Rollen und Flaschenzüge

Flaschenzug – einfach erklärt

Ein Flaschenzug wird verwendet, um Lasten zu heben. Weil das Heben z. B. eines Wassereimers aus einem Brunnen ganz schön mühsam sein kann, kam man schon früh auf die Idee, das Seil über einen Stock laufen zu lassen. Dadurch kann gut Kraft auf das Seil ausgeübt werden. Bei der Führung des Seils über einen Stock entsteht aber Reibung, und zwar auch dann, wenn der Stock selbst drehend gelagert ist. Die Lösung dieses Problems ist die Verwendung einer Rolle anstelle des Stocks. Noch wirksamer ist eine Kombination aus mehreren Rollen.

Die Zugkraft $F_\text{Z}$ ist die Kraft, die beim Ziehen am Seilende aufgewendet wird.
Die Lastkraft $F_\text{L}$ ist die Kraft, die auf den Körper wirkt (also auf die Last, die bewegt werden soll).
Der Zugweg bzw. die Zugstrecke $s_\text{Z}$ ist der Weg, den das Seilende beim Ziehen zurücklegt.
Der Lastweg bzw. die Laststrecke $s_\text{L}$ ist der Weg, den der Körper (die Last) zurücklegt, wenn sie bewegt wird.

Flaschenzug – Geschichte

Lose und feste Rollen nebeneinander anzuordnen, ist sehr aufwendig. Archimedes erfand schon um $194~\text{v.\,u.\,Z.}$ eine andere Anordnung, den sogenannten Flaschenzug: Hierbei werden beispielsweise zwei feste Rollen und zwei lose Rollen übereinander positioniert. An der oberen festen Rolle ist das Seilende fixiert, wie in unserer Abbildung zu sehen. Die festen Rollen sind beispielsweise an der Decke eines Raums oder an einem Kran befestigt. Die losen Rollen hängen sozusagen in den Seilen und bewegen sich zusammen mit der Last, die am unteren Ende hängt.

So kann die Last um einen Lastweg angehoben werden, der hier der Höhe $\Delta h$ entspricht. Dazu muss das Seilende allerdings einen Zugweg zurücklegen, der viermal so lang ist $\left( 4 \cdot \Delta h \right)$. Warum das so ist, sehen wir uns im Folgenden an.

Flaschenzug – Funktion

Nun sehen wir uns die Funktionsweise des Flaschenzuges genauer an. Dazu müssen wir verstehen, was die Aufgabe bzw. der Nutzen der festen und losen Rollen ist.

Rollen und Flaschenzüge – feste Rolle in der Physik

Zieht man ein Seil, an dessen anderem Ende eine Last befestigt ist, über eine feste Rolle nach unten, so wird die Last nach oben gehoben. Hängt die Last dann schwebend in der Luft, hat man ein Kräftegleichgewicht erreicht. Die Hebekraft $F_\text{H}$ entspricht dann genau der Lastkraft $F_\text{L}$, die in diesem Fall gleichbedeutend mit der Gewichtskraft $F_\text{G}$ der Last ist. Die Hebekraft ist wiederum gleichbedeutend mit der Zugkraft $F_\text{Z}$, mit der am Seil gezogen werden muss. Diese ist ebenfalls nach unten gerichtet. Die nach oben gerichtete Kraft, die die feste Rolle auf das Seil ausübt, entspricht der Summe der beiden nach unten gerichteten Kräfte. Sie ist also doppelt so groß wie die Gewichtskraft der Last. Diese Kraft muss die feste Rolle aushalten können (in der Abbildung als langer roter Pfeil nach oben gekennzeichnet). Die Seillänge $L$, die man nach unten zieht, entspricht in dieser Anordnung genau dem Höhenunterschied $\Delta h$, um den die Last angehoben wird.

In dem gezeigten Flaschenzug mit nur einer festen Rolle gilt also:

$F_\text{Z} = F_\text{L}$ bzw. $F_\text{H} = F_\text{G}$

sowie

$s_\text{Z} = s_\text{L}$ bzw. $L = \Delta h$

Rollen und Flaschenzüge – lose Rolle in der Physik

Die Technik des Hebens konnte allerdings schon vor ca. $3\,000$ Jahren durch Hinzufügen einer zweiten Rolle verbessert werden. Diese wird lose in das Seil gehängt und heißt deswegen lose Rolle.

Die Last wird nun an die lose Rolle gehängt. Im Kräftegleichgewicht verteilt sich die Gewichtskraft der Last damit zu gleichen Teilen auf die beiden Seilstücke, die über die lose Rolle laufen. Wird die Kraft eines solchen Seilstücks von einer festen Halterung aufgenommen (wie durch die Befestigung links oben in unserer Abbildung), so wirkt auf das andere Seilstück nur noch die Hälfte der Gewichtskraft der Last.

Führt man dieses Seilstück über eine feste Rolle (wie auf der rechten Seite unserer Abbildung), so lässt sich die Last mit der Hälfte ihrer Gewichtskraft anheben.

Dafür ist allerdings die Strecke $s_\text{z}$ bzw. $L$, die man am Seilzug ziehen muss, nun doppelt so lang wie die Strecke $s_\text{L}$ bzw. $\Delta h$, um die die Last dabei angehoben wird. Diese Anordnung aus einer losen und einer festen Rolle ist ein einfacher Flaschenzug. Hier gilt:

$F_\text{Z} = \frac{1}{2} \cdot F_\text{L}$ bzw. $F_\text{H} = \frac{1}{2} \cdot F_\text{G}$

sowie

$s_\text{Z} = 2 \cdot s_\text{L}$ bzw. $L = 2 \cdot \Delta h$

Beachte, dass wir in diesen Formeln nur die Beträge der Kräfte betrachten, nicht ihre Richtungen.

Du siehst aber schon, welchen wesentlichen Vorteil eine lose Rolle bringt: Du brauchst weniger Kraft, auch wenn du dafür um eine längere Strecke ziehen musst.

Der Vorteil der festen Rolle liegt hauptsächlich in der Funktion, die Kraftwirkung so umzulenken, dass du beispielsweise bequem nach unten ziehen kannst, statt die Last nach oben heben zu müssen.

Das Seilende, an dem gezogen wird ist in dieser Anordnung kein tragendes Seil, da nach unten gezogen wird, während sich die Last nach oben bewegt. Es gibt hier also zwei Rollen und zwei tragende Seilstücke.

Flaschenzug Formel

Zur Berechnung der Kräfte und Wegstrecken bei einem Flaschenzug muss die Anzahl der tragenden Seilstücke bekannt sein. Oft ist diese identisch mit der Zahl der Rollen – aber nicht immer.

In unserer Abbildung sehen wir einen Flaschenzug mit zwei festen und zwei losen Rollen, also insgesamt vier Rollen. Allerdings gibt es hier fünf tragende Seile. Der Unterschied zur ersten Abbildung dieses Textes (wo es nur vier tragende Seile gibt) ist, dass am Seilende (5) hier nach oben gezogen wird, während in der ersten Abbildung nach unten gezogen wird. Die Last soll allerdings in beiden Fällen nach oben angehoben werden, deshalb ist die hier gezeigte Version die kraftsparendere (aber möglicherweise nicht die bequemere).

Dabei ist:
$F_\text{Z}$: die Zugkraft
$F_\text{L}$: die Lastkraft
$s_\text{Z}$: der Zugweg / die Zugstrecke
$s_\text{L}$: der Lastweg / die Laststrecke

Die dritte Gleichung ist eine mathematische Version der goldenen Regel der Mechanik. Im Prinzip handelt es sich um eine Formulierung des Hebelgesetzes: Die Produkte aus Kraft und Weg sind auf der Zugseite und auf der Lastseite gleich. Deshalb gilt:

Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zugeben.

Dies schlägt sich auch in den ersten beiden Gleichungen nieder:

Je mehr tragende Seile, desto kleiner wird die Zugkraft, die aufgewendet werden muss.
Das zeigt sich in der indirekten Proportionalität von $F_\text{Z}$ und $n$.
Je mehr tragende Seile, desto größer wird die Zugstrecke, die zurückgelegt werden muss.
Das zeigt sich in der direkten Proportionalität von $s_\text{Z}$ und $n$.

Bei $n= 2$, also zwei tragenden Seilen, sieht das beispielsweise so aus:

Beachte, dass in dieser Anordnung eine lose Rolle reicht und keine feste Rolle benötigt wird. Dafür muss hier nach oben gezogen werden, also in die gleiche Richtung, in die auch die Last bewegt wird.

Flaschenzug – Mechanische Arbeit

Das Prinzip des Hebens von Lasten durch Umlenken über lose und feste Rollen funktioniert nicht nur mit einer losen und festen Rolle. Verwendet man z. B. drei feste und drei lose Rollen, so muss mit sechs tragenden Seilen nur noch ein Sechstel der Gewichtskraft der Last zum Heben aufgewendet werden. Es wird allerdings das Sechsfache der Hebestrecke als Seilzugstrecke benötigt. Die Kraftersparnis hängt indirekt von der Anzahl der Rollen und direkt von der Anzahl der tragenden Seile $\left( n \right)$ ab. Die benötigte Hebekraft ist die Gewichtskraft der Last, dividiert durch die Anzahl der tragenden Seile.

Mechanische Arbeit ist vereinfacht betrachtet das Produkt aus Kraft und Weg:

$W = F \cdot s$

Nach dem Hebelgesetz bleibt also die Zugarbeit stets genauso groß wie die Lastarbeit bzw. die Hubarbeit, die an der Last verrichtet wird.

$\underbrace{F_\text{Z} \cdot s_\text{Z}}_{Zugarbeit} = \underbrace{F_\text{L} \cdot s_\text{L}}_{Lastarbeit}$

Flaschenzug berechnen

Mit einem Flaschenzug mit $n=6$ tragenden Seilen soll eine Last der Masse $m=360~\text{kg}$ eine Strecke von $s_\text{L}=5~\text{m}$ hochgezogen werden.

a) Berechne, um wie viele Meter das Seil gezogen werden muss.

b) Berechne die dazu nötige Zugkraft.

c) Berechne die dabei erforderliche mechanische Arbeit.

Diese drei Aufgaben wollen wir nun schrittweise bearbeiten. Dazu notieren wir zuerst die gegebenen Größen:

Gegeben:
$n=6$
$m=360~\text{kg}$
$s_\text{L}=5~\text{m}$

Zugweg berechnen

a) Gesucht: Zugweg $s_\text{Z}$

Um den Zugweg zu berechnen, nutzen wir die Formel $s_\text{Z}=n \cdot s_\text{L}$, denn $s_\text{L}$ haben wir gegeben.

In unserem Fall ist also:

$s_\text{Z}=6 \cdot 5~\text{m} = 30~\text{m}$

Der Zugweg beträgt dreißig Meter.

Zugkraft berechnen

b) Gesucht: Zugkraft $F_\text{Z}$

Zunächst müssen wir die Gewichtskraft $F_\text{G}$ des Massestücks berechnen. Diese stellt dann die Lastkraft $F_\text{L}$ dar. Es gilt: $F_\text{L} = F_\text{G} = m \cdot g$
Wir verwenden der Einfachheit halber für den Ortsfaktor den gerundeten Wert $g=10~\frac{\text{N}}{\text{kg}}$.

$F_\text{L}=m\cdot g=360~\text{kg} \cdot 10~\frac{\text{N}}{\text{kg}} =3600~\text{N}$

Für die Zugkraft gilt nun:

$F_\text{Z}=\dfrac{1}{n}\cdot F_\text{L}=\dfrac{1}{6} \cdot 3600~\text{N}=600~\text{N}$

Es wird eine Kraft von sechshundert Newton benötigt.

Arbeit berechnen

c) Gesucht: Zugarbeit $W$

Für die mechanische Arbeit gilt die Wortformel Arbeit gleich Kraft mal Weg. Nach der goldenen Regel der Mechanik gilt Zugarbeit gleich Lastarbeit, also: ${F_\text{Z} \cdot s_\text{Z} = F_\text{L} \cdot s_\text{L}}$
Es ist demnach egal, ob wir mit Zugkraft mal Zugweg oder Lastkraft mal Lastweg rechnen.

$W= F_\text{L} \cdot s_\text{L} = 3600~\text{N} \cdot 5~\text{m}= 18\,000~\text{J}$

Es wird beim Ziehen der Last eine Arbeit von achtzehntausend Joule verrichtet (bzw. diese muss aufgewendet werden).

Rollen und Flaschenzüge – tabellarischer Vergleich von Seillänge und Kraft

Wir wollen nun die aufzuwendenden Kräfte noch einmal mit der Gewichtskraft der Last bei verschiedenen Flaschenzugkonstruktionen vergleichen. Außerdem vergleichen wir die zu ziehenden Seillängen $\left(s_\text{Z} \right)$ mit der Höhe, um welche die Last jeweils angehoben wird. Die Höhe $h$ entspricht dem Lastweg $s_\text{L}$.

* Das Seil ist dabei an der oberen Flasche festgemacht.

Ausblick – das lernst du nach Rollen und Flaschenzüge

Vertiefe dein Wissen mit Drehmoment, Wellrad und Fahrrad, um zu sehen, wie Kräfte in die Praxis umgesetzt werden. Beginne außerdem mit den Themen Hebelgesetz und schiefer Ebene.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Flaschenzug