Drehsymmetrie

Drehsymmetrie Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zur Drehsymmetrie.

  Tipps

  Dieses Kleeblatt ist drehsymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.

  $360^{\circ}$ ist eine komplette Drehung.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch.

  „Ist eine Figur nach einer Drehung um $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur, dann ist sie drehsymmetrisch.“

  • Laut Definition ist eine Figur drehsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um weniger als $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Denn jede Figur ist nach einer Drehung um $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.

  „Jede Figur ist nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.“

  • Nach einer Drehung um $360^{\circ}$ ist jede Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur. Nach einer Drehung um $180^{\circ}$ sind nur punktsymmetrische Figuren deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.

  Diese Aussagen sind richtig.

  „Die Drehung einer drehsymmetrischen Figur erfolgt immer um das Drehzentrum $Z$. Dieses kann innerhalb oder außerhalb der Figur liegen.“

  „Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist.“

  • Das ist die Definition einer punktsymmetrischen Figur.

  „Jede punktsymmetrische Figur ist drehsymmetrisch.“

  • Nach Definition ist eine Figur punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Eine Figur gilt hingegen als drehsymmetrisch, sobald sie nach einer Drehung von weniger als $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Da $180^{\circ}$ weniger als $360^{\circ}$ ist, ist jede punktsymmetrische Figur gleichzeitig eine drehsymmetrische Figur. Andersherum gilt dies jedoch nicht.

• Beschreibe die Drehsymmetrie von Figuren.

  Tipps

  Deckungsgleich bedeutet: in Form und Größe gleich.

  Eine Drehung um $120^{\circ}$ entspricht einem Drittel eines Kreises.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Dieses Kleeblatt ist drehsymmetrisch. Nach einer Drehung um weniger als $360^{\circ}$ ist es wieder deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.“

  • Das Kleeblatt erfüllt die obige Definition von Drehsymmetrie.

  „Die Drehung erfolgt immer um das Drehzentrum. Dieses ist hier gelb markiert.

  Dieses Kleeblatt ist nach einer Drehung um $120^{\circ}$ und $240^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.

  Dieses Kleeblatt ist punktsymmetrisch. Nach einer Drehung um genau $180^{\circ}$ ist es wieder deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.“

  • Das Kleeblatt erfüllt die obige Definition von Punktsymmetrie.

  „Auch hier wird um das gelb markierte Drehzentrum gedreht.

  Eine punktsymmetrische Figur ist immer drehsymmetrisch.“

  • Aufgrund der Definitionen von Drehsymmetrie (deckungleich nach Drehung um weniger als $360^{\circ}$) und Punktsymmetrie (deckungsgleich nach Drehung um genau $180^{\circ}$) sind punktsymmetrische Figuren immer drehsymmetrisch, aber nicht umgekehrt.

• Bestimme, ob diese Figuren drehsymmetrisch sind.

  Tipps

  Du kannst entscheiden, ob die Figuren drehsymmetrisch sind, indem du sie drehst. Das kannst du durch eine Zeichnung oder im Kopf durchführen.

  Anschließend entscheidest du, ob sie nach einer Drehung von weniger als $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der Ursprungsfigur sind.

  Lösung

  Du kannst entscheiden, ob die Figuren drehsymmetrisch sind, indem du sie drehst. Das kannst du durch eine Zeichnung oder im Kopf durchführen. Anschließend entscheidest du, ob sie nach einer Drehung von weniger als $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der Ursprungsfigur sind. So ermittelst du, dass diese Figuren nicht drehsymmetrisch sind:

  • Der Buchstabe L: Dieser wird erst nach einer Drehung von genau $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.

  • Das Dreieck: Auch dieses wird erst nach einer Drehung von genau $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der Ursprungsfigur. Nur ein gleichseitiges Dreieck ist auch drehsymmetrisch.

  Diese Figuren sind drehsymmetrisch:

  • Das Achteck kannst du in $45^{\circ}$-Schritten drehen. Dann ist es deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.

  • Die einem Rotor ähnliche Figur kannst du in $120^{\circ}$-Schritten drehen.

  • Das Blütenblatt kannst du ebenfalls in $45^{\circ}$-Schritten drehen. Dann ist es deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.

• Ermittle den Drehwinkel, bei dem die Figuren deckungsgleich mit der Ursprungsfigur sind.

  Tipps

  Kannst du eine Figur nur um $360^{\circ}$ drehen, sodass sie nach der Drehung deckungsgleich mit der Ursprungsfigur ist, dann ist die Figur nicht drehsymmetrisch.

  Lösung

  Du kannst die Drehwinkel der Schilder ermitteln, indem du sie so lange drehst, bis sie deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur sind. Ist der Winkel, um welchen du das Schild gedreht hast, kleiner als $360^{\circ}$, so ist das Schild drehsymmetrisch. Ein Schild kann auch mehrere Drehwinkel besitzen. Die Drehung kannst du entweder durch eine Zeichnung oder im Kopf durchführen.

  • Das Schild „absolutes Halteverbot“ (rotes Kreuz auf blauem Grund mit rotem Rand) kannst du um die Winkel $90^{\circ}$, $180^{\circ}$ und $270^{\circ}$ drehen.

  • Das Schild „eingeschränktes Halteverbot“ (roter Strich auf blauem Grund mit rotem Rand) kannst du um den Winkel $180^{\circ}$ drehen.

  • Das Schild „Vorfahrt gewähren“ (weißes Dreieck mit rotem Rand) kannst du um $120^{\circ}$ und $240^{\circ}$ drehen.

  • Das Schild „vorgeschriebene Vorbeifahrt“ (weißer Pfeil auf blauem Grund) kannst du nur um $360^{\circ}$ drehen. Es ist somit nicht drehsymmetrisch.

• Gib die Definitionen von Punkt- und Drehsymmetrie wieder.

  Tipps

  Das linke Kleeblatt ist nach einer Drehung um $120^{\circ}$ und $240^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.

  Das rechte Kleeblatt ist nach einer Drehung um $180^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.

  Lösung

  • Das linke Kleeblatt ist drehsymmetrisch, da es nach einer Drehung um $120^{\circ}$ und $240^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur ist. Drehsymmetrische Figuren sind nicht immer punktsymmetrisch. Dieses Kleeblatt ist es beispielsweise nicht.

  • Das rechte Kleeblatt ist punktsymmetrisch, da es nach einer Drehung um $180^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur ist. Es ist auch drehsymmetrisch, da diese Eigenschaft auch der Definition von Drehsymmetrie genügt.

• Ermittle die Koordinaten der gedrehten Punkte.

  Tipps

  In der Abbildung kannst du die Drehung des Punktes $C$ sehen.

  Lösung

  Einen Punkt $P$ kannst du um $90^{\circ}$ um ein Drehzentrum $Z$ drehen, indem du zunächst eine Strecke zeichnest, die die Punkte $P$ und $Z$ verbindet. Anschließend zeichnest du eine Strecke vom Punkt $Z$ ein, die mit einem Winkel von $90^{\circ}$ im Uhrzeigersinn zur Strecke $\overline{PZ}$ steht. Die Länge deiner neuen Strecke ist gleich der Strecke $\overline{PZ}$. Der Punkt $P'$ befindet sich nun am Ende deiner neuen Strecke.

  Führst du die Drehung wie angegeben durch, dann erhältst du folgende Punkte:

  $A'(3\vert 0)$,

  $B'(6\vert 0)$ und

  $C'(5\vert 5)$.