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Drehmoment und Hebel 07:40 min

Drehmoment und Hebel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Drehmoment und Hebel kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Kraft des Krans.

    Tipps
    Lösung

    In seinem Kran hat Markus ein Wellrad eingebaut. Den drehbaren Balken, auf dem sich das Seil aufwickelt, bezeichnet man dabei als die Welle. Weil das große Laufrad zwanzig mal so groß wie die Welle ist, kann man mit dem Laufrad das zwanzigfache Drehmoment wie an der Welle erzeugen, wenn man die gleiche Kraft daran aufwendet. Anderherum kann man die zwanzigfache Zugkraft auf das Seil ausüben.

    Diese erhöhte Kraft erkauft man sich allerdings wie bei einem Hebel oder einem Seilzug mit einem verlängerten Weg, über den man seine Kraft aufwenden muss. Denn mit dem Durchmesser des Rades verzwanzigfacht sich auch sein Umfang. Markus muss zwar immernoch nur einen Meter Seil aufwickeln, um die Last einen Meter nach oben zu bewegen, allerdings muss er dafür viel länger am Rad drehen, bevor er eine Umdrehung geschafft hat.

  • Beschreibe das Drehmoment.

    Tipps

    Im Drehmomentengleichgewicht erfolgt keine Rotation.

    Ein längerer Kraftarm oder eine größere Kraft bewirken ein höheres Drehmoment.

    Lösung

    Das Drehmoment $M$ beschreibt die Drehwirkung einer Kraft, die orthogonal an einem Kraftarm und in einem gewissen Abstand von einem Drehpunkt angreift. Deshalb kann man mit dem Drehmoment verschiedene Hebel, aber auch andere Arten der Rotation beschreiben. Das Drehmoment errechnet sich aus dem Produkt der orthogonal wirkenden Kraft und dem Kraftarm, auf den diese Kraft wirkt. Seine Einheit ist deshalb auch das Newtonmeter.

    Beim Drehmoment und im allgemeinen bei Rotationsbewegungen unterscheidet man zwischen rechtsdrehend und linksdrehend. Eine rechtsdrehende Rotation bedeutet dabei eine Drehung im Uhrzeigersinn, die auch als mathematische negative Drehrichtung definiert ist. Dementsprechend ist die linksdrehende Rotation die Drehung gegen den Uhrzeigersinn, oder die mathematisch positive Drehrichtung. Wenn man mit diesem System verschiedene Drehmomente aufaddiert, gibt man deshalb den rechtsdrehenden Drehmomenten ein negatives Vorzeichen.

    Wenn die Summe der linksdrehenden und rechtsdrehenden Drehmomente gleich null ist, beziehungsweise wenn ihre jeweiligen Beträge gleich sind, dann herrscht ein Drehmomentengleichgewicht und es erfolgt keine Rotation. Im Falle des zweiseitigen Hebels wird aus dieser Gesetzmäßigkeit das Hebelgesetz.

  • Berechne die Kraft der Seilwinde.

    Tipps

    Das Drehmoment $M$ beträgt $M=F\cdot r$.

    Bestimme zunächst die Kraft, mit der das erste Zahnrad am zweiten dreht.

    Lösung

    Wenn Daniel mit 70 Newton an der Kurbel dreht, erzeugt er das Drehmoment

    $M_{Daniel}=F_{Daniel}\cdot r_{Kurbel}=70\text{N}\cdot 0,5\text{m}=35\text{ Nm}$.

    Dieses Drehmoment überträgt sich auch auf das kleine Zahnrad, welches daraufhin mit der Kraft

    $F_{Rad1}=\dfrac{M_{Daniel}}{r_{Rad1}}=\dfrac{35\text{ Nm}}{0,1\text{ m}}=350\text{ N}$

    gegen die Zähne des zweiten Rades drückt. So entsteht ein zweites Drehmoment

    $M_2=F_{Rad1}\cdot r_{Rad2}=350\text{ N}\cdot 0,8\text{ m}=280\text{ Nm}$ an der zweiten Achse.

    Dieses zweite Drehmoment wirkt gegen die Gewichtskraft des Eimers und bewirkt eine Zugkraft von

    $F_{Zugkraft}=\dfrac{M_2}{r_{Achse}}=\dfrac{280\text{ Nm}}{0,2\text{ m}}=1400\text{ N}$.

    Mit der Kraftübertragung durch die Seilwinde mit den zwei Zahnräder kann Daniel seine Kraft also um das zwanzigfache steigern.

    Wenn Daniel mit seiner Kurbel direkt die Achse dreht, dann überträgt sich sein Drehmoment direkt auf den Balken. Die Zugkraft beträgt dann

    $F_{Zugkraft}=\dfrac{50\text{ cm}}{20\text{ cm}}\cdot 70\text{ N}=175\text{ N}$.

  • Bestimme das Drehmoment am Pedal.

    Tipps

    Wenn $\gamma$ ein rechter Winkel ist, dann ist das Drehmoment maximal.

    Wenn das Pedal ganz unten ist, wirkt kein Drehmoment mehr.

    Teste, welche der vier Formeln diese beiden Bedingungen erfüllt, indem du jeweils die Winkel $\gamma=90°$ und $\gamma=180°$ einsetzt.

    Lösung

    Wenn man beim Fahrrad fahren mit dem Fuß ins Pedal tritt, dann wirkt die Kraft des Beines nach unten Richtung Erdboden. Wenn sich das Pedal dreht, wirkt die Kraft deshalb nicht mehr im rechten Winkel zum Pedalarm, sondern in einem Winkel $\gamma$, der sich ständig ändert. Damit ändert sich natürlich auch das Drehmoment, das man mit dem Fuß auf den Pedalarm ausübt. Aber auch dieses Drehmoment kann man mit einer Formel beschreiben.

    Um die richtige Formel zu finden, kannst du dir das Drehmoment bei einigen speziellen Winkeln überlegen. Wenn $\gamma$ ein rechter Winkel ist, dann beträgt das Drehmoment beispielsweise $M=F\cdot r$, so wie du es bereits kennst. Außerdem ist das Drehmoment null, wenn $\gamma=180°$ ist, also wenn das Pedal ganz unten ist.

    Diese Eigenschaften passen genau zu der Sinusfunktion und tatsächlich lautet die allgemeingültige Formel für das Drehmoment einer Kraft, die im Winkel $\gamma$ gegen einen Hebel drückt $M=F\cdot r\cdot \sin(\gamma)$.

    Du kannst dir dies vielleicht besser vorstellen, wenn du die Kraft im Kopf aufteilst in einen Teil der im Winkel von $\gamma=0°$ zum Pedal steht und einen Teil der im Winkel von $\gamma=90°$ zum Pedal steht. Der Anteil $F\cdot\sin(\gamma)$ ist dann der Teil der Kraft, der orthogonal zum Hebel steht.

    Vielleicht ist dir auch aufgefallen, dass die Sinusfunktion ja negativ wird, wenn der Winkel größer wird als $180°$. Das ist aber okay, denn wenn das Drehmoment ein negatives Vorzeichen hat, bedeutet es einfach, dass es in die umgekehrte Richtung wirkt. Ein Drehmoment mit einem positiven Vorzeichen ist dann ein rechtsdrehendes Drehmoment und ein Drehmoment mit negativem Vorzeichen ist ein linksdrehendes Drehmoment.

  • Bestimme den Ort an dem der Hebel ausbalanciert ist.

    Tipps

    Der Schwerpunkt des Bretts liegt genau in seiner Mitte.

    Lösung

    Laura muss sich zwei Meter von der Mitte des Bretts entfernt aufstellen. Dann übt sie genau das entgegengesetzte Drehmoment zum Drehmoment des Steins aus. Es ergibt sich also ein Drehmomentengleichgewicht und nach dem

    Hebelgesetz gilt $M_{Laura}=m_{Laura}\cdot g\cdot 2\text{ m}=981\text{ Nm}=m_{Stein}\cdot g\cdot 4\text{ m}=M_{Stein}$.

    Schließlich befindet sich der Stein ja am Ende des acht Meter langen Bretts, also vier Meter von seiner Mitte entfernt.

    Das Brett selbst spielt keine Rolle, denn da sich der Schwerpunkt des Bretts genau unter dem Seil befinden, ergibt sich kein Drehmoment. Genau genommen gleichen dabei die beiden Hälften des Bretts ihre beiden Drehmomente genau aus.

  • Berechne die fehlenden Größen für diese Hebel im Gleichgewicht.

    Tipps

    Bestimme jeweils die Summe der linksdrehenden und rechtsdrehenden Drehmomente.

    Im Gleichgewicht sind die Summen der linksdrehenden und der rechtsdrehenden Drehmomente gleich.

    Lösung

    Ein drehbares System befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Summe der rechtsdrehenden und der linksdrehenden Drehmomente gleich ist, also wenn die Drehmomente sich gegenseitig ausgleichen. Dieses Gesetz kannst du benutzen, um hier jeweils das fehlende Drehmoment zu finden. Besonders einfach ist es dabei, wenn du den linksdrehenden Drehmomenten ein negatives Vorzeichen gibst und den rechtsdrehenden Drehmomenten ein positives Vorzeichen. Dann musst du die Drehmomente nur noch aufaddieren.

    Für den zweiseitigen Hebel ganz oben bekommst du so die Summe

    $M_R-M_L=F_x\cdot 9\text{ m}-27\cdot 8\text{ m}=0$.

    Dabei ist $F_x$ die gesuchte Kraft. Wenn du nun die Formel nach $F_x$ umstellst erhältst du

    $F_x=\frac{ 8\text{ m}}{ 9\text{ m}}\cdot 27\text{ N}$.

    Der Hebel links im Bild ist ein einseitiger Hebel, an dem beide Kräfte an der gleichen Seite des Drehpunkts angreifen. Die gesuchte Gesamtlänge $r_G$ des Hebels ist der Hebelarm der äußeren Kraft von 12 Newton. Um sie zu bestimmen kannst du wieder die beiden Drehmomente addieren. So ergibt sich die Summe

    $M_1-M_2=4\text{ m}\cdot 36\text{ N}-r_G\cdot 12\text{ N}=0$.

    Wenn du diese Formel nach der Gesamtlänge umstellst erhältst du

    $r_G=\frac{36 \text{ N}}{12 \text{ N}}\cdot 4\text{ m}=12\text{ m}$.

    Das dritte Objekt könnte eine Winde mit vier Hebelarmen sein. an jedem dieser Hebelarme greift eine Kraft an, sodass du insgesamt vier Drehmomente addieren musst. Beachte dabei, dass die Kraft am obersten Hebelarm als einzige ein rechtsdrehendes Drehmoment erzeugt. Die Summe der Drehmomente ist

    $3\text{ m}\cdot31\text{ N}-6\text{ m}\cdot 3\text{ N}-4\text{ m}\cdot 10\text{ N}-5\text{ m}\cdot F_x=35\text{ Nm}-5\text{ m}\cdot F_x=0$.

    Die gesuchte Kraft beträgt also

    $F_x=\frac{35\text{ Nm}}{5\text{ m}}=7\text{ N}$.