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Bewegungen in s-t-Diagramme und v-t-Diagramme

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Philip Rupp
Bewegungen in s-t-Diagramme und v-t-Diagramme
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Bewegungen in s-t-Diagramme und v-t-Diagramme

Bewegung und Koordinatensysteme

Wir wollen uns heute mit der Kinematik beschäftigen. Das Wort Kinematik stammt aus dem Altgriechischen und bedeutet Bewegung. Es beschreibt ein Teilgebiet der Physik, das sich mit der Bewegung von Körpern beschäftigt, indem es Zeit, Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung miteinander in einen Zusammenhang bringt. Ein wichtiges Instrument, um diese Zusammenhänge zu untersuchen, sind Koordinatensysteme. Je nachdem, welche Größen man betrachtet, unterscheidet man zwischen verschiedenen Diagrammtypen.

Das Weg-Zeit-Diagramm

In der Physik beschreibt man in einem Weg-Zeit-Diagramm den Zusammenhang zwischen Zeit und zurückgelegter Strecke. Auf der x‑Achse wird die Zeit $\text{t}$ angegeben, meistens in der Einheit Sekunden, die mit $\text{s}$ abgekürzt wird. Auf der y‑Achse wird die zurückgelegte Strecke $\text{s}$, also der Weg, angegeben. Üblicherweise nutzt man hier die Einheit Meter, abgekürzt mit $\text{m}$. Es ist wichtig, dass es sich um die zurückgelegt Strecke und nicht um den Ort oder den Abstand zu einem Bezugspunkt handelt. Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung um einen festen Punkt nimmt beispielsweise die zurückgelegte Strecke linear mit der Zeit zu, obwohl der Körper immer wieder an seinen Ausgangspunkt zurückkehrt. Auch ein Auto, das in einer Zeit $t_1$ erst 20 Meter vorwärts und dann 20 Meter rückwärts fährt, legt eine Strecke von 40 Metern zurück, obwohl es am Ende wieder am gleichen Ort ist. Im Weg-Zeit-Diagramm wäre also der y‑Wert zum Zeitpunkt $t_1$ die Strecke $s(t_1) = 40~\text{m}$.

Die Steigung des Weg-Zeit-Diagramms gibt an, welche Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird. Das ist genau die Definition für die Geschwindigkeit $v$. Aufgrund der Abkürzungen Strecke $s$ und Zeit $t$ nennt man das Weg-Zeit-Diagramm auch s-t-Diagramm.

Das Ort-Zeit-Diagramm

Will man nicht nur die zurückgelegte Strecke untersuchen, sondern auch den Ort, nutzt man ein Ort-Zeit-Diagramm. Auf der x-Achse wird hier auch die Zeit $\text{t}$ angegeben, aber auf der y-Achse der Ort, an dem sich das Objekt gerade befindet. Wenn wir nur eine Dimension betrachten, können wir den Ort als Abstand zu einem Referenzpunkt beschreiben. Das könnte zum Beispiel die Höhe über dem Boden sein, wenn wir etwas senkrecht nach oben werfen und es auch senkrecht wieder nach unten fällt. Oder eben ein Auto, das gerade vorwärts und rückwärts fährt. Im Ort-Zeit-Diagramm wäre also der y-Wert zum Zeitpunkt $t_1$ für das vor- und zurückfahrende Auto $s(t_1) = 0~\text{m}$. Beim Ort-Zeit-Diagramm spielt also die Richtung der Bewegung eine Rolle – in einer Dimension ändert sich zum Beispiel das Vorzeichen. Das Weg-Zeit-Diagramm ist deswegen auch ein Spezialfall des Ort-Zeit-Diagramms: Es wird nur der Betrag der Geschwindigkeit berücksichtigt. Die Steigung im Weg-Zeit-Diagramm ist also immer positiv oder Null, während sie im Ort-Zeit-Diagramm auch negativ sein kann. Wenn die Bewegung nur in eine Richtung erfolgt, sich das Vorzeichen also nicht ändert, sind Weg-Zeit-Diagramm und Ort-Zeit-Diagramm daher äquivalent.

Das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

Auch im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm wird auf der x-Achse die Zeit $\text{t}$ angegeben. Auf der y-Achse tragen wir die Geschwindigkeit $\text{v}$ des Objekts auf. Die Geschwindigkeit wird in der Physik meistens in Metern pro Sekunde, also $\frac{\text{m}}{\text{s}}$, angegeben. Man kann also ablesen, welche Geschwindigkeit ein Objekt zu jedem Zeitpunkt seiner Bewegung hat. Das Diagramm gibt also die Steigung des Ort-Zeit-Diagramms wieder.

Aber auch die Steigung des Geschwindigkeit-Zeit-Diagramms hat eine physikalische Bedeutung. Sie zeigt, wie stark sich die Geschwindigkeit ändert: Je größer die Steigung, desto schneller ändert sich die Geschwindigkeit. Und diese Änderung entspricht gerade der Beschleunigung. Aufgrund der Abkürzungen für Geschwindigkeit $(v)$ und Zeit $(t)$ nennt man das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm auch v-t-Diagramm.

Beispiele

Um die Diagramme der Bewegung etwas anschaulicher zu machen, wollen wir zwei Beispiele betrachten.

Gleichförmige Bewegung

Wir betrachten ein Paket, das auf einem Förderband liegt, als Beispiel für eine gleichförmige Bewegung. Gleichförmig bedeutet, dass die Geschwindigkeit konstant ist. Schauen wir uns also an, wie man in diesem Fall ein Weg-Zeit-Diagramm erstellen kann.

Das Paket liegt zum Zeitpunkt $t=0$ am Anfang des Förderbandes. Diesen Punkt wählen wir als Bezugspunkt, dort ist also $s=0$. Nach $5~\text{s}$ ist das Paket $10~\text{m}$ nach rechts gefahren. Im Koordinatensystem können wir dazu einen Punkt bei $(t = 5~\text{s}, s = 10~\text{m})$ zeichnen. Nach weiteren $5~\text{s}$ ist das Paket auch weitere $10~\text{m}$ gefahren, da die Geschwindigkeit konstant ist. Wir können also einen Punkt bei $(t = 10~\text{s}, y = 20~\text{m})$ einzeichnen. Wenn wir so weitermachen, können wir alle Punkte am Ende mit einer Geraden verbinden. Für diese Gerade gilt allgemein die Geradengleichung:

$s(t) = v_0 \cdot t + x_0$

Das $s(t)$ steht für die zurückgelegte Strecke $s$ zur Zeit $t$, $v_0$ ist die Geschwindigkeit und $s_0$ die vor $t=0~\text{s}$ zurückgelegte Strecke. In unserem Fall ist $s_0=0$. Wir erhalten dann das folgende Diagramm:

st diagramm der gleichmfoermigen bewegung

Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung dieser Geraden und beträgt $2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Das Geschwindigkeitsdiagramm entspricht wieder der Geschwindigkeit und ist eine Konstante mit der Gleichung $v(t) = 2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Du kannst aus dem v-t-Diagramm auch die Beschleunigung ablesen, denn die ist durch die Steigung gegeben. Diese ist bei einer Konstanten überall Null. Das entspricht der Definition einer gleichförmigen Bewegung: Die Bewegung ist nicht beschleunigt.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Als zweites Beispiel betrachten wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Gleichmäßig beschleunigt bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit ändert, aber die Beschleunigung einen konstanten Wert hat. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn wir einen Ball aus großer Höhe, zum Beispiel aus einem Hubschrauber, fallen lassen und den Luftwiderstand vernachlässigen. Wir gehen wie im ersten Beispiel vor und betrachten die zurückgelegte Strecke zu verschiedenen Zeitpunkten. Zum Zeitpunkt $t=0$, an dem wir den Ball loslassen, befindet er sich noch am Ausgangspunkt, hat also noch keine Strecke zurückgelegt. Durch die Erdanziehung wird der Ball aber nach unten beschleunigt. Nach einer Zeit $t=1~\text{s}$ ist er um $5~\text{m}$ nach unten gefallen. Nach insgesamt $2~\text{s}$ hat er bereits $20~\text{m}$ zurückgelegt. Man sieht schon beim Einzeichnen, dass sich die Steigung zwischen den Punkten vergrößert hat – der Ball fällt immer schneller. Nach $3~\text{s}$ hat er bereits $45~\text{m}$ zurückgelegt. Die Form dieser Kurve nennt man eine Parabel und sie wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

$s(t) = \frac{1}{2}a \cdot t^{2} + v_0 \cdot t + s_0$

Das $s(t)$ steht wieder für die zurückgelegte Strecke, $a$ steht für die Beschleunigung (hier die Erdbeschleunigung), $v_0$ für die Anfangsgeschwindigkeit und $s_0$ für die zum Zeitpunkt $t=0$ zurückgelegte Strecke. In unserem Beispiel sind $s_0$ und $v_0$ beide Null.

st diagramm der gleichmaessig beschleunigten bewegung

Im Gegensatz zum Paket auf dem Laufband ändert sich in diesem Beispiel die Geschwindigkeit mit der Zeit. Deswegen zeigt auch das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm keine Konstante mehr, sondern eine ansteigende Gerade. Diese Gerade kann durch die folgende Geradengleichung beschrieben werden:

$v=a \cdot t + v_0$

Dieses Video

In diesem Video lernst du den Unterschied zwischen v-t- und s-t-Diagrammen kennen und erfährst, wie man die Geschwindigkeit in einem Weg-Zeit-Diagramm ablesen kann. Du findest zu diesem Thema wie immer Aufgaben und interaktive Übungen.

Transkript Bewegungen in s-t-Diagramme und v-t-Diagramme

Guten Tag, ich heiße Phillip und dieses Lernvideo beschreibt die Darstellung von Bewegungen. Ich will euch hierbei mit dem Umgang kinematischer Diagramme vertraut machen. Die Kinematik ist die Lehre der Bewegung und hier sollt ihr lernen, wie man Bewegungen mit einfachen Koordinatensystemen beschreiben kann. Wir werden uns hierfür zuerst kurz den allgemeinen Aufbau von Diagrammen zum Weg und zur Geschwindigkeit anschauen. Danach werden wir 2 einfache, lineare Bewegungstypen kennenlernen. Ich leite euch diese Schritt für Schritt je an einem Beispiel her und helfe euch so, den Umgang mit Weg-Zeit-, bzw. Geschwindigkeits-Zeit-Diagrammen zu üben. Natürlich werden wir am Ende jedes Bewegungstypus auch die Beschreibungen mit passenden Formeln untermauern. Ein allgemeines Weg-Zeit-Diagramm ist aufgebaut wie jedes sonstige Koordinatensystem. Es besteht aus 2 zueinander senkrechten Achsen. Auf der waagerechten Achse ist die Zeit abgetragen. Sie wird mit einem kleinen t betitelt. Die andere Achse zeigt nun aber nicht, wie man vermuten könnte, den zurückgelegten Weg. Hier wird der Abstand zu einem Bezugspunkt abgetragen. Diesen Bezugspunkt kann man frei wählen. Meist ist es jedoch der Startpunkt der Bewegung. Diese Wegachse wird mit einem kleinen s bezeichnet. Man nennt dieses Diagramm daher auch s-t-Diagramm. In welchen Einheiten man die Größen angibt, hängt von der konkreten Aufgabe ab. Die verwendete Einheit schreibt man meist einfach zum jeweiligen Größensymbol dazu. Also z. B. in Metern oder in Sekunden. Wir verwenden hier aber lediglich deren Abkürzungen m und s. Beschreibt in einem solchen Diagramm nun ein Graph eine Bewegung, so kann man an den Achsen die Position zu jedem beliebigen Zeitpunkt ablesen. Neben diesen konkreten Werten lässt sich aber auch die Geschwindigkeit der Bewegung zu jedem Zeitpunkt erkennen. Diese ergibt sich direkt aus der Steigung des jeweiligen Graphen und ist somit z. B. über ein Steigungsdreieck ermittelbar. Ihr seht schon, wie viele Informationen in solch einem Diagramm stecken. Passend hierzu existiert noch das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, oder kurz v-t-Diagramm. Hier wird auf die senkrechte Achse lediglich statt dem Weg halt die Geschwindigkeit, z. B. in m/s abgetragen. Dieser Diagrammtyp gibt also anders gesagt die Steigung des Weg-Zeit-Diagramms wieder. Diese Beziehung führt dazu, dass der Nutzen und die Verwendung dieser Koordinatensysteme quasi identisch verlaufen. Auch im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm wird der Steigung des Graphen wieder eine Bedeutung zugemessen. Sie beschreibt die Beschleunigung des Systems, also die Änderung der Geschwindigkeit. Dies sind viele Eigenschaften und man kommt am Anfang gerne etwas durcheinander. Wir schauen uns also am Besten an, wie man eine Bewegung analysiert und so einen passenden Graphen dazu im Weg-Zeit-Diagramm erstellt. Die 1. Art nennt man gleichförmige Bewegung. Hierzu denken wir uns ein Paket von der Post auf einem Förderband. Dieses Förderband läuft unentwegt mit derselben Geschwindigkeit v, und befördert unser Paket immer weiter. Zuerst legen wir unseren Bezugspunkt fest. Zur Zeit 0s soll sich das Paket genau am Bezugspunkt befinden, also 0m entfernt. In einem Weg-Zeit-Diagramm liegt der entsprechende Punkt genau auf dem Koordinatenursprung. Diesen markieren wir mit einem kleinen Kreuz. Nach 5s ist das Paket nun 10m weitergefahren. Der dazugehörige Punkt wird erneut markiert. Da sich das Förderband mit stets der gleichen Geschwindigkeit bewegen soll, ist das Paket nach weiteren 5s natürlich auch weitere 10 m gefahren. Der Punkt 10 s - 20 m wird also ebenfalls markiert. Dem Schema folgend wäre das Paket bei  15 s ganze 30 m von Ausgangspunkt entfernt. Langsam lässt sich die Form der entstehenden Kurve ablesen. Es ergibt sich eine Gerade, also ein linearer Verlauf im Weg-Zeit-Diagramm. Diesen Graphen kann man nun nutzen, um mehr über die Eigenschaften der Bewegung zu erfahren. Zum einen kann man für beliebige Punkte die jeweilige Position zur zugehörigen Zeit erfahren. Hierfür muss man lediglich am gewünschten Punkt die Werte der Achsen ablesen. Weiter kann man über die Steigung des Graphen die Geschwindigkeit des Paketes ermitteln. Da es sich bei den Graphen gleichförmiger Bewegungen um Geraden handelt, ist die Steigung überall gleich, also konstant. Der Graph im entsprechenden Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm stellt also eine Konstante dar. Dies bezeichnet eine Gerade, die parallel zur Zeitachse verläuft. Zu jedem Zeitpunkt hat das Paket also die gleiche Geschwindigkeit, welche nach der Formel v=s/t genau 2m pro Sekunde entspricht. Da die Steigung solcher konstanten Funktionsgraphen überall 0 ist, findet keinerlei Beschleunigung statt. Man nennt diese Bewegungsform daher auch manchmal unbeschleunigte Bewegung. Fassen wir noch mal zusammen: Ändert sich bei einer Bewegung die Geschwindigkeit nicht, so nennt man sie gleichförmig. Im Weg-Zeit-Diagramm ergibt sich hierfür eine Gerade. Die Formel des Weg-Zeit-Gesetzes muss somit der einer linearen Gleichung entsprechen. Sie lautet allgemein: die Strecke s=v0×t+s0. v0 steht hier natürlich für die gleichbleibende Geschwindigkeit, t für die Zeit und das s0 für den Anfangswert der Strecke. Mit dieser Gleichung lässt sich der Abstand zum Bezugspunkt für jeden beliebigen Zeitpunkt einfach berechnen. Der Graph im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zeigt durch die gleichbleibende Geschwindigkeit eine Konstante. Dieser Verlauf wird durch die triviale Gleichung v=v0 beschrieben. Die Geschwindigkeit ist also immer gleich der Anfangsgeschwindigkeit. Die gleichförmige, unbeschleunigte Bewegung ist ziemlich die einfachste Art. Kommen wir also zum nächstkomplizierteren Typus. Hier soll die Geschwindigkeit nicht permanent gleich bleiben, sondern sich langsam und gleichmäßig ändern. Es ist dabei egal, ob unser Körper langsamer oder schneller wird. Die kinematische Form nennt sich gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Als anschauliches Beispiel denken wir uns den idealisierten, freien Fall einer Kugel. Diese Kugel soll aus einem Hubschrauber geworfen werden und wir wollen dabei ihre zurückgelegte Strecke in einem Weg-Zeit-Diagramm darstellen. In dem Moment des Loslassens bewegt sich die Kugel nicht und hat auch noch keine Strecke zurückgelegt. Der 1. markierte Punkt ist also erneut bei 0s und 0m. Nun wirkt die Erdanziehung auf unsere Kugel. Dadurch wird sie langsam zum Boden gezogen. Nach 1s wird sich die Kugel also vom Anfangsort wegbewegt haben. Sie befindet sich nun bei 5m. Dieser Punkt wird markiert. Das Besondere an diesem Bewegungstypus ist nun, dass die Kugel nach und nach immer schneller wird. Denn sie wird ja weiterhin von der Erdanziehung beschleunigt. Nach noch einer Sekunde ist sie also nicht bei 10, sondern schon bei 20m angelangt, denn ihre Geschwindigkeit ist höher, als während der 1. Sekunde. Der Punkt 2s und 20m wird markiert. Nach der 3. Sekunde ist die Geschwindigkeit der Kugel weiter gestiegen. Sie wird immer schneller und befindet sich nun schon bei 45m. Markieren wir diesen Punkt ebenfalls, kann man den Verlauf des Graphen schon langsam erkennen: Es handelt sich um eine Parabel, also eine quadratische Funktion. Die zurückgelegte Strecke der Kugel nimmt also sehr schnell zu. Gleichzeitig steigt mit jeder Sekunde die steigende Funktion. Sie zeigt also immer steiler nach oben und wächst stark an. Das zugehörige Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zeigt also diesmal keine Konstante, sondern vielmehr ist der Graph diesmal eine lineare Funktion, also eine Gerade. Die Geschwindigkeit nimmt also schon, wie überlegt, permanent zu. Die Steigung im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm gibt die Beschleunigung an, also die Änderung der Geschwindigkeit. Diese ist bei einer Geraden natürlich wieder konstant. Deswegen heißt diese Bewegungsform auch konstant oder gleichmäßig beschleunigt. Die Formel des Weg-Zeit-Gesetzes muss diesmal einer quadratischen Gleichung entsprechen. Es besagt deswegen: s=½a×t²+v0×t+s0. v0 und s0 sind erneut die Anfangswerte von Geschwindigkeit und Strecke. Das zugehörige Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz gehört diesmal zu einer Geraden und lautet deswegen: v=a×t+v0. Das a steht in beiden Fällen für die Beschleunigung des Körpers. Mit diesen Gleichungen lässt sich die Position und die Geschwindigkeit eines gleichmäßig beschleunigten Körpers zu jedem Zeitpunkt exakt berechnen. Zusammenfassend haben wir also 2 Bewegungstypen mit jeweils 2 Diagrammverläufen kennengelernt. Zu jedem der 4 Graphen gehört dabei 1 Gleichung, die ihn beschreibt. Jede Bewegung hat somit ihren ganz charakteristischen Verlauf im jeweiligen Koordinatendiagramm. Diese Formeln und Verläufe zu lernen, kommt ihr nicht umher. Jedoch werden wir im 2. Teil dieser Lerneinheit noch einmal konkrete Beispiele durchrechnen, und so den Umgang mit ihnen üben. Ich bedanke mich vorerst und wünsche euch noch einen schönen Tag. Euer Phillip Physik  

19 Kommentare

19 Kommentare
  1. Sehr gut erklärt hab das Thema jetzt endlich verstanden

    Von Balu01, vor 7 Monaten
  2. Hallo Richard, eine sehr gute Frage! Wäre die Geschwindigkeit der Kugel konstant und legte sie in 5s die Strecke von 10m zurück, dann hättest du recht, dann wäre die Geschwindigkeit konstant bei 10m/s.
    Hier handelt es sich aber um eine beschleunigte Bewegung. Am Anfang ist die Geschwindigkeit gleich 0 und wird dann allmählich größer. Am Anfang ist die Geschwindigkeit also kleiner als 5m/s. Um das auszugleichen, muss die Geschwindigkeit am Ende also größer sein als 5m/s. Tatsächlich liegt sie dann bei etwa 10m/s.
    Ich hoffe, ich habe dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor 8 Monaten
  3. Ist das zweite Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, also das mit der Kugel, nicht falsch? Weil die Kugel ist ja nach 1 Sekunde nicht 10m/s, sondern 5m/s schnell, oder liege ich da falsch?

    Von Richard B., vor 8 Monaten
  4. Hallo Patricia,

    du kannst das Tempo des Videos reduzieren, indem du im Player das Tachosymbol anklingst und einen Faktor kleiner 1 auswählst.

    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Karsten S., vor mehr als einem Jahr
  5. Stellt es langsamer ein!:)

    Von Patricia Lechner, vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Bewegungen in s-t-Diagramme und v-t-Diagramme Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bewegungen in s-t-Diagramme und v-t-Diagramme kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Formelzeichen.

    Tipps

    Die Variablen von Strecke, Zeit und Geschwindigkeit sind in der Physik meistens gleich.

    Lösung

    Will man eine Bewegung ganzheitlich erfassen, so müssen wir unterschiedliche Größen berücksichtigen.

    Ausgangsgrößen sind dabei die Wegstrecke $s$ und die Zeit $t$. Von diesen beiden Größen ausgehend können wir die Beschleunigung und die Geschwindigkeit ableiten. Üblicherweise wird die Geschwindigkeit dabei mit $v$ bezeichnet. Die Abkürzung für die Beschleunigung ist meist $a$.

    Der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit $v$ und den Größen $s$ und $t$ kann über die Formel $v = \frac{s}{t}$ bestimmt werden. Mit anderen Worten: Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Funktion im s(t)-Diagramm.

  • Zeige die richtigen Formeln zur Berechnung der Bewegung.

    Tipps

    Die gesamte Wegstrecke setzt sich aus drei Anteilen zusammen.

    Der Anteil der Strecke aus der Beschleunigung ergibt sich nach $s_a(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.

    Es muss der Startpunkt $s_0$ berücksichtigt werden.

    Die Einheit der Wegstrecke $s(t)$ ist $m$.

    Lösung

    Um die richtige Formel zu identifizieren, wollen wir zunächst die Formelzeichen zuordnen und anschließend anhand der entsprechenden Einheiten die Aufgabe abschließen.

    Üblicherweise wird die Strecke mit $s$, die Geschwindigkeit mit $v$ und die Beschleunigung mit $a$ bezeichnet. Das Funktionsargument ist die Zeit $t$.

    Nun wollen wir die Einheiten betrachten, um so die richtige Funktion zu ermitteln. Es soll eine Wegstrecke bestimmt werden. Diese hat die Einheit $m$. Die Grundeinheit der Geschwindigkeit ist $[a] = \frac{m}{s}$, also Strecke pro Zeit. Diese muss dementsprechend mit der Zeit $t$ multipliziert werden, um daraus eine Strecke in $m$ zu erhalten. Daher muss also $s_v= v_0 \cdot t$ gerechnet werden, um den Anteil der Strecke aus der Startgeschwindigkeit zu erhalten.. Die Beschleunigung hat die Einheit $[a] = \frac{m}{s^2} $. Um die Einheit $m$ und damit eine Strecke zu erhalten, muss die Beschleunigung mit der Zeit im Quadrat multipliziert werden. Hier gilt $s_a = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$. Der dritte Teil der Strecke ist der Startpunkt. Dieser ist mit $s_0$ zu berücksichtigen.

    Addieren wir alle Anteile, so ergibt sich die gesamte Wegstrecke zu einem bestimmten Zeitpunkt $s(t)$ in der Einheit $m$:

    $s(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0$.

    Mit dieser Formel kannst du nun die Strecke in Abhängigkeit von Anfangsgeschwindigkeit, Beschleunigung und Startpunkt angeben.

  • Bestimme den Verlauf von Strecke und Zeit im Diagramm.

    Tipps

    $ v = \frac{s}{t}$

    Die Steigung der Funktion $s(t)$ gibt die Geschwindigkeit der Bewegung an.

    Die Bewegung startet zum Zeitpunkt $t=0$ am Koordinatenursprung.

    Lösung

    Das Fließband soll sich mit einer Geschwindigkeit von $s \frac{m}{s}$ bewegen. Zusätzlich ist bekannt, dass diese Bewegung eine gleichförmige Bewegung sein soll. Die Geschwindigkeit verändert sich also nicht im Laufe der Zeit.

    Aus dem Verhältnis von Strecke in $m$ und Zeit in $s$ lässt sich zudem die Geschwindigkeit direkt ableiten. Diese ergibt sich nach $v = \frac{s}{t}$.

    In dem gezeigten Graphen verändert sich die Strecke immer um $4 m$ während einer Zeitspanne von $2s$. Wir setzen diese Größen in $v = \frac{s}{t}$ ein und erhalten $v = \frac{4m}{2s}= 2\frac{m}{s}$.

    Die Geschwindigkeit errechnet sich für dieses Diagramm zu $v = 2\frac{m}{s}$. Da dies genau die Vorgabe aus der Aufgabenstellung war, beschreibt diese Grafik den Zusammenhang zwischen Weg und Zeit des Fließbandes genau richtig.

  • Bestimme die Zusammenhänge zwischen den Variablen und Diagrammen.

    Tipps

    Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist $a=const.$

    Ist die Beschleunigung $a$ konstant, so verändert sich die Geschwindigkeit $v$ linear mit der Zeit $t$.

    Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit $v$ konstant. Das bedeutet, die Beschleunigung ist $a=0$.

    Lösung

    Die Zusammenhänge zwischen $s$, $v$ und $a$ wollen wir anhand einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung nachvollziehen.

    Wie der Name schon vermuten lässt, ist die Bewegung konstant beschleunigt, also $a=const.$. Nehmen wir einmal an, dass $a=2 \frac{m}{s^2}$ ist. Der Startpunkt sowie Startgeschwindigkeit sollen $s_0 = v_0 = 0$ sein. Eine Beschleunigung gibt an, wie viel schneller (oder langsamer) eine Bewegung im Laufe der Zeit wird. Die Geschwindigkeit $v$ kann also bei konstanter Beschleunigung $a$ nicht konstant sein. Tatsächlich wird sie nach der Gleichung $v= a \cdot t $ verändert. Es handelt sich hierbei um einen linearen Zusammenhang. Die Geschwindigkeit verläuft also geradlinig im $v(t)$-Diagramm. Zuletzt betrachten wir den Verlauf der Strecke etwas genauer. Da die Geschwindigkeit mit der Zeit immer größer wird, wird auch die Strecke immer größer. Es gilt hier $ s(t) = \frac{1}{2}\cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0$ oder mit $s_0 = 0$ und $v_0 = 0$: $ s(t) = \frac{1}{2}\cdot a \cdot t^2 $. Der Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Strecke ist dementsprechend quadratisch. Aus diesem Grund verläuft das Diagramm der Strecke über die Zeit bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung parabelförmig.

    Setzen wir nun ein paar Werte für $t$ zur Überprüfung ein. Für $t=1s$ ergibt sich $ s(1s) = \frac{1}{2}\cdot 2\frac{m}{s^2} \cdot (1s)^2 = 1m $. Setzen wir nun $t=3s$ ein, so ergibt sich $ s(3s) = \frac{1}{2}\cdot 2\frac{m}{s^2} \cdot (3s)^2 = 9m$.

    Diese Berechnungen passen genau auf die Funktion von $s(t)$, die hier abgebildet ist.

  • Bestimme, was eine gleichförmige Bewegung ist.

    Tipps

    An einem Fließband lässt sich die gleichförmige Bewegung gut nachvollziehen.

    Nimmt die Geschwindigkeit mit der Zeit zu, so handelt es sich um eine beschleunigte Bewegung.

    Lösung

    Die gleichförmige Bewegung oder unbeschleunigte Bewegung ist eine lineare Funktion im Zeit-Weg-Diagramm.

    Innerhalb eines bestimmten Zeitraumes $\Delta t = t_2 - t_2$ wird dabei immer die gleiche Strecke $\Delta s = s_2-s_1$ zurückgelegt. Die Geschwindigkeit ist definiert als die Strecke, die innerhalb eine bestimmten Zeit zurückgelegt wird. Es gilt also $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$. Bei einem konstanten Verhältnis von zurückgelegter Strecke und Zeit ergibt sich also eine gleich bleibende Geschwindigkeit $v = const.$.

    Bei einer konstanten Geschwindigkeit muss die Beschleunigung $a = 0$ sein. Denn die Beschleunigung verändert die Geschwindigkeit ja. Wenn du etwa auf dem Rad sitzt und die Bremse betätigst, wird die Geschwindigkeit verringert. Es wirkt dann eine Bremsbeschleunigung, die deine Fahrt verlangsamt.

    Zusammenfassend können wir bestimmen, dass eine gleichförmige Bewegung dann vorliegt, wenn die Geschwindigkeit $v$ konstant ist. Da bedeutet auch, dass die Beschleunigung $a=0$ ist und die Strecke $s$ in einem linearem Zusammenhang zur vergangenen Zeit $t$ steht. Ein gutes Beispiel für eine gleichförmige Bewegung ist etwa ein Fließband, da dieses immer die gleiche Geschwindigkeit hat.

  • Berechne die zurückgelegte Strecke $s(t)$.

    Tipps

    Beachte die zurückgelegt Strecke zum Zeitpunkt $t =0$.

    Die Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt ist ebenfalls zu berücksichtigen.

    Es gilt $ s(t) = s_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.

    Lösung

    Für die gesamte zurückgelegte Strecke gilt die gezeigte Formel.

    Darin ist $s_0$ die Strecke, welche zum Startzeitpunkt bereits zurückgelegt wurde. Diese entspricht dem y-Achsenabschnitt im Diagramm. Die Startgeschwindigkeit ist mit $v_0$ angegeben. Zudem ist die Beschleunigung $a$ in der Formel enthalten. Die variable Größe ist mit $t$ angegeben.

    Setzen wir nun die Größen aus der Aufgabenstellung ein, so ergibt sich mit $s_0 = 100m$, $v_0 = 2 \frac{m}{s}$, $a = 0,8 \frac{m}{s^2}$. und $t = 10s$:

    $s(t) = s_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = s(t) = 100m + 2 \frac{m}{s} \cdot 10s + \frac{1}{2} \cdot 0,8 \frac{m}{s^2} \cdot 10s^2 = 160 m$.

    Die gesuchte Strecke beträgt also $s = 160 m$.

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