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Krümmung der Raumzeit 10:00 min

Textversion des Videos

Transkript Krümmung der Raumzeit

Hallo und herzlich willkommen bei einem Video von Dr. Psi. Unser heutiges Thema wird ein wenig abstrakt bleiben, genauso wie es die Relativitätstheorie überhaupt ist. Oder bewegen wir uns etwa gelegentlich mit Lichtgeschwindigkeit? Na also. Nun geht es um die Krümmung der Raumzeit. Klar, nicht wahr. Krümmung der Raumzeit was steckt dahinter? Nun, damit wollen wir uns heute ein wenig beschäftigen. Nun denn, zuerst müssen wir jedoch ein paar Begriffe klären. Aus der klassischen Physik sind die drei Dimensionen des Raumes und die Zeit als vierte Dimension bekannt. Die Längen- und Zeitmessungen sollen unabhängig vom Bezugssystem sein. Und die Zeit ist eine vom Bewegungszustand des Beobachters unabhängige Größe. Deswegen schreibt man auch gelegentlich hier 3 + 1, insgesamt also auch vier Dimensionen. Legen wir nun die Relativitätstheorie zu Grunde und betrachten die Raum- und Zeitkoordinaten dort als eng miteinander verwogen, so bilden sie eine vierdimensionale Raumzeit. Ja, gelegentlich sagt man auch dazu ein Raum-Zeit-Kontinuum. Damit wird die Zeit eine Koordinate wie jede andere des Raumes auch. Und es können wie beim Raum in der Zeit perspektivische Änderungen der Zeitkoordinaten auftreten. Denkt nur an die Zeitdilatation und die Relativität der Gleichzeitigkeit. Ja, so hätten wir ein paar Begriffe der Raumzeit etwas näher beleuchtet. Und nun kommen wir dazu, diese etwas abstrakte Krümmung der Raumzeit zu betrachten. Betrachten wir zunächst die Raumzeit einmal ohne die Anwesenheit von Materie und unterdrücken eine der Raumdimensionen und auch die Zeitdimension. Was dann übrig bleibt sind zwei Dimensionen. Diese Vorstellung führt zu einer einfachen Betrachtung der Raumzeit als 2D-Modell. Du siehst hier ein solches 2D-Modell. In der Literatur wird diese Fläche, die du hier siehst, oft mit einer dehnbaren Gummihaut verglichen. Wird nun auf diese Gummihaut eine Kugel gelegt, so gibt es eine Beule oder Delle. Wenn wir diese Vorstellung auf unsere Raumzeit übertragen, so können wir dies mit den Aussagen der Relativitätstheorie verbinden und kommen zu einer sehr wichtigen Aussage, nämlich Gravitation krümmt den Raum. Ja, damit haben wir die Überschrift sozusagen erläutert. Die Kugel, die wir hier sehen, stellt Gravitation dar und diese krümmt eben den Raum. Ja, welche Konsequenzen hat das? Das wollen wir uns in der nächsten Szene einmal anschauen. Noch einmal zurück zu unserem 2D-Modell, welches ja eine Vereinfachung unserer vierdimensionalen Raumzeit ohne Anwesenheit von Masse beziehungsweise Materie war. In diesem Koordinatensystem gilt die wohl bekannte euklidische Geometrie, Parallelen verlaufen ohne Schnittpunkt. Die Winkelsumme im Dreieck ist, na du weißt es sicherlich, 180°, richtig. Und die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist eine Gerade. Und nun kommt Masse bzw. Materie ins Spiel. Und die Raumzeit ist gekrümmt. Was bedeutet das für die Geometrie? Nun können wir formulieren, die allgemeine Relativitätstheorie, ich kürze mal hier ab, findest du auch oft in der Literatur. Allgemeine Relativitätstheorie ist eine Theorie der Geometrie des Raumes. Und wir beschränken uns mal bei der Betrachtung dieser Geometrie des Raumes auf die Abstandsbestimmung und kommen auf den Begriff der Geodäten, die die kürzeste Verbindung zweier Punkte darstellen. Nun, was sind Geodäten auf einer gekrümmten Oberfläche? Auf der normalen Oberfläche, ebenen Oberfläche, ist es klar. Nun, wir schauen uns mal hier einen Kegel an. Und da haben wir einen bestimmten Punkt markiert und fragen uns, wie verläuft die kürzeste Verbindung dieses Starrpunktes um die Spitze des Kegels mit sich selber. Nun, wir können, wenn wir das Netz uns anschauen, die gerade gemachte grüne Linie, die wir so als kürzeste Verbindung uns vorstellen, hier wiederfinden, aber wir können auch hier eine Gerade ziehen. Du siehst diese rote Gerade. Und wenn wir aus dem Netz des Kegels wieder den Kegel aufbauen, siehst du diese Geodäte, die eine etwas schlangenförmige Schlaufe darstellt. Das wäre also eine kürzeste Verbindung des einen Punktes mit sich selber. Nun, diese Geodäten findest du auch auf der Kugeloberfläche. Das sind die Großkreise. Und auf solchen Großkreisen bewegen sich die Flugzeuge bzw. die Schiffe. Nun wollen wir wieder zu Experimenten zurückkommen, die etwas mit der Raumzeit zu tun haben. Ja, kommen wir jetzt zu einer Konsequenz der Krümmung der Raumzeit, die wir schon aus den Experimenten zur Bestätigung der allgemeinen Relativitätstheorie kennen, nämlich die Lichtablenkung durch Gravitation. Wir sehen hier in einem ersten Bild, dass im Normalfall zwischen zwei Fixsternen ein Beobachtungswinkel, sagen wir Alpha, festgestellt wird. Das zweite Bild zeigt die Verhältnisse, die bei einer Sonnenfinsternis, bei sonst gleichen Bedingungen beobachtet werden. Der Stern eins hat nun infolge der Lichtablenkung eine scheinbar andere Position eingenommen. Der Beobachtungswinkel Beta ist nun scheinbar größer als Alpha. Nun, das Bild drei zeigt die Betrachtung unter Zugrundelegung der gekrümmten Raumzeit, das heißt, unser 2D-Modell mit einer Delle. Und hier kann dargestellt werden, wie eben diese Massen zu einer Verzerrung der Raumzeit führen und den Verlauf der Geodäten ändert. Und damit wird also die Geometrie des Raumes beeinflusst. Letztenendes kann durch diese allgemeine Betrachtung der Veränderung der Geometrie im Bereich von riesigen Abmessungen die ganze Entwicklung unseres Universums erklärt werden. Aber damit kommen wir in den Bereich der Kosmologie und das ist nun noch abstrakter und ganz weit weg. Und schon allein Krümmung der Raumzeit stellt ja eine gewisse Vorstellungskraft voraus. Nun, fassen wir kurz zusammen. Wir haben ein paar Begriffe geklärt, was Raumzeit ist, was Krümmung der Raumzeit durch Anwesenheit von Materie bedeutet, haben ein Beispiel, die Lichtablenkung durch Gravitation, behandelt. Ja, das war es wieder für heute und ich hoffe, du hast etwas verstanden und ich würde mich freuen, wenn wir uns bald wieder sehen bei einem Video von Dr. Psi.

Krümmung der Raumzeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Krümmung der Raumzeit kannst du es wiederholen und üben.

  • Stelle Raum und Zeit in der klassischen Physik und in der Relativitätstheorie gegenüber.

    Tipps

    Aus deinem Alltag kennst du die Gesetzmäßigkeiten der klassischen Mechanik.

    In großen Dimensionen und bei hohen Geschwindigkeiten greift hingegen die Relativitätstheorie.

    Lösung

    Aus deiner alltäglichen Erfahrung dürften dir die Beobachtungen der klassischen Mechanik vertraut sein: Für uns existieren Raum und Zeit unabhängig voneinander. Messungen in der Physik sind unabhängig vom Bezugssystem, das zur Beschreibung gewählt wird, und von dem aus die Beobachtungen erfolgen. Dies liegt daran, dass die Geschwindigkeiten, mit denen sich die Gegenstände in unserem Umfeld und wir selbst bewegen, vergleichsweise klein sind.

    Betrachtet man jedoch Objekte in größeren Dimensionen und Geschwindigkeiten, die bis zur Lichtgeschwindigkeit reichen, können die Beschreibungen der klassischen Mechanik nicht mehr angewendet werden. Ort und Zeit beeinflussen sich gegenseitig. Die Relativitätstheorie verwendet daher ein vierdimensionales Raum-Zeit-Kontinuum zur Beschreibung von Ereignissen. Das ist etwas abstrakt, weil es außerhalb unserer Erfahrungswelt liegt. Aber trotzdem auch spannend. Führt uns das nicht auf wissenschaftlichem Weg näher an die Frage heran, woher wir kommen und wohin wir gehen?

  • Gib an, wie die Geodäte eines Kegels ermittelt werden kann.

    Tipps

    Wie kannst du den dreidimensionalen Kegel in zwei Dimensionen überführen?

    Lösung

    Für die Bestimmung der Geodäten von Körpern mit gekrümmten Oberflächen gibt es je nach Beschaffenheit des Körpers unterschiedliche Möglichkeiten.

    Beim Kegel ist das vergleichsweise einfach, weil die Oberfläche eines Kegels (gedanklich) abgerollt werden kann. Du kannst aus einem dreidimensionalen Kegel ein Kegelnetz in zwei Dimensionen erzeugen. Gezeigt ist hier in der Abbildung das Netz des Kegelmantels. Damit befindest du dich wieder im euklidischen Raum und kannst zwischen den beiden Punkten einfach eine Gerade einzeichnen. Wickelst du das Kegelmantelnetz wieder zu einem Kegel, so zeigt die eingezeichnete Linie den Verlauf der Geodäte an.

    Bastel dir doch mal selbst einen Kegel aus einem Kegelmantelnetz und suche die Geodäten.

  • Benenne wesentliche Eigenschaften von Objekten in der euklidischen Geometrie.

    Tipps

    Hier brauchst du dein Wissen aus dem Mathematikunterricht.

    Lösung

    In der euklidischen Geometrie gibt es einige markante Eigenschaften, an denen du sie besonders gut identifizieren kannst. Diese sind hier aufgeführt: Parallelen verlaufen ohne Schnittpunkt, die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt 180 Grad und die Geodäte ist eine Gerade.

    Besitzt ein Raum keine euklidische Geometrie, so gelten diese Eigenschaften in der Regel nicht mehr. So verlaufen beispielsweise auf einer Kugeloberfläche Geraden nie schnittpunktlos, die Innenwinkelsumme in einem Dreieck ist größer als 180 Grad und die Geodäte zwischen zwei Punkten ist keine Gerade, sondern ein Ausschnitt eines Großkreises.

  • Erkläre, wie du die Geodäte auf einem Zylinder ermitteln kannst.

    Tipps

    Welche Besonderheit weist ein Zylinder wie auch bestimmte andere Körper auf?

    Lösung

    Geodäten stellen jeweils die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten dar. In der euklidischen Geometrie ist die Geodäte daher eine Gerade.

    Auf Körpern mit gekrümmten Oberflächen jedoch verlaufen die Geodäten anders. Für die Bestimmung der Geodäten von Körpern mit gekrümmten Oberflächen gibt es je nach Beschaffenheit des Körpers unterschiedliche Möglichkeiten.

    Bei Körpern, denen die Oberfläche (gedanklich) abgerollt werden kann, erfolgt die Ermittlung der Geodäte am Körpernetz. Du kannst aus einem dreidimensionalen Kegel ein Kegelnetz in zwei Dimensionen erzeugen. Genauso geht das auch mit einem Zylinder. Gezeigt ist hier in der Abbildung das Netz des Zylinders. Damit befindest du dich wieder im euklidischen Raum und kannst zwischen den beiden Punkten einfach eine Gerade einzeichnen. Wickelst du das Zylindernetz wieder zu einem Zylinder, so zeigt die eingezeichnete Linie den Verlauf der Geodäte an.

    Bastel dir doch mal einen Zylinder und suche die Geodäten. Oder traust du dich gleich an eine Kugel?

  • Beschreibe das folgende Modell und was damit veranschaulicht werden kann.

    Tipps

    Woraus besteht das Modell selbst und was verdeutlicht es anschaulich?

    Lösung

    Das abgebildete Modell ist eine sehr bekannte Art, die Krümmung der Raumzeit zu veranschaulichen.

    Eine dehnbare Gummihaut (hier grün) verdeutlicht dabei (vereinfachte) Raumzeit. Die Kugel stellt Gravitation dar, also zum Beispiel einen massereichen Himmelskörper wie die Erde (siehe Abbildung).

    Das Modell ist ein 2D-Modell der Raumzeit. Es stellt nur zwei der drei Ortskoordinaten dar und keine zeitliche Dimension.

    Befindet sich keine Kugel auf der Gummihaut, so ist die Haut eben. Sie folgt, ebenso wie die Raumzeit, die sie veranschaulicht, den Gesetzen der euklidischen Geometrie.

    Diese Geometrie verändert sich jedoch, wenn eine Kugel (also in der Realität ein massereicher Körper) hinzukommt. In seiner Nähe wird die Membran verbogen, jedoch nicht zerrissen, also die Raumzeit gekrümmt. Dann gelten die geometrischen Gesetze der allgemeinen Relativitätstheorie.

  • Erkläre Zusammenhänge und Sinn des gezeigten Experimentes.

    Tipps

    Was ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten in einem euklidischen Raum und in einem gekrümmten Raum?

    Lösung

    Wie auf der Abbildung zu sehen ist, verändert die Gravitation der Sonne den Weg des Lichtes zur Erde. Das Licht wird abgelenkt, der Beobachter jedoch rekonstruiert die Fixsternposition nach euklidischen Prinzipien. Daher erscheint der Fixstern unter einem größeren Beobachtungswinkel als ohne Sonnenfinsternis, die die Raumzeitkrümmung hervorruft.

    Mit Hilfe dieses Effektes wurde ein wichtiger Beleg für die Richtigkeit der allgemeinen Relativitätstheorie erbracht.