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Runden – Einführung

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Team Digital
Runden – Einführung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Runden – Einführung

Inhalt

Was ist Runden?

Du hast bestimmt schon von runden Geburtstagen gehört. Damit meint man Geburtstage mit Zehnerzahlen als Alter, also den $10$. Geburtstag, den $20$., den $30$. und so weiter. Einen runden Geburtstag feierst du erst dann, wenn du die runde Zahl erreicht hast. Manchmal ist es praktisch, Zahlen, die von selbst gar nicht rund sind, durch runde Zahlen zu ersetzen. Das nennt man in der Mathematik runden. In diesem Video wird dir das Runden einfach erklärt.

Zahlen runden – Definition

Willst du für ein Kuchenrezept $429~\pu{g}$ Zucker abwiegen, so brauchst du eine sehr spezielle Waage. Die meisten Waagen zeigen das Gewicht nicht auf ein Gramm genau an. Die Zahlen auf der Waage zeigen dir, auf welche Stelle genau die Waage wiegt. Zeigt die Anzeige die Zahlen $400$, $500$, $600$ und so weiter an, so wiegt sie offenbar nur auf Hunderter genau. Um die $429~\pu{g}$ ungefähr auf der Waage zu finden, können wir die Zahl $429$ auf Hunderter runden.

Rundest du eine Zahl auf eine bestimmte Stelle, so ist immer die Ziffer an der nächstkleineren Stelle entscheidend. Liegt diese Ziffer zwischen $0$ und $4$, so wird abgerundet. Liegt die Ziffer zwischen $5$ und $9$, so wird aufgerundet. Beim Runden werden die Ziffern aller kleineren Stellen auf $0$ gesetzt, die Ziffern der größeren Stellen bleiben unverändert. Die Ziffer der zu rundenden Stelle wird beim Abrunden nicht verändert und beim Aufrunden um eins erhöht.

Beim Runden der Zahl $429$ auf Hunderter ist die Zehnerstelle entscheidend. Dort steht eine $2$, es wird also abgerundet. Das bedeutet: Die Einer- und Zehnerstelle werden auf $0$ gesetzt und die Hunderterstelle bleibt unverändert. Wir erhalten die Rundung:

$429 \approx 400$

Das Zeichen $\approx$ bedeutet, dass die beiden Zahlen nicht genau, sondern nur ungefähr übereinstimmen.

Zahlen runden – Beispiele

Wir runden das Gewicht $57.892~\pu{g}$ auf die Hunderterstelle. Entscheidend ist also die Zehnerstelle. Dort steht eine $9$, daher wird aufgerundet. Wir erhöhen die Ziffer an der zu rundenden Stelle – also an der Hunderterstelle – um eins von $8$ auf $9$. Die kleineren Stellen werden auf $0$ gesetzt, das sind hier die Einer- und Zehnerstelle.

Auf- und abrunden

Die größeren Stellen bleiben unverändert. Wir erhalten also die Rundung:

$57.892~\pu{g} \approx 57.900~\pu{g}$

Du kannst auch Dezimalzahlen (also Kommazahlen) runden. Die Regel ist dieselbe wie beim Runden ganzer Zahlen. Entscheidend ist wieder die nächstkleinere Stelle. Wir runden die Zahl $16,3$ auf Einer. Das ist praktisch, wenn es um Anzahlen geht. Schließlich kannst du schlecht $16,3$ Eier für ein Rezept abzählen. Beim Runden auf Einer ist die Zehntelstelle entscheidend. Dort steht die Ziffer $3$, daher wird abgerundet. Wir erhalten also die Rundung:

$16,3 \approx 16,0 = 16$

Wie viel ergibt sich, wenn wir die winzige Menge von $0,01955~\ell$ auf Tausendstel Liter genau abmessen? Beim Runden ist diesmal die Zehntausendstelstelle entscheidend. Dort steht die Ziffer $5$, sodass wir aufrunden müssen. Wir ersetzen also die Ziffer $5$ der Zehntausendstelstelle und die Ziffern aller kleineren Stellen durch $0$. Die Ziffer $9$ der Tausendstelstelle müssen wir um eins erhöhen und erhalten $10$. Wir erhalten an der Tausendstelstelle die Endziffer der $10$, also $0$, und in der Hundertstelstelle einen Übertrag von $1$. Dort wird also aus der Ziffer $1$ die Ziffer $2$. Wir erhalten also folgende Rundung:

$0,01955~\ell \approx 0,02~\ell$

Dieses Video

In diesem Video wird für die Grundschule verständlich erklärt, was Runden ist. Zu dem Video gibt es interaktive Übungen, in denen du das Runden gleich ausprobieren kannst.

Transkript Runden – Einführung

Ein runder Geburtstag vom erlauchten König steht an. Sein persönlicher Magier möchte ihm gerne eine Runde spendieren und eine angemessen hoheitsvolle Torte backen. Dafür muss er wohl oder übel sein Rezept anpassen. Die Magie des Rundens wird ihm dabei auf die Sprünge helfen. Als erstes braucht Oswald 429 Gramm hoch-konzentrierten Ork-Zucker. Auf der Waage stehen jedoch nur Angaben wie 300, 400 und 500 Gramm. Auf welche Stelle genau zeigt die Waage das Gewicht demnach an? Auf Hunderter genau! Die Zehner und Einer sind auf dieser Waage alle Null. Um trotzdem die 429 Gramm ungefähr auf der Waage wiederzufinden, runden wir 429 auf Hunderter. Dafür schauen wir immer die nächstkleinere Stelle an. Vom Hunderter aus ist das der Zehner. Diese Stelle entscheidet nun, ob wir aufrunden oder abrunden. Die Regel der Alt-Ehrwürdigen besagt: Abgerundet wird, wenn der Wert der entscheidenden Stelle zwischen null und vier liegt. Aufgerundet wird hingegen, wenn der entscheidende Stellenwert zwischen fünf und neun liegt. Hier steht an der entscheidenden Zehnerstelle eine Zwei. Daher runden wir ab. Die Hunderterstelle ändert sich beim Abrunden nicht und alle kleineren Stellen werden zu Null. Oswald nimmt also ungefähr 400 Gramm Ork-Zucker. Die nächste erlesene Zutat ist das Ameisenmehl. 57.892 Gramm sollen in den Teig. Für die Waage runden wir wieder auf Hunderter. Wir betrachten die nächstkleinere Stelle, also wieder den Zehner. Gemäß der Regel bedeutet eine 9, dass wir aufrunden. Die zu rundende Stelle, hier also die Hunderterstelle, wird beim Aufrunden immer "um Eins erhöht". Also wird 8 zu 9 aufgerundet. Die kleineren Stellen werden genauso wie beim Abrunden zu Null und die größeren Stellen, hier also der Tausender und der Zehntausender, werden einfach übernommen. Geschafft! Oswald gibt 57.900 Gramm Ameisenmehl in seine Teigschüssel. 16,3 abgestandene Kiwi-Eier? Na, gut! Ein Ei muss man teilen. Ups, kaputt! Vielleicht sollten wir die 16,3 auf eine ganze Zahl, also auf einer, runden! Die entscheidende, weil nächstkleinere, Stelle ist hier das Zehntel. Gemäß der Regel wird bei einer Drei abgerundet. Der Einer ändert sich beim Abrunden nicht, die kleinere Stelle wird zu NULL und die größere Stelle wird einfach übernommen. Es müssen also 16 Eier in den Teig. Jetzt noch etwas Krakensaft - genauer gesagt 0,01955 Liter. Auf dem passenden Messbecher kann Oswald immerhin auf Tausendstel genaue Literangaben ablesen. Darauf runden wir! Die entscheidende Stelle ist diesmal die Zehntausendstel-Stelle. Gemäß der Regel müssen wir bei einer Fünf aufrunden. Durch das Aufrunden wird die Tausendstel-Stelle "um Eins erhöht". Achtung - es entsteht ein Übertrag, den verrechnen wir mit der übernommenen größeren Stelle! Die kleineren Stellen setzen wir wieder auf Null. Das ergibt ungefähr 0,02 Liter Krakensaft. Jetzt fehlt nur noch Urgroßmutters Geheimzutat, die Segnung mit magischem Wolkenwasser. Während die Magie wirkt, fassen wir alles Wichtige zum Runden zusammen. Zuerst bestimmst du DIE Stelle, auf die gerundet werden soll. Die nächstkleinere Stelle - die Stelle rechts daneben - entscheidet, ob auf- oder abgerundet wird. Liegt sie zwischen Null und Vier, musst du abrunden. Bei Werten zwischen Fünf und Neun, musst du aufrunden. Beim Abrunden bliebe die zu rundende Stelle unverändert, aber beim Aufrunden wird sie "um eins erhöht". Die kleineren Stellen werden immer auf null gesetzt und die größeren Stellen kannst du einfach übernehmen. Außer wenn die zu rundende Stelle eine neun wäre, dann würde nämlich ein Übertrag entstehen! Vor dein gerundetes Ergebnis schreibst du immer ein Ungefähr-Zeichen. Manchmal ergibt das Runden richtig viel Sinn - aber manchmal auch nicht! Was duftet denn hier so gut? Eine wirklich herrliche Torte! Das war wohl eine Nullrunde.

34 Kommentare

34 Kommentare
  1. Mir hat es auch geholfen

    Von Laura, vor 8 Tagen
  2. Coole Übung

    Von Henry, vor 8 Tagen
  3. Gute Übung. Schön knifflig. Man strengt das Hirn an.

    Von Gayun, vor 15 Tagen
  4. ich Find es cool

    Von Kian, vor 15 Tagen
  5. ist perfekt

    Von Leonel, vor 28 Tagen
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Runden – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Runden – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Runden.

    Tipps

    Die Zahl $552$ gerundet auf Hunderter beträgt:

    $552 \approx 600$

    Rundest du $543$ auf Zehner, erhältst du:

    $543 \approx 540$

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Gerundet wird immer auf die Stelle der Hunderter.“

    • Du kannst auf alle Stellen der Zahl runden.
    „Ist die betrachtete Stelle (die Stelle, die um eins kleiner ist als die Stelle, auf die gerundet werden soll) eine $5$, dann wird abgerundet.“

    • Abgerundet wird, wenn diese Stelle eine $0$, $1$, $2$, $3$ oder $4$ ist. Bei allen anderen Zahlen, also auch der $5$, wird aufgerundet.
    „Abrunden bedeutet, dass von der Stelle, auf die gerundet werden soll, $1$ abgezogen wird.“

    • Beim Abrunden bleibt die Stelle, auf die gerundet werden soll, gleich.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Beim Runden schaut man sich immer die Stelle an, die um eine Größenordnung kleiner ist als die Stelle, auf die gerundet werden soll. Willst du auf die Hunderter runden, betrachtest du also die Zehner.“

    „Aufrunden bedeutet, dass zu der Stelle, auf die gerundet werden soll, $1$ addiert wird.“

    • Beide Aussagen beschreiben das korrekte Vorgehen beim Runden.
  • Gib die gerundeten Zahlen wieder.

    Tipps

    Beim Runden schaut man sich immer die Stelle an, die um eine Größenordnung kleiner ist als die Stelle, auf die gerundet werden soll. Willst du auf die Hunderter runden, betrachtest du also die Zehner. Ist diese Stelle eine $0,1,2,3$ oder $4$, musst du abrunden. Dabei bleiben die Stelle, auf die gerundet wird, und alle größeren Stellen gleich. Die kleineren Stellen werden zu $0$.

    Ist die betrachtete Stelle eine $5, 6, 7, 8$ oder $9$, musst du aufrunden. Dabei addierst du $1$ zu der Stelle, auf die gerundet wird. Die größeren Stellen bleiben gleich und die kleineren werden zu $0$.

    Willst du $198$ auf Zehner runden, betrachtest du zunächst die Einer. Dort steht eine $8$, also wird aufgerundet. Daher wird bei den Zehnern $+1$ gerechnet. Damit wird aus der $9$ auf der Zehnerstelle eine $10$. Den Übertrag verrechnest du mit den Hundertern:

    $198$ gerundet auf Zehner ergibt also $200$.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    Laut Rezept muss er $429~\text{g}$ Zucker zu seinem Teig hinzufügen. Da seine Waage nur Hunderterstellen anzeigt, muss er auf diese Stelle runden. Dazu betrachtet er die Zehner. Da diese Stelle $2$ beträgt, muss er abrunden. So erhält er:

    $429~\text{g}\approx400~\text{g}$

    • Beim Runden schaut man sich immer die Stelle an, die um eine Größenordnung kleiner ist, als die Stelle, auf die gerundet werden soll. Willst du auf die Hunderter runden, betrachtest du also die Zehner. Ist diese Stelle eine $0,1,2,3$ oder $4$, musst du abrunden. Dabei bleiben die Stelle, auf die gerundet wird, und alle größeren Stellen gleich. Die kleineren Stellen werden zu $0$.
    Die nächste Zutat sind $57892 ~\text{g}$ Mehl. Da er wieder dieselbe Waage verwendet, muss er auf die Hunderter runden. Hier wird also aufgerundet. Damit erhält er:

    $57892~\text{g}\approx 57900 ~\text{g}$

    • Ist die betrachtete Stelle eine $5, 6, 7, 8$ oder $9$, musst du aufrunden. Dabei addierst du $1$ zu der Stelle auf die gerundet wird. Die größeren Stellen bleiben gleich und die kleineren werden zu $0$.
    Danach soll er laut Rezept $16,3$ Eier hinzufügen. Da er nur ganze Einer besitzt, möchte er diese Zahl auf die Einer runden. Das ergibt:

    $16,3\approx16$

    Jetzt fehlen nur noch $0,01955$ Liter Saft. Diese Zahl möchte er auf die Tausendstel runden. Hier erhält er:

    $0,01955~\text{l}\approx0,02~\text{l}$

    Weil auf der Tausendstel-Stelle schon eine $9$ steht, wird diese durch Aufrunden zur $10$. Den Übertrag verrechnet er mit der Hundertstel-Stelle.

  • Ermittle, auf welche Stelle gerundet wurde.

    Tipps

    Willst du überprüfen, auf welche Stelle gerundet wurde, musst du die Zahlen vor und nach dem Runden vergleichen. Überlege dir, anhand welcher Stelle die Entscheidung zum Runden getroffen wurde.

    $342 \approx 300$

    Hier wurde die Entscheidung zum Runden anhand der $4$, also der Stelle der Zehner getroffen. Diese und alle kleineren Stellen wurden nach dem Runden zu null. Also wurde hier auf die Hunderter gerundet.

    Lösung

    Willst du überprüfen, auf welche Stelle gerundet wurde, musst du die Zahlen vor und nach dem Runden vergleichen. Frage dich: Nach welcher Stelle wurden alle Zahlen in null umgewandelt? Anhand welcher Stelle wurde die Entscheidung zum Runden getroffen?

    Zum Beispiel wurden bei

    $450 \approx 500$

    die Hunderter um $1$ erhöht und alle danach Stellen auf null gesetzt. Hier wurde also auf die Hunderter gerundet. Mit denselben Überlegungen kannst du die restlichen Zahlen zuordnen.

    Hier wurde auf Hunderter gerundet:

    • $450 \approx 500$
    • $3289 \approx 3300$
    • $179 \approx 200$
    • $449 \approx 400$
    Hier wurde auf Zehner gerundet:

    • $179 \approx 180$
    • $4531 \approx 4530$
    • $449,43 \approx 450,0$
    Bei dieser Zahl wurde anhand der $9$, also der Stelle der Einer die Entscheidung zu runden getroffen. Es wurde also auf die Zehner gerundet.

    Hier wurde auf Hundertstel gerundet:

    • $179,57 \approx 179,6$
    • $1,125 \approx 1,1$
    • $9,85 \approx 9,9$
  • Erschließe die gerundeten Zahlen.

    Tipps

    Ist die zu rundende Stelle eine $9$ und du rundest auf, musst du einen Übertrag schreiben. Denn $9+1=10$ und $10$ ist eine zweistellige Zahl. Willst du also $4599$ auf die Zehner runden, erhältst du:

    $4599\approx 4600$

    Hier wurde der Übertrag von $1$ zur nächsthöheren Stelle addiert.

    Lösung

    So kannst du die Tabelle vervollständigen:

    Um zu entscheiden, ob auf- oder abgerundet wird, betrachtest du immer die Stelle, die um eins kleiner ist als die Stelle, auf die gerundet werden soll. Ist die betrachtete Zahl eine $0,1, 2, 3$ oder $4$, rundest du ab. Dabei bleiben die Stelle, auf die gerundet wird, und alle größeren Stellen gleich. Die kleineren Stellen werden zu $0$.

    Rundest du also $4321$ auf Tausender, betrachtest du die Hunderter. Hier ist das eine $3$. Bei dieser Zahl rundest du ab. Also bleibt die $4$ beim Tausender stehen und alle anderen Zahlen werden zu $0$.

    $4321\approx 4000$

    Ist die betrachtete Zahl eine $5, 6, 7, 8$ oder $9$, rundest du auf. Dabei addierst du $1$ zu der Stelle, auf die gerundet wird. Die größeren Stellen bleiben gleich und die kleineren werden zu $0$.

    Soll also $5999$ auf Hunderter gerundet werden, betrachtest du die Zehner. Das ist hier eine $9$, also wird aufgerundet. Deshalb addierst du zur Hunderterstelle $1$, also

    $9+1=10$

    Da $10$ eine zweistellige Zahl ist, musst du einen Übertrag zur Tausenderstelle schreiben. Damit erhältst du also:

    $5999\approx 6000$

    So kannst du die ganze Tabelle vervollständigen:

    $\begin{array}{c|c|c|c} \textbf{Zahl} & \textbf{gerundet auf} & \textbf{gerundet auf} & \textbf{gerundet auf} \\ & \textbf{Tausender} & \textbf{Hunderter} & \textbf{Zehner} \\ \hline 4321 & 4000 & 4300 & 4320\\ 5999 & 6000 & 6000 & 6000\\ 9351 & 9000 & 9400 & 9350\\ 5956 & 6000 & 6000 & 5960\\ \end{array}$

  • Gib die zu betrachtende Stelle an.

    Tipps

    Um zu entscheiden, ob auf- oder abgerundet wird, betrachtest du immer die Stelle, die um eins kleiner ist als die Stelle, auf die gerundet werden soll.

    Willst du also auf die Tausender runden, musst du die Hunderterstelle anschauen.

    Die Einer sind die kleinste Stelle, bei der eine Zahl noch ganzzahlig ist. Die nächstkleinere Stelle gibt schon eine Dezimalzahl an.

    Lösung

    Um zu entscheiden, ob auf- oder abgerundet wird, betrachtest du immer die Stelle, die um eins kleiner ist als die Stelle, auf die gerundet werden soll. Damit ergibt sich:

    • Beim Runden auf Hunderter, betrachtest du die Zehner.
    • Betrachtest du die Zehner, rundest du auf die Hunderter.
    • Rundest du auf die Einer, schaust du auf die Zehntel.
    • Rundest du auf die Tausendstel, betrachtest du die Zehntausendstel.
  • Entscheide, welche der Aussagen zum Runden im Alltag korrekt sind.

    Tipps

    Du kannst immer nur so genau abmessen, wie die Skala deines Messgeräts erlaubt.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Du besitzt einen $200$ Zentimeter langen Meterstab, auf dem $10$-Zentimeter-Schritte eingezeichnet sind. Möchtest du damit Längen abmessen, musst du auf die Hunderter runden.“

    • Der Meterstab zeigt $10$-Zentimeter-Schritte an. Also musst du hier auf die Zehner runden.
    „Der Stadionsprecher im Fußballstadion gibt die Zuschauerzahlen als etwa $23000$ bekannt. Diese Zahl wurde auf Tausender gerundet. Also könnten zwischen $23000$ und $23499$ Zuschauer anwesend sein.“

    • Es könnte auch sein, dass die Zahl aufgerundet wurde. Also könnten zwischen $22500$ und $23499$ Zuschauer anwesend sein.
    „Wenn du deine Postleitzahl vergessen hast, kannst du diese einfach auf die Hunderter runden. Das ist genau genug.“

    • In diesem Fall hat es keinen Sinn zu runden. Eine Postleitzahl verliert jeden Informationsgehalt, wenn du sie rundest.
    Diese Aussagen sind korrekt:

    „Du hast einen $9$ Liter großen Messbecher, der eine Skala in Ein-Liter-Schritten hat. Möchtest du $4,4$ Liter abmessen, musst du auf die Einer runden.“

    • Du kannst immer nur so genau abmessen, wie die Skala deines Messgeräts erlaubt. Hier sind das Einer-Schritte.
    „Die Polizei misst die Geschwindigkeit von Autofahrern mit einem Gerät, das keine Nachkommastellen anzeigt und stattdessen rundet. Messen sie also einen Fahrer, der mit $59,8$ Stundenkilometer unterwegs ist, wird das als $60$ Stundenkilometer angezeigt.“

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