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Ladungen im homogenen Feld – abgelenkte Bewegung

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Kalo
Ladungen im homogenen Feld – abgelenkte Bewegung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Ladungen im homogenen Feld – abgelenkte Bewegung

In diesem Video betrachten wir die Bewegung geladener Teilchen im homogenen Feld. Dabei wirkt ganz allgemein auf geladene Teilchen eine Kraft durch das elektrische und das Gravitationsfeld. Durch einen Vergleich der beiden Kräfte, wird gezeigt, dass die Massenkräfte vernachlässigen werden können. Im Anschluss wird die Bewegungsgleichung für ein Elektron hergeleitet, das in ein homogenes elektrisches Feld eintritt. Du lernst dabei, wie die auf das Teilchen wirkende Kraft berechnet wird und wie diese die Bahnkurve beeinflusst.

Transkript Ladungen im homogenen Feld – abgelenkte Bewegung

Hallo und herzlich willkommen. Ich zeige hier, wie man die Bewegung von Ladungsträgern in einem homogenen, elektrischen Feld berechnet, wenn sie quer zur Ausbreitungsrichtung ins Feld eintreten. Die Wirkung der Gravitation werde ich dabei vernachlässigen. Du solltest mit der Bewegung von Körpern unter Einfluss von Kräften vertraut sein, die Verhältnisse im elektrischen Feld eines Plattenkondensators kennen und wissen, wie man die Bewegung geladener Teilchen in Richtung eines homogenen, elektrischen Feldes beschreibt. Wenn man einen Körper waagerecht wirft, fällt er in einer nahezu parabelförmigen Bahn zu Boden, weil die Gravitationskraft wirkt. Weil man die Skizze eines solchen Vorgangs auf einer Ebene zeichnet, auf die man draufblickt, spricht man von seitlicher Ablenkung, nämlich von einer seitlichen Ablenkung von der geraden Linie, der die Bewegung ohne Wirkung der zusätzlichen Kraft gefolgt wäre. Im elektrischen Feld wirkt eine zusätzliche seitliche Kraft, wenn der Körper nicht nur eine Masse hat, sondern auch eine Ladung trägt. Für gewöhnliche, technische Anwendungen interessiert uns nur das Verhalten sehr kleiner Körper, z. B. von freien Elektronen oder Ionen im elektrischen Feld. Für ein Elektron ergäbe sich im technisch üblichen Feld eines Plattenkondensators, zwischen dessen 1cm von einander entfernten Platten eine Spannung von 100V anliegt, eine elektrisch bewirkte Kraft, die sehr viel größer ist, als die von der Gravitation bewirkte. Nämlich eine mehr als 100 Billionen mal größere. Die entscheidende Kraft ist darum hier die des elektrischen Feldes, und wir können die Gravitation in solchen Fällen vernachlässigen. Mit dieser Vereinfachung wollen wir auch fortfahren. Wir legen für die Beschreibung der Bewegung zweckmäßigerweise ein Koordinatensystem an, das die Entfernung in Ausbreitungsrichtung des Feldes auf der y-Achse und die Entfernung rechtwinklig zur Ausbreitungsrichtung auf der x-Achse darstellt. Den Schnittpunkt der Achsen legen wir auf den Punkt, an dem das Elektron ins Feld eintritt. Nehmen wir nun an, dass das Elektron mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 unter dem Winkel α0 zur Feldrichtung in das Feld eintritt. Wir können die Geschwindigkeit im Eintrittspunkt leicht in eine x- und eine y-Komponente zerlegen. Wegen der Wahl unseres Koordinatensystems wirkt die Beschleunigung durch die Kraft des elektrischen Feldes nur in y-Richtung. Da in x-Richtung keine Kraft wirkt, erhalten wir eine einfache Gleichung für die Wegkomponente dieser Richtung. In y-Richtung müssen wir zusätzlich zur Anfangsgeschwindigkeit natürlich zusätzlich die wirkende Beschleunigung berücksichtigen. Für beide Komponenten beginnt die Bewegung im Punkt 0 wegen der Wahl unseres Koordinatensystems. Wir beschreiben die Bahnkurve mit einer Formel, die die Entfernung in y-Richtung in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg in x-Richtung beschreibt. Dazu stellen wir am besten die Formel für x nach der Zeit t um, und setzen das Resultat in die Formel für y ein. Sie gilt natürlich nur für den Winkel α0≠0, wie wir an der Formel für t erkennen können. Die Beschleunigung, die hier in y-Richtung wirkt, berechnen wir nach der Überlegung, dass das 2. Newtonsche Axiom immer gelten muss, und dass wir außerdem einen besonderen Ausdruck für die Kraftwirkung des elektrischen Feldes kennen. Die Feldstärke für den Feldkondensator ist leicht berechnet, wenn wir den Abstand der Platten mit d und die Spannung mit U bezeichnen, und wir erhalten einen angepassten Ausdruck für die Kraft des Feldes. Setzen wir die beiden Formeln für die Kraft in F gleich, können wir sehr leicht nach a umstellen. Wir setzen diesen neuen Ausdruck für die Beschleunigung a in unsere vorhin gefundene Formel für die Bahnkurve ein und erhalten einen recht umfänglichen Ausdruck, indem alle Größen, die gemessen werden können, auftreten. Erinnern wir uns daran dass der Winkel α0 der Winkel zwischen der y-Achse und der Flugbahn des Elektrons bei seinem Eintritt ins Feld ist, dann erkennen wir, wie sich die Formel vereinfacht, wenn das Elektron genau rechtwinklig zur Feldrichtung einfliegt, denn dann wird α0=90°. Unter dieser Bedingung erhalten wir eine reine Parabelgleichung. Ich fasse noch mal kurz zusammen: Wir haben hier die Bewegung von Elektronen untersucht, die durch ihren Eintritt in ein homogenes elektrisches Feld von ihrer geradlinigen Bahn abgelenkt werden. Tritt das Elektron mit seiner Ladung qe und seiner Masse Me mit einer Geschwindigkeit v0 in einem Winkel α0 zur Feldrichtung ins Feld ein, erhalten wir, zur Beschreibung seiner Bahn, diese Formel. Tritt das Elektron genau rechtwinklig zur Feldrichtung ins Feld ein, ist der Eintrittswinkel α0=90° und die Formel vereinfacht sich zu einer reinen Parabelgleichung. Der wichtigste Anwendungsfall für diese Formel ist die Berechnung der Bewegung von Elektronen in der braunschen Röhre. Soviel für diesmal, bis zum nächsten Video.

7 Kommentare
7 Kommentare
  1. Lieber Jacob,
    ich sage nicht, "mit einer Geschwindigkeit von Null" sondern "mit einer Geschwindigkeit vau-null" - also ich spreche das Formelzeichen "v" für die Geschwindigkeit und die tiefgestellte "0" für den Index - so, wie man üblicherweise eine Erst- oder Anfangsgeschwindigkeit bezeichnet. Kleiner Hörfehler?
    Grüße,
    kalo

    Von Kalo, vor etwa 4 Jahren
  2. 5:55 Wie kann das Elektron mit einer Geschwindigkeit von 0 eintreten? V=0 --> Bewegt sich nicht --> Kann nirgendswo ein- oder austreten

    Von Jacob 4, vor etwa 4 Jahren
  3. Liebe Swetlana,

    Kurz gesagt: weil da auch nicht mehr mit dem Cosinus von alpha multipliziert wird, sondern mit dem Cotangens. Siehst Du es?

    Ausführlicher: die Entwicklung des Gedankens auf dieser Seite zeigt in mehreren Schritten Umstellungen und Ersetzungen. Es kommt nichts neues dazu. Die vorletzte Formel (t=...) ist entstanden aus der Formel für x, rechts oben. Einfache Umstellung nach t. Der erhaltene Ausdruck wurde dann an Stelle von t in die Formel für y, rechts oben, eingesetzt.

    Im Detail: Aus y=v0*t*cos(alpha0)+... wird (mit der neuen Formel für t) y=v0*[x/v0sin(alpha0)]*cos(alpha0)+... In den eckigen Klammern siehst Du genau den Ausdruck für t von der vorangegangenen Zeile, jetzt anstelle des nackten t, im ersten Summanden für y. Den vereinfache ich nun durch Ausmultiplizieren: wenn ich die Reihenfolge der Faktoren geschickt verändere, wird daraus x*v0/v0*cos(alpha0)/sin(alpha0). Dann sehe ich leicht, was ich vereinfachen kann: aus v0/v0 wird 1, was ich als Faktor im Produkt natürlich nicht extra noch mal hinschreibe, und aus cos(alpha0)/sin(alpha0) wird cot(alpha0), wie man im Mathe-Tafelwerk bei den trigonometrischen Funktionen bestätigt findet.

    Es könnte helfen, wenn Du die Umstellung nach t und die Einsetzung dieses Ausdrucks in die Formel für y einfach mal auf dem Papier nachspielst. Dann sieht man meistens, wo die kleinen Kniffe stecken. Es ist nicht wirklich schwer, nur halt nicht leicht zu überblicken.

    Viele Grüße,
    kalo

    Von Kalo, vor etwa 4 Jahren
  4. 3:57
    Warum ist in der untersten Formel v0t plötzlich einfach x? ^^

    Von Swetlana C., vor etwa 4 Jahren
  5. Bis auf die Richtung der feldlinien ist alles super erklärt. Da ich leider nicht den Mathe LK neben dem Physik LK gewählt habe, helfen mir gerade diese Art Videos sehr weiter. Mathematisch ist heute ein Licht aufgegangen....Danke und bitte mehr davon. :-)

    Von Nooouura1980, vor mehr als 7 Jahren
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Ladungen im homogenen Feld – abgelenkte Bewegung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ladungen im homogenen Feld – abgelenkte Bewegung kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Formelzeichen.

    Tipps

    Wenn du dir ein E-Feld vorstellen willst, nutze doch einen Kondensator zwischen dessen Platten ein Feld aufgebaut ist.

    Lösung

    Um zu verstehen, warum die Formeln so aussehen, wie sie aussehen, musst du die Formelzeichen kennen.

    So ist die Gleichung für die Energie im Kondensatorfeld folgende:

    $E=\dfrac{U}{d}$.

    Das bedeutet: Umso größer $d$ wird, also der Abstand, desto kleiner wird die Energie. Denn auf dem Weg durch die Luft geht Energie an die Umgebung verloren. Die Spannung $U$ bleibt aber immer konstant.

    Wie sehr ein Elektron vom E-Feld abgelenkt wird, hängt auch von seiner Ladung $q_e$ und seiner Masse $m_e$ ab. Beide sind im Allgemeinen konstant.

  • Beschreibe die Bewegung eines Elektrons im elektrischen Feld.

    Tipps

    Sinus und Kosinus von bestimmten Winkeln ergeben Gleichungen vereinfachende Zahlen.

    Erinnere dich an das Gesetz von Coulomb.

    Lösung

    Bevor man sich an genaue Berechnungen macht, sollte man noch einmal schauen, was grob passiert.

    Da sich ja gegensätzliche Ladungen anziehen und gleiche abstoßen, wird das Elektron logischerweise in Richtung positiver Ladung abgelenkt. Wie sehr, das hängt von der Ladung des Elektrons und der Feldstärke ab.

    Bei einem Einfallswinkel von 90° bewegt sich das Elektron direkt senkrecht zur Feldrichtung. Das bedeutet: Große Teile der Bahngleichung fallen weg, da Sinus von $90° = 1$ und Kosinus von $90° = 0$.

  • Beschreibe die Bewegungsgleichung für ein Elektron im E-Feld.

    Tipps

    $a_y$ ist kein Alpha y, sondern ein „a".

    Lösung

    Das ist die Bewegungsgleichung für ein Teilchen im E-Feld. Damit kann man genau bestimmen, wann das Teilchen wo sein wird.

    Wenn das Teilchen senkrecht aufs E-Feld trifft, vereinfacht sich die Gleichung deutlich, denn der $\cot$ wird $=0$ und der linke Teil vorm „+" fällt ganz weg. Der Sinus wird 1 und verschwindet somit auch.

    Wichtig ist aber, dass der Einfallswinkel größer 0 ist.

    Ansonsten ist $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit (Anfangsbedingungen sind oft am $_0$ erkennbar).

    $a_y$ ist die erfahrene Beschleunigung und ist gegeben durch:

    $a_y=\dfrac{q_e}{m_e}\cdot\dfrac{U}{d}$.

    $x$ ist dann, wie bei Funktionen gewohnt, die dazugehörige x-Komponente, dessen y-Komponente man herausfinden möchte.

  • Vergleiche die Kraft im elektrischen Feld mit der im Gravitationsfeld.

    Tipps

    Die Energie des E-Feldes ist $E=\dfrac{U}{d}$.

    Lösung

    Wie lässt sich die Kraft im elektrischen Feld nun einschätzen? Dazu vergleichen wir sie mit der Erdanziehung.

    Die Kraft des elektrischen Feldes ist sehr viel größer als die Erdanziehungskraft.

    Die Gleichung für das E-Feld ist

    $F_E=q_e\cdot\dfrac{U}{d}=1,602\cdot 10^{-19}~\text{C}\cdot\dfrac{100~\text{V}}{0,01~\text{m}}=1,6\cdot 10^{-15}~\text{N}$,

    die der Erdanziehung

    $F_G=m_e\cdot g= 9,11\cdot 10^{-31}~\text{kg}\cdot 9,81~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}=8,9\cdot 10^{-30}~\text{N}$.

    Damit ist die Kraft im E-Feld um 15 Dezimalstellen größer. Das ist wirklich viel. Daher kann man im E-Feld die Gravitationskraft auch vernachlässigen.

  • Nenne Eigenschaften von Ladungen im elektrischen Feld.

    Tipps

    Überlege, wie die Geradengleichung aussieht.

    Lösung

    Mit welchen Ansätzen wird bei diesen Kräften und Ablenkungen gearbeitet, und was kann man sich als Hinweis merken?

    Schaut man sich die Bewegungsgleichung an, so sieht man, dass so manches wegfällt, wenn der Eintrittswinkel 90° beträgt. Man sollte diesen Fall also, falls möglich, wählen, da er der leichteste ist, und nur eine Parabelgleichung bleibt.

    Allgemein gilt die Gravitationskraft als schwache Kraft. Das klingt komisch?

    Schon. Aber große Felder sind oft eher schwache Felder. Umgekehrt sind kleine oft stärker. Die Gravitationskraft ist fast unendlich weit ausgedehnt. Das elektrische Feld dagegen wirkt nur in einem sehr begrenztem Raum.

    Allgemein ist dies eher eine Faustregel. Im Falle des E-Feldes und des Gravitationsfeldes ist es allerdings tatsächlich so.

    Die elektrische Feldstärke berechnet man durch

    $E=\dfrac{U}{d}$.

  • Berechne die Ablenkung hinter dem E-Feld.

    Tipps

    Achte auf die richtige Einheit, auch bei der Beschleunigungsgleichung.

    $a_y=\dfrac{q_e}{m_e}\cdot\dfrac{U}{d}$

    $x$ ist der Punkt der x-Achse, an dem die Auslenkung berechnet werden soll.

    Lösung

    Oft will man Elektronen umlenken, so z.B. bei der Braun'schen Röhre. Dazu muss man aber berechnen, wie weit das Elektron nun ausgelenkt wird.

    Die Bewegungsgleichung für ein Teilchen im E-Feld ist

    $y=x\cdot\cot(\alpha_0)+\dfrac{1}{2}\cdot a_y\cdot\dfrac{x^2}{v_0^2\cdot\sin^2(\alpha_0)}$.

    Da sich das Teilchen nun senkrecht bewegt, verkürzt sich die Gleichung auf

    $y=\dfrac{1}{2}\cdot a_y\cdot\dfrac{x^2}{v_0^2}$,

    wobei

    $a_y=\dfrac{q_e}{m_e}\cdot\dfrac{U}{d}=\dfrac{1,602\cdot 10^{-19}~\text{C}}{9,11\cdot 10^{-31}~\text{kg}}\cdot\dfrac{50~\text{V}}{0,02~\text{m}}=4,4\cdot 10^{14}~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ist.

    Also:

    $y=\dfrac{1}{2}\cdot 4,4\cdot 10^{14}~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot\dfrac{0,05^2~\text{m}}{(5\cdot 10^6)^2~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}=0,22~\text{m}$.

    Da das Elektron nun weiter abgelenkt wurde als der halbe Abstand zwischen den Kondensatorplatten, wurde es von der Platte absorbiert.

    In diesem Fall sollte man die Kondensatorspannung dringend verringern oder den Plattenabstand erhöhen.

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