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Team Digital
Permutationen und Fakultät
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Grundlagen zum Thema Permutationen und Fakultät

Was sind Permutationen?

In Mathe kommen Permutationen zum Beispiel in der Kombinatorik vor. Sie werden auch in der Stochastik verwendet, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Permutationen sind Vertauschungen von Objekten. Das können z.B. Ziffern oder Zahlen sein – wie die Augenzahlen beim Würfeln oder Positionen in einer Reihenfolge. Man nennt dann auch jede solche Reihenfolge eine Permutation.

Permutationen – Definition

Setzen wir sieben Objekte in eine Reihe nebeneinander, so erhalten wir eine Reihenfolge oder Anordnung der Objekte. Vertauschen wir zwei Objekte, so ändert sich die Reihenfolge. Wir nennen jede Vertauschung eine Permutation der Objekte. Da durch jede Vertauschung eine neue Reihenfolge entsteht, nennt man manchmal auch die Reihenfolge oder Anordnung selbst Permutation.

Permutation, Anordnung, Umordnung, Reihenfolge, Vertauschung

Berechnet wird in Mathe meistens die Anzahl aller Permutationen – also die Anzahl aller möglichen, verschiedenen Vertauschungen bzw. aller möglichen verschiedenen Reihenfolgen. Setzen wir $7$ Plüschtiere in eine Reihe, so haben wir für die erste Position $7$ Tiere zur Auswahl. Ist die erste Position besetzt, so bleiben für die zweite Position nur noch $6$ Tiere zur Auswahl. Für die beiden ersten Positionen zusammen haben wir dann schon $7 \cdot 6 = 42$ verschiedene Möglichkeiten, die Plüschtiere zu setzen. Weiter geht's: Für die dritte Position sind nur noch $5$ Tiere zur Auswahl, für die vierte Position nur noch $4$. Für die fünfte Position bleiben $3$ Tiere, für die sechste Position $2$ Tiere. Das letzte verbleibende Plüschtier muss auf die einzige noch freie Position. Wir haben also für das siebte Plüschtier keine Wahl mehr, sondern nur noch $1$ Möglichkeit.

Die Anzahl aller Möglichkeiten, die Plüschtiere in eine Reihe zu setzen, ist das Produkt der Anzahlen der Möglichkeiten für die einzelnen Positionen, also $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$. Wir schreiben das so:

$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$

Das Ausrufezeichen heißt in Mathe „Fakultät“. Die Zahl $7!$ – sprich: „$7$ Fakultät“ – ist also die Anzahl aller verschiedenen Anordnungen von $7$ Objekten – z.B. Plüschtieren – in einer Reihe. In diesem Fall gibt es also $5040$ verschiedene Möglichkeiten, die Plüschtiere zu sortieren.

Für eine beliebige natürliche Zahl $n$ ist $n!$ die Anzahl der Permutationen von $n$ Objekten. Als Formel sieht das so aus:

$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Man sagt auch, $n!$ ist die Anzahl der Permutationen einer $n$-elementigen Menge.

Permutationen – Beispiele

Die Anzahl $n!$ der Permutationen von $n$ Elementen kommt in verschiedenen Situationen vor: Zieht man $7$ Objekte aus einer Box – in der Stochastik sagt man auch: aus einer Urne – so gibt es für die erste Ziehung $7$ Möglichkeiten. Legt man das gezogene Objekt nicht in die Box zurück, so gibt es für die zweite Ziehung nur noch $6$ Möglichkeiten, denn es befinden sich nur noch $6$ Objekte in der Box. Für die dritte Ziehung gibt es dann nur noch $5$ Möglichkeiten und so weiter. Die Anzahl aller verschiedenen möglichen Ziehungen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge ist dann:

$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Eine Permutation der $7$ Objekte kommt also auch beim Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge zustande.

Verteilt man $7$ Objekte auf $7$ Boxen so, dass jede Box genau ein Objekt erhält, so gibt es wieder $7!$ verschiedene solche Verteilungen: Denn für das erste Objekt hat man $7$ Boxen zur Auswahl, für das zweite nur noch $6$, für das dritte $5$ usw. Die Anordnung der Auswahl der Boxen ist also wieder eine Permutation.

Permutationen – Zusammenfassung

In diesem Video wird der Begriff der Permutation verständlich erklärt. Du erfährst, wie man die Anzahl von Permutationen ausrechnet, und was das mit Anordnungen, Reihenfolgen und dem Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge zu tun hat.

Transkript Permutationen und Fakultät

Es ist Sommerzeit und dutzende Obstsorten sind erntereif. Was man damit alles machen kann? Genau, Marmelaaade. Dass man mit den bunten Gläsern auch richtig toll „Permutationen und Fakultät“ untersuchen kann, schauen wir uns jetzt an. Stell dir vor, du hast verschiedene Marmeladen selbst gekocht oder geschenkt bekommen und möchtest jetzt ein Glas jeder Sorte ins Regal stellen. Wie kann man die Gläser ordnen? Da gibt's bestimmt zwanzig verschiedene Möglichkeiten. Oder noch mehr? Was schätzt du? Fangen wir mal ganz einfach mit einer kleinen Menge an, also M gleich zwei Gläser. Die beiden Gläser können wir auf zwei Arten anordnen. Das notieren wir uns kurz. Kommt nun ein drittes Glas hinzu, gibt es schon vier Möglichkeiten. Nein, Moment sechs Möglichkeiten! Noch ein Glas mehr, und wir haben schon vierundzwanzig Anordnungsmöglichkeiten! Wow, dann schauen wir mal, wie viele Möglichkeiten wir für unsere fünf Gläser finden. Die wollen wir natürlich nicht alle ausprobieren. Stattdessen betrachten wir die Positionen und nehmen uns das erste Glas zur Hand. Wir haben fünf Möglichkeiten, wo wir das erste Glas hinstellen können. Sagen wir mal, es soll hier stehen. Beim nächsten Glas haben wir dann nur noch vier Möglichkeiten. Es kommt einfach mal hier hin. Dann haben wir beim nächsten Glas noch drei mögliche Positionen. Danach noch zwei und beim letzten Glas haben wir eigentlich gar keine Wahl mehr. Wenn wir die Anzahl aller Möglichkeiten mathematisch ausrechnen wollen, müssen wir die Auswahlmöglichkeiten für jedes einzelne Glas multiplizieren. Zuerst hatten wir fünf Platzierungsmöglichkeiten. Danach vier, dann drei, zwei und am Ende nur noch eine Möglichkeit. Wir schreiben hier „P“ für Permutation. Der Begriff leitet sich von dem lateinischen Verb „permutare“ ab, was „tauschen“ bedeutet. Eine Permutation ist nichts anderes als eine Anordnungsmöglichkeit. Die Anzahl der Elemente, die wir ordnen wollen, schreiben wir unten an das P. Genauso können wir es auch für die vier Gläser ausrechnen und kommen auf vierundzwanzig Anordnungsmöglichkeiten, beziehungsweise vierundzwanzig Permutationen. Bei fünf Elementen sind es sogar schon einhundertzwanzig! Da hätten wir ja lange gesessen, um alle Möglichkeiten auszuprobieren. Gut, dass wir eine Abkürzung gefunden haben. Apropos Abkürzung: In der Mathematik liebt man Abkürzungen, weshalb dieses Produkt auch so geschrieben werden kann. Diese Schreibweise wird Fakultät genannt. Das Zeichen findest du sicher auch auf deinem Taschenrechner. „Fünf Fakultät“ sind also einhundertzwanzig. Wenn wir zu unseren fünf Gläsern ein sechstes Glas hinzustellen wollen, haben wir dafür sechs verschiedene Möglichkeiten. Das bedeutet, unsere Anzahl der Permutationen wird mit sechs multipliziert. Das entspricht schon siebenhundertzwanzig Möglichkeiten! Für „n“ Elemente gibt es „n“ Fakultät mögliche Permutationen, also „n“ mal „n minus eins“ mal „n minus zwei“ bis wir dann wieder bei zwei mal eins angekommen sind. In anderen Worten: Man kann eine Menge mit n verschiedenen Elementen auf „n Fakultät“-fache Weise anordnen. Hat es eigentlich eine Auswirkung auf die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten, wenn ein Glas doppelt vorkommt? Oh ja! Das sehen wir schon an unserem Beispiel mit drei Gläsern. Wenn zwei davon nun nicht unterscheidbar, also identisch sind, sind auch diese Anordnungen identisch. Das heißt, wir haben statt sechs nur noch drei Anordnungsmöglichkeiten. Weil wir also die Permutationen, die mehrfach auftreten herausrechnen müssen, teilen wir durch deren Anzahl. Und wenn bei unseren fünf Marmeladengläsern dreimal Kirsche dabei ist, berechnet sich die Anzahl an Permutationen als „fünf Fakultät“ durch „drei Fakultät“ und das ergibt zwanzig verschiedene Anordnungsmöglichkeiten. Unten am P steht also wieder die Anzahl aller Elemente, die vorhanden sind und oben steht die Anzahl der Elemente, die identisch sind. Und was ist, wenn mehrere Sorten doppelt oder mehrfach auftreten? Wenn wir beispielsweise bei acht Gläsern dreimal Kirsche, zweimal Kiwi und zweimal Aprikose haben, rechnen wir „acht Fakultät“ durch „drei Fakultät“ mal „zwei Fakultät“ mal „zwei Fakultät“ und kommen auf Eintausend sechshundertachtzig mögliche Anordnungsmöglichkeiten. Durch Ausprobieren hätten wir das sicher nicht herausgefunden. Bevor wir jetzt aber noch mehr Hunger auf Marmeladenbrötchen bekommen, fassen wir kurz zusammen. Eine Permutation ist nichts anderes als eine Anordnungsmöglichkeit von Elementen. Wir unterscheiden dabei zwischen Permutationen mit einfach auftretenden Elementen und Permutationen mit mehrfach auftretenden Elementen. Im ersten Fall wird eine Menge mit „n unterscheidbaren Elementen“ betrachtet. Sie besitzt „n Fakultät“ verschiedene Permutationen. Im anderen Fall geht es um Permutationen, bei der von den „n Elementen“ einer Menge „k Elemente“ identisch sind. Die Anzahl der möglichen Permutationen berechnet sich dann nach „n Fakultät“ durch „k Fakultät“. Gibt es mehrere Gruppen identischer Elemente, dann muss auch durch mehrere verschiedene „k Fakultäten“ geteilt werden. Jetzt hast du hoffentlich deine Marmelade im Griff, dass dir sowas nicht mehr passiert!

4 Kommentare
4 Kommentare
  1. ne 120 Möglichkeiten 2 3 4 5 2 mal 3 ist gleich 6 I 6 mal 4 ist gleich 24 I
    2 6 24 120 24 mal 5 ist gleich 120 I und immer so weiter
    so einfach ist das. Viel Glück noch beim lernen :)

    Von Bienchen, vor etwa einem Jahr
  2. ich schätze 100 Möglichkeiten

    Von Janek, vor mehr als einem Jahr
  3. nice

    Von Janek, vor mehr als einem Jahr
  4. nice

    Von Skwara, vor mehr als einem Jahr

Permutationen und Fakultät Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Permutationen und Fakultät kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Text zu Permutationen.

    Tipps

    Es gibt $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ Möglichkeiten, um vier verschiedene Bilder nebeneinander an eine Wand zu hängen.

    Wenn eine Menge identische Elemente enthält, dann können wir Anordnungen, in denen diese vertauscht sind, nicht voneinander unterscheiden. Es ergeben sich daher weniger verschiedene Anordnungsmöglichkeiten.

    Lösung

    Eine Permutation ist eine Anordnungsmöglichkeit von Elementen. Das Wort kommt vom lateinischen permutare, was vertauschen bedeutet. Wenn wir also die Anzahl der Permutationen bestimmter Elemente berechnen, dann bestimmen wir, wie viele unterschiedliche Anordnungsmöglichkeiten dieser Elemente wir durch Vertauschung der Elemente erhalten.

    Neben der Anzahl der Elemente müssen wir dabei noch beachten, ob es identische Elemente gibt, die nicht unterscheidbar sind:

    • Eine Menge mit $n$ verschiedenen Elementen besitzt genau $P_{n} = n!$ verschiedene Permutationen.
    Zum Beispiel gibt es $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ Möglichkeiten, um vier verschiedene Bilder in vier Räumen aufzuhängen.
    • Sind unter den $n$ Elementen einer Menge $k$ Elemente identisch, dann besitzt die Menge genau
    $P_{n}^{k} = \dfrac{n!}{k!}$ verschiedene Permutationen. Wenn zum Beispiel unter den vier Bildern zwei gleiche Fotos sind, dann reduziert sich die Anzahl der Möglichkeiten, die Bilder in den vier Räumen anzuordnen zu:
    $\dfrac{4!}{2!} = \dfrac{24}{2} = 12$ verschiedenen Permutationen.

  • Bestimme die Anzahl der Permutationen.

    Tipps

    Wenn es Elemente gibt, die wir untereinander nicht unterscheiden können, dann müssen wir die Vertauschungen dieser Elemente aus der Anzahl der Permutationen herausteilen.

    Beispiel: Wir können die Anzahl der Möglichkeiten, drei Blaubeer- und vier Schokoladen-Muffins in einer Reihe aufzustellen, mit der Formel

    ${\dfrac{7!}{3! \cdot 4!}}$ berechnen.

    Es gibt insgesamt $7$ Muffins, davon sind die $3$ Blaubeer- und die $4$ Schokoladen-Muffins untereinander identisch.

    Lösung

    Wir wollen die Anzahl der Permutationen, also der verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten, der Marmeladengläser bestimmen. Dazu müssen wir uns jeweils überlegen, wie viele Gläser wir insgesamt anordnen wollen und ob es unter den Gläsern Gruppen gibt, die untereinander identisch sind. Ist dies der Fall, so müssen wir durch die Vertauschungen innerhalb dieser Gruppen teilen. Es gilt:

    • Eine Menge mit $n$ verschiedenen Elementen besitzt $P_{n} = n!$ verschiedene Permutationen.
    • Eine $n$-elementige Menge mit $k$ identischen Elementen hat $P_{n}^{k} = \dfrac{n!}{k!}$ verschiedene Permutationen.
    • Eine $n$-elementige Menge mit mehreren Gruppen identische Elemente $k_1, k_2, ... k_i$ hat
    $P_{n}^{k_1, k_2, .. k_i} = \dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot ... \cdot k_i!}$ verschiedene Permutationen.


    Beispiel 1:
    fünf Gläser Marmelade, darunter dreimal Kirschmarmelade
    Es sind insgesamt $5$ Gläser. Darunter sind $3$ identisch.
    $\Rightarrow \quad \dfrac{5!}{3!}$

    Beispiel 2:
    ein Glas Kirschmarmelade, ein Glas Aprikosenmarmelade und ein Glas Kiwimarmelade
    Es sind $3$ verschiedene Gläser.
    $\Rightarrow \quad 3!$

    Beispiel 3:
    drei Gläser Kirschmarmelade, zwei Gläser Aprikosenmarmelade, zwei Gläser Kiwimarmelade und ein Glas Erdbeermarmelade
    Es sind $8$ Gläser. Darunter sind drei Gruppen mit $3$, $2$ und $2$ identischen Gläser.
    $\Rightarrow \quad \dfrac{8!}{3! \cdot 2! \cdot 2!}$

    Beispiel 4:
    fünf Gläser Marmelade
    Es sind fünf verschiedene Gläser.
    $\Rightarrow \quad 5!$

  • Entscheide, wer die meisten Möglichkeiten hat, seine Bücher im Regal zu platzieren.

    Tipps

    Überlege dir, wie viele Bücher die Freunde jeweils insgesamt haben.

    Beispiel:

    Wenn Rune $4$ blaue, $3$ grüne und ein weißes Buch hat, dann besitzt er insgesamt $4 + 3 + 1 = 8$ Bücher.

    Es gibt dafür $\dfrac{8!}{4! \cdot 3!} = 280$ Anordnungsmöglichkeiten, da wir die Vertauschungen der gleichfarbigen Bücher aus den $8!$ Anordnungen von $8$ Büchern herausrechnen müssen.

    Lösung

    Wenn Anni und ihre Freunde Bücher in einem Regal aufstellen, dann gibt es zunächst für $n$ Bücher $n!$ Anordnungsmöglichkeiten. Wenn es dabei $k$ Bücher gibt, die wir untereinander nicht unterscheiden können, dann müssen wir die Möglichkeiten herausrechnen, bei denen nur diese Exemplare vertauscht sind. Dazu teilen wir durch die möglichen Vertauschungen und erhalten: $\dfrac{n!}{k!}$ mögliche Anordnungen. Gibt es mehrere Gruppen solcher identischen Bücher $k_1, k_2, ... k_i$, dann müssen wir für jede dieser Gruppen dividieren:

    $\dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot ... \cdot k_i!}$.

    Betrachten wir die Büchersammlungen der vier Freunde:

    • Anni hat $15$ grüne und $5$ blaue Bücher. Das sind insgesamt $15 + 5 = 20$ Bücher, für die es:
    $\dfrac{20!}{15! \cdot 5!} = \color{#669900}{15\,504}$ Anordnungsmöglichkeiten gibt.
    • Ben hat $2$ rote, $3$ blaue und $7$ gelbe Bücher. Das sind insgesamt $2 + 3 + 7 = 12$ Bücher, für die es:
    $\dfrac{12!}{2! \cdot 3! \cdot 7!} = \color{#669900}{7920}$ Anordnungsmöglichkeiten gibt.
    • Chen-Lu hat $5$ blaue, $5$ weiße, ein gelbes und ein grünes Buch. Das sind insgesamt $5 + 5 + 1 + 1 = 12$ Bücher, für die es
    $\dfrac{12!}{5! \cdot 5!} = \color{#669900}{33\,264}$ Anordnungsmöglichkeiten gibt.
    • Daja hat $50$ rote Bücher und ein weißes Buch. Das sind insgesamt $50 + 1 = 51$ Bücher, für die es
    $\dfrac{51!}{50!} = \color{#669900}{51}$ Anordnungsmöglichkeiten gibt.


    Es gilt:
    $51 \lt 7920 \lt 15\,504 \lt 33\,264$

    Damit hat Chen-Lu die meisten Möglichkeiten ihre Büchersammlung anzuordnen. Danach kommen Anni und Ben. Daja hat die geringste Anzahl an Möglichkeiten, obwohl sie insgesamt die meisten Bücher besitzt. Das liegt daran, dass sich ihre Bücher im Regal größtenteils nicht unterscheiden lassen.

  • Untersuche die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten.

    Tipps

    Anni ist nur die Anordnung der Farben wichtig. Die einzelnen Bücher einer Farbe unterscheidet sie dabei nicht.

    Anni hat Bücher in sechs verschiedenen Farben.

    Beispiel:

    Wenn Klaus seine Büchersammlung nach hohen und niedrigen Büchern sortiert, dann hat er nur zwei Möglichkeiten, sie auf dem Regalbrett zu präsentieren: die hohen Bücher rechts und die niedrigen links oder umgekehrt.

    Lösung

    Da Anni ihre Bücher der Farbe nach sortiert in das Regal stellen möchte, müssen wir hier die möglichen Anordnungen der Farben betrachten. Du kannst dir das so vorstellen, dass die Bücher einer Farbe einen festen Block bilden und wir nun diese Blöcke nebeneinander stellen.
    Anni hat Bücher in insgesamt sechs Farben: gelb, grün, blau, violett, rot und orange. Das macht insgesamt $6! = \color{#669900}{\mathbf{720}}$ Anordnungsmöglichkeiten. Da wir die Bücher einer Farbe untereinander nicht unterscheiden, müssen wir deren Vertauschungen nicht weiter berücksichtigen.

    Falsche Antworten:

    • $15!$ ist die Anzahl der Möglichkeiten, $15$ einzeln unterscheidbare Bücher anzuordnen.
    • $6$ ist die Anzahl der verschiedenen Farben, in denen Anni Bücher hat. Diese kann sie auf $6!$ unterschiedliche Weisen bei sich im Regal anordnen.
    • $\dfrac{15!}{3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 2! \cdot 2!} = 63\,063\,000$, also ca. $63~\text{Millionen}$ Anordnungsmöglichkeiten gäbe es, wenn wir nur die Anordnung der Farben von Annis Büchern betrachten. Dabei ist aber nicht berücksichtigt, dass Bücher derselben Farbe stets nebeneinander stehen sollen.
  • Gib die Werte für die Fakultät an.

    Tipps

    Es gilt:

    $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1$

    Beispiel:

    $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

    Lösung

    Bei der Berechnung von Anordnungsmöglichkeiten von Elementen, den Permutationen, tauchen häufig Terme der Form $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1$ auf. Diese können wir mit der sogenannten Fakultät mathematisch auch kürzer schreiben. Es gilt für $n!$, sprich "$n$ Fakultät":
    $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1$

    Das Symbol des Ausrufezeichens findest du wahrscheinlich auch auf deinem Taschenrechner. Damit ist auch die Berechnung der Werte schneller.

    $\begin{array}{c|l|r} \mathbf{Fakultät} & \text{Rechnung} & \mathbf{Ergebnis} \\ \hline 2! & 2 \cdot 1 & 2 \\ \hline 3! & 3 \cdot 2 \cdot 1 & 6 \\ \hline 5! & 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 & 120 \\ \hline 7! & 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 & 5040 \\ \hline 10! & 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 & 3\,628\,800 \\ \end{array}$

  • Berechne, wie viele Permutationen es gibt.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, was durch die Bedingungen festgelegt wird und was noch variabel ist.

    Beispiel:

    Die roten Kochbücher stehen nebeneinander.
    Die drei roten Bücher können nur als Block verschoben werden. Für sie gibt es daher $5$ mögliche Positionen im Regal. Es verbleiben das braune, das weiße und die zwei blauen Bücher, die an den vier freien Plätzen angeordnet werden: $\dfrac{4!}{2!} = 12$

    Insgesamt gibt es daher $5 \cdot 12 = 60$ Anordnungsmöglichkeiten.

    Lösung

    Wenn es zusätzliche Bedingungen für die Anordnung von Elementen, wie hier Frau Vivils Kochbüchern, gibt, dann müssen wir unsere Formel entsprechend an die Situation anpassen.

    Es gilt, die folgenden Kochbücher im Regal zu platzieren:

    • ein braunes Buch
    • ein weißes Buch
    • drei rote Bücher
    • zwei blaue Bücher

    Beispiel 1:
    Die blauen Kochbücher stehen ganz rechts.
    Die Position der beiden blauen Kochbücher ist hier fest vorgegeben. Wir müssen uns also nur darum kümmern, wie die verbleibenden $5$ Kochbücher angeordnet werden können.
    Es gibt $\dfrac{5!}{3!} = \color{#669900}{\mathbf{20}}$ Anordnungsmöglichkeiten.

    Beispiel 2:
    Das braune und das weiße Kochbuch stehen nebeneinander.
    Das braune und das weiße Kochbuch können nur zusammen als Block verschoben werden. Für diesen Block aus zwei Büchern gibt es $6$ mögliche Positionen, wobei die beiden Bücher stets vertauscht werden können: $6 \cdot 2 = 12$ mögliche Anordnungen.
    Die restlichen fünf Kochbücher werden jeweils auf den freien Plätzen im Regal platziert. Dafür gibt es: $\dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$ Möglichkeiten.
    Insgesamt erhalten wir somit:
    $12 \cdot 10 = \color{#669900}{\mathbf{120}}$ mögliche Anordnungen.

    Beispiel 3:
    Die beiden äußeren Bücher haben dieselbe Farbe.
    Es gibt hier zwei Varianten: Die beiden äußeren Bücher sind rot oder sie sind blau, da es je nur ein braunes und ein weißes Buch gibt, können diese nicht außen stehen. Betrachten wir also die beiden Fälle:

    • Die beiden äußeren Bücher sind blau:
    Es verbleiben das braune, das weiße und drei rote Bücher für die fünf Plätze in der Mitte: $\dfrac{5!}{3!} = 20$ mögliche Anordnungen.
    • Die beiden äußeren Bücher sind rot:
    Es verbleiben das braune, das weiße, ein rotes und zwei blaue Bücher für die fünf Plätze in der Mitte: $\dfrac{5!}{2!} = 60$ mögliche Anordnungen.

    Zusammen ergeben sich $20 + 60 = \color{#669900}{\mathbf{80}}$ Anordnungsmöglichkeiten.