Dehnungsverhalten und Hookesches Gesetz

Dehnungsverhalten und Hookesches Gesetz Übung

• Fasse dein Wissen über das Dehnungsverhalten einer Schraubenfeder zusammen.

  Tipps

  Je größer die Kraft, desto höher ist die Auslenkung.

  Formuliere diese Aussage mit Hilfe mathematischer Ausdrücke.

  Lösung

  Für eine Schraubenfeder gilt das Hook'sche Gesetz: $F=D\cdot s$. Darin ist $F$ die Kraft, die die Massestücke durch die Anziehungskraft der Erde auf die Feder ausüben. $s$ beschreibt die Auslenkung der Schraubenfeder aus ihrer Ruhelage. (siehe Abbildung)

  Die Größen $F$ und $s$ verhalten sich proportional zueinander. $D$ ist die Federkonstante und der Proportionalitätsfaktor im Hook'schen Gesetz. Die Federkonstante ist ein fester Wert, der für jede einzelne Feder bestimmt werden kann und für diese typisch ist. Sie gibt an, wie starr die Feder jeweils ist. Je größer die Federkonstante, desto mehr Kraft ist notwendig, um die Feder auszulenken. Überdehnt man die Feder und verformt sie dadurch plastisch, so ist die Federkonstante nicht mehr gültig und das Hook'sche Gesetz kann nicht mehr angewendet werden.

• Zeige, wie man die Federkonstante D einer Schraubenfeder aus experimentellen Daten ermitteln kann.

  Tipps

  Wie ist die Federkonstante definiert?

  Verwende für die Berechnung die Formel $D=\frac Fs$.

  Setze die Messwerte eines beliebigen Messwertpaares in die Formel ein.

  Lösung

  Die Federkonstante D berechnet sich aus der Formel $D=\frac Fs$. In diese Formel setzt man die Messwerte aus der Tabelle ein:

  Messwertpaar 1: $D_1=\frac {F_1} {s_1}=\frac {1~N} {3~cm}=0,33\frac {N} {cm}$

  Messwertpaar 2: $D_2=\frac {F_2} {s_2}=\frac {2~N} {6~cm}=0,33\frac {N} {cm}$

  Messwertpaar 3: $D_3=\frac {F_3} {s_3}=\frac {3~N} {9~cm}=0,33\frac {N} {cm}$

  Für jeden Zentimeter, den man die gegebenen Feder auslenken möchte, muss man sie mit einer Kraft von einem Drittel Newton belasten.

  In diesem Fall ist es egal, mit welchem Messwertpaar die Federkonstanten bestimmt wird. Unter den üblichen Versuchsbedingungen würden sich aber vermutlich Abweichungen ergeben. Dann sollte für jedes Messwertpaar der Wert für $D$ berechnet werden und mit Hilfe der Fehlerrechnung daraus ein Gesamtergebnis formuliert werden.

• Sage die folgenden Versuchsergebnisse mit Hilfe des Hooke'schen Gesetzes voraus.

  Tipps

  Argumentiere beispielsweise über die Proportionalität von F und s.

  Oder bestimme aus dem ersten Messwertpaar die Federkonstante und berechne die fehlenden Werte mit dem Hooke'schen Gesetz.

  Beachte, dass alle Messwerte auf eine Nachkommastelle genau eingetragen werden sollen.

  Lösung

  Diese Aufgabe kann auf unterschiedlichen Wegen gelöst werden.

  Wenn dir das Argumentieren mit Proportionalitäten gut gelingt, kannst du so vorgehen: Bei einem Newton wird die Feder um 2,3 Zentimeter ausgelenkt, also sind es beim zehnfachen Kraftwert zehnmal so viele Zentimeter, also 23. 11,5 Zentimeter entsprechen dem fünffachen Wert der Auslenkung bei einem Newton, also muss die auslenkende Kraft dort auch fünfmal so groß sein, also fünf Newton betragen. Dies funktioniert besonders gut, wenn anhand der Zahlenwerte der jeweilige Faktor gut zu erkennen ist.

  In dieser Argumentationskette verbirgt sich schon indirekt die Federkonstante selbst. Man kann diese also auch aus dem erstem Messwertpaar berechnen: $D=\frac Fs=\frac {1,0~N} {2,3~cm}=0,435\frac {N} {cm}$. Aus der Federkonstante und dem gegebenen Messwert kann dann der fehlende Messwert des Paares bestimmt werden. Fehlt die Auslenkung, so gilt umgestellt nach dem Hooke'schen Gesetz zum Beispiel: $s=\frac {F} {D}=\frac {10,0~N} {0,435\frac {N} {cm}}=23,0~cm$. Fehlt die Kraft, so gilt direkt nach dem Hooke'schen Gesetz zum Beispiel: $F=D\cdot s=0,435 \frac {N} {cm} \cdot 11,5~cm=5,0~N$.

• Interpretiere das gezeigte Diagramm zum Dehnungsverhalten dreier Schraubenfedern.

  Tipps

  Insgesamt 11 Fehler haben sich eingeschlichen.

  Die Gruppe will den Aufbau des Diagramms beschreiben, dann den Verlauf der Graphen deuten und anschließend Aussagen über die Federkonstanten treffen.

  Für den Vergleich der Federkonstanten benötigst du Messwertpaare aus der Grafik.

  Lösung

  Und so läuft der tatsächliche Vortrag nach der etwas holprigen Generalprobe dann fehlerfrei:

  Im Diagramm ist das Dehnungsverhalten der drei Schraubenfedern dargestellt. An der y-Achse haben wird die Kraft in Newton eingetragen, an der x-Achse die Auslenkung in Zentimetern. Jeder der drei nummerierten Graphen steht für eine der drei untersuchten Schraubenfedern.

  Zwei der drei Schraubenfedern zeigen im gesamten untersuchten Messbereich ein proportionales Verhalten der Größen F und s. Das erkennt man daran, dass durch die Messwerte Ursprungsgeraden gezeichnet werden konnten. Bei Schraubenfeder (3) hingegen liegt die Proportionalität nur bis zu einer Kraft von etwa zwei Newton vor, dann wurde sie überdehnt. Das erkennt man an einem von einer Gerade abweichenden Verlauf der Messwerte. Das Hooke'sche Gesetz ist dann nicht mehr gültig.

  Die Federn weisen unterschiedliche Federkonstanten auf. Feder (1) besitzt die größte, Feder (3) die kleinste Federkonstante. Feder (1) besitzt eine Federkonstante von $5\frac {N} {cm}$, Feder (2) von $2\frac {N} {cm}$ und Feder (3) von $0,5\frac {N} {cm}$. Feder (3) ist die weichste Feder und wurde daher durch die zu hohen Gewichte überbelastet.

  Bemerkung: Die Federkonstanten werden mit Hilfe von Messwertpaaren und der Formel $D=\frac Fs$ aus der Grafik ermittelt: Für Feder (1) gilt $\frac {10~N} {2~cm}=5\frac {N} {cm}$, für Feder (2) $\frac {6~N} {3~cm}=2\frac {N} {cm}$ und für Feder (3) $\frac {1~N} {2~cm}=0,5\frac {N} {cm}$.

• Beschreibe das Dehnungsverhalten einer elastischen Schraubenfeder.

  Tipps

  Der Zusammenhang zwischen welchen beiden Größen beschreibt das Dehnungsverhalten einer Schraubenfeder?

  Wie hängen auslenkende Kraft und Auslenkung der Feder zusammen?

  Welche Proportionalität zwischen Kraft und Auslenkung gilt nach dem Hooke'schen Gesetz?

  Lösung

  Um das Dehnungsverhalten einer Schraubenfeder zu beschreiben, bedient sich die Physik zweier Größen:

  Die auslenkende Kraft wird in der Abbildung durch ein Massestück verursacht, das unten an der Feder befestigt wird. Auf dieses Massestück wirkt die Gravitations- oder Gewichtskraft. Diese verursacht die Dehnung der Feder nach unten.

  Den Grad der Dehnung der Feder beschreibt man mit der Auslenkung. Diese gibt an, wie viel länger die Feder im Vergleich zu ihrer Ruhelage (also ohne zusätzliches Massestück) durch die auslenkende Kraft geworden ist.

  Wirkt so eine auslenkende Kraft auf die Feder, so wird diese gedehnt. Die größer die Kraft, desto höher ist dabei die Auslenkung. Nach dem Hook'schen Gesetz gilt dabei für eine elastische Feder folgender Zusammenhang:

  In dem Maße, wie die Kraft zunimmt, nimmt auch die Auslenkung der Feder zu. Die beiden Größen verhalten sich proportional zueinander. Eine Verdopplung der Kraft bewirkt eine Verdopplung der Auslenkung, eine Verdreifachung der Kraft eine Verdreifachung der Auslenkung und so weiter. Umgekehrt kann man auch sagen, dass eine Halbierung der Kraft eine halbierte Auslenkung zur Folge hat.

• Analysiere das Diagramm zum Dehnungsverhalten von verschiedenen Schraubenfedern.

  Tipps

  Ermittle aus dem Diagramm die Federkonstanten der Schraubenfedern.

  Beachte die Einheiten.

  Lösung

  Aus dem Diagramm können an geeigneten Stellen Messwertpaare zur Bestimmung der Federkonstanten der Schraubenfedern abgelesen werden.
  Zu beachten ist dabei jedoch, dass andere Einheiten im Diagramm verwendet werden, als bei den Lösungen. Die Kräfte sind in $kN$ angegeben und die Auslenkung in $m$.

  Damit können folgende Werte rechnerisch zum Beispiel so ermittelt werden und der jeweiligen Nummer zugeordnet werden:

  Feder (1):

  $D_1=\frac {F_1} {s_1}=\frac {10~kN} {0,50~m}=\frac {10~000~N} {50~cm}=200\frac {N} {cm}$

  Feder (2):

  $D_2=\frac {10~kN} {0,75~m}=\frac {10~000~N} {75~cm}=133\frac {N} {cm}$

  Feder (4):

  $D_4=\frac {5~kN} {1,00~m}=\frac {5~000~N} {100~cm}=50\frac {N} {cm}$

  Feder (6):

  $D_6=\frac {3~kN} {1,50~m}=\frac {3~000~N} {150~cm}=20\frac {N} {cm}$