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Geschwindigkeit v zu einem Zeitpunkt t 05:54 min

Textversion des Videos

Transkript Geschwindigkeit v zu einem Zeitpunkt t

Hallo und herzlich willkommen! In diesem Video werden wir uns damit beschäftigen, wie man Geschwindigkeiten zu bestimmten Zeitpunkten berechnen kann. Am Ende des Videos wirst du fähig sein, auch die Momentangeschwindigkeit beliebig komplizierter Bewegungen zu berechnen. Dazu werfen wir zuerst nochmal einen Blick auf gleichförmige Bewegungen und lineare t-s-Diagramme und ihre Deutung. Danach werden wir uns eingehend mit nicht-gleichförmigen Bewegungen und nichtlinearen t-s-Diagrammen beschäftigen. Du wirst dabei lernen, wie man mit dir bereits bekannten mathematischen Methoden die Momentangeschwindigkeit gleichmäßig beschleunigter Bewegungen und anderer, ungleichförmiger Bewegungen berechnen kann. Da du jetzt weißt, worum es in diesem Video geht, kann es auch schon losgehen. Eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit heißt gleichförmige Bewegung. Die Geschwindigkeit ist über den gesamten Zeitraum konstant und es gilt: Zurückgelegte Strecke = Geschwindigkeit v * Zeit t. Die zurückgelegte Strecke steigt also linear mit der Zeit. Um ein t-s-Diagramm anfertigen zu können, muss man erst eine Tabelle mit Wertepaaren für t und s mit den jeweiligen Einheiten erstellen. Das kann man zum Beispiel für einen Fahrradfahrer machen, der mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geraden Strecke fährt. In unserem Beispiel sind die Einheiten Sekunden für die Zeit und Meter für die Strecke. Diese kann man dann in das Diagramm eintragen. Auf der x-Achse trägt man dabei die Zeit, auf der y-Achse die zurückgelegte Strecke ein. So erhält man zuerst ein Punktdiagramm. Man sieht, dass die Messpunkte auf einer Linie liegen, es ist also ein linearer Zusammenhang. Die zurückgelegte Strecke ist gleich dem konstanten Faktor der Geschwindigkeit mal die Zeit, wie man schon an der Formel oben links sehen kann. Die Steigung der Achse entspricht dabei genau der Geschwindigkeit, da die Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung konstant ist, ist auch die Steigung konstant. Es gibt allerdings auch nicht-gleichförmige Bewegungen. Eine solche nicht-gleichförmige Bewegung liegt dann vor, wenn sich die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert. Das passiert zum Beispiel bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Hier ist die Geschwindigkeit nicht konstant, sie steigt konstant mit der Zeit. Dafür ist die Beschleunigung a konstant, es gilt hier v(t)=at. Für t gilt bei gleichförmig beschleunigten Bewegungen s(t)=1/2at2. Ein Beispiel für eine solche Bewegung ist der freie Fall im Vakuum. Die Beschleunigung entspricht hier der Erdbeschleunigung g, sie hat einen Wert von 9,81m/s2. Erstellt man eine Wertetabelle mit Wertepaaren mit der Zeit t in Sekunden und dem Weg s in Metern, so kommt man auf folgende Wertepaare. Überträgt man diese in ein t-s-Diagramm, so sieht man direkt, dass kein linearer Zusammenhang zwischen dem zurückgelegten Weg und der Zeit besteht. Wie wir ja schon bereits wissen, ist es ein quadratischer Zusammenhang. Die Punkte im t-s-Diagramm liegen also auf einer Parabel. Aber obwohl es sich um eine andere Art der Bewegung als in einem linearen t-s-Diagramm handelt, gilt auch hier, dass die Steigung der Kurve der Geschwindigkeit entspricht. Aus der Mathematik weißt du bereits, dass die Steigung der Kurve in einem bestimmten Punkt gleich der Steigung einer angelegten Tangente ist. Die Steigung der Tangente ist wiederum gleich dem Wert der Ableitung der Kurve an genau diesem Punkt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit t1 gleich dem Wert der Ableitung des Weges s nach t zu diesem Zeitpunkt t1 ist. Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t1 zu bestimmen, leitet man also die Funktion von s nach t ab und setzt in das Ergebnis die Zeit t1 ein. Dass die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges nach der Zeit ist, kann man leicht an den Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung überprüfen. Leitet man nämlich die Funktion s(t)=1/2at2 nach t ab, so erhält man das Ergebnis at. Das wiederum entspricht genau der Geschwindigkeit der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Jetzt werden wir einmal die Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers nach vier Sekunden Fallzeit berechnen. Wir leiten also die Funktion s(t) nach t ab und erhalten ds(t)/dt=a*t, was der Geschwindigkeit entspricht. a ist in diesem Fall die Erdbeschleunigung mit einem Wert von 9,81 m/s2. Jetzt setzt man in diese Gleichung die Zeit ein, zu der man die Geschwindigkeit wissen will. In unserem Fall sind das vier Sekunden. So kommt man auf eine Geschwindigkeit von 39,24 m/s. Der Vorteil der Definition der Geschwindigkeit als Ableitung des Weges liegt auf der Hand. Jetzt kannst du für beliebig komplizierte Funktionen s(t) die Momentangeschwindigkeiten bestimmen, indem du die Wegfunktion nach t ableitest. So, was hast du eben gelernt: Die Steigung in einem t-s-Diagramm entspricht der Geschwindigkeit. Dabei ist es egal, ob es sich um eine gleichförmige oder eine ungleichförmige Bewegung handelt. Die Steigung der Kurve im t-s-Diagramm entspricht wiederum der Ableitung der Funktion des Weges s(t) nach der Zeit t. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit gleich der Ableitung des Weges nach der Zeit ist. Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu berechnen, leitet man also die Funktion des Weges nach der Zeit ab und setzt Beschleunigung und den gewünschten Zeitpunkt ein. So, das war's auch schon zum Thema „Geschwindigkeit‟. Ich hoffe, du hast was gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal!

6 Kommentare
  1. ich bin in der 6.Klasse und wir machen das

    Von Deleted User 254000, vor etwa 2 Jahren
  2. die Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit t1 ist gleich dem Wert der Ableitung des Weges s nach der Zeit t zu diesem Zeitpunkt.

    Ich: So! jetzt bitte auf deutsch :) HILFE

    Von LiDonDe M., vor etwa 4 Jahren
  3. @Mmc Senft: Hab ihr in der 9. Klasse schon gelernt was eine Ableitung ist? Das wird normalerweise erst in der 11. Klasse in Mathe behandelt. Wo gehst du zur Schule? Ich werde mich übrigens darum kümmern das ein Übungsvideo mit Aufgaben produziert wird....
    Lg

    Von Nikolai P., vor fast 6 Jahren
  4. Vielleicht ein paar Aufgaben dazu machen
    sonst ist es klasse :-)

    Von Mmc Senft, vor fast 6 Jahren
  5. ich mache den stof schon in der 9.

    Von Mmc Senft, vor fast 6 Jahren
  1. vielleicht etwas langsamer und ausführlicher erklären :) danke

    Von Priince N., vor etwa 6 Jahren
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Geschwindigkeit v zu einem Zeitpunkt t Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geschwindigkeit v zu einem Zeitpunkt t kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Ableitung des Zeit-Weg-Gesetzes der gleichmäßig beschleunigten Bewegung an.

    Tipps

    Wofür stehen die Größen t,s,v,a?

    Es gibt verschiedene Schreibweisen für die Ableitung nach der Zeit.

    Die Ableitung beschreibt die Änderung einer Größe.

    Lösung

    t: Zeit

    s: zurückgelegte Strecke

    v: Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t

    a: durchschnittliche Beschleunigung

    Einen Zusammenhang zwischen s,t und a, kann über die Ableitung hergestellt werden.

    Dabei ist $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ und somit $\frac{d~s(t)}{dt}=a\cdot t=v$.

  • Stelle dar, was die Steigung des dargestellten Graphen angibt.

    Tipps

    Welche Größen sind aufgetragen?

    Überlege dir, ob eine gleichförmige oder eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vorliegt.

    Welche Bedeutung hat die Steigung eines Graphen mathematisch?

    Lösung

    In dem Diagramm ist die zurückgelegte Strecke s über der Zeit t aufgetragen.

    Da die Ableitung (die Änderung) des Weges die Geschwindigkeit ist, kann man diese im Falle eines linearen Verlaufes am Steigungsdreieck ablesen.

    Da der Verlauf des Graphen nicht linear ist, sondern einer Parabel gleicht, liegt keine gleichförmige Bewegung vor. Die Geschwindigkeit hängt davon ab, welche Stelle des Graphen, also welchen Zeitpunkt t, wir betrachten. Wird an diesen Punkt eine Tangente angelegt, kann wieder über das Steigungsdreieck dieser Tangente die Geschwindigkeit bestimmt werden. Alternativ gibt die Ableitung diese Steigung direkt an.

  • Erkläre dir den Unterschied zwischen den beiden Formeln.

    Tipps

    Was bedeutet die Formel $v=a\cdot t$ physikalisch?

    Lösung

    Martin setzt für die Geschwindigkeit folgende Formel ein: $v=a\cdot t$. Um sich nicht zu wundern, warum es zwei Formeln gibt, die bis auf den Faktor 1/2 gleich sind, ist es hilfreich, sich klar zu machen, was die Geschwindigkeiten bedeuten.

    Bei gleichmäßig beschleunigten Bewegungen, also dem Ansatz von Martin, steht $v$ für die Endgeschwindigkeit eines Objektes, das vorher über einen Zeitraum $t$ mit $a$ beschleunigt wurde. Man kann also statt $v$ auch $v_{\text{end}}$ schreiben.

    Bei einer gleichförmigen Bewegung, also der Definition von Felix, steht $v$ für die Durchschnittsgeschwindigkeit, die ein Körper hat, wenn er eine Strecke $s$ in einer Zeit $t$ zurücklegt. Man kann also statt $v$ in dem Fall $\overline{v}$ schreiben.

    Aus den beiden Formeln $s=\frac{1}{2} \cdot v_{\text{end}} \cdot t $ und $s=\overline{v} \cdot t $ können wir also folgern, dass $\frac{1}{2} v_{\text{end}}=\overline{v}$ ist.

    Das Diagramm verdeutlicht diese Formel, indem die Geschwindigkeit über der Zeit aufgetragen ist. Die Geradensteigung stellt die konstante Beschleunigung dar und die Fläche unter der Kurve ist eine Dreiecksfläche, die du mit der Formel $\frac{1}{2} v_{\text{end}} \cdot t$ berechnen kannst. Die Fläche unter der Kurve stellt die zurückgelegte Strecke dar, da du die Geschwindigkeit integrieren musst, um auf die Strecke zu kommen. Integration ist das Gegenteil vom Ableiten.

  • Gib die Formeln der gleichförmigen und gleichförmig beschleunigten Bewegungen an.

    Tipps

    Überlege zuerst, was gleichförmig beziehungsweise gleichmäßig beschleunigt bedeutet.

    Welche Größen müssen konstant sein oder sogar gleich Null?

    Lösung

    Gleichförmig:

    Eine gleichförmige Bewegung liegt genau dann vor, wenn der bewegte Körper die ganze Zeit dieselbe Geschwindigkeit besitzt. Es gilt also: v = konstant, a = 0.

    Gleichmäßig beschleunigt:

    Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung liegt genau dann vor, wenn der bewegte Körper die ganze Zeit mit dem gleichen Wert a beschleunigt wird. Das heißt, die Geschwindigkeitserhöhung ist konstant: a = konstant.

  • Stelle graphisch gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegungen in einem Diagramm dar.

    Tipps

    Was ist in dem Diagramm aufgetragen?

    Lösung

    In dem Diagramm ist die zurückgelegte Strecke s über der Zeit t aufgetragen.

    Da die Ableitung des Weges die Geschwindigkeit ist, kann man diese im Falle eines linearen Verlaufes am Steigungsdreieck ablesen. Verläuft der Graph parallel zur X-Achse, dann ist die Geschwindigkeit Null.

    An den Stelle, wo der Verlauf des Graphen nicht linear ist, sondern einer Parabel gleicht, liegt keine gleichförmige Bewegung vor. Die Geschwindigkeit hängt davon ab, welche Stelle des Graphen, also welchen Zeitpunkt t, wir betrachten. Wird an diesen Punkt eine Tangente angelegt, kann wieder über das Steigungsdreieck dieser Tangente die Geschwindigkeit bestimmt werden. Alternativ gibt die Ableitung diese Steigung direkt an.

  • Bestimme die zurückgelegte Strecke, Durchschnittsgeschwindigkeit und Endgeschwindigkeit des Rennautos nach 4 s, wenn es aus dem Stand mit 5 m/s² beschleunigt.

    Tipps

    Wie unterscheiden sich Endgeschwindigkeit und Durchschnittsgeschwindigkeit?

    Prüfe, ob du bei der Rechnung die richtige Einheit erhältst.

    Lösung

    In den meisten physikalischen Rechenaufgaben kommt man sehr einfach zum Ziel, indem man sich überlegt, welche Werte gegeben und welche gesucht sind. Daraufhin sucht man sich die passenden Formeln aus. In diesem Fall ist es auch wichtig, sich zu überlegen, ob in einer Formel die Momentangeschwindigkeit oder die Durchschnittsgeschwindigkeit gemeint ist.

    Gegeben: $t=4\,\text{s},\qquad a=5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

    Gesucht:: $s,~\overline{v},~v(4\,\text{s})$

    Formeln:

    $\begin{align} s(t)&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\\ \overline{v}&=\frac{s}{t}\\ v(t)&=a\cdot t \end{align}$

    Da hier ein Umformen nicht nötig ist, kann direkt eingesetzt werden.

    Einsetzen:

    $\begin{align} s(4\,\text{s})&=\frac{1}{2}\cdot 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 4\,\text{s}^2=40\,\text{m}\\ \overline{v}&=\frac{40\,\text{m}}{4\,\text{s}}=10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\\ v(4\,\text{s})&=5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 4\,\text{s}=20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align}$