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Krümmung der Raumzeit

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Die Autor*innen
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Wolfgang Tews
Krümmung der Raumzeit
lernst du in der 11. Klasse - 13. Klasse

Krümmung der Raumzeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Krümmung der Raumzeit kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle Raum und Zeit in der klassischen Physik und in der Relativitätstheorie gegenüber.

    Tipps

    Aus deinem Alltag kennst du die Gesetzmäßigkeiten der klassischen Mechanik.

    In großen Dimensionen und bei hohen Geschwindigkeiten greift hingegen die Relativitätstheorie.

    Lösung

    Aus deiner alltäglichen Erfahrung dürften dir die Beobachtungen der klassischen Mechanik vertraut sein: Für uns existieren Raum und Zeit unabhängig voneinander. Messungen in der Physik sind unabhängig vom Bezugssystem, das zur Beschreibung gewählt wird, und von dem aus die Beobachtungen erfolgen. Dies liegt daran, dass die Geschwindigkeiten, mit denen sich die Gegenstände in unserem Umfeld und wir selbst bewegen, vergleichsweise klein sind.

    Betrachtet man jedoch Objekte in größeren Dimensionen und Geschwindigkeiten, die bis zur Lichtgeschwindigkeit reichen, können die Beschreibungen der klassischen Mechanik nicht mehr angewendet werden. Ort und Zeit beeinflussen sich gegenseitig. Die Relativitätstheorie verwendet daher ein vierdimensionales Raum-Zeit-Kontinuum zur Beschreibung von Ereignissen. Das ist etwas abstrakt, weil es außerhalb unserer Erfahrungswelt liegt. Aber trotzdem auch spannend. Führt uns das nicht auf wissenschaftlichem Weg näher an die Frage heran, woher wir kommen und wohin wir gehen?

  • Benenne wesentliche Eigenschaften von Objekten in der euklidischen Geometrie.

    Tipps

    Hier brauchst du dein Wissen aus dem Mathematikunterricht.

    Lösung

    In der euklidischen Geometrie gibt es einige markante Eigenschaften, an denen du sie besonders gut identifizieren kannst. Diese sind hier aufgeführt: Parallelen verlaufen ohne Schnittpunkt, die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt 180 Grad und die Geodäte ist eine Gerade.

    Besitzt ein Raum keine euklidische Geometrie, so gelten diese Eigenschaften in der Regel nicht mehr. So verlaufen beispielsweise auf einer Kugeloberfläche Geraden nie schnittpunktlos, die Innenwinkelsumme in einem Dreieck ist größer als 180 Grad und die Geodäte zwischen zwei Punkten ist keine Gerade, sondern ein Ausschnitt eines Großkreises.

  • Beschreibe das folgende Modell und was damit veranschaulicht werden kann.

    Tipps

    Woraus besteht das Modell selbst und was verdeutlicht es anschaulich?

    Lösung

    Das abgebildete Modell ist eine sehr bekannte Art, die Krümmung der Raumzeit zu veranschaulichen.

    Eine dehnbare Gummihaut (hier grün) verdeutlicht dabei (vereinfachte) Raumzeit. Die Kugel stellt Gravitation dar, also zum Beispiel einen massereichen Himmelskörper wie die Erde (siehe Abbildung).

    Das Modell ist ein 2D-Modell der Raumzeit. Es stellt nur zwei der drei Ortskoordinaten dar und keine zeitliche Dimension.

    Befindet sich keine Kugel auf der Gummihaut, so ist die Haut eben. Sie folgt, ebenso wie die Raumzeit, die sie veranschaulicht, den Gesetzen der euklidischen Geometrie.

    Diese Geometrie verändert sich jedoch, wenn eine Kugel (also in der Realität ein massereicher Körper) hinzukommt. In seiner Nähe wird die Membran verbogen, jedoch nicht zerrissen, also die Raumzeit gekrümmt. Dann gelten die geometrischen Gesetze der allgemeinen Relativitätstheorie.

  • Erkläre Zusammenhänge und Sinn des gezeigten Experimentes.

    Tipps

    Was ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten in einem euklidischen Raum und in einem gekrümmten Raum?

    Lösung

    Wie auf der Abbildung zu sehen ist, verändert die Gravitation der Sonne den Weg des Lichtes zur Erde. Das Licht wird abgelenkt, der Beobachter jedoch rekonstruiert die Fixsternposition nach euklidischen Prinzipien. Daher erscheint der Fixstern unter einem größeren Beobachtungswinkel als ohne Sonnenfinsternis, die die Raumzeitkrümmung hervorruft.

    Mit Hilfe dieses Effektes wurde ein wichtiger Beleg für die Richtigkeit der allgemeinen Relativitätstheorie erbracht.

  • Gib an, wie die Geodäte eines Kegels ermittelt werden kann.

    Tipps

    Wie kannst du den dreidimensionalen Kegel in zwei Dimensionen überführen?

    Lösung

    Für die Bestimmung der Geodäten von Körpern mit gekrümmten Oberflächen gibt es je nach Beschaffenheit des Körpers unterschiedliche Möglichkeiten.

    Beim Kegel ist das vergleichsweise einfach, weil die Oberfläche eines Kegels (gedanklich) abgerollt werden kann. Du kannst aus einem dreidimensionalen Kegel ein Kegelnetz in zwei Dimensionen erzeugen. Gezeigt ist hier in der Abbildung das Netz des Kegelmantels. Damit befindest du dich wieder im euklidischen Raum und kannst zwischen den beiden Punkten einfach eine Gerade einzeichnen. Wickelst du das Kegelmantelnetz wieder zu einem Kegel, so zeigt die eingezeichnete Linie den Verlauf der Geodäte an.

    Bastel dir doch mal selbst einen Kegel aus einem Kegelmantelnetz und suche die Geodäten.

  • Erkläre, wie du die Geodäte auf einem Zylinder ermitteln kannst.

    Tipps

    Welche Besonderheit weist ein Zylinder wie auch bestimmte andere Körper auf?

    Lösung

    Geodäten stellen jeweils die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten dar. In der euklidischen Geometrie ist die Geodäte daher eine Gerade.

    Auf Körpern mit gekrümmten Oberflächen jedoch verlaufen die Geodäten anders. Für die Bestimmung der Geodäten von Körpern mit gekrümmten Oberflächen gibt es je nach Beschaffenheit des Körpers unterschiedliche Möglichkeiten.

    Bei Körpern, denen die Oberfläche (gedanklich) abgerollt werden kann, erfolgt die Ermittlung der Geodäte am Körpernetz. Du kannst aus einem dreidimensionalen Kegel ein Kegelnetz in zwei Dimensionen erzeugen. Genauso geht das auch mit einem Zylinder. Gezeigt ist hier in der Abbildung das Netz des Zylinders. Damit befindest du dich wieder im euklidischen Raum und kannst zwischen den beiden Punkten einfach eine Gerade einzeichnen. Wickelst du das Zylindernetz wieder zu einem Zylinder, so zeigt die eingezeichnete Linie den Verlauf der Geodäte an.

    Bastel dir doch mal einen Zylinder und suche die Geodäten. Oder traust du dich gleich an eine Kugel?

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