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Gravitationsfeld und Relativität 11:49 min

Textversion des Videos

Transkript Gravitationsfeld und Relativität

Hallo und herzlich willkommen bei einem Video von Dr. Psi! Heute wollen wir mit einem Fahrstuhl ins All fahren. Dabei lassen wir mal ein Objekt fallen und beobachten, was damit und mit uns selber passiert. Genauer, wir befassen uns heute mit dem Zusammenhang zwischen Gravitation und Relativität. Zuerst noch ein paar Worte zur speziellen Relativitätstheorie. Also anschnallen zum Take-off. Du kennst sicherlich das Relativitätsprinzip als eine der wichtigsten Aussagen der speziellen Relativitätstheorie. In jedem Inertialsystem gelten die physikalischen Gesetze in gleicher Weise. Damit gibt es kein ausgezeichnetes Bezugssystem. Du hast sicherlich schon einmal in einem Zug gesessen und wenn dieser Zug sich auf einem Bahnhof befindet und du hast einen Nachbarzug und dein Zug setzt sich ganz leicht und ohne Ruckeln in Bewegung, so kannst du im ersten Moment gar nicht sicher sein, welcher der Züge fährt. Und du kannst höchstens einen Blick auf den Bahnhof werfen und dann siehst du durch Vergleich, dass dein Zug fährt. Verallgemeinern wir dieses Prinzip, so können wir sagen, dass kein Beobachter innerhalb eines Inertialsystems feststellen kann, ob er ruht oder sich in geradlinig gleichförmiger Bewegung befindet. Soweit ein paar Anmerkungen zu Aussagen der speziellen Relativitätstheorie. Und nun wollen wir etwas sagen zur allgemeinen Relativitätstheorie, mit der wir uns im Folgenden etwas näher befassen wollen. Ja, während sich also die spezielle Relativitätstheorie mit Inertialsystemen befasst, geht es in der allgemeinen Relativitätstheorie um beschleunigte Bezugssysteme. Das heißt, es geht darum, wie Objekte reagieren, wenn Kräfte auf sie ausgeübt werden. Und das wollen wir uns jetzt einmal anschauen. Wir engagieren dazu Tom als Beobachter und als erstes begeben wir uns mit Tom in die Kabine eines Fahrstuhls. Tom hat vorher sein Smartphone, sein Notebook und alles das, was er benötigt, um mit der Umwelt zu kommunizieren, abgegeben. Er befindet sich in dieser Fahrstuhlkabine also völlig abgeschlossen von der Umgebung. Damit kann also Tom nicht mit der Außenwelt kommunizieren. Tom lässt nun ein Objekt fallen. Und wie es üblich ist und wie Tom es erwartet, fällt das Objekt nach unten auf den Boden der Kabine. Kann Tom sich nun sicher sein, dass er sich auf der Erde, das heißt im Schwerefeld der Erde befindet? Nein, kann er nicht. Er könnte sich auch an Bord einer Rakete befinden. Während sich der Fahrstuhl in der Erde befinden oder auf der Erde befinden würde, würde die Gravitation das Objekt zu Boden fallen lassen. Die zweite Möglichkeit wäre, wenn er sich wie hier dargestellt in einer Rakete befinden würde mit seiner Fahrstuhlkabine und diese Rakete würde beschleunigt werden und zwar nach oben. Und dann würde der Kabinenboden sich auf das Objekt beschleunigt zubewegen. Zwischen diesen beiden Möglichkeiten, einmal Wirkung der Gravitation und einmal eine beschleunigende Kraft auf die Rakete, kann Tom nicht unterscheiden. Das ist ein wichtiger Satz. Den wollen wir uns notieren: Also, beide Möglichkeiten sind nicht zu unterscheiden. Ja, damit steckt Tom in einem Dilemma. Aber es geht noch weiter. Wir wollen als Nächstes ein zweites Gedankenexperiment durchführen. Ja nun zu unserem zweiten Gedankenexperiment. Tom schwebt nun in einer Kabine. Die Voraussetzungen haben wir aus unserem ersten Gedankenexperiment. Und er lässt wieder ein Objekt fallen. Und dieses Objekt schwebt genauso wie er in der Kabine. Du kennst vielleicht Aufnahmen aus dem All, wenn ein Astronaut in der Rakete sich befindet und er lässt dort ein Objekt frei im Raum schweben. Das schwebt genauso schwerelos wie unser Tom und das Objekt in der Kabine. Welche Erklärungsmöglichkeiten gibt es nun für Tom? Er kann einmal mit seiner Kabine, die wir hier dargestellt haben, sich in einem Fahrstuhl befinden und dieser Fahrstuhl rast auf die Erde zu. Du könntest das mal zuhause, wenn du einen Fahrstuhl hast, selber machen. Du nimmst eine kleine Personenwaage und stellst dich rauf und der Fahrstuhl fährt nach oben und nach unten. Beobachte dann mal die Anzeige auf dem Messgerät und das führt letzten Endes zu unserer ersten Möglichkeit des freien Falls der Kabine. Er kann aber auch, und das ist die zweite Variante, sich frei im Weltraum wie unsere Astronauten, die sich zwar im Schwerefeld der Erde noch befinden, aber recht weit weg, wenn diese Kabine sich weit weg von jedem Körper befindet, dann fehlt auch jedes Gravitationsfeld. Dann würde auch Tom wieder in seiner Kabine schweben und das Objekt auch. Zwischen beiden Möglichkeiten kann Tom nicht unterscheiden. Nun, diese Möglichkeiten der Erklärung führten zu Einsteins Äquivalenzprinzip. Und das Äquivalenzprinzip lautet: es gibt keinen lokal messbaren Unterschied zwischen der Wirkung einer beschleunigenden Kraft und der eines Gravitationsfeldes. Nun, sehen wir hier „lokal“ noch besonders hervorgehoben. Das müssen wir kurz erklären. Angenommen, die Kabine von Tom wäre ein paar 100 km breit. In einem Gedankenexperiment können wir das durchaus annehmen. Und Tom besitzt eine Möglichkeit, auf beiden Enden ein Objekt fallen zu lassen, dann würde, wenn es sich auf der Erde in einem Fahrstuhl befinden würde, würden die beiden Fall Linien aufeinander zu laufen, weil nämlich das Schwerefeld der Erde hier wirkt. Also deswegen müssen wir hier „lokal“ schreiben. Wir betrachten also eine relativ kleine Kabine. Im Gedankenexperiment ist vieles erlaubt. Es gibt aber noch eine kleine Anmerkung, die wir für dieses Einstein’sche Äquivalenzprinzip durchführen müssen. Es ist die Gleichheit und ich schreibe einfach mal hier etwas lax hin: die Gleichheit von schwerer Masse und träger Masse. Was verbirgt sich dahinter? Nun, du kennst die schwere Masse. Schwere Masse ist dadurch charakterisiert, dass zum Beispiel zwei Massen gleich schnell zu Boden fallen, also 1 kg Eisen und eine Münze. Beide fallen gleich schnell im Vakuum wohlgemerkt zu Boden. Die träge Masse, das ist die Wirkung eines Körpers, der seinen Bewegungszustand ändert und diese träge Masse und die schwere Masse sind gleich groß. Das ist die Voraussetzung für dieses Prinzip. Und es ist bisher mit keinem Experiment gelungen, einen messbaren Unterschied zwischen diesen beiden Massen herzustellen. Ja, das war unser kleiner Ausflug in die Beziehung zwischen Gravitationsfeld und Relativität. Wir haben einmal die Aussage der speziellen Relativitätstheorie wiederholt und hatten festgestellt, diese beschäftigte sich mit Inertialsystemen. Und wir sind jetzt weiter zur allgemeinen Relativitätstheorie übergegangen. Dort beschäftigen wir uns mit beschleunigten Bezugssystemen. Und wir haben zwei Gedankenexperimente durchgeführt, die jeweils zwei Möglichkeiten der Erklärung hatte, die beide nicht zu unterscheiden sind. Und daraufhin haben wir uns dem Einstein’schen Äquivalenzprinzip zugewendet, dass es keinen lokal messbaren Unterschied zwischen der Wirkung einer beschleunigenden Kraft und der eines Gravitationsfeldes besteht. Und damit hatten wir noch eine Voraussetzung für dieses Prinzip erklärt: Schwere Masse und träge Masse sind jeweils gleich groß. Damit sind wir am Ende unseres kleinen Videos zum Gravitationsfeld und zur Relativitätstheorie. Ja, das war's für heute. Vielleicht sehen wir uns bald wieder bei einem Video von Dr. Psi. Auf Wiedersehen!

Gravitationsfeld und Relativität Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gravitationsfeld und Relativität kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, was das Relativitätsprinzip besagt.

    Tipps

    Es gibt kein ausgezeichnetes Bezugssystem.

    Jedes Inertialsystem kann als Ansatz zur Beschreibung der physikalischen Realität dienen.

    Lösung

    Nach dem Relativitätsprinzip gelten physikalische Gesetze in jedem Inertialsystem auf die gleich Weise. Somit gibt es kein ausgezeichnetes Bezugssystem und jedes System kann als Bezugssystem dienen.

    Stell dir vor, du sitzt in einem Zug. Fährt dein Zug oder ein Zug neben dir los, so kannst du nicht sicher sein, welcher Zug sich nun bewegt.

    Allgemeiner formuliert: Ein Beobachter innerhalb eines Inertialsystems kann nicht feststellen, ob er ruht oder sich in gleichförmiger Bewegung befindet.

    Beide Möglichkeiten sind voneinander nicht zu unterscheiden.

  • Gib an, warum der Fahrstuhl als ein Inertialsystem angesehen werden kann.

    Tipps

    Die Grenzen eines Inertialsystems sind frei wählbar.

    Inertialsysteme sind ein praktisches Werkzeug der Relativitätstheorie.

    Lösung

    Ein Inertialsystem ist ein frei wählbares System, in welchem die gleichen physikalischen Gesetze gelten wie in jedem anderen System.

    Die Ausmaße des Systems sind dabei nicht von Belang. Ein Inertialsystem kann demnach ein Auto, ein Planet oder eben ein Fahrstuhl sein. Dabei ist es praktisch, wenn das System klare Grenzen aufweist. Diese sind jedoch nicht unbedingt nötig und können auch rein mathematischer Natur und in der Realität unsichtbar sein. Auch die Beweglichkeit ist nicht unbedingt notwendig, damit ein Inertialsystem gewählt werden kann. Es ist lediglich praktisch für das betrachtete Gedankenexperiment, dass ein Fahrstuhl in der Regel auf und ab fährt.

    Wie du siehst, sind Inertialsysteme relativ leicht zu definieren, sie sind willkürlich festlegbare Systeme, anhand derer wir die Grundlagen der Relativitätstheorie gut erklären können.

  • Untersuche, warum das Äquivalenzprinzip nur lokal gültig ist.

    Tipps

    Das Äquivalenzprinzip besagt, dass es keinen lokal messbaren Unterschied zwischen der Wirkung einer beschleunigenden Kraft und einem Gravitationsfeld gibt.

    Gravitationsfelder sind auf das Zentrum ihrer Masse hin gerichtet.

    In einem homogenen Feld sind die Feldlinien parallel.

    Lösung

    Um die Einschränkung des Äquivalenzprinzips erklären zu können, schauen wir uns zunächst einmal die Geometrie des Gravitationsfeldes an.

    Per Definition ist das Gravitationsfeld ein radialsymmetrisches. Das bedeutet, die Beschleunigung $g$ ist von jedem Punkt des Feldes aus auf den Mittelpunkt des Feldes gerichtet, das Massezentrum.

    Zwei Punkte, die weit auseinander liegen, also nicht lokal sind, erfahren sehr unterschiedliche Richtungen bei der Beschleunigung.

    Das siehst du gut, wenn du die Punkte $A$ und $B$ in der Grafik vergleichst. Im freien Fall bewegen sich Gegenstände hier in unterschiedliche Richtungen. Vergleichen wir diese Beobachtung nun mit einem homogenen Feld.

    In einem homogenen Feld, wie es etwa in einem beschleunigten Fahrstuhl herrscht, sind die Feldlinien exakt parallel. Das bedeutet, egal an welcher Stelle, die Richtungen der beschleunigten Bewegung sind in diesem Feld immer gleich.

    Ein radialsymmetrisches Gravitationsfeld kann nur für sehr kleine lokale Bereiche als homogenes Feld angenommen werden. So kommt es, dass die Annahme der Äquivalenz von Gravitationsfeld und beschleunigender Kraft nur für einen kleinen, lokalen Bereich gültig ist.*

  • Gib Einsteins Äquivalenzprinzip an.

    Tipps

    $ F = m \cdot a$

    Das Prinzip beruht auf der Tatsache, dass ein Beobachter nur einen Teil des Experimentes kennt.

    Äquivalenz bedeutet etwa Gleichwertigkeit.

    Lösung

    Um das Einstein'sche Äquivalenzprinzip besser verstehen zu könne, betrachten wir zunächst einmal ein Gedankenexperiment:

    Ein Beobachter befindet sich in einer Kabine wie etwa der in einem Fahrstuhl. Er schwebt in der Kabine. Das bedeutet, dieser befindet sich entweder im freien Fall im Gravitationsfeld oder es ist überhaupt kein Gravitationsfeld vorhanden. Zwischen diesen beiden Möglichkeiten kann der Beobachter im Inneren der Kabine jedoch nicht unterscheiden, da dieser nur die Wirkungen erfährt, nicht aber die Ursache. Der Beobachter muss nun also bestimmen, ob er sich entweder im freien Fall oder aber außerhalb jeden Gravitationsfeldes befindet.

    Er kann jedoch nicht entscheiden, welcher der beiden Fälle vorliegt, sodass er von der Äquivalenz seiner Erklärungen ausgehen muss.

    Beide Ansätze sind für den Beobachter richtig, da dieser nur einen lokalen Einblick in die Wirkung der Kräfte, jedoch keinen Überblick haben kann.

    Betrachten wir die Formel $ F = m \cdot a$, so wird klar, dass der freie Fall der Beschleunigung im Schwerefeld der Erde entgegenwirkt, sodass die resultierende Kraft $F_r = 0 $ ist. Die resultierende der Gewichtskraft außerhalb eines Schwerefeldes mit $ a = 0 $ entspricht ebenfalls $F_r = 0 $ .

    In beiden Fällen fühlt der Beobachter sich also schwerelos, weshalb die beiden Zustände unabhängig von deren Ursachen als identisch wahrgenommen werden.

    Einstein beschreibt diesen Umstand in seinem Äquivalenzprinzip.

  • Erkläre das Gedankenexperiment.

    Tipps

    Ziel des Gedankenexperimentes ist es, den Zusammenhang zwischen Gravitation und beschleunigtem Inertialsystem zu zeigen.

    Tom ist gänzlich von der Außenwelt abgeschnitten.

    Er beobachtet, dass sich der Ball auf den Boden zu bewegt.

    Lösung

    Wir betrachten hier ein einfaches Gedankenexperiment, welches beweisen soll, dass sich ein beschleunigtes Inertialsystem ebenso verhält wie eines, das Gravitation ausgesetzt ist.

    Dazu stellen wir uns Tom vor, der mit seinem Basketball in einem Fahrstuhl ist. Er ist von der Außenwelt abgeschnitten und kann nur beobachten, was er im Inneren der Kabine sieht: also etwa, dass der Ball zu Boden fällt. Er kann jedoch nicht unterscheiden, ob der Ball aufgrund eines Gravitationsfeldes oder als Folge eines beschleunigten Bodens auf den Boden hin beschleunigt zu werden scheint.

    Ob nun die Gravitation das Objekt zu Boden fallen lässt oder der Kabinenboden auf das Objekt hin beschleunigt wird, ist für ihn nicht zu unterscheiden.

  • Erläutere das Gedankenexperiment.

    Tipps

    Albert Einstein benutzt dieses Gedankenexperiment zur Erklärung seines Äquivalenzprinzip.

    In diesem Gedankenexperiment schwebt Tom in seiner Kabine, sodass er zwei Ansätze zur Erklärung seines Zustandes wählen kann.

    Lösung

    In diesem Gedankenexperiment schwebt Tom in seiner Kabine, sodass er zwei Ansätze zur Erklärung seines Zustandes wählen kann: Zum einen könnte sich die Kabine im freien Fall befinden, zum anderen könnte er sich außerhalb jeglichen Gravitationsfeldes befinden.

    Beide Überlegungen würden den Zustand der Schwerelosigkeit gleich gut erklären. Da Tom ja nicht wissen kann, welche Umstände außerhalb des Fahrstuhles herrschen, kann er nicht unterscheiden, ob der Fahrstuhl einer beschleunigenden Kraft (freier Fall) ausgesetzt ist oder ob er sich außerhalb eines Gravitationsfeldes befindet.

    Nur ein Beobachter von außen kann entscheiden, welche der beiden Möglichkeiten tatsächlich die Ursache für die Schwerelosigkeit in der Kabine ist.

    Albert Einstein erklärte zu diesem Gedankenexperiment sein Äquivalenzprinzip, nach dem es keinen lokal messbaren Unterschied zwischen der Wirkung einer beschleunigenden Kraft und der eines Gravitationsfeldes gibt.