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Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell

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Jakob Köbner
Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell

In diesem Video stelle wir dir die Schrödingergleichung vor, eine der wichtigsten Gleichungen der Quantenmechanik. Sie beschreibt, wie sich der Quantenzustand eines physikalischen Systems mit der Zeit ändert. Du lernst die Gleichung in ihrer einfachsten Form kennen. Danach nehmen wir unter die Lupe, wofür die einzelnen in ihr enthaltenen Terme stehen, und sehen uns an einem einfachen Beispiel an, wie man mit Hilfe der Schrödingergleichung die Lösung für die zeitliche Entwicklung eines Systems findet.

Transkript Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell

Hallo und herzlich Willkommen zu Physik mit Kalle!

Wir beschäftigen uns heute aus der Atom- und Kernphysik mit der Schrödingergleichung. Die Schrödingergleichung ist mit ziemlicher Sicherheit das ekeligste Stück Physik, das ihr in eurer Schullaufbahn zu sehen bekommt. Seid also nicht verwundert, wenn ihr nicht gleich alles versteht. Ich empfehle euch auf jeden Fall, euch vorher die Videos über das quantenphysikalische Atommodell und die Wellenfunktionen anzusehen. Dann wollen wir mal.

Die Schrödingergleichung

Wir lernen heute, was die Schrödingergleichung ist, wie ihr Ansatz lautet und wie man ihre Lösungen findet. Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger, hier seht ihr ein Bild von ihm, aufgestellt. Sie beschreibt, wie sich der Quantenzustand eines physikalischen Systems mit der Zeit ändert. Mehr dazu gleich. Ihre Lösungen sind Wellenfunktionen. Um es genau zu sagen, sind es eigentlich die Wellenfunktionen, die beschreiben, wie sich der Quantenzustand eines Systems ändert und die Schrödingergleichung sagt, welchen Bedingungen diese Funktionen genügen müssen. Die Schrödingergleichung ist also eine Gleichung, die mir wieder eine Gleichung ausspuckt, nämlich die, die mein System beschreibt.

Der Eψ=Hψ Ansatz

Wie sieht denn aber nun diese Gleichung aus? Nach reiflicher Überlegung habe ich mich für den leichtesten Ansatz entschieden. Und der lautet: Eψ=Hψ. Dabei ist E die Gesamtenergie des von mir betrachteten Systems und H der sogenannte Hamiltonoperator, der mein System beschreibt. Damit ihr eine Vorstellung bekommt, wie das dann ausgeschrieben aussieht: E=ih(quer)×d/dt, also eine Ableitung nach der Zeit. Und der Hamiltonoperator H=h(quer)2/2m×(Nabla)2+V. Dieses auf dem Kopf stehende Dreieck, der Nabla-Operator, ist eine Ableitung nach dem Ort.

Insgesamt steht der 1. Teil des Hamilton-Operators für die kinetische Energie und das V für die wirkenden Potenziale. Und jetzt versteht ihr vielleicht, warum der Hamilton-Operator mein System beschreibt. Habe ich ein Teilchen, kenne seine kinetische Energie und alle auf es wirkenden Potenziale, dann habe ich alles, was ich benötige, um auszurechnen, was passiert. Die unter V zusammengefassten Potenziale können natürlich alles mögliche sein: Ein elektisches Feld, ein Gravitationsfeld oder ein sich mit der Zeit änderndes magnetisches Feld.

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung

Wenn sich meine Potenziale aber nicht mit der Zeit ändern, also nicht von t abhängen, dann erhalte ich einen Sonderfall, die sogenannte zeitunabhängige Schrödingergleichung. Sie lautet: (h(quer)2/2m)×ψ''+(E-Epot)×ψ=0
Mit dieser Gleichung kann man nun also eine Wellenfunktion bestimmen, die die zeitliche Entwicklung meines Systems vollständig beschreibt. Dies kann man aber in den meisten Fällen sowieso nicht auf dem Papier oder mit dem Taschenrechner rechnen. Man braucht dafür Computer, die sogenannte numerische Lösungswege benutzen.

Eine Anwendung der Schrödingergleichung, die euch aber vielleicht auch in der Schule begegnen könnte, wollen wir uns nun im nächsten Kapitel ansehen. Wir erinnern uns: Die Lösungen der Schrödingergleichung beschreiben die Entwicklung von Quantenzuständen. Sie müssen allerdings auch vom System abhängige Randbedingungen erfüllen.

Der eindimensionale lineare Potenzialtopf

Als Beispiel wollen wir uns dafür einmal den eindimensionalen linearen Potenzialtopf ansehen. Wir betrachten einen Potenzialtopf der Länge L, für den gelten soll: Außerhalb des Topfes ist das Potenzial unendlich, innerhalb des Topfes ist es gleich 0. Da unser Teilchen sich natürlich nicht im Rand des Topfes aufhalten kann, gilt: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψrand|^2=0.

Wie ihr euch wahrscheinlich schon denkt, kann man die Wellenfunktion des Teilchens, eine stehende Welle, gut mit einer Sinusfunktion beschreiben. Wichtig ist dabei nur, dass 2 Knotenpunkte, also 2 Nullstellen, am linken und am rechten Rand sein müssen. Wie ihr seht, kann ich dafür gleich verschiedene Lösungsvorschläge einzeichnen. Wir können also gleich einen Vorschlag für die Wellenfunktion angeben: ψ=A×sin(k×r) r ist der Ort und ich setze gleich einmal den Nullpunkt praktischerweise in den linken Rand meines Potenzialtopfes. Da ich am Ende des Topfes wieder eine Nullstelle haben muss, kann ich schreiben: sin(k×L)=0 Da der Abstand zwischen den Nullstellen der Sinusfunktion immer π beträgt, kann ich also sagen: k×L=n×π
Und das kann ich einfach umformen zu k=(n×π)/L des Potenzialtopfes.

Berechnung der Energieniveaus

Man könnte nun mit Hilfe der Schrödingergleichung beweisen, dass das ψ, das wir vorgeschlagen haben, eine korrekte Lösung ist und mein System richtig beschreibt. Das wollen wir hier aber nicht tun. Wir wollen statt dessen die Energieniveaus für die verschiedenen n-Werte ausrechnen. Unsere zeitunabhängige Schrödingergleichung lautete: (h(quer)2/2m)×ψ''+(E-Epot)×ψ=0 Da wir ja gesagt hatten, im Potenzialtopf soll v'=0 sein, ist die potenzielle Energie also gleich 0. Und damit wir sie fürs Einsetzen gleich richtig dastehen haben, wollen wir noch kurz ψ und die 2. Ableitung von ψ aufschreiben: ψ=A×sin((n×π)/L×r) und ψ''=A×(-sin((n×π)/L×r))×(n2×π2)/L2 So, dann machen wir kurz oben sauber und dann können wir unsere Rechnung schon zu Ende bringen. Wir setzen ein. ψ'' hat ein Minus als Vorzeichen und kommt daher auf die andere Seite des Istgleich-Zeichens. Und so erhalten wir: h(quer)2/2m×A×(n2×π2)/L2×sin((n×π)/L×r)=Eges×A×sin((n×π)/L×r) Wir klammern die Sinusfunktion aus und erhalten: A×sin((n×π)/L×r)=(h(quer)2/2m×(n2×π2)/L2-Eges)=0 Damit das erfüllt ist, muss, da der Sinus nicht immer 0 ist, unser Term in der Klammer immer 0 sein. Und damit rechnen wir weiter. Dieser Term ist nämlich immer dann 0, wenn: Eges=h(quer)2/2m×(n2×π2)/L2

Und damit sind wir auch schon fast am Ende. Mit h(quer)=h/2π können wir das Ganze noch ein wenig vereinfachen. Heraus kommt dann, die Energie ist gleich h2/(8m×L2)×n2. Wir erinnern uns an vorhin. Je größer das n ist, desto kleiner ist Wellenlänge unserer stehenden Welle. Und an dieser Formel können wir sehen, je kleiner unsere Wellenlänge ist, desto höher ist unsere Energie. Diese steigt nämlich nicht nur mit n, sondern sogar mit n2.

Zusammenfassung

Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Mit Hilfe der Schrödingergleichung lassen sich die Wellenfunktionen ψ finden, die die Zustandsänderungen eines System beschreiben.

Die einfachste Form der Schrödingergleichung lautet: Eψ=Hψ. Dabei ist E der Energieoperator und H der Hamiltonoperator. Ändert sich das Potenzial V im Hamiltonoperator mit der Zeit nicht, so kann man die sogenannte zeitunabhängige Schrödingergleichung verwenden. Diese lautet: (h(quer)2/2m)×ψ''+(E-Epot)×ψ=0

So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Hallo Ricky Schneider95, die Wellenfunktion kommt in diesen Videos vor:
    https://www.sofatutor.com/physik/videos/schroedingergleichung-und-potentialtopfmodell-uebungsvideo
    und:
    https://www.sofatutor.com/physik/videos/schroedingergleichung-fuer-das-wasserstoffatom-2?topic=2902
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht K., vor 5 Monaten
  2. wo finde ich die videos zur wellenfunktion?

    Von Ricky Schneider95, vor 5 Monaten
  3. ich mag Sie wegen ihnen hab ich mein Abi geschaft (Ph LK)

    Von Sahibsahib, vor mehr als 5 Jahren
  4. Eine Aufgabe aus Physik LK aus dem Physikbuch Metzler Physik, Metzler Verlag: Berechnen Sie die Ergebnisse des dritten Iterationsschritts fuer E= 1x10^-18 J

    Von Christianeseddon, vor mehr als 6 Jahren

Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse die physikalischen Bedeutungen der Schrödingergleichung zusammen.

    Tipps

    Was beschreibt den Quantenzustand eines physikalischen Systems?

    Ist es möglich, den Quantenzustand ohne Zeitänderung zu beschreiben?

    Lösung

    Die Schrödingergleichung ist ein hilfreiches mathematisches Werkzeug, das die Beschreibung eines physikalischen Systems ermöglicht. Als Lösung gibt sie eine Gleichung wieder, die eine Wellenfunktion beschreibt. Diese Wellenfunktion beschreibt den Quantenzustand eines physikalischen Systems mit der Zeitänderung. Die Rolle der Schrödingergleichung besteht darin, die Bedingungen zu etablieren, denen ihre Lösungs-Wellenfunktion genügen muss.

  • Benenne die mathematischen Teile der Schrödingergleichung.

    Tipps

    Die gesamte Energie eines Systems ist eine Ableitung nach der Zeit.

    Die Beschreibung eines Systems ist eine Ableitung nach dem Ort.

    Lösung

    Betrachten wir ein Teilchen (oder ein physikalisches System beispielsweise ein ganzes Atom) und möchten wir seinen Quantenzustand analysieren, lautet der allgemeine Ansatz der Schrödingergleichung: $E\Psi =H\Psi$. Dabei ist E die Gesamtenergie des von mir betrachteten Systems und $H$ der sogenannte Hamiltonoperator, der mein System beschreibt.

    Die Gesamtenergie schreibt man $E=i\hslash \frac { \partial }{ \partial t } $ als eine Ableitung nach der Zeit. Den Hamiltonoperator schreibt man $H=\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } { \nabla }^{ 2 }+V$, als eine Ableitung nach dem Ort (auf dem Kopf stehendes Dreieck, der Nabla-Operator). Insgesamt steht der erste Teil des Hamilton-Operators für die kinetische Energie $\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } { \nabla }^{ 2 }$ und das $V$ für die wirkenden Potenziale.

    Habe ich ein Teilchen, kenne seine kinetische Energie, und alle auf es wirkenden Potenziale, dann habe ich alles, was ich benötige, um auszurechnen, was passiert. Für die Potenziale können folgende Felder vorkommen: ein elektrisches Feld, ein Gravitationsfeld oder ein sich mit der Zeit änderndes magnetisches Feld.  

  • Arbeite die zeitunabhängige Schrödingergleichung heraus, um die gesamte Energie eines Teilchens in einem Potenzialtopf zu bestimmen.

    Tipps

    Die zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet $\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } { \psi }^{ '' }+\left( E-{ E }_{ pot } \right) \psi =0$.

    Außerhalb des Topfes ist das Potenzial unendlich, innerhalb des Topfes ist es gleich null.

    Sowohl die Wellenfunktion $\psi =Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right)$, als auch ihre 2. Ableitung ${ \psi }^{ '' }=-Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right) \left( \frac { { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } \right)$ müssen in der zeitunabhängigen Schrödingergleichung eingesetzt werden.

    Lösung

    Wir wollen die gesamte Energie eines Teilchens in einem Potenzialtopf ausrechnen. Dafür braucht man die zeitunabhängige Schrödingergleichung. Sie gilt als ein Sonderfall, wenn sich die Potenziale eines Teilchens (oder Systems) nicht mit der Zeit ändern, also nicht von $t$ abhängen. Sie lautet:

    $ \frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } { \psi }^{ '' }+\left( E-{ E }_{ pot } \right) \psi =0$.

    Mit dieser Gleichung kann man nun eine Wellenfunktion bestimmen, die die zeitliche Entwicklung eines Systems vollständig beschreibt, wie die Sinusfunktion $\psi =Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right)$ aus unserem Videobeispiel.

    Die Lösungen der Schrödingergleichung beschreiben die Entwicklung von Quantenzuständen. Sie müssen allerdings auch vom System abhängige Randbedingungen erfüllen. Betrachten wir einen eindimensionalen linearen Potenzialtopf der Länge $L$, für den gelten soll: Außerhalb des Topfes ist das Potenzial unendlich, innerhalb des Topfes ist es gleich null. Da unser Teilchen sich natürlich nicht am Rand des Topfes aufhalten kann, gilt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ${ \left| { \psi }_{ rand } \right| }^{ 2 }=0$.

    Da im Potenzialtopf $V=0$ sein soll, ist die potenzielle Energie ${ E }_{ pot }=0$. Die neue zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet:

    $\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } { \psi }^{ '' }+ E.\psi =0$.

    Nun müssen wir sowohl die Wellenfunktion $\psi =Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right)$ als auch ihre 2. Ableitung ${ \psi }^{ '' }=-Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right) \left( \frac { { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } \right)$ in dieser neuen zeitunabhängigen Schrödingergleichung einsetzen:

    $\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \left[ -A\left( \frac { { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } \right) sin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right) \right] +{ E }_{ ges }Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right) =0$.

    Wir klammern die Sinusfunktion aus und erhalten:

    $Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right) \left[ \frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \left( -\frac { { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } \right) +{ E }_{ ges } \right] =0$.

    Da der Sinus nicht immer 0 ist, muss unser Term aber in der eckigen Klammer immer 0 sein, damit die Bedingungen unseres Systems erfüllt bleiben.

    $\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \left( -\frac { { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } \right) +{ E }_{ ges }=0$

    Rechnen wir weiter, erhalten wir die gesamte Energie:

    ${ E }_{ ges }=\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } $.

    Mit $\hbar =\frac { h }{ 2\pi } $ können wir das Ganze noch ein wenig vereinfachen und erhalten endlich die Gleichung für die gesamte Energie eines Teilchens in einem Potenzialtopf als eine Funktion der Hauptquantenzahl $n$, des Plancks’schen Wirkungsquantums $h$, der Teilchenmasse und der Potentialtopflänge $L$:

    ${ E }_{ ges }=\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m } \frac { { n }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } $.

  • Setze die Wellenfunktionen $\psi \left( x \right) $ mit ihren Aufenthaltswahrscheinlichkeiten ${ \psi }^{ 2 }\left( x \right) $ eines Teilchens in einem Potentialtopf in Beziehung.

    Tipps

    Die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten stellt man mit dem Quadrat einer Wellenfunktion dar.

    Die unter den Kurven bemalten Diagramme stellen die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten dar.

    Die Wellenfunktionen und die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten haben die gleiche Menge Knoten.

    Lösung

    Die Wellenfunktion eines Teilchens, eine stehende Welle, wird gut mit einer Sinusfunktion beschrieben. Wichtig ist dabei immer, dass mindestens 2 Knotenpunkte, also mindestens 2 Nullstellen, am linken und am rechten Rand sein müssen. Jedoch betrachten wir sie in unserem System nicht. Dafür gibt es einen Grund: Außerhalb des Topfes ist das Potenzial unendlich, innerhalb des Topfes ist es gleich 0. Da unser Teilchen sich natürlich nicht am Rand des Topfes aufhalten kann, gilt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ${ \left| { \psi }_{ rand } \right| }^{ 2 }=0$.
    Für Knotenpunkte innerhalb des Potentialtopfes wie bei den Wellenfunktionen ${ \psi }_{ 4 }\left( x \right)$ , ${ \psi }_{ 3 }\left( x \right)$ und ${ \psi }_{ 2 }\left( x \right)$ , gibt es unterschiedliche Energieniveaus. Das heißt, je höher die gesamte Energie unseres Teilchens ist, desto mehr Knotenpunkte gibt es auf den Wellenfunktionen. Anders gesagt, die Zahl der Knoten (Nulldurchgänge von $\psi \left( x \right) $) nimmt mit zunehmenden $n$ (von ${ E }_{ ges }={ n }^{ 2 }\frac { { h }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 }8m } ;n=1,2,3,...,\infty $ ) zu (wie $n − 1$). Zusammengefasst gibt es für sehr hohe Quantenzahlen sehr viele Knoten. Das heißt, die gesamte Energie für die Wellenfunktion ${ \psi }_{ 4 }\left( x \right)$ (3 Knotenpunkte) ist größer als für die ${ \psi }_{ 3 }\left( x \right)$ (2 Knotenpunkte), als für die ${ \psi }_{ 2 }\left( x \right)$ (1 Knotenpunkt) und als für die ${ \psi }_{ 1 }\left( x \right)$ (kein Knotenpunkt).
    Für Aufenthaltswahrscheinlichkeiten ${ \psi }^{ 2 }\left( x \right) $ gilt die gleiche Logik. Die Hauptsache ist, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten die gleiche Anzahl Knotenpunkte haben wie die Wellenfunktionen. Also wenn ${ \psi }_{ 1 }\left( x \right)$ keinen Knotenpunkt hat, dann hat ${ \psi }_{ 1 }^{ 2 }\left( x \right) $ auch keinen Knotenpunkt. ${ { \psi }_{ 2 }\quad \& \quad \psi }_{ 2 }^{ 2 }\left( x \right) $ haben einen Knotenpunkt, ${ { \psi }_{ 3 }\quad \& \quad \psi }_{ 3 }^{ 2 }\left( x \right) $ haben zwei und ${ { \psi }_{ 4 }\quad \& \quad \psi }_{ 4 }^{ 2 }\left( x \right) $ haben drei.

    Das bringt uns zur Lösung dieser Aufgabe. Es werden zusammen markiert:
    ${ \psi }_{ 1 }\left( x \right)$ mit der dritten (unten von links nach rechts) Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Violett), ${ \psi }_{ 2 }\left( x \right)$ mit der ersten (unten von links nach rechts) Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Gelb), ${ \psi }_{ 3 }\left( x \right)$ mit der vierten (unten von links nach rechts) Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Blau), ${ \psi }_{ 4 }\left( x \right)$ mit der zweiten (unten von links nach rechts) Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Grün).

  • Bestimme die Randbedingungen für ein Teilchen in einem unendlichen tiefen Kasten.

    Tipps

    Wo sollen wir die Stellengrenzen des Teilchens einstellen? Welche sind sie?

    Wo wirkt das Potential unendlich groß und wo wirkt es null?

    Lösung

    Ein Teilchen in einem unendlich tiefen Kasten soll sich zwischen $x = 0$ und $x = L$ frei bewegen können. Im Kontext bedeutet für uns das Wort „frei“, dass zwischen $x = 0$ und $x = L$ das Teilchen kräftefrei ist und das Potential konstant bleibt und zwar $V = 0$. Also $x = 0$ und $x = L$ sollen unter die $x$-Achse und $V = 0$ in den Kasten gesetzt werden.

    Jedoch kann dieses Teilchen nicht außerhalb dieses “Kastens” der Länge $L$ gelangen. Dafür gibt es einen Grund: Außerhalb des Kastens ist die potentielle Energie “unendlich groß” und wird als $V(x)\rightarrow \infty$ bezeichnet. Diese Aufschrift soll auf die gestrichelten Seiten des Kastens gesetzt werden.

    So haben wir die Randbedingungen definiert, die das Teilchen in einem unendlichen tiefen Kasten (besser gesagt, in einem unendlichen Topfpotential) erfüllen muss.

  • Analysiere den Energiezustand eines Teilchens in einem Potentialtopf.

    Tipps

    Welche Rolle spielt die Quantenzahl $n$ an der Energie?

    Analysiere jede Größe, aus der die Energie eines Teilchens in einem Potentialtopf besteht.

    Lösung

    Die minimale Energie ${ E }_{ 1 }$ des Grundzustands des Teilchens im Potentialtopf ist immer vorhanden und lautet ${ E }_{ 1 }=\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m{ L }^{ 2 } } $.

    Die Energien aller anderen Zustände, der angeregten Zustände, lauten${ E }_{ n }={ E }_{ 1 }{ .n }^{ 2 }; n=2,3,4,...,\infty $.

    Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zuständen lautet die Anregungsenergien $\Delta { E }_{ n }={ E }_{ n+1 }-{ E }_{ n }={ E }_{ n }\left( 2n+1 \right) $. Dieses Verhältnis lässt sich erklären durch ein Beispiel. Berechnen wir die erforderte Energie, die ein Teilchen braucht, vom Energieniveau $n=4$ zum Energieniveau $n=5$ angeregt zu werden:

    $\Delta { E }_{ 4 }={ E }_{ 5 }-{ E }_{ 4 }$

    $\Delta { E }_{ 4 }={ 5 }^{ 2 }\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m{ L }^{ 2 } }-{ 4 }^{ 2 }\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m{ L }^{ 2 } } $

    $\Delta { E }_{ 4 }=\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m{ L }^{ 2 } }(25-16) $

    $\Delta { E }_{ 4 }= { E }_{ 1 }(9)= { E }_{ 1 }(2.4+1)= { E }_{ 1 }(2n+1)$

    Die Anregungsenergien zwischen benachbarten Zuständen (wie im oberen Beispiel) wachsen linear $\Delta { E }_{ n }={ E }_{ n }\left( 2n+1 \right) $) mit der Quantenzahl $n$. Quadratisch mit der Quantenzahl $n$ wächst nur die Energie jedes Anregungszustandes ${ E }_{ n }={ n }^{ 2 }\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m{ L }^{ 2 } } $ .

    Laut ${ E }_{ n }={ n }^{ 2 }\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m{ L }^{ 2 } } $ gilt: Je größer die Masse eines Teilchens, desto kleiner ist seine Energie, da alle Energien umgekehrt proportional zur Masse des Teilchens ${ E }_{ n }\propto \frac { 1 }{ m } $ sind. Die gleiche Logik gilt für die Länge des Potentialtopfes: Je breiter der Potentialtopf, desto kleiner ist die Energie des Teilchens, da alle Energien umgekehrt proportional zum Quadrat der Länge des Topfes ${ E }_{ n }\propto \frac { 1 }{ { L }^{ 2 } } $ sind .

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