Ladungen im homogenen Feld – abgelenkte Bewegung

Ladungen im homogenen Feld – abgelenkte Bewegung Übung

• Benenne die Formelzeichen.

  Tipps

  Wenn du dir ein E-Feld vorstellen willst, nutze doch einen Kondensator zwischen dessen Platten ein Feld aufgebaut ist.

  Lösung

  Um zu verstehen, warum die Formeln so aussehen, wie sie aussehen, musst du die Formelzeichen kennen.

  So ist die Gleichung für die Energie im Kondensatorfeld folgende:

  $E=\dfrac{U}{d}$.

  Das bedeutet: Umso größer $d$ wird, also der Abstand, desto kleiner wird die Energie. Denn auf dem Weg durch die Luft geht Energie an die Umgebung verloren. Die Spannung $U$ bleibt aber immer konstant.

  Wie sehr ein Elektron vom E-Feld abgelenkt wird, hängt auch von seiner Ladung $q_e$ und seiner Masse $m_e$ ab. Beide sind im Allgemeinen konstant.

• Beschreibe die Bewegung eines Elektrons im elektrischen Feld.

  Tipps

  Sinus und Kosinus von bestimmten Winkeln ergeben Gleichungen vereinfachende Zahlen.

  Erinnere dich an das Gesetz von Coulomb.

  Lösung

  Bevor man sich an genaue Berechnungen macht, sollte man noch einmal schauen, was grob passiert.

  Da sich ja gegensätzliche Ladungen anziehen und gleiche abstoßen, wird das Elektron logischerweise in Richtung positiver Ladung abgelenkt. Wie sehr, das hängt von der Ladung des Elektrons und der Feldstärke ab.

  Bei einem Einfallswinkel von 90° bewegt sich das Elektron direkt senkrecht zur Feldrichtung. Das bedeutet: Große Teile der Bahngleichung fallen weg, da Sinus von $90° = 1$ und Kosinus von $90° = 0$.

• Beschreibe die Bewegungsgleichung für ein Elektron im E-Feld.

  Tipps

  $a_y$ ist kein Alpha y, sondern ein „a".

  Lösung

  Das ist die Bewegungsgleichung für ein Teilchen im E-Feld. Damit kann man genau bestimmen, wann das Teilchen wo sein wird.

  Wenn das Teilchen senkrecht aufs E-Feld trifft, vereinfacht sich die Gleichung deutlich, denn der $\cot$ wird $=0$ und der linke Teil vorm „+" fällt ganz weg. Der Sinus wird 1 und verschwindet somit auch.

  Wichtig ist aber, dass der Einfallswinkel größer 0 ist.

  Ansonsten ist $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit (Anfangsbedingungen sind oft am $_0$ erkennbar).

  $a_y$ ist die erfahrene Beschleunigung und ist gegeben durch:

  $a_y=\dfrac{q_e}{m_e}\cdot\dfrac{U}{d}$.

  $x$ ist dann, wie bei Funktionen gewohnt, die dazugehörige x-Komponente, dessen y-Komponente man herausfinden möchte.

• Vergleiche die Kraft im elektrischen Feld mit der im Gravitationsfeld.

  Tipps

  Die Energie des E-Feldes ist $E=\dfrac{U}{d}$.

  Lösung

  Wie lässt sich die Kraft im elektrischen Feld nun einschätzen? Dazu vergleichen wir sie mit der Erdanziehung.

  Die Kraft des elektrischen Feldes ist sehr viel größer als die Erdanziehungskraft.

  Die Gleichung für das E-Feld ist

  $F_E=q_e\cdot\dfrac{U}{d}=1,602\cdot 10^{-19}~\text{C}\cdot\dfrac{100~\text{V}}{0,01~\text{m}}=1,6\cdot 10^{-15}~\text{N}$,

  die der Erdanziehung

  $F_G=m_e\cdot g= 9,11\cdot 10^{-31}~\text{kg}\cdot 9,81~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}=8,9\cdot 10^{-30}~\text{N}$.

  Damit ist die Kraft im E-Feld um 15 Dezimalstellen größer. Das ist wirklich viel. Daher kann man im E-Feld die Gravitationskraft auch vernachlässigen.

• Nenne Eigenschaften von Ladungen im elektrischen Feld.

  Tipps

  Überlege, wie die Geradengleichung aussieht.

  Lösung

  Mit welchen Ansätzen wird bei diesen Kräften und Ablenkungen gearbeitet, und was kann man sich als Hinweis merken?

  Schaut man sich die Bewegungsgleichung an, so sieht man, dass so manches wegfällt, wenn der Eintrittswinkel 90° beträgt. Man sollte diesen Fall also, falls möglich, wählen, da er der leichteste ist, und nur eine Parabelgleichung bleibt.

  Allgemein gilt die Gravitationskraft als schwache Kraft. Das klingt komisch?

  Schon. Aber große Felder sind oft eher schwache Felder. Umgekehrt sind kleine oft stärker. Die Gravitationskraft ist fast unendlich weit ausgedehnt. Das elektrische Feld dagegen wirkt nur in einem sehr begrenztem Raum.

  Allgemein ist dies eher eine Faustregel. Im Falle des E-Feldes und des Gravitationsfeldes ist es allerdings tatsächlich so.

  Die elektrische Feldstärke berechnet man durch

  $E=\dfrac{U}{d}$.

• Berechne die Ablenkung hinter dem E-Feld.

  Tipps

  Achte auf die richtige Einheit, auch bei der Beschleunigungsgleichung.

  $a_y=\dfrac{q_e}{m_e}\cdot\dfrac{U}{d}$

  $x$ ist der Punkt der x-Achse, an dem die Auslenkung berechnet werden soll.

  Lösung

  Oft will man Elektronen umlenken, so z.B. bei der Braun'schen Röhre. Dazu muss man aber berechnen, wie weit das Elektron nun ausgelenkt wird.

  Die Bewegungsgleichung für ein Teilchen im E-Feld ist

  $y=x\cdot\cot(\alpha_0)+\dfrac{1}{2}\cdot a_y\cdot\dfrac{x^2}{v_0^2\cdot\sin^2(\alpha_0)}$.

  Da sich das Teilchen nun senkrecht bewegt, verkürzt sich die Gleichung auf

  $y=\dfrac{1}{2}\cdot a_y\cdot\dfrac{x^2}{v_0^2}$,

  wobei

  $a_y=\dfrac{q_e}{m_e}\cdot\dfrac{U}{d}=\dfrac{1,602\cdot 10^{-19}~\text{C}}{9,11\cdot 10^{-31}~\text{kg}}\cdot\dfrac{50~\text{V}}{0,02~\text{m}}=4,4\cdot 10^{14}~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ist.

  Also:

  $y=\dfrac{1}{2}\cdot 4,4\cdot 10^{14}~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot\dfrac{0,05^2~\text{m}}{(5\cdot 10^6)^2~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}=0,22~\text{m}$.

  Da das Elektron nun weiter abgelenkt wurde als der halbe Abstand zwischen den Kondensatorplatten, wurde es von der Platte absorbiert.

  In diesem Fall sollte man die Kondensatorspannung dringend verringern oder den Plattenabstand erhöhen.