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Dehnungsverhalten und Hookesches Gesetz

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Ø 3.5 / 18 Bewertungen

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Sandra Haufe
Dehnungsverhalten und Hookesches Gesetz
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Dehnungsverhalten und Hookesches Gesetz

Hallo ! Sicher ist dir schon aufgefallen, dass man zum Verformen eines Körpers Kraft aufwenden muss, zum Beispiel beim Dehnen einer Feder. Hier lernst du wie man die Gesetzmäßigkeit die hier gilt nennt und wie du sie im Experiment praktisch bestimmen kannst. Es werden dir die wichtigen Begriffe erklärt und die Formel beschrieben, mit der du die Kraft, die du benötigst um eine Feder zu dehnen, berechnen kannst.

Transkript Dehnungsverhalten und Hookesches Gesetz

Hallo, in diesem Video geht es um das Dehnungsverhalten von Körpern. Insbesondere möchte ich euch das Gesetz von Hooke erklären. Und los gehts. Das Dehnungsverhalten eines Körpers ist nicht immer zu jedem Zeitpunkt gleich. Sehen wir uns das mal am Beispiel eines Luftballons an. Das kennen wir alle. Am Anfang ist er sehr schwer aufzupusten. Er dehnt sich nur mit sehr viel Kraft. Danach ist es leichter ihn aufzupusten. Und am Ende, wenn er schon ganz groß ist, wird es wieder schwerer. Er dehnt sich nicht mehr ganz so leicht. Wir wollen nun aber mal das Dehnungsverhalten einer Feder betrachten. Das sieht nämlich ganz anders aus. Und so sieht der Aufbau aus: Eine Feder hängt an einer Befestigung. Neben der Feder steht eine Messlatte. Wir hängen nun an die Feder eine Kraft, in unserem Fall ist das 1 Newton. Durch die Kraft wird die Feder gedehnt. In unserem Fall durch 3cm. Um die Messwerte festzuhalten legen wir nun eine Wertetabelle an. In die erste Zeile kommt die Kraft F in Newton N. In die zweite Zeile kommt die Ausdehnung s in cm. Also können wir schon unsere ersten Messwerte eintragen, das ist 1 N und 3cm. Nun ändern wir mal die Kraft, die die Feder ausdehnt. wir hängen 2 N an die Feder. Die Feder dehnt sich nun weiter aus. In diesem Fall um 6 cm. Auch diese Werte können wir nun wieder in der Wertetabelle eintragen, also: 2 und 6. Und noch mal ändern wir die Kraft, die die Feder dehnt. Nun sind es schon 3 N. Auch diesmal dehnt sich die Feder. Diesmal um 9cm. Auch diese Werte tragen wir in die Tabelle ein. Vielleicht können wir ja jetzt schon ein Schema erkennen. Ah, es scheint als verdoppelt sich die Ausdehnung, wenn sich auch die Kraft verdoppelt und es verdreifacht sich die Ausdehnung, wenn sich die Kraft verdreifacht. Ein letztes Mal erhöhen wir nun die Kraft auf 4 N. Oh was ist denn da mit der Feder passiert? Na ja, auch diesen Wert nehmen wir aus. Es sind also 4 N und eine Dehnung von 17 cm. Aus diesen Messwerten wollen wir nun ein Diagramm machen, vielleicht ergibt sich daraus ja etwas Interessantes für uns. Ich habe schon mal ein Koordinatensystem vorbereitet. Auf die waagerechte Achse können wir nun die Ausdehnung s in cm eintragen. Auf die senkrechte Achse kommt die Kraft F in N. Wir können nun unsere gemessenen Punkte eintragen. Der erste war 3/1, der zweite 6/2, der dritte 6/3 und der vierte schließlich 4/17. Durch die ersten drei Punkte können wir prima eine Gerade ziehen. Nur der vierte, der passt da irgendwie nicht mit rein. Betrachten wir zunächst nur die drei ersten Punkte. Durch sie kann man eine Gerade ziehen. Doch es ist nicht nur eine Gerade, es ist sogar eine Ursprungsgerade. Das heißt, dass s, also die Ausdehnung proportional ist zu F der Kraft. Und damit wird unsere Vermutung von vorhin bestätigt. Gucken wir uns nun mal die Steigung der Geraden an. Das ist ja bekanntlich y/x, also in unserem Fall F/s. Also in unserem Fall: 2N/6cm= na ja nennen wir es mal in unserem Fall D. Rechnen wir das nun aus erhalten wir: 1/3 N/cm =D. Das ist also die Steigung der Geraden und die ist wegen der Proportionalität der Geraden konstant. Und dieses D, also die Steigung der Geraden, nennt man die Federkonstante. Die Federkonstante gibt an, wie hart oder wie weich eine Feder ist. In unserem Fall bedeutet das: um die Feder um 1cm zu dehnen, benötigt man eine Kraft von 1/3 N. Also noch mal f/s ist konstant, weil die Steigung der Geraden konstant ist. Oder anders F/s =D, die Federkonstante. Diese Gleichung können wir auch umformen. Wir können sie mit s multiplizieren. Dann erhalten wir die Gleichung: F= Ds. Das ist das Hooke'sche Gesetz. Es besagt, dass die Kraft, die an der Feder hängt, proportional ist zu der Ausdehnung, je nach Federkonstanten. Aber warum folgt der vierte Punkt nicht diesem Gesetz? Das liegt daran, dass jede Feder ab einem bestimmten Punkt überbelastet ist. Und wir haben offensichtlich eine zu große Kraft an die Feder gehangen, sodass dieser Punkt, bei der Feder überschritten war. Es ist nämlich so, vorher war die Feder elastisch. Sie ist immer wieder in ihren ursprünglichen Zustand zurückgekehrt. Aber nach der Überdehnung der Feder, kehrt sie nicht mehr in ihre ursprüngliche Form zurück. Sie war also überdehnt. Also noch mal zusammenfassend: Unter der Bedingung, dass die Feder elastisch verformt wird, gilt das Hooke'sche Gesetz, welches besagt, dass die Ausdehnung zur Kraft proportional ist. Oder mathematisch formuliert: F=Ds. Nun bin ich am Ende des Dehnungsverhaltens. Ich hoffe, ich konnte euch helfen, das Hooke'sche Gesetz zu verstehen.

17 Kommentare

17 Kommentare
  1. versteh ich nicht

    Von Henriette N., vor fast 3 Jahren
  2. @Kassandra
    Leider wurde an dieser Stelle die Feder überdehnt und damit beschädigt, dies soll dir zeigen das jede Feder nur eine bestimmte Last tragen kann. Wird diese überschritten, dann ist ihre lineare Ausdehnung nicht mehr möglich. Dieser Zustand wurde bei dieser leichten Feder erreicht.

    Würde die Feder mehr Last tragen können wären hier natürlich ca. 12 cm Ausdehnung zu erwarten.

    Von Karsten S., vor mehr als 4 Jahren
  3. watum ist bei 3.20 min in der Wertetabelle bei 4. 17????

    Von Info Kassandra, vor mehr als 4 Jahren
  4. danke. das ist echt gut erklärt, ich hab die Rechnung zum Thema immer nicht kapiert ,XD !

    Von Antjelinke, vor fast 5 Jahren
  5. war die letzte rettung . habe morgen eine arbeit und hatte es bis heute nicht verstanden

    Von Fieser Furz2, vor mehr als 5 Jahren
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Dehnungsverhalten und Hookesches Gesetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dehnungsverhalten und Hookesches Gesetz kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse dein Wissen über das Dehnungsverhalten einer Schraubenfeder zusammen.

    Tipps

    Je größer die Kraft, desto höher ist die Auslenkung.

    Formuliere diese Aussage mit Hilfe mathematischer Ausdrücke.

    Lösung

    Für eine Schraubenfeder gilt das Hook'sche Gesetz: $F=D\cdot s$. Darin ist $F$ die Kraft, die die Massestücke durch die Anziehungskraft der Erde auf die Feder ausüben. $s$ beschreibt die Auslenkung der Schraubenfeder aus ihrer Ruhelage. (siehe Abbildung)

    Die Größen $F$ und $s$ verhalten sich proportional zueinander. $D$ ist die Federkonstante und der Proportionalitätsfaktor im Hook'schen Gesetz. Die Federkonstante ist ein fester Wert, der für jede einzelne Feder bestimmt werden kann und für diese typisch ist. Sie gibt an, wie starr die Feder jeweils ist. Je größer die Federkonstante, desto mehr Kraft ist notwendig, um die Feder auszulenken. Überdehnt man die Feder und verformt sie dadurch plastisch, so ist die Federkonstante nicht mehr gültig und das Hook'sche Gesetz kann nicht mehr angewendet werden.

  • Zeige, wie man die Federkonstante D einer Schraubenfeder aus experimentellen Daten ermitteln kann.

    Tipps

    Wie ist die Federkonstante definiert?

    Verwende für die Berechnung die Formel $D=\frac Fs$.

    Setze die Messwerte eines beliebigen Messwertpaares in die Formel ein.

    Lösung

    Die Federkonstante D berechnet sich aus der Formel $D=\frac Fs$. In diese Formel setzt man die Messwerte aus der Tabelle ein:

    Messwertpaar 1: $D_1=\frac {F_1} {s_1}=\frac {1~N} {3~cm}=0,33\frac {N} {cm}$

    Messwertpaar 2: $D_2=\frac {F_2} {s_2}=\frac {2~N} {6~cm}=0,33\frac {N} {cm}$

    Messwertpaar 3: $D_3=\frac {F_3} {s_3}=\frac {3~N} {9~cm}=0,33\frac {N} {cm}$

    Für jeden Zentimeter, den man die gegebenen Feder auslenken möchte, muss man sie mit einer Kraft von einem Drittel Newton belasten.

    In diesem Fall ist es egal, mit welchem Messwertpaar die Federkonstanten bestimmt wird. Unter den üblichen Versuchsbedingungen würden sich aber vermutlich Abweichungen ergeben. Dann sollte für jedes Messwertpaar der Wert für $D$ berechnet werden und mit Hilfe der Fehlerrechnung daraus ein Gesamtergebnis formuliert werden.

  • Sage die folgenden Versuchsergebnisse mit Hilfe des Hooke'schen Gesetzes voraus.

    Tipps

    Argumentiere beispielsweise über die Proportionalität von F und s.

    Oder bestimme aus dem ersten Messwertpaar die Federkonstante und berechne die fehlenden Werte mit dem Hooke'schen Gesetz.

    Beachte, dass alle Messwerte auf eine Nachkommastelle genau eingetragen werden sollen.

    Lösung

    Diese Aufgabe kann auf unterschiedlichen Wegen gelöst werden.

    Wenn dir das Argumentieren mit Proportionalitäten gut gelingt, kannst du so vorgehen: Bei einem Newton wird die Feder um 2,3 Zentimeter ausgelenkt, also sind es beim zehnfachen Kraftwert zehnmal so viele Zentimeter, also 23. 11,5 Zentimeter entsprechen dem fünffachen Wert der Auslenkung bei einem Newton, also muss die auslenkende Kraft dort auch fünfmal so groß sein, also fünf Newton betragen. Dies funktioniert besonders gut, wenn anhand der Zahlenwerte der jeweilige Faktor gut zu erkennen ist.

    In dieser Argumentationskette verbirgt sich schon indirekt die Federkonstante selbst. Man kann diese also auch aus dem erstem Messwertpaar berechnen: $D=\frac Fs=\frac {1,0~N} {2,3~cm}=0,435\frac {N} {cm}$. Aus der Federkonstante und dem gegebenen Messwert kann dann der fehlende Messwert des Paares bestimmt werden. Fehlt die Auslenkung, so gilt umgestellt nach dem Hooke'schen Gesetz zum Beispiel: $s=\frac {F} {D}=\frac {10,0~N} {0,435\frac {N} {cm}}=23,0~cm$. Fehlt die Kraft, so gilt direkt nach dem Hooke'schen Gesetz zum Beispiel: $F=D\cdot s=0,435 \frac {N} {cm} \cdot 11,5~cm=5,0~N$.

  • Interpretiere das gezeigte Diagramm zum Dehnungsverhalten dreier Schraubenfedern.

    Tipps

    Insgesamt 11 Fehler haben sich eingeschlichen.

    Die Gruppe will den Aufbau des Diagramms beschreiben, dann den Verlauf der Graphen deuten und anschließend Aussagen über die Federkonstanten treffen.

    Für den Vergleich der Federkonstanten benötigst du Messwertpaare aus der Grafik.

    Lösung

    Und so läuft der tatsächliche Vortrag nach der etwas holprigen Generalprobe dann fehlerfrei:

    Im Diagramm ist das Dehnungsverhalten der drei Schraubenfedern dargestellt. An der y-Achse haben wird die Kraft in Newton eingetragen, an der x-Achse die Auslenkung in Zentimetern. Jeder der drei nummerierten Graphen steht für eine der drei untersuchten Schraubenfedern.

    Zwei der drei Schraubenfedern zeigen im gesamten untersuchten Messbereich ein proportionales Verhalten der Größen F und s. Das erkennt man daran, dass durch die Messwerte Ursprungsgeraden gezeichnet werden konnten. Bei Schraubenfeder (3) hingegen liegt die Proportionalität nur bis zu einer Kraft von etwa zwei Newton vor, dann wurde sie überdehnt. Das erkennt man an einem von einer Gerade abweichenden Verlauf der Messwerte. Das Hooke'sche Gesetz ist dann nicht mehr gültig.

    Die Federn weisen unterschiedliche Federkonstanten auf. Feder (1) besitzt die größte, Feder (3) die kleinste Federkonstante. Feder (1) besitzt eine Federkonstante von $5\frac {N} {cm}$, Feder (2) von $2\frac {N} {cm}$ und Feder (3) von $0,5\frac {N} {cm}$. Feder (3) ist die weichste Feder und wurde daher durch die zu hohen Gewichte überbelastet.

    Bemerkung: Die Federkonstanten werden mit Hilfe von Messwertpaaren und der Formel $D=\frac Fs$ aus der Grafik ermittelt: Für Feder (1) gilt $\frac {10~N} {2~cm}=5\frac {N} {cm}$, für Feder (2) $\frac {6~N} {3~cm}=2\frac {N} {cm}$ und für Feder (3) $\frac {1~N} {2~cm}=0,5\frac {N} {cm}$.

  • Beschreibe das Dehnungsverhalten einer elastischen Schraubenfeder.

    Tipps

    Der Zusammenhang zwischen welchen beiden Größen beschreibt das Dehnungsverhalten einer Schraubenfeder?

    Wie hängen auslenkende Kraft und Auslenkung der Feder zusammen?

    Welche Proportionalität zwischen Kraft und Auslenkung gilt nach dem Hooke'schen Gesetz?

    Lösung

    Um das Dehnungsverhalten einer Schraubenfeder zu beschreiben, bedient sich die Physik zweier Größen:

    Die auslenkende Kraft wird in der Abbildung durch ein Massestück verursacht, das unten an der Feder befestigt wird. Auf dieses Massestück wirkt die Gravitations- oder Gewichtskraft. Diese verursacht die Dehnung der Feder nach unten.

    Den Grad der Dehnung der Feder beschreibt man mit der Auslenkung. Diese gibt an, wie viel länger die Feder im Vergleich zu ihrer Ruhelage (also ohne zusätzliches Massestück) durch die auslenkende Kraft geworden ist.

    Wirkt so eine auslenkende Kraft auf die Feder, so wird diese gedehnt. Die größer die Kraft, desto höher ist dabei die Auslenkung. Nach dem Hook'schen Gesetz gilt dabei für eine elastische Feder folgender Zusammenhang:

    In dem Maße, wie die Kraft zunimmt, nimmt auch die Auslenkung der Feder zu. Die beiden Größen verhalten sich proportional zueinander. Eine Verdopplung der Kraft bewirkt eine Verdopplung der Auslenkung, eine Verdreifachung der Kraft eine Verdreifachung der Auslenkung und so weiter. Umgekehrt kann man auch sagen, dass eine Halbierung der Kraft eine halbierte Auslenkung zur Folge hat.

  • Analysiere das Diagramm zum Dehnungsverhalten von verschiedenen Schraubenfedern.

    Tipps

    Ermittle aus dem Diagramm die Federkonstanten der Schraubenfedern.

    Beachte die Einheiten.

    Lösung

    Aus dem Diagramm können an geeigneten Stellen Messwertpaare zur Bestimmung der Federkonstanten der Schraubenfedern abgelesen werden.
    Zu beachten ist dabei jedoch, dass andere Einheiten im Diagramm verwendet werden, als bei den Lösungen. Die Kräfte sind in $kN$ angegeben und die Auslenkung in $m$.

    Damit können folgende Werte rechnerisch zum Beispiel so ermittelt werden und der jeweiligen Nummer zugeordnet werden:

    Feder (1):

    $D_1=\frac {F_1} {s_1}=\frac {10~kN} {0,50~m}=\frac {10~000~N} {50~cm}=200\frac {N} {cm}$

    Feder (2):

    $D_2=\frac {10~kN} {0,75~m}=\frac {10~000~N} {75~cm}=133\frac {N} {cm}$

    Feder (4):

    $D_4=\frac {5~kN} {1,00~m}=\frac {5~000~N} {100~cm}=50\frac {N} {cm}$

    Feder (6):

    $D_6=\frac {3~kN} {1,50~m}=\frac {3~000~N} {150~cm}=20\frac {N} {cm}$

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