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Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit 09:27 min

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Transkript Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. In diesem Video, das zum Gebiet Mechanik gehört, beschäftigen wir uns mit der Kreisbewegung. Wir lernen Heute: Was eine Kreisbewegung ist, wie man sie beschreiben kann und zum Schluss rechnen wir noch eine kleine Beispielaufgabe. Man sagt, ein Körper oder Punkt führt eine Kreisbewegung, beziehungsweise Rotation oder Drehbewegung, aus, wenn er sich auf einer kreisförmigen Bahn bewegt. Beispiele für Kreisbewegungen sind nicht schwer zu finden. Setzt ihr euch zum Beispiel in die Gondel eines Riesenrads, wie rechts auf dem Bild, dann beschreibt diese Gondel einen Kreis. Ihr führt also eine Kreisbewegung aus. Ein Satellit fliegt auf seiner Umlaufbahn kreisförmig um die Erde und wenn ihr einen Punkt auf einem Rad beobachtet, zum Beispiel von einem Auto, dann seht ihr, dass dieser Punkt, wenn das Rad sich dreht, immer wieder den gleichen Kreis abfährt. Und zum Schluss, wir alle sitzen auf der Erde, einem Planeten, der sich dreht. Durch die Rotation der Erde beschreiben wir also alle die ganze Zeit eine Kreisbewegung. Wie kann ich solch eine Kreisbewegung nun beschreiben? Das wollen wir uns im nächsten Kapitel ansehen. Wir betrachten dazu ein Karussell. Denk mal zum Beispiel an ein Jahrmarktkarussell, oder auch an so eine kleine Drehscheibe, wie man sie auf vielen Spielplätzen findet. Ich habe uns mal eins gebastelt, damit das Ganze anschaulicher wird. Die beiden grünen Punkte stehen für zwei Beobachter. Einer steht neben dem Karussell, der andere sitzt auf dem Rand des Karussells. Wenn sich das Karussell nun dreht, kann der daneben stehende Beobachter abzählen, wie lange es dauert bis sein Freund, der auf dem Karussell sitzt, wieder bei ihm vorbeikommt. Diese Zeit nennt man die Umlaufdauer und sie wird bezeichnet mit dem Buchstaben groß T. Sie ist also die für einen Umlauf benötigte Zeit. Oft kann man sie einfacher bestimmen, indem man die Zeit T für mehrere Umläufe zählt und dann durch die Zahl der Umläufe teilt. Aus der Umlaufdauer T kann ich die Frequenz f berechnen. Eine Frequenz gibt mir immer an, wie oft etwas pro Sekunde passiert. Für eine Kreisbewegung gibt mir die Frequenz also die Anzahl der Umläufe pro Sekunde an. Wäre meine Umlaufdauer also zwei Sekunden, dann hätte ich einen halben Umlauf pro Sekunde. Ich kann die Frequenz also einfach berechnen, indem ich eins durch T teile. Und daran seht ihr auch schon die Einheit der Frequenz. Sie ist ein Hertz und das ist einmal pro Sekunde. Die nächste Eigenschaft wird schon ein wenig komplizierter. Es ist die Winkelgeschwindigkeit Omega. Wenn wir mehrere Menschen zwar in einer Reihe, aber in verschiedenen Abständen von der Mitte auf unser Karussell setzen, dann machen wir folgende Beobachtung. Die, die weiter außen sitzen, sind zwar einen längeren Weg gefahren, es haben aber alle den gleichen Winkel zurückgelegt. Man sagt auch den gleichen Winkel überstrichen. Diese Winkelgeschwindigkeit, also die zum Überstreichen des Winkels Phi benötigte Zeit T, ist also unabhängig vom Abstand. Ich kann sie also ausrechnen, indem ich den Winkelunterschied Delta Phi durch den Zeitunterschied Delta T teile. Es geht aber auch einfacher. Ich weiß ja bereits, dass meine Kreisbewegung für einen vollen Umlauf, der ja 360° oder im Bogenmaß zwei Pi beträgt, genau die Umlaufdauer T benötigt. Die Winkelgeschwindigkeit ist also auch 2Pi/T. Zum Schluss kommen wir noch zu etwas, das ihr sicher auch als Kind schon ausprobiert habt. Was passiert, wenn ich auf dem Karussell einfach hochspringe? Wohin fliege ich weiter? Dadurch, dass ihr euch auf dem Karussell festhaltet, bleibt ihr an der Kreisbahn. Wenn ihr loslasst, fliegt ihr einfach in der Geschwindigkeitsrichtung, die ihr in dem Moment habt, weiter. Man sagt, ihr bewegt euch tangential weiter. Aber wie hoch ist diese Geschwindigkeit eigentlich? Wir wissen, ein Punkt bewegt sich auf der Kreisbahn im Abstand r mit der Winkelgeschwindigkeit Omega. Das heißt, er legt den Winkel Delta Phi in der Zeit Delta T zurück. V ist Delta s/Delta T. Also Weg durch Zeit. Die zurückgelegte Strecke auf dem Kreis ist der überstrichene Winkel Delta Phi mal der Abstand r. Ihr seht, in dieser Formel kann ich einfach Delta Phi durch Delta T durch die Winkelgeschwindigkeit ersetzen. Das heißt, die Geschwindigkeit V eines Punktes, der sich im Abstand r befindet, ist r mal die Winkelgeschwindigkeit Omega. Das schreiben wir uns gleich auf. Die Geschwindigkeit V im Abstand r, man nennt sie die Bahngeschwindigkeit, ist r * Omega. Zum Schluss notieren wir uns noch: Natürlich können sich die Umlaufdauer, Frequenz und Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit ändern. Betrachten wir aber eine Bewegung, bei der sich über eine längere Zeit weder Umlaufdauer, noch Frequenz, sowie die daraus berechenbare Geschwindigkeit, nämlich Omega und V, nicht ändern, so spricht man von einer gleichförmigen Kreisbewegung. So, im letzten Kapitel wollen wir jetzt mal schauen, ob wir diese Formel auch anwenden können. Wir wollen folgende Aufgabe rechnen: Peter beobachtet Paul beim Karussell fahren. Er zählt in einer Minute genau sieben Umläufe. Aufgabe a) Berechne Umlaufdauer, Frequenz und Winkelgeschwindigkeit des Karussells. Aufgabe b) Paul lässt eine Wasserbombe fallen. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sie sich fort, und in welche Richtung fliegt sie, wenn der Radius des Karussells 6,5 Meter beträgt? Dann mal los. Gegeben ist: Anzahl der Umläufe ist sieben und die dafür benötigte Zeit t beträgt eine Minute, also 60 Sekunden. Damit können wir ganz leicht die Umlaufdauer berechnen. Groß T ist klein t durch n. Also sechzig Sekunden durch sieben und das ergibt 8,57 Sekunden für einen Umlauf. Daraus können wir sofort die Frequenz berechnen. Denn die ist ja eins durch die Umlaufdauer. Sie ist also 1/8,57s. Und das ergibt 0,12 Umläufe pro Sekunde, also 0,12 Hertz. Wir machen weiter mit der Winkelgeschwindigkeit, die wir ebenfalls aus der Umlaufdauer berechnen können. Omega war ja 2Pi/T. Also 2Pi/8,57s. Das ergibt 0,23Pi/s. Falls ihr euch über die Einheit wundert, das ist schon richtig so. Denkt daran, dass Pi im Bogenmaß 180° entspricht. 0,23Pi/s sind also ungefähr 42°/s. Dann machen wir mal weiter mit Aufgabe b). Wir benutzen die Formel für die Bahngeschwindigkeit. V = r * Omega. Und das ist 6,5m * 0,23Pi/s. Das ergibt für die Bahngeschwindigkeit im Abstand 6,5m, 4,76m/s. Wenn ihr euch an gerade eben erinnert, wenn ich die Wasserbombe loslasse, wird sie nicht mehr von mir auf der Kreisbewegung gehalten. Das heißt, sie fliegt in der Geschwindigkeit weiter, die sie hatte. Also die Tangente des Kreises in diesem Punkt. Unser Antwortsatz lautet also: Die Wasserbombe fliegt tangential mit 4,76m/s, das entspricht ungefähr 17km/h, weiter. Wir wollen nochmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Bewegt sich ein Punkt oder Körper auf einer Kreisbahn, so führt er eine Kreisbewegung aus. Eine Kreisbewegung wird beschrieben durch folgende Eigenschaften. Die Umlaufdauer T, die ich berechnen kann indem ich die benötigte Zeit durch die Anzahl der dabei erreichten Umläufe teile. Die Frequenz f, die ich erhalte indem ich eins durch die Umlaufdauer teile. Die Winkelgeschwindigkeit Omega, die den Wert 2Pi/T hat. Und der Bahngeschwindigkeit im Abstand r von der Mitte, die ich berechnen kann indem ich r mit der Winkelgeschwindigkeit Omega mal nehme. Außerdem haben wir gehört: Ist die Umlaufdauer T oder die mit ihr zusammenhängenden Größen, wie die Frequenz oder die Winkelgeschwindigkeit, konstant, so spricht man von einer gleichförmigen Kreisbewegung. So, das war es schon wieder für Heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.

6 Kommentare
  1. @Darius Dubiel

    Das Ergebnis von 0,73 ist richtig.

    Das Pi bleibt im Regelfall bis zum Ende stehen und wird erst dann verrechnet, da so die Anzahl an Rundungen reduziert wird. Pi ist nun mal eine Zahl mit unendlich Nachkommastellen.

    Beispiel
    Rechnet man (2*Pi)/8,57 kommt man auf 0,733
    Rechnet man (2/8,57)*Pi kommt man auf 0,722

    Von Karsten Schedemann, vor mehr als 4 Jahren
  2. bzw. warum bleiben die so stehen und man nimmt das Pi nicht mal?

    Von Darius Dubiel, vor mehr als 4 Jahren
  3. also ich komme auch auf 0,73? und warum rechnen Sie 2 / 8,57 bevor man mal mit pi nimmt?

    Von Darius Dubiel, vor mehr als 4 Jahren
  4. bei Winkelgeschindigkeit von Aufgabe a):

    2π/8,57=0,73π/s und nicht 0,23 :)

    Ein sehr guter Video zur Kreisbewegung

    Von Tina Mani, vor mehr als 4 Jahren
  5. @Petra Taenzer: Du rechnest 2 durch 8,57. Das sind rund 0,23. Das Pi im Zähler und die Sekunden im Nennen bleiben so stehen.

    LG,
    Max

    Von Maximilian T., vor mehr als 5 Jahren
  1. Wie kommt man in Aufgabe a) von 2Pi auf 0,23Pi?

    Von Petra Taenzer, vor mehr als 5 Jahren
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Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere die physikalischen Größen der Kreisbewegung.

    Tipps

    Beginne mit den Größen die du sicher kennst.

    Stelle dir die Drehbewegung als Experiment mit Stoppuhr vor. Und versuche die Größen an den Objekten zu verorten. Wie verändern sich diese Größen dann mit der Zeit?

    Lösung

    Die Kreisbewegung, begegnet uns häufig im Alltag. Der einfachste Fall ist eine sich drehende Scheibe. Markiert man diese mit einem Punkt, wandert dieser immer in einer Richtung um den Kreis herum. In diesem Beispiel können wir nun die Größen zuordnen.

    • Mit der Stoppuhr messen wir die gesamte Dauer der Bewegung - die Zeit $t$.
    • Dabei zählen wir die Anzahl der Umdrehungen unseres Punktes $n$.
    • Nun können wir aus diesen beiden Werten die Dauer für eine Umdrehung bestimmen - die Periodendauer $T=\frac tn$.
    • Aber auch deren Kehrwert, die Frequenz $f$, können wir damit bestimmen. Diese gibt an wie viele Umdrehungen pro Sekunde ablaufen. $f=\frac 1T=\frac nt$
    • Der Drehwinkel $\varphi$ findet sich direkt an der Drehachse. Dies ist der Winkel um den unser Punkt ausgelenkt wurde. Dieser kann bei mehreren Umdrehungen auch Werte über 360° erreichen.
    • Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt wiederum an, wie schnell sich dieser Winkel verändert.
  • Bestimme korrekte Aussagen zur Kreisbewegung.

    Tipps

    Wenn man sich die Kurve einer Straße oder eines Weges von oben anschaut, kann man erkennen, dass sie häufig als Ausschnitt eines Kreis beschrieben werden kann.

    Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung sind Umlaufzeit und Frequenz konstant.

    Lösung

    Man spricht von einer Kreisbewegung, wenn sich ein Körper auf einer kreisförmigen Bahn bewegt.
    Die gleichförmige Kreisbewegung stellt einen Spezialfall der Kreisbewegung dar. Bei ihr ist die Umlaufdauer und demnach auch die Frequenz konstant.
    Auch bei Kurvenfahrten, die man mit einem Auto oder einem Fahrrad macht, kann es sich um Kreisbewegungen handeln.

    Das Bild veranschaulicht eine Straße mit einer nach links führenden Kurve. Das grüne Auto führt beim Durchfahren dieser Kurve für kurze Zeit eine Kreisbewegung durch. Es fährt genau ein Viertel eines Kreises (gestrichelte Linie) ab und setzt anschließend eine geradlinige Fahrt fort.
    Der Krümmungsradius r dient der Beschreibung von Kurven.

  • Berechne die Bahngeschwindigkeit der Erdrotation für zwei Personen die an unterschiedlichen Stränden liegen und für einen Bergsteiger der den Ausblick vom Mount Everest genießt.

    Tipps

    Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, musst du zunächst den Umfang berechnen.

    Die Abweichung von der Äquatorposition geht als Cosinus des Winkels in die Rechnung ein.

    Lösung

    Um die Drehgeschwindigkeit zu bestimmen müssen wir zunächst den Erdumfang an den angegebenen Positionen bestimmen. Hierzu berücksichtigen wir den Abweichungswinkel vom Äquator $\alpha$ als Cosinus.

    $U= 2 \cdot r \cdot \pi \cdot cos(\alpha)$

    Zunächst für den einfachsten Fall:

    $U_{\text{Galapagos}}= 2 \cdot 6378 \text{km} \cdot \pi \cdot cos(0°)\approx 40074,2 \text{km}$

    Für den Nordseestrand macht sich der Winkel $\alpha$ bemerkbar.

    $U_{\text{Nordsee}}= 2 \cdot 6378 \text{km} \cdot \pi \cdot cos(53,52°)\approx 23825,8 \text{km}$

    Für den Mount-Everest macht sich sowohl der Winkel $\alpha$ wie auch die Höhe über 0 bemerkbar.

    $U_{\text{Mount-Everest}}= 2 \cdot (6378 \text{km}+8,848 \text{km}) \cdot \pi \cdot cos(27,98°)\approx 35439,0 \text{km}$

    Wir sehen also, dass der Erdumfang, senkrecht zur Drehachse, je nach Position auf der Erde stark variiert. Mit diesen Umfängen können wir nun einfach die Geschwindigkeit bestimmen.

    $v_{\text{Galapagos-Inseln}}= \frac{U}{t}=\frac{40074,2 \text{km}}{24\text{h}}=1669,8 \frac{\text{km}}{\text{h}}$

    $v_{\text{Nordseestrand}}= \frac{U}{t}=\frac{23825,8 \text{km}}{24\text{h}}=992,7 \frac{\text{km}}{\text{h}}$

    $v_{\text{Mount-Everest}}= \frac{U}{t}=\frac{ 35439,0 \text{km}}{24\text{h}}=1476,6 \frac{\text{km}}{\text{h}}$

    Aus diesen Werten lässt sich leicht ersehen, dass unsere Bahngeschwindigkeit sehr stark von unserem Platz auf der Erde abhängt.

    So ist man am Strand auf den Galapagos-Inseln viel schneller unterwegs als auf der Spitze des Mount-Everest. Und an der Nordsee sind wir fast nur noch halb so schnell unterwegs.

    Zusatzinformation
    Doch selbst diese Geschwindigkeit ist noch klein, denn die Geschwindigkeit mit der sich die Erde im Sonnensystem bewegt liegt bei 107208 km/h.

    Während sich unser Sonnensystem noch einmal viel schneller auf einer Kreisbahn in der Milchstraße bewegt. Mit dem Effekt das wir uns nahe des äußeren Randes der Galaxie im sogenannten Orion-arm befinden. Etwa 25.000 Lichtjahre vom Zentrum entfernt.

    Und auch die Galaxie entfernt sich mit einer großen Geschwindigkeit immer mehr vom Zentrum des Universums.

    Damit bist du selbst wenn du stehst, immer mit einer kosmologischen Geschwindigkeit unterwegs, gegen die selbst der schnellste Jet, sehr langsam wirkt. Doch wir bleiben ja meist im Bezugssystem der Erde, sodass du all diese Geschwindigkeiten für Berechnungen auf der Erde nicht berücksichtigen musst.

  • Berechne die Umlaufdauer $T$.

    Tipps

    Die Umlaufdauer T beschreibt, wie viel Zeit für eine Umdrehung benötigt wird.

    Berechnung der Umlaufdauer:

    Lösung

    Um die Leistungen von Inga und Marian miteinander vergleichen zu können, müssen die Umlaufzeiten bei jedem Versuch berechnet werden.
    Die Umlaufdauer ist definiert als die Zeit, die für genau einen Umlauf benötigt wird.

    Wenn man die Umlaufzeit einer Kreisbewegung möglichst genau messen möchte, dann sollte man nicht nur die Zeit eines Umlaufes messen. Die Messung wird nämlich genauer, wenn man die benötigte Zeit für viele Umläufe misst und anschließend die oben angegebene Formel verwendet. So hat zum Beispiel ein Messfehler von 1 s bei einem Messwert von 60 s weniger Gewicht als bei einem Messwert von 2 s.

  • Vergleiche die Bahngeschwindigkeiten der Läufer.

    Tipps

    Wenn alle Läufer die Kurve in der gleichen Zeit durchlaufen, dann unterscheidet sich ihre Winkelgeschwindigkeit nicht. Aufgrund der unterschiedlichen Bahnradien haben sie jedoch eine unterschiedliche Bahngeschwindigkeit.

    Die Bahngeschwindigkeit ergibt sich folgendermaßen: $v=\omega\cdot r$

    Lösung

    In den Sprintdisziplinen läuft in der Regel jeder Läufer auf seiner eigenen Bahn, damit sich die Athleten nicht gegenseitig stören. In Mittel- oder Langstreckendisziplinen darf hingegen jeder dort laufen, wo er gerne laufen möchte. Da der Kurvenradius r auf der Innenbahn am geringsten ist, muss auf dieser Bahn beim Durchlaufen der Kurve die geringste Strecke zurückgelegt werden. Laufen nun zwei Athleten nebeneinander durch die Kurve, so muss der Athlet, der sich auf der äußeren Bahn befindet, schneller laufen als der Athlet auf der Innenbahn. Er braucht bei gleicher Winkelgeschwindigkeit auf Grund des größeren Bahnradius eine höhere Bahngeschwindigkeit. Andernfalls fällt er zurück. Dies ist an der Formel $v=\omega\cdot r$ zu erkennen. Die Sportler laufen deshalb schnell nach dem Start auf die Innenbahn und versuchen sich hier gut im Läuferfeld zu positionieren.

  • Bestimme die Anzahl der Umläufe.

    Tipps

    Versuche, dir die beschriebene Veränderung an der sich drehenden Kreisscheibe vorzustellen.

    Lösung

    Aus viele dieser Größen kann man schnell ermitteln, wie oft sich das Objekt gedreht hat.

    Beispiel 1
    $f=20 \frac{1}{\text{s}}$,$~t=2 \text{s}$

    Aus der Frequenz $f$ und der Zeit $t$ lässt sich $n$ bestimmen, über:

    $f=\frac nt$ damit ist $n=f \cdot t=20 \frac{1}{\text{s}} \cdot 2 \text{s}=40$

    Beispiel 2
    $T=10 \text{s}$,$~t=5 \text{s}$

    Auch über die Periodendauer $T$ und die Zeit $t$ lässt sich $n$ bestimmen, über:

    $T=\frac tn$ damit ist $n=\frac tT= \frac{5 \text{s}}{10 \text{s}}=0,5$

    Beispiel 3
    $\Delta \varphi=540°$

    Auch über die Winkelveränderung $\Delta \varphi$ lässt sich $n$ direkt bestimmen. Dabei ist wichtig das eine Umdrehung $\Delta \varphi=360°$ gilt.

    $n=\frac{\Delta \varphi}{360°}=\frac{540°}{360°}=1,5$

    Beispiel 4
    $\Delta \varphi=720°$

    $n=\frac{\Delta \varphi}{360°}=\frac{720°}{360°}=2$