat diese bei 1/2at2 ein Minus als Vorzeichen. Sie ist also nach unten geöffnet. Sie steigt also immer langsamer zu einem bestimmten Maximalwert und würde dann quadratisch sinken. Wie man nun diesen beiden Formeln benutzt, um solch eine Bewegung zu berechnen, das wollen wir uns im nächsten Kapitel ansehen. Wir wollen folgende Aufgabe rechnen. Ein Auto fährt mit 180 km/h auf der Autobahn. Der Fahrer entdeckt in 1 km Entfernung einen Unfall und macht mit a=-1,25 m/s2 eine Vollbremsung. Wie lange dauert es, bis er zum Stillstand kommt, und hat er noch rechtzeitig gebremst? Wir schreiben erst mal auf, was wir gegeben haben. Die Geschwindigkeit v(0) beträgt 180 km/h oder umgerechnet in m/s 180/3,6 m/s, und das sind 50 m/s. Die Beschleunigung a=-1,25 m/s2. Gesucht ist die Zeit t, die das Auto zum Bremsen benötigt und da ja gefragt ist, ob er rechtzeitig gebremst hat, der Bremsweg s. Dann wollen wir mal. Wir benutzen die Formel v=v(0)+a×t. Wir wollen wissen, wann das Auto zum Stillstand kommt, also können wir für v 0 einsetzen. Dann steht da, 0=50m/s-1,25 m/(s2)×t. Umgestellt nach t ergibt das, 50m/s/1,25 m/s2. Und nach dem Kürzen ergibt das 40 Sekunden. So weit, so gut. Das Auto bremst also 40 Sekunden lang. Nun müssen wir nur noch herausfinden, welche Strecke es dabei zurücklegt. Wir schreiben die 2. Formel auf. s=1/2at2+v(0)×t. Eingesetzt erhalten wir    = -1,25 Halbe×402m/s2×s2+50×40m×s/s. In beiden Summanden kürzen sich die Sekunden heraus und wir erhalten = -1000 m + 2000 m, es ist also genau 1 km. In der Aufgabe steht, der Fahrer bremst 1 Kilometer vor der Unfallstelle und wir sollten herausfinden, ob er noch rechtzeitig gebremst hat. Wir sehen, es hat gerade so gereicht. Unser Antwortsatz lautet also: Das Auto benötigt 40 s für den Bremsvorgang, der Bremsweg beträgt 1 km. Der Wagen kommt also gerade noch rechtzeitig zum Stehen. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Bei einer gleichmäßig verzögerten Bewegung wirkt eine Anfangsgeschwindigkeit v(0) eine konstante Beschleunigung a entgegen.   Da a= Delta v/Delta t oder v(2) - v(1)/t(2) - t ist, ist a also negativ. Die Formeln, die wir zur Berechnung einer gleichmäßig verzögerten Bewegung brauchen, lauten: v=v(0)+a×t und s=1/2at2+ (0)×t. Das dazu gehörige v-t- beziehungsweise s-t-Diagramm sieht so aus. So, dass war`s schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle.  

16 Kommentare

16 Kommentare
  1. Sehr Hilfreiches Video

    Von Bayarkhuuanand2, vor fast 2 Jahren
  2. Das ist die Umrechnung von km pro h zu m pro s.
    Da 1 km gleich 1000 m und 1 h gleich 3600 s sind, wird bei der Umrechnung von m/s zu km/h mit 3,6 multipliziert. Bei der Umrechnung von km/h zu m/s wird durch 3,6 dividiert.
    10 m/s * 3,6 --> 36 km/h

    Von Karsten S., vor mehr als 3 Jahren
  3. 1 h entspricht 3600 sec gleich 3,6

    Von Murat N., vor mehr als 3 Jahren
  4. wie kommt man da auf die 3,6? bei der Beispielaufgabe mit dem bremsenden Auto ?

    Von Ariane W., vor mehr als 3 Jahren
  5. @Amend Juergen,
    das hängt davon ab wie du es betrachtest.
    Das t-v-Diagramm gibt an, das die Körper eine Anfangsgeschwindigkeit v_0 besitzen. Mit dieser bewegen sie sich dann schon über die Startlinie. Wenn man es anders betrachtet, könnte man aber auch eine Strecke s_0 angeben.

    Von Karsten S., vor fast 4 Jahren
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Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne korrekte Aussagen zur gleichmäßig verzögerten Bewegung.

    Tipps

    Bedenke, dass es sich bei der gleichmäßig verzögerten Bewegung um einen Bremsvorgang handelt.

    Lösung

    Eine gleichmäßig verzögerte Bewegung beschreibt einen Bremsvorgang. Das bedeutet, dass ein Objekt eine Geschwindigkeit besitzen muss, die sich im Laufe dieses Vorganges verringert. Es gilt deshalb $v_2<v_1$. Da die Beschleunigung mit der Formel $a=\frac{v_2-v_1}{t_2-v_t}$ berechnet wird und zudem gilt $t_2>t_1$, nimmt die Beschleunigung bei der gleichmäßig verzögerten Bewegung negative Werte an.

  • Beschreibe die Bewegungen anhand der dargestellten Grafik.

    Tipps

    Im v-t-Diagramm entspricht die Beschleunigung der Steigung der Geraden.

    Lösung

    Im v-t-Diagramm entspricht die Steigung der Geraden der Beschleunigung der Bewegung. Die gelbe Kurve hat eine positive Steigung. Die Geschwindigkeit nimmt bei dieser Bewegung also konstant zu. Die grüne Kurve hingegen hat eine negative Steigung. Die Geschwindigkeit sinkt konstant im Laufe der Bewegung. Um dies besser nachvollziehen zu können, kannst du auch nochmal die Geschwindigkeiten der beiden Bewegungen zu den Zeitpunkten $t_1$ und $t_2$ vergleichen. Hier stellt man fest, dass für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung $v_2>v_1$ und für die gleichmäßig verzögerte Bewegung $v_2<v_1$ gilt.

  • Ermittle, welche Diagramme die gleichen Bewegungen darstellen.

    Tipps

    Die Steigung im v-t-Diagramm entspricht der Beschleunigung. Bei hoher Steigung im v-t-Diagramm werden daher schnell große Strecken im s-t-Diagramm erreicht.

    Lösung

    Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist im v-t-Diagramm eine Gerade mit positiver Steigung. Da die Steigung der Geraden der Beschleunigung entspricht, gilt außerdem: je größer die Steigung, desto größer die Beschleunigung. Da die Strecke bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung quadratisch zunimmt, erkennen wir die gleichmäßig beschleunigte Bewegung im s-t-Diagramm an einer Parabel. Je höher die Beschleunigung (= Steigung im v-t-Diagramm), desto schneller nimmt ihre Steigung zu.

    Die gleichmäßig verzögerte Bewegung erkennen wir im v-t-Diagramm an einer Geraden mit negativer Steigung. Auch hier gilt: je stärker das Gefälle, desto größer die Verzögerung (= negative Beschleunigung). Im s-t-Diagramm erkennen wir die gleichmäßig verzögerte Bewegung ebenfalls an einer Parabel, die in diesem Fall jedoch nach unten geöffnet ist. Sie steigt also immer langsamer zu einem bestimmten Maximalwert. Bei starker (negativer) Beschleunigung erreicht sie diesen Maximalwert schneller als bei schwacher (negativer) Beschleunigung.

  • Berechne wie lange die Fahrzeuge zum Bremsen benötigen.

    Tipps

    Bedenke, dass die Geschwindigkeit bei der gleichmäßig verzögerten Bewegung mit $v=v_0+a\cdot t$ berechnet werden kann.

    Die Geschwindigkeit am Ende des Bremsvorgangs beträgt 0 m/s.

    Lösung

    Gegeben sind die Ausgangsgeschwindigkeiten ($v_0$) und die Beschleunigungen ($a$) der Fahrzeuge. Gesucht wird die zum Bremsen benötigte Zeit $t$. Für die gleichmäßig verzögerte Bewegung gilt:

    $v=v_0+a\cdot t$. Die Geschwindigkeit, die am Ende des Bremsvorgangs erreicht wird, beträgt $v=0\ m/s$. $v, v_0$ und $a $ können demnach in die Formel eingesetzt und es kann nach t umgestellt werden.

    Als Beispiel wird hier die Bremszeit des Tankers berechnet:

    gegeben: $v_0=10\,m/s, a=-0,01\,\frac{m}{s^2}$

    gesucht: $t$

    $v=v_0+a\cdot t \rightarrow 0=10\,m/s - 0,01\,\frac{m}{s^2} \cdot t \rightarrow t= 1000 s \approx 17\,$min.

  • Beschreibe den Verlauf der Bewegungsarten.

    Tipps

    Bei der gleichmäßig beschleunigten und der gleichmäßig verzögerten Bewegung kommt es zu Geschwindigkeitsänderungen.

    Lösung

    In der beschriebenen Bewegung des Autos kommen drei Bewegungsarten vor, die sich durch folgende Eigenschaften auszeichnen:

    a) Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

    Ein gleichmäßig beschleunigtes Objekt erfährt einen gleichmäßigen Geschwindigkeitszuwachs. Die Beschleunigung a nimmt hier positive Werte an.

    b) Die gleichförmige Bewegung

    Ein Objekt, das gleichförmig bewegt ist, erfährt keine Geschwindigkeitsänderung. Die Geschwindigkeit ist konstant und die Beschleunigung hat hier den Wert null.

    c) Die gleichmäßig verzögerte Bewegung

    Ein Objekt, dessen Bewegung gleichmäßig verzögert ist, erfährt eine gleichmäßige Verringerung der Geschwindigkeit. Man spricht hier auch von Bremsvorgängen. Die Beschleunigung nimmt hier negative Werte an.

  • Berechne die zurückgelegte Strecke.

    Tipps

    Die Bewegung des Autos lässt sich in drei Teilphasen untergliedern.

    Versuche, die zurückgelegten Strecken für die Teilphasen zu berechnen.

    Lösung

    Die Bewegung des Autos kann in drei Abschnitte unterteilt werden:

    a) Eine Phase gleichmäßig beschleunigter Bewegung,

    b) eine Phase gleichförmiger Bewegung,

    c) eine Phase gleichmäßig verzögerter Bewegung.

    Die Strecken, die das Auto in diesen Abschnitten zurücklegt, können separat berechnet werden:

    a) Für die Strecke bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung gilt:

    $s_1=0,5\cdot a\cdot t^2$.

    Das Auto beschleunigt mit $a_1=1,2\frac{m}{s^2}$ für $t_1=6\ s$.

    $\rightarrow s_1=0,5\cdot 1,2 \frac{m}{s^2}\cdot 36\ s^2 = 21,6\ m$

    b) Für die Strecke der gleichförmigen Bewegung gilt:

    $s_2=v\cdot t_2$.

    Das Auto bewegt sich in dieser Phase mit der konstanten Geschwindigkeit $ v=a_1\cdot t_1=7,2\ m/s$ für die Zeit $t_2=30\ s$.

    $\rightarrow s_2=7,2\ m/s \cdot 30\ s=216,0\ m$.

    c) Für die Strecke der gleichmäßig verzögerten Bewegung gilt:

    $s_3=0,5\cdot a\cdot {t_3}^2 + v\cdot t_3.$

    Das Auto bremst hier mit einer Beschleunigung von $a_2=-4\frac{m}{s^2}$. Es muss zunächst die für die Bremsung benötigte Zeit berechnet werden:

    $0=v+a\cdot t_3 \rightarrow 0=7,2\ m/s - 4\frac{m}{s^2}\cdot t_3 \rightarrow t_3=1,8\ s.$

    Hiermit kann nun mit der oben angegebenen Formel die Strecke $s_3$ berechnet werden.

    $\rightarrow s_3=0,5\cdot (-4) \frac{m}{s^2}\cdot 3,24\ s^2+7,2\ m/s\cdot 1,8\ s=6,5\ m$.

    Die Gesamtstrecke erhält man durch Addition der Teilstrecken:

    $s_{ges}=s_1+s_2+s_3\rightarrow s_{ges}=244,1\ m$.

    Antwort: Das Auto hat eine Gesamtstrecke von 244,1 m zurückgelegt.

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