sofatutor 30 Tage
kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Hookesches Gesetz

Bewertung

Ø 4.1 / 115 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Physik-Team

Hookesches Gesetz

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Hookesches Gesetz

HOOKE’sches Gesetz – Definition

Das HOOKE’sche Gesetz beschreibt die Wirkung einer Kraft auf linear elastische Körper. Ein linear elastischer Körper ändert gleichmäßig seine Länge $l$ bei einer Belastung durch eine Kraft $F$ und kehrt nach Ende der Belastung wieder in seine ursprüngliche Form zurück.
Beispiele für linear elastische Körper sind Schraubenfedern (Federn) Die unterschiedlichen Bauformen und dem damit verbundenen Dehnungsverhalten linear elastischer Körper werden durch die Federkonstante $D$ ausgedrückt. Man spricht hier auch von der Härte einer Feder.

Hookesches Gesetz Formel

Wirkt eine Kraft $F$ auf eine Schraubenfeder mit der Federkonstanten $D$, wird diese länger um die Längenänderung $\Delta l$:

$\Delta l = \dfrac{F}{D}$.

Zur Bestimmung der Federkonstanten $D$ einer unbekannten Schraubenfeder, wird die Gleichung nach $D$ umgestellt.

$D=\dfrac{F}{\Delta l}$

Am häufigsten wird jedoch die Stärke einer wirkenden Kraft $F$ bestimmt. Jeder Federkraftmesser besitzt eine Schraubenfeder bekannter Härte mit einer darauf abgestimmten Skala. Aber auch mit einer einzelnen Schraubenfeder mit bekannter Federkonstanten $D$ kann die Stärke einer Kraft über die Längenänderung $\Delta l$ bestimmt werden.

$F=D \cdot \Delta l$

Jeweils mit:

  • der Kraft $F$ mit der Einheit $\text{N}=\dfrac{\text{kg}\cdot \text{m}}{\text{s}^{2}}$.
  • der Längenänderung $\Delta l$, $\Delta s$ oder $\Delta x$ mit der Einheit $\text{m}$.
  • der Federkonstante $D$ mit der Einheit $\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$.

HOOKE’sches Gesetz Aufgaben

Typische Aufgaben zum HOOKE’schen Gesetz sind das Auswerten von realen oder fiktiven Messwerten und deren Auftragung in ein Kraft-Länge-Diagramm. Dann wird über die Steigung der linearen Funktion die Federkonstante $D$, der genutzten Feder, bestimmt. Auf diesem Wege wird das HOOKE’sche Gesetz einfach erklärt, da man im Diagramm sehr schnell die Zusammenhänge erkennen kann.

Messwerte

$\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c} \text{Kraft} F \text{ in N}&0&1&2&3&4&5 \\ \hline \text{(1)} \Delta l \text{ in cm bei }D=5\frac{\text{N}}{\text{cm}}&0&0,2&0,4&0,6&0,8&1 \\ \hline \text{(2)} \Delta l \text{ in cm bei }D=2\frac{\text{N}}{\text{cm}}&0&0,5&1&1,5&2&2,5 \\ \hline \text{(3)} \Delta l \text{ in cm bei }D=\frac14\frac{\text{N}}{\text{cm}}&0&2&4,1&4,1&4,1&4,1 \\ \end{array}$

Diagramm

Messdiagramm dreier Schraubenfedern

Mit dem Steigungsdreieck kann man dann die Federkonstanten D der Federn schnell bestimmen.

HOOKE’sches Gesetz – Gebrauch und Notwendigkeit

Das HOOKE’sche Gesetz ist notwendig, um die Funktionsweise eines Federkraftmessers zu verstehen.
Das HOOKE’sche Gesetz ist zumeist der erste proportionale Zusammenhang, der in der Physik aufgezeigt und bewiesen wird. Auch ist es häufig eine der ersten Messreihen die im Physik aufgenommen wird. Hierbei wird auch häufig auf die Wiederholbarkeit einer Messung eingegangen.
Mit dem HOOKE’schen Gesetz wird auf die praktischen Grenzen seiner Gültigkeit hingewiesen. Schraubenfedern sollte man nicht überdehnen, da sie dann ihre linear elastischen Eigenschaften verlieren. Hier muss die Feder immer passend zur Belastung ausgewählt werden.

Typische Federn Es gibt Federn mit den unterschiedlichsten Federkonstanten. Die Federkonstante typischer Federn aus dem Physikunterricht liegt zwischen $100$ und $500\,\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$ während die Federn im Auto eine Federstärke von rund $13\,000\,\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$ besitzen.

Transkript Hookesches Gesetz

Hallo. Sicherlich hast du in der Schule schon einmal mit einem Federkraftmesser eine Kraft gemessen. Aber weißt du auch, wie ein Federkraftmesser funktioniert? Woher können wir denn wissen, dass wir mit einer Metallfeder eine Kraft messen können?

Videoinhalte

Diesen Fragen wollen wir uns in diesem Video stellen und uns ganz speziell das sogenannte Hookesche Gesetz anschauen. Zuerst lernst du, wie Kräfte unterschiedliche Verformungen verursachen. Dann untersuchen wir ein einfaches Experiment zur Verformung einer Schraubenfeder. Und schließlich kommen wir zu Robert Hooke und dem nach ihm benannten Gesetz.

Die Verformung

Beginnen wir also mit der Verformung. Die Verformung ist eine mögliche Wirkung von Kräften auf Körper. Erinnerst du dich, was eine Kraft ist? Sie gibt an, wie stark Körper aufeinander wirken. Die Kraft groß F wird dabei in Newton, also groß N angegeben. Sie kann die Bewegung oder die Form eines Körpers verändern. Das heißt, wenn auf einen Körper eine Kraft wirkt, dann kann dieser bewegt, abgelenkt oder verformt werden.

Plastische Verformung

Bei der Verformung von Körpern unterscheiden wir zwischen zwei Arten: Plastisch und elastisch. Plastische Verformungen sind dauerhaft. Wenn du zum Beispiel eine Knetkugel mit den Fingern eindrückst, dann bleiben diese Dellen erhalten. Daher kommt übrigens auch die Bezeichnung Plastik für eine Statue aus Metall oder Gips.

Elastische Verformung

Eine elastische Verformung ist dagegen zeitabhängig. Drückst du einen Gummiball mit den Fingern zusammen, dellt er sich auch ein. Lässt du ihn aber wieder los, sieht er aus wie vorher. Elastische Verformungen sind zeitweilig und der Körper kehrt in seine Ausgangsform zurück, wenn keine Kraft mehr wirkt. Die Feder im Federkraftmesser müsste sich also elastisch verformen. Aber wie kann man diese Verformung berechnen?

Experiment

Dazu schauen wir uns ein einfaches Experiment an. An einem Stativstab ist ein Lineal und eine Schraubenfeder befestigt. Die Schraubenfeder hängt anfangs locker nach unten. Am unteren Ende legen wir den Punkt x null fest. Wenn wir jetzt ein Massestück von 50 Gramm anhängen, dann dehnt sich die Feder um eine Länge x eins gleich 5 cm.

Jetzt hängen wir zwei Massestücke von 50 Gramm, also insgesamt 100 Gramm an. Jetzt wird eine Länge x zwei von 10 cm erreicht wurde. Bei drei Massestücken, also 150 Gramm beträgt die Länge x drei schließlich 15 cm. Bemerkt ihr schon die Regelmäßigkeit? Doch bei vier Massestücken sind es plötzlich 23 cm. Was hat denn das zu bedeuten?

Das Ausdehnungs-Kraft-Diagramm

Naja, wir haben die Werte erstmal in eine Wertetabelle eingetragen. In der freien Spalte berechnen wir jetzt noch die Gewichtskraft der Massestücke. Die Gewichtskraft F_g ist das Produkt aus der Masse m und dem Ortsfaktor g. Wir runden den Ortsfaktor hier auf g gleich 10 Newton pro Kilogramm. Für den ersten Zustand ist die Kraft F gleich 0,05 Kilogramm mal 10 Newton pro Kilogramm. Das Ergebnis sind 0,5 Newton. Für die anderen Zustände ergeben sich Werte von 1 , 1,5 und 2 Newton.

Diese Werte stellen wir jetzt in einem Ausdehnungs-Kraft-Diagramm dar. Die Ausdehnung x in cm auf die Rechtswertachse, die Kraft F in Newton auf die Hochwertachse. Tragen wir nun die Wertepaare ein. Null und Null. 5 und 0,5. 10 und 1. 15 und 1,5. Und zum Schluss 23 und 2.

Die Proportionalität

Bei den ersten vier Wertepaaren kann man gut erkennen, dass hier ein besonderer Zusammenhang besteht. Wir können eine Ursprungsgerade durch diese Punkte ziehen. Diesen Zusammenhang nennt man Proportionalität. In diesem Bereich ist die einwirkende Kraft F proportional zur Ausdehnung x.

Robert Hooke

Und genau dieser Zusammenhang ist die Grundaussage des Gesetzes von Hooke. Robert Hooke lebte Ende des 17. Jahrhunderts und fast zeitgleich mit Isaac Newton. Auch er war ein britischer Physiker und Universalgenie. Er studierte zahlreiche Wissenschaften, schrieb ein Buch über mikroskopisch kleine Tiere und Pflanzenteile und erfand den ersten optischen Telegraphen. Bei der Arbeit an Pendeluhren entdeckte er dann 1687 den eben gezeigten Zusammenhang von Kraft und Ausdehnung an Spiralfedern.

Erklärung des Hookeschen Gesetzes

Das nach ihm benannte Hookesche Gesetz beschreibt allgemein das elastische Verhalten von Festkörpern. Die elastische Verformung ist dabei proportional zur einwirkenden Kraft. Und bei einer Proportionalität ist der Quotient der beiden Werte immer konstant. Dieser konstante Wert ist die Federkonstante D. Sie beschreibt so etwas wie die Härte oder Steifigkeit und ist eine Kenngröße für jede Feder. Stellen wir die Gleichung nach F um, ergibt sich F gleich D mal x. Das ist die mathematische Form des Hookeschen Gesetzes.

Die Federkonstante entspricht also dem Anstieg der Geraden im Diagramm. In unserem Versuch haben wir eine vergleichsweise weiche Feder verwendet. Die Federung in einem Fahrrad muss dagegen etwas härter sein, weil sie viel größere Kräfte aufnehmen muss. Im Ausdehnungs-Kraft-Diagramm hätte die Gerade einer härteren Feder einen größeren Anstieg. Und eine weichere Feder hätte einen geringeren Anstieg.

Berechnung der Federkonstante

Für unser Experiment können wir die Federkonstante mit Hilfe des Anstiegsdreieckes bestimmen. Der Anstieg ist hier Delta F durch Delta x. In unserem Anstiegsdreieck sind das 1 Newton durch 10 Zentimeter. Als Ergebnis erhalten wir 0,1 Newton pro Zentimeter. Doch hey! Haben wir da nicht einen Punkt vergessen? Was ist denn da passiert?

Dieser “Ausreißer” zeigt uns eine Grenze des Hookeschen Gesetzes. Wenn die Kräft nämlich zu groß wird, dann kann sich ein anfangs elastischer Körper plötzlich plastisch verändern. Das heißt, die Feder ist jetzt dauerhaft verformt und geht nicht mehr in ihren Ausgangszustand zurück. Sei also schön vorsichtig mit den Federkraftmessern in der Schule, sonst verbiegst du die Feder dauerhaft und dann kann man damit nicht mehr ordentlich messen.

Zum anderen gilt das Gesetz nicht für alle elastischen Körper, sondern nur für linear-elastische Körper. Das bedeutet, dass die Kennlinie im Diagramm eine Gerade sein muss. Auf Gummi beispielsweise trifft das nicht zu.

Zusammenfassung

Fassen wir also zusammen: Durch wirkenden Kräfte können an Körpern plastische oder elastische Verformungen entstehen. Die elastische Verformung einer Schraubenfeder kann man mit Massestücken und einem Lineal einfach messen. Aus der Auswertung ergibt sich, dass diese Verformung proportional zur wirkenden Kraft ist, was die Kernaussage des Hookeschen Gesetzes ist. Aus dem Quotienten von Kraft und Ausdehnung ergibt sich die Federkonstante D.

Und das ist auch die Antwort auf unsere Anfangsfrage. Wenn man die Federkonstante kennt, weiß man bei welcher Kraftwirkung welche Ausdehnung erzeugt wird. Auf diese Weise werden mithilfe des Hookeschen Gesetzes Federkraftmesser geeicht. Doch wofür nutzt man Metallfedern eigentlich noch? Schau dich doch mal um. Vielleicht findest du noch mehr Orte, wo die Härte einer Feder eine wichtige Rolle spielt. Viel Spaß beim Neugierig sein!

33 Kommentare

33 Kommentare
  1. Sehr schlecht und kompliziert erklärt. Hab fast nichts verstanden

    Von Itslearning Nutzer 2535 45249, vor 12 Tagen
  2. Vielen Dank, meine Lehrerin konnte das nicht so gut erklären :)

    Von Alla Prokhorova, vor 4 Monaten
  3. Hallo Mikeausm,

    das grün in der Lösungsanzeige zeigt, dass du das richtig gemacht hast. Nicht das die Antwort richtig gewesen wäre.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Karsten S., vor 11 Monaten
  4. Hallo. Bei einer Aufgabe musste man alles was richtig ist ankreuzen. Warum aber wurde bei der Lösung gesagt, dass plastische Verformungen wieder rückgängig gemacht werden können?

    Von Mikeausm, vor 11 Monaten
  5. Auch für uns war es etwas schwierig, da wir in der Schule ebenfalls Delta l immer als s benannt haben... Deshalb schien es wie eine andere Formel am Anfang

    Von Susanne 96, vor etwa einem Jahr
Mehr Kommentare

Hookesches Gesetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Hookesches Gesetz kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die plastische und elastische Verformung.

    Tipps

    Überlege dir, welche Verformungen du aus dem Alltag kennst.

    Diese Statue von Gotthold Ephraim Lessing, die in Berlin steht ist eine Plastik.

    Lösung

    Du hast sicherlich schon mal mit einem Flummi gespielt. Man kann den Flummi zusammendrücken und wenn man loslässt, also keine Kraft mehr auf ihn ausübt, nimmt er wieder seine ursprüngliche Form an. Diesen Vorgang nennt man elastische Verformung.

    Bei der plastischen Verformung nimmt der Körper seine ursprüngliche Form nicht mehr an. Das Töpfern ist ein sehr gutes Beispiel dafür. Du bringst den Ton in die gewünschte Form und er verbleibt so. Durch das Brennen nimmst du dann dem Ton seine Verformbarkeit.

    Eine Feder ist bis zu einem bestimmten Punkt elastisch. Dehnst du aber die Feder zu weit, wird sie plastisch verformt.

  • Nenne das Hookesche Gesetz.

    Tipps

    Erinnere dich daran, welche Größen in dem Versuch gemessen wurden und wie der Graph aussah.

    $x$ ist eine Längenänderung.

    Lösung

    Wichtig ist, dass du dich erinnerst, dass in dem Experiment verschiedene Massen angehängt wurden, die verschieden Kräfte $F$ auf die Feder ausgeübt haben. Gemessen wurde daraufhin die Auslenkung $x$ der Feder.

    Da die Punkte im Koordinatensystem eine gerade Linie ergeben, die durch den Ursprung verläuft, spricht man von einem proportionalen Zusammenhang. Den Proportionalitätsfaktor, also die Steigung der Geraden, nennen wir Federkonstante $D$.

    Das Hookesche Gesetz gilt jedoch nur, solange eine (linear) elastische Verformung stattfindet. Bei plastischen Verformungen kann man es nicht anwenden.

  • Vergleiche die beiden Federn anhand ihrer Auslenkungs-Kraft-Diagramme.

    Tipps

    Finde heraus, welche physikalischen Größen gegeneinander aufgetragen sind.

    Überlege, wie man die Federstärke D bestimmt und wo man sie möglicherweise im Diagramm ablesen könnte.

    Neben den Unterschieden, haben die Federn auch Gemeinsamkeiten.

    Lösung

    Die Proportionalität von F und x bedeutet, dass man immer dasselbe Ergebnis erhält, falls man F und x dividiert. Dieses Ergebnis ist die Proportionalitätskonstante, die man auch Federkonstante nennt. Sie sagt etwas über die Härte der Feder aus. Eine große Federkonstante bedeutet dabei, dass es sich um eine harte Feder handelt. Dies kannst du auch im Diagramm sehen, wenn du dir in beiden Diagrammen einen Kraftwert aussuchst und die zugehörigen Auslenkungen vergleichst. Bei einer harten Feder erhältst du natürlich eine kleinere Auslenkung x als bei einer weichen Feder.

    Über die Länge der Feder kannst du hingegen keine Aussage treffen. Genauso wenig kannst du sagen, welche Masse gerade an einer der Federn hängt, da das Diagramm einen Verlauf über viele verschiedene Massen zeigt.

    Es müsste eine konkrete Ausdehnung der Feder angegeben sein, um eine bestimmte Masse angeben zu können.

  • Bestimme die Federkonstante einer Feder mit Hilfe eines Versuchs.

    Tipps

    Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Steigungsdreieck einzuzeichnen.

    Rechne mit Brüchen, indem du auf der x-Achse die Anzahl der Drittel-Striche zählst.

    Lösung

    Jede Masse, ist auf der Erde der Fallbeschleunigung $g$ ausgesetzt. Multipliziert man die Masse mit der Fallbeschleunigung, erhält man die Gewichtskraft $F_G$. Die Fallbeschleunigung nehmen wir hier vereinfacht als $g=10\frac{m}{s^2}=10 \frac{N}{kg}$ an.

    Am einfachsten ist es, zur Berechnung der Steigung die Punkte (0,0) und (3,9) heranzuziehen. Dann kannst du die Werte für $\Delta F$ und $\Delta x$ direkt von den Koordinaten des zweiten Punktes übernehmen.

    $D=m=\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{9~N}{3~cm}=3~\frac{N}{cm} $

    Alternativ könntest du auch aus folgenden Punkten wählen:

    (1/3,1), (1,3), (5/3,5), (7/3,7)

    Wenn du die ersten beiden Punkte voneinander abziehst oder das Steigungsdreieck zwischen diesen Punkten einzeichnest, erhältst du: $D=m=\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{3-1~N}{1-\frac{1}{3}~cm}=\frac{2~N}{\frac{2}{3}~cm}= 3~\frac{N}{cm} $

  • Beschreibe Robert Hooke.

    Tipps

    Was besagt das Hookesche Gesetz?

    Das Gesetz: $F=m \cdot g$ ist von der gleichen Person entdeckt worden, die der Einheit der Kraft ihren Namen gab.

    Lösung

    Das Hookesche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Kraft und Auslenkung bei einer elastischen Verformung und wurde von dem britischen Physiker Robert Hooke entdeckt.

    Er forschte auch in vielen anderen Bereichen und entwickelte unter anderem den ersten optischen Telegraphen.

    Das Gesetz F = m $\cdot$ g ist das zweite Newtonsche Axiom mit der Fallbeschleunigung $g$ und wurde nicht von Hooke entdeckt. Es wurde von Sir Isaac Newton entdeckt.

    Beide Physiker lebten in etwa zur selben Zeit.

  • Gib die Masse an, die bei einer Feder der Härte 10 N/mm eine Auslenkung von 2 cm bewirkt.

    Tipps

    Verwende die mathematische Darstellung des Hookeschen Gesetzes.

    Nutze auch Newtons zweites Gesetz.

    Lösung

    Um die Masse zu bestimmen, die die Feder um 2 cm auslenkt, verwenden wir am besten die mathematische Beschreibung des Hookeschen Gesetzes:

    F = D $\cdot$ x

    Wenn wir D = 10 N/mm und x = 2 cm einsetzen, erhalten wir die Kraft, die auf die Feder wirkt. Beachte jedoch die Einheiten!

    F = 10 N/mm $\cdot$ 20 mm = 200 N

    Um daraus die Masse zu bestimme, muss die Kraft durch die Erdbeschleunigung g geteilt werden, die etwa 10 m/s² beträgt.

    Dieser Zusammenhang wird im zweiten Newtonschen Gesetz formuliert:

    F = m $\cdot$ g

    Somit erhalten wir für m = 20 kg.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.862

Lernvideos

44.043

Übungen

38.592

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden