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Schätzen

Erfahre, wie man in Mathe schnell und einfach eine ungefähre Lösung findet. Schätzen spart Zeit, erfordert Erfahrung und Vorwissen. Aber Vorsicht: Es ist keine exakte Methode! Bist du interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Team Digital
Schätzen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Schätzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schätzen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Schätzen.

    Tipps

    Willst du entscheiden, ob du eine genaue Berechnung oder eine Schätzung durchführst, musst du abwägen, ob die Genauigkeit der Bestimmung oder der (Zeit-)Aufwand wichtiger ist.

    Eine fehlerhafte Schätzung ist zwar unangenehm, aber keine Katastrophe.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind falsch:

    „Für das Schätzen brauchst du generell kein Vorwissen über die Eigenschaften der zu schätzenden Menge.“

    • Für eine gute Schätzung brauchst du unbedingt Vorwissen über den zu schätzenden Gegenstand. Je schlechter dein Wissen, desto ungenauer wird die Schätzung.
    „Schätzen dauert bedeutend länger als die genaue Berechnung.“

    • Schätzen geht sehr viel schneller als eine Berechnung. Darin liegt der große Vorteil dieses Verfahrens.
    „Den Unterschied zwischen tatsächlichem Wert und geschätztem Wert nennt man Schätzkatastrophe.“

    • Eine fehlerhafte Schätzung ist zwar unangenehm, aber keine Katastrophe. Musst du eine Zahl unbedingt genau wissen, solltest du nicht schätzen, sondern präzisere Verfahren anwenden.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Beim Schätzen handelt es sich um eine näherungsweise Bestimmung von Größen oder Anteilen.“

    „Schätzen ist nicht so präzise wie genaues Abzählen oder Ausrechnen.“

    • Willst du entscheiden, ob du eine genaue Berechnung oder eine Schätzung durchführst, musst du abwägen, ob die Genauigkeit der Bestimmung oder der (Zeit-)Aufwand wichtiger ist.
  • Beschreibe das Verfahren für eine Schätzung.

    Tipps

    Ein großer Schritt eines erwachsenen Menschen ist ungefähr einen Meter lang.

    Wenn auf jedem Quadratmeter $7$ Fledermäuse hängen, kannst du die Anzahl der Fledermäuse bestimmen, indem du das mit der Fläche der Decke multiplizierst.

    Lösung

    Die Lücken kannst du so füllen:

    „Zuerst bestimmt sie die Größe der Höhle. Dazu läuft sie die kürzere Seite der Höhle ab. Nach fünf großen Schritten erreicht sie die andere Wand. Die kürzere Seite ist also ungefähr $5~\text{m}$ lang. “

    • Ein großer Schritt eines erwachsenen Menschen ist ungefähr einen Meter lang.
    „Sie vermutet, dass die längere Seite der Höhle dreimal so lang ist wie die kürzere Seite. Das entspricht $15~\text{m}$.

    Damit bestimmt sie die Fläche der Decke zu: $75~\text{m}^2$.“

    • Die Fläche eines Rechtecks bestimmst du, indem du die Seitenlängen multiplizierst. $3~\text{m} \cdot 15 ~\text{m} =75~\text{m}^2$
    „Leuchtet sie die Decke der Höhle ab, sieht sie im Lichtschein ihrer Taschenlampe, der ungefähr $1 ~\text{m}^2$ groß ist, $7$ Fledermäuse.

    Damit schätzt sie die Anzahl der Fledermäuse ab. Es hängen ungefähr $525$ Fledermäuse an der Decke der Höhle.“

    • Wenn auf jedem Quadratmeter $7$ Fledermäuse hängen, kannst du die Anzahl der Fledermäuse bestimmen, indem du das mit der Fläche der Decke multiplizierst. Also $ 7 ~\frac{\text{Fledermäuse}}{\text{m}^2} \cdot 75~\text{m}^2 = 525 ~ \text{Flederm}\ddot{\text{a}}\text{use}$
  • Ermittle den Schätzwert.

    Tipps

    Mit folgenden Überlegungen kannst du die Höhe der Gebäude bestimmen. Moderne Häuser haben eine durchschnittliche Deckenhöhe von $3~\text{m}$, während Altbauten eine Deckenhöhe von ca. $4~\text{m}$ haben können.

    Du kannst annehmen, dass die Satellitenschüssel einen Meter hoch ist.

    Lösung

    Mit folgenden Überlegungen kannst du die Höhe der Gebäude bestimmen. Moderne Häuser haben eine durchschnittliche Deckenhöhe von $3~\text{m}$, während Altbauten eine Deckenhöhe von ca $4~\text{m}$ haben können. Dann multiplizierst du die Anzahl an Stockwerken mit der entsprechenden Deckenhöhe und addierst die Längen der Aufbauten. So erhältst du:

    „Ein modernes Haus hat $5$ Stockwerke und einen Dachstuhl, der ungefähr $3$ Meter hoch ist.“

    • Hier lautet die Rechnung $ 3~\text{m} \cdot 5 +3~\text{m}= 18~\text{m} $.
    „Ein altes Haus mit hohen Decken hat $4$ Stockwerke und einen wunderschönen, $5$ Meter hohen Dachstuhl.“

    • Hier kannst du folgendes rechnen: $ 4~\text{m} \cdot 4 +5~\text{m}= 21~\text{m} $.
    „Auf einem alten Haus mit $4$ Stockwerken und einen $5$ Meter hohen Dachstuhl wird eine Satellitenschüssel befestigt.“

    • Das alte Haus hat dieselben Maße wie das vorherige. Nimmt man eine Höhe von einem Meter für die Satellitenschüssel an, erhältst du eine Höhe von $22~\text{m} $.
    „Ein modernes $12$-stöckiges Hochhaus hat ein Flachdach und eine Radioantenne mit einer Länge von $4$ Metern.“

    • Hier lautet die Rechnung: $ 3~\text{m} \cdot 12 +4~\text{m}= 40~\text{m} $.
  • Ermittle die Anzahl durch Schätzung.

    Tipps

    Versuche, die Größe der Flächen zu schätzen. Anschließend kannst du die Anzahl der Münzen für einen Teilbereich der Flächen bestimmen und entsprechend hochrechnen.

    Das Quadrat mit den größeren Münzen hat weniger Münzen als das mit den kleineren Münzen.

    Lösung

    Betrachten wir zunächst die Flächen mit den großen Münzen.

    Versuche, die Größe der Flächen zu schätzen. Anschließend kannst du die Anzahl der Münzen für einen Teilbereich der Flächen bestimmen und entsprechend hochrechnen.

    • Das Dreieck hat am wenigsten Münzen. Es ist halb so klein wie das Quadrat.
    • Der Kreis hat mehr Münzen als das Dreieck, aber weniger als das Quadrat.
    • Die Fläche des Quadrats ist größer als die von Dreieck und Kreis.
    • Die Fläche des Rechtecks ist am größten. Zwei der vier Seitenlängen sind $50\%$ länger als die des Quadrats. Geht man von einer Seitenlänge $a$ beim Quadrat aus, so hat das Rechteck die Seitenlängen $a$ und $1,5\cdot a$. Die Fläche des Quadrats wäre demnach $A=a \cdot a = a^2$ und die Fläche des Rechtecks $A=a \cdot 1,5 \cdot a = 1,5 \cdot a^2$. Demnach passen $50\%$ mehr Münzen gleicher Größe auf die Fläche des Rechtecks.
    Nun musst du überlegen, wie du die Flächen mit den kleinen Münzen sortieren kannst.

    • Vier der kleinen Münzen sind so groß wie eine große. Deshalb passen viermal so viele Münzen auf das Quadrat und das Rechteck wie die großen Münzen.
    • Das Quadrat mit den kleinen Münzen beinhaltet daher den $4$-fachen Anteil an Münzen wie das Quadrat mit den großen Münzen, während das Rechteck mit den großen Münzen nur den $1,5$-fachen Anteil an Münzen wie das Quadrat mit den großen Münzen enthält.
    • Das Rechteck mit den kleinen Münzen enthält die größte Anzahl von Münzen. Hier ist die Fläche am größten und die Münzen am kleinsten, weshalb besonders viele darauf Platz finden.
  • Bestimme die Reihenfolge der Objekte und Lebewesen durch Schätzung.

    Tipps

    Ein Elefant ist leichter als eine Lokomotive.

    Ein Schiff ist schwerer als eine Lokomotive.

    Lösung

    Um eine Schätzung abzugeben, musst du dir überlegen, welches Volumen die Objekte haben. Das ist oft ein guter Anhaltspunkt für ihre Masse. Dann solltest du allerdings noch darüber nachdenken, welche Dichte die Objekte besitzen. Zwei gleich große Objekte können nämlich unterschiedlich schwer sein. Bei unseren Beispielen handelt es sich hauptsächlich um Körpermasse oder Metalle. Du kannst davon ausgehen, dass das gleiche Volumen an Metall schwerer ist als ein Körper.

    Mit diesen Überlegungen kannst du die Dinge bzw. Lebewesen so ordnen:

    • Eine Katze ist am leichtesten. Sie wiegt normalerweise ca. $4~\text{kg}$.
    • Man kann davon ausgehen, dass erwachsene Personen zwischen ungefähr $50~\text{kg}$ und $150~\text{kg}$ wiegen. Somit ist eine erwachsene Person schwerer als eine Katze, aber eindeutig leichter als ein Elefant.
    • Ein Elefant ist mit ungefähr $5000~\text{kg}$ leichter als eine Lokomotive, die ca. $36~\text{t}$ wiegt. Das entspricht $36.000~\text{kg}$.
    • Ein Schiff ist schwerer als eine Lokomotive. Je nach Größe kann es zwischen $50$ und $200~\text{t}$ wiegen.
    • Der Planet ist am schwersten. Unsere Erde hat beispielsweise ein Gewicht von $2,9 \cdot 10^{21}~\text{t}$
  • Entscheide, wann eine Schätzung durchgeführt werden kann.

    Tipps

    Überlege dir, wie wichtig die Genauigkeit der zu bestimmenden Größe ist. Kann ein großer Schaden entstehen, solltest du besser nicht schätzen.

    Lösung

    In diesen Situationen ist eine Schätzung unangebracht.

    „Ein Brückenbauer bestimmt die Statik seines neuesten Bauwerks.“

    • Stimmt etwas mit der Statik dieses Bauwerks nicht, könnte es einstürzen und erheblichen Schaden anrichten. Eine Schätzung ist hier also völlig unangebracht.
    „Ein Autobauer ermittelt den Bremsweg seiner neu entwickelten Autos.“

    • Auch hier kann bei einer fehlerhaften Berechnung Schaden angerichtet werden. Der Bremsweg eines Autos sollte genau bekannt sein. Ist er zu lang, kann das Auto im Notfall nicht rechtzeitig gebremst werden.
    Hier kannst du ohne Probleme schätzen.

    „Du hast deinen Wecker auf $8$ Uhr gestellt und berechnest vor dem Zubettgehen, wie lange du schlafen kannst.“

    „Der Veranstalter einer Demonstration möchte bestimmen, wie viele Menschen daran teilgenommen haben.“

    „Du kommst von einem Schulausflug zurück. Allerdings steht dein Bus im Stau und du versuchst, die Zeit zu berechnen, bis du wieder zu Hause bist.“

    • In diesen Situationen kann kein großer Schaden durch eine ungenaue Berechnung entstehen. Außerdem ist die exakte Berechnung nicht unbedingt notwendig. Um hier Ressourcen zu sparen, kann also ohne Probleme geschätzt werden.