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Bohr'sches Atommodell (Expertenwissen)

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Jakob Köbner
Bohr'sches Atommodell (Expertenwissen)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Bohr'sches Atommodell (Expertenwissen)

In diesem Video wollen wir kurz die Geschichte der Atommodelle und die Bohrschen Postulate wiederholen, um dann ein wenig zu rechnen: Hier lernt ihr, wie ihr aus dem Ansatz Coulombkraft = Zentripetalkraft die Radii der Elektronenbahnen und die dazugehörigen Energiewerte berechnen könnt, und wie ihr mit Hilfe dieser Werte das sogenannte Termschema des Wasserstoffatoms berechnen und zeichnen könnt.

Transkript Bohr'sches Atommodell (Expertenwissen)

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir beschäftigen uns heute aus dem Gebiet Atom- und Kernphysik mit einer Vertiefung des Bohrschen Atommodells. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über die Balmer-Formel gesehen haben. Es kann auch nicht schaden, wenn ihr schon ein wenig über Atommodelle bescheid wisst. Wir lernen heute, wie sich die Vorstellung vom Atom - in einer kurzen Wiederholung - über verschiedene Modelle bis hin zum Bohrschen Atommodell entwickelt hat, was die Bohrschen Postulate sind und wie man mit dem Bohrschen Atommodell die Bahnradien und Energiewerte für das Wasserstoffatom berechnen kann. Die Idee, dass alle Materie aus kleinsten Bauteilen, den sogenannten Atomen, besteht, ist nicht gerade neu. Schon die Griechen und Inder kamen viele Jahre vor Christus darauf. Es dauert aber eine ganze Weile, bis die Wissenschaftler in ihrer Vorstellung vom Atom ein wenig konkreter wurden. J. J. Thomson entwickelte das Thomsonsche Atommodell. Er war der Meinung, dass ein Atom ungefähr aussieht wie ein großer Wassertropfen, der im Allgemeinen positiv geladen ist und darin schwimmen lauter kleine negativ geladene Elektronen. Ernest Ratherford fand in seinem berühmten Streuversuch heraus, dass der Atomkern, der die gesamte positive Ladung und fast die gesamte Masse des Atoms enthält, sehr sehr viel kleiner ist als die Atomhülle, die nur aus den leichten, negativ geladenen Elektronen besteht. Und damit sind wir auch schon bei Nils Bohr, der das Ratherfordscher Atommodell um die Bohrschen Postulate erweiterte und damit für die Quantenphysik brauchbar machte. Was diese Bohrschen Postulate nun genau waren, das sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Das erste Bohrsche Postulat besagt: Der Bahndrehimpuls der Elektronen ist gequantelt. Die Formel für diesen Bahndrehimpuls ist: L=n (für die n-te Bahn) ×h (das planksche Wirkungsquantum) /2pi. Gequantelt bedeutet, dass der Bahndrehimpuls nur diese, von der Formel festgelegten Werte annehmen kann und keine anderen. Außerdem legt das erste Bohrsche Postulat fest: Das Elektron bewegt sich auf diesen Bahnen ohne Energie abzustrahlen. Das zweite Bohrsche Postulat besagt: Geht ein Elektron von einer höheren Bahn 1 auf eine niedrigere Bahn 2 über, so wird ein Photon, dessen Energie h×f, also Energie von Bahn 1 - Energie von Bahn 2 ist, abgestrahlt. Wie man nun den Radius einer solchen Elektronenbahn und das dazugehörige Energieniveau berechnen kann, das wollen wir uns im letzten Kapitel ansehen. Wir betrachten beim Bohrschen Atommodell ja immer ein Wasserstoffatom, das heißt, 1 Elektron, Masse me, kreist um ein Proton. Dabei wird es von der Coulombkraft angezogen. Mein Ansatz ist also: Die Coulombkraft fungiert als Zentripetalkraft. Mein Ansatz ist also: (me×v2)/r=(Q1×Q2)/(4pi×Epsilon0×r2). Und da die beiden Ladungen Q1 und Q2 jeweils die Elementarladungen sind, ist das e2/(4pi×Epsilon0×r2). Ich multipliziere beiden Seiten mit r2 und erhalte mev2×r=e2/(4pi×Epsilon0). Wir schieben kurz eine kleine Zwischenrechnung ein. Wir wissen aus dem ersten Postulat: Der Bahndrehimpuls L=n×(h/2pi), und der Bahndrehimpuls ist ja immer Radius×Masse×Geschwindigkeit. Wie ihr seht, habe ich, wenn ich auf der linken Seite ein v aus dem v2 ausklammere, den Bahndrehimpuls stehen. Ich kann für mevr also einfach (n×h)/2pi einsetzen. Dann kann ich die Gleichung nach v auflösen und ich erhalte die Geschwindigkeit v des Elektrons ist e2/(2nhEpsilon0). Das setze ich vorne in mein v2 ein und damit wird meine Gleichung zu (me×r×e4)/(4n2×h2×Epsilon02)=e2/(4pi×Epsilon0). Wir kürzen natürlich erstmal, bis wir nicht mehr können, und stellen dann nach r um. Das Ergebnis ist r=(n2×h2×Epsilon0)/(me×e2×pi). Das ist also die Formel für den Bahnradius der n-ten Bahn im Wasserstoffatom. Wir können gleich für n=1 den Radius der kleinsten Bahn ausrechnen, er beträgt - wir können ja alles in der Formelsammlung nachsehen - 5,29×10-11 m. Man nennt dies den Bohrschen Atomradius. So weit, so gut. Nun wollen wir natürlich noch die Energiewerte zu unseren Bahnen wissen. Dazu müssen wir überlegen, was die Gesamtenergie unseres Elektrons ist. Sie besteht aus 2 Teilen, nämlich seiner kinetischen Energie und seiner potentiellen Energie. Die kinetische Energie eines Teilchens ist ½mev2 und die potentielle Energie einer Ladung im Coulombfeld ist (-Q1×Q2)/(4pi×Epsilon0×r). Wir setzen bei der kinetischen Energie die Geschwindigkeit von oben und bei der potentiellen Energie den Radius von oben ein und erhalten =((Masse des Elektrons×e4)/(8n2×h2×Epsilon02))-(me×e4pi)/(4pi×Epsilon02×n2×h2) (die potentielle Energie). Wie ihr seht, sind die beiden Energien, bis auf die Zahl im Nenner, genau gleich. Die potentielle Energie ist doppelt so groß wie die kinetische Energie, aber dafür negativ. Mein Ergebnis ist also -((me×e4)/(8n2×h2×Epsilon02)). Euch ist bestimmt aufgefallen, dass hier eine negative Energie herauskommt. Das ist kein Fehler und liegt daran, dass hier eine Bindung zwischen Proton und Elektron beschrieben wird. Je kleiner die Bahn, desto stärker ist das Elektron an das Proton gebunden, das heißt, desto mehr Energie müsste ich aufbringen, um es zu befreien. Wenn es befreit ist, hat es die Energie 0. Deswegen hat es, solange es gebunden ist, eine Energie kleiner als 0. Wir haben also nun eine Formel für die Energie der n-ten Bahn unseres Elektrons und sie lautet, wenn ich 1/n2 nach vorne nehme, (1/n2)×(-(me×e4)/(8h2×Epsilon02)), oder einfacher gesagt (1/n2)×das Energieniveau der ersten Bahn. Wenn ich nun etwas Zeit, eine Liste von Konstanten und einen Taschenrechner habe, kann ich mich hinsetzen und die verschiedenen Energieniveaus ausrechnen. Ich kann dann ein sogenanntes Energieniveauschema des Wasserstoffs zeichnen, das heißt, ich kann sehen, wie weit die Bahnen energietechnisch auseinanderliegen. Die erste Elektronenbahn, also für n=1, liegt bei -13,6 eV, die Zweite bei -3,4. Die dritte liegt bei -1,5 eV und so rücken meine Bahnen energietechnisch immer näher zusammen, bis sie bei n=unendlich bei 0 ankommen und dort ist das Elektron frei vom Proton. Mehr dazu hören wir aber im Video über Termschema. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Im Bohrschen Atommodell ist der Bahndrehimpuls gequantelt, das heißt, das Elektron bewegt sich nur auf Bahnen, in denen der Bahndrehimpuls der Gleichung L=n×(h/2pi) gehorcht. Springt ein Elektron von Bahn 1 auf Bahn 2 und Bahn 1 hat eine höhere Energie als Bahn 2, dann wird ein Photon, dessen Energie gleich der Energiedifferenz der beiden Bahnen ist, ausgesendet. Mithilfe des Bohrschen Atommodells kann ich Bahnradien und Energieniveaus berechnen. Für den Bahnradius ergibt sich rn=n2×(h2×Epsilon0)/(pi×me×e2). Für das Energieniveau der n-ten Bahn ergibt sich (1/n2)×(-(me×e4)/(8h2×Epsilon02)). So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank für das Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Kompliziert, werde es nochmal später gucken, wenn ich mehr Physik gelernt habe, nichtsdestotrotz sehr interessant!

    Von Dw 69, vor etwa 7 Jahren
  2. Großartiges Video! :)

    Von Felix Thon, vor etwa 7 Jahren
  3. @ChemieMaster: Du hast den Faktor 1/2 vergessen. Für die Geschwindigkeit gilt v=e^2/2*n*h*epsilon. Also ist E_kin=1/2*m*v^2=m*e^4/8*n^2*h^2*epsilon^2. Viele Grüße, Nikolai

    Von Nikolai P., vor mehr als 7 Jahren
  4. Vielen Dank für die schöne Erklärung! Ich habe nur eine kurze Frage: Du setzt in der Gleichung für die kinetische Engerie, genau genommen für den Faktor v2, die Formel e4 / 8n2*h2*Eo2 ein, wie kommst du auf die Zahl 8 ? Vielen Dank für deine Antwort!

    Von Chemie Master, vor mehr als 7 Jahren
  5. @Aaronorkan: Eine Abituraufgabe könnte z.B. lauten berechne den Atomradius des Wasserstoffatoms im Grundzustand oder ein Photon wurde von einem Wasserstoffatom im Grundzustand absorbiert. Nach der Absorbtion befindet sich das H-Atom im ersten angeregten Zustand. Welche Wellenlänge hatte das Photon?
    Wie dir vielleicht auffällt lassen sich beide Aufgaben mit den Formeln für den Bahnradius und die Energieniveaus lösen (bei der zweiten müsstest du noch aus der Energie die Wellenlänge des Photons berechen). Man kann mit dem Bohr'schen Atommodell nämlich keine anderen physikalisch sinvollen Größen berechnen außer dem Bahnradius und den Energieniveaus. Also wenn du verstanden hast wie man diese berechnet sollte es keine Aufgabe geben die dir Probleme bereitet. Es ist auch noch eine Übungsvideo zu Atommodellen in Planung. Ich kann dir allerdings noch nicht sagen wann diese online sein wird.
    Lg

    Von Nikolai P., vor etwa 8 Jahren
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Bohr'sches Atommodell (Expertenwissen) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bohr'sches Atommodell (Expertenwissen) kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Bohrschen Postulate mit ihren Kernaussagen.

    Tipps

    Beim Bohrschen Atommodell sind nur bestimmte Elektronenbahnen zugelassen. Welche Bedingung erfüllen diese?

    Wann und wie gibt ein Elektron Energie bei einem Bahnübergang ab?

    Lösung

    Das erste Bohrsche Postulat besagt, dass der Bahndrehimpuls der Elektronen gequantelt ist.

    Das bedeutet, dass nur solche Elektronenbahnen zulässig sind, auf denen der Bahndrehimpuls $L$ ein ganzzahliges Vielfaches von $\frac {h} {2\pi}$ ist. Die Elektronen verteilen sich also nicht kontinuierlich über die gesamte Hülle, sondern besitzen wenige feste Energieniveaus.

    In Formelschreibweise lautet das Postulat: $L=n\cdot \frac {h} {2\pi}$. Darin ist $n$ die (natürliche) Bahnnummer und $h$ das Plancksche Wirkungsquantum.

    Wichtig: Die Elektronen bewegen sich auf diesen Bahnen strahlungsfrei, das heißt, sie geben bei ihrer Bewegung keine Energie ab.

    Das zweite Bohrsche Postulat beschreibt die Vorgänge beim Wechsel der Bahn durch ein Elektron.

    Dazu ist, da sich die Bahnen auf unterschiedlichen Energieniveaus bewegen, entweder Energie von außen nötig (Elektron springt auf eine höhere Bahn) oder das Elektron gibt die Differenzenergie als Photon ab (Elektron fällt von einer höheren Bahn auf eine niedrigere Bahn).

    Diese Lichtenergie beträgt für ein Photon mit der Frequenz $f$: $E_{Ph}=hf=E_1-E_2$. Dabei ist Bahn 1 die höhere Bahn und Bahn 2 die niedrigere Bahn.

    In der Abbildung ist das Bohrsche Atommodell bildlich dargestellt. Man erkennt den positiven Kern, um den sich auf festgelegten Bahnen die Elektronen bewegen.

  • Gib an, mit Hilfe welcher Ansätze die Bahnradien und Energieniveaus eines Wasserstoffatoms bestimmt werden können.

    Tipps

    Nur ein Ansatz ist jeweils möglich.

    Welche Kraft hält das Elektron auf seiner Kreisbahn?

    Woraus setzt sich die Gesamtenergie des Elektrons zusammen?

    Welcher Ansatz stellt einen Bezug zum Bahnradius her, welcher einen Bezug zur Elektronenenergie?

    Lösung

    Das Elektron im Wasserstoffatom bewegt sich auf einer Kreisbahn. Bereits aus der Klassischen Mechanik weiß man, dass dafür eine konstante Radial- oder auch Zentripetalkraft $F_Z$ notwendig ist, die immer Richtung Kreismittelpunkt zeigt. In diesem Fall ist das die Anziehungskraft des Protons, also die Coulombkraft $F_C$, die zwischen zwei Ladungsträgern wirkt. Die Zentripetalkraft ist außerdem abhängig vom Kreisbahnradius. So kann durch Gleichsetzen der beiden Kräfte $F_Z=F_C$ eine Formel zur Bestimmung der Kreisbahnradien im Wasserstoffatom hergeleitet werden.

    Die Energieniveaus im Wasserstoffatom kann man aus der Betrachtung der Gesamtenergie des Elektrons bestimmen. Dieses besitzt aufgrund seiner Bewegung kinetische Energie $E_{kin}$ sowie aufgrund seiner Entfernung zum Proton potentielle Energie $E_{pot}$. Diese beiden Energien werden zur Gesamtenergie $E_{ges}=E_{kin}+E_{pot}$ aufsummiert und dienen für die Herleitung der Formel zur Berechnung der Energieniveaus im Wasserstoffatom.

  • Berechne den Bohrschen Atomradius.

    Tipps

    Lösung

    Der Bohrsche Atomradius beträgt rund $5,293\cdot 10^{-11}~m$.

    Im folgenden siehst du die Berechnung für den Bohrschen Atomradius.

    In der Abbildung ist die darin auftretende Einheitenrechnung zusammengefasst.

    Gegeben:

    Bahnnummer $n=1$ (Grundzustand)

    Ladung des Elektrons $e=1,602\cdot 10{-19}~As$

    Masse des Elektrons $m_e=9,109\cdot 10^{-31}~kg$

    Elektrische Feldkonstante $\epsilon_0=8,854\cdot 10^{-12} \frac {As} {Vm}$

    Plancksches Wirkungsquantum $h=6,626\cdot 10^{-34}~Js$

    Gesucht:

    Bahnradius $r_{n=1}$

    Lösung:

    $\begin{align} r_{n=1}&=\frac {\epsilon_0 \cdot n^2\cdot h^2} {e^2\cdot m_e\cdot \pi} \\ &=\frac {8,854\cdot 10^{-12} \frac {As} {Vm}\cdot 1^2\cdot (6,626\cdot 10^{-34}~Js)^2} {(1,602\cdot 10{-19}~As)^2\cdot 9,109\cdot 10^{-31}~kg\cdot \pi}\\ &=\frac {8,854\cdot 6,626^2} {1,602^2\cdot 9,109\cdot \pi} \cdot \frac {10^{-12}\cdot 10^{-68}} {10^{-38}\cdot 10^{-31}}~m\\ &=5,293\cdot 10^{-11}~m \end{align}$

  • Analysiere das Emissionsspektrum des atomaren Wasserstoffes.

    Tipps

    Welches Postulat macht Aussagen über die Übergänge von Elektronen im Atom?

    Zeigt das Spektrum alle Farben?

    Unter welchen Umständen emittiert ein Elektron Licht?

    Welcher Zusammenhang besteht zwischen Photonenenergie und Photonenfrequenz?

    Lasse die Elektronen gedanklich durch das Energieniveauschema des Wasserstoffatoms springen. Was fällt dir auf?

    Lösung

    Das Emissionsspektrum des atomaren Wasserstoffgases ist ein Linienspektrum. Es ist nicht kontinuierlich, sondern diskret und zeigt nur Licht mit ganz gestimmten Frequenzen (beziehungsweise Wellenlängen).

    Die Ursache für das Aussehen dieses Spektrums liegt in den festgelegten Bahnen für die Elektronen. Sie besitzen selbst auf den Bahnen nur bestimmte Energiewerte und können somit auch nur Photonen mit einigen wenigen Energiewerten beim Übergang auf eine niedrigere Bahn abgeben.

    Aus dem zweiten Bohrschen Postulat und dem Energieniveauschema kann der Energie des Photons für jeden möglichen Übergang von einer höheren auf eine niedrigere Bahn bestimmt werden. Dieser Energie kann dann mit $E_{Ph}=h\cdot f$ eine Frequenz (bzw. eine Wellenlänge) und damit eine Lichtfarbe zugeordnet werden.

    Anhand des tatsächlichen Linienspektrums lässt sich somit die Richtigkeit des Bohrschen Atommodells nachweisen. Aus den experimentell beobachteten Lichtfrequenzen können die Photonenenergien bestimmt werden und somit auch die stattgefundenen Übergänge rekonstruiert werden. Auf diese Weise können auch unbekannte Gase identifiziert werden wie über einen Fingerabdruck.

  • Fasse die wichtigsten Daten zum Wasserstoffatom nach Bohr zusammen.

    Tipps

    Aufbau eines Wasserstoffatoms nach Bohr

    Der Bohrsche Atomradius liegt im Pikometerbereich.

    Die allgemeine Formel für den Bahndrehimpuls lautet $L=n\cdot \frac {h} {2\pi}$.

    Die Energie, die das Elektron auf der untersten Bahn besitzt, muss ihm zugeführt werden, um das Atom zu ionisieren.

    Lösung

    Wasserstoffatome besitzen den einfachsten Aufbau aller Atome. Ihr Kern besteht aus nur einem (positiv geladenen) Proton. Dieser wird nach Bohr von einem Elektron auf einer festen Bahn umkreist. (siehe Abbildung)

    Der Radius der untersten Elektronenbahn im Wasserstoffatom beträgt etwa $5,29\cdot 10^{-11}~m$. Das sind rund $53$ Pikometer. Dieser spezielle Radius wird auch als Bohrscher Atomradius bezeichnet. Auf dieser Bahn bewegt sich das Elektron gemäß des ersten Bohrschen Postulats mit einem Bahndrehimpuls von $L_{n=1}=\frac {h} {2\pi}$.

    Die Ionisationsenergie des Wasserstoffatoms beträgt rund $13,6~eV$. Diese Energie muss dem Elektron auf der untersten Bahn zugeführt werden, damit es das Atom verlassen kann. Das Elektron selbst besitzt eine Energie von $-13,6~eV$, mit der es an das Proton des Wasserstoffatoms durch die Coulombanziehung gebunden ist.

  • Sage voraus, welche Farbe das emittierte Licht beim beschriebenen Übergang besitzen wird.

    Tipps

    Gezeigt ist das Spektrum des sichtbaren Lichtes mit den dazugehörigen Wellenlängen. Die Wellenlänge $\lambda$ ist über die Formel $\lambda\cdot f=c$ mit der Frequenz $f$ verknüpft.

    Lösung

    Um die Farbe des Lichts, also die Wellenlänge des Photons, zu ermitteln, muss zunächst entsprechend des zweiten Bohrschen Postulats die Energie des Photons aus der Differenz der Energieniveaus zwischen den beiden Bahnen berechnet werden. Dann können Frequenz und Wellenlänge des Lichtes bestimmt werden.

    Das Licht des emittierten Photons liegt demnach im roten Wellenlängenbereich. Diesen Übergang kann man damit auch im sichtbaren Emissionsspektrum des Wasserstoffatoms (siehe Abbildung) an der roten Linie erkennen.

    Die Energie des Photons beträgt

    $E_{Ph}=E_{n=3}-E_{n=2}=E_{n=1}\cdot (\frac {1} {3^2}-\frac {1} {2^2})=-13,6~eV\cdot (-\frac {5} {36})=1,889~eV$.

    Daraus ergibt sich mit $E_{Ph}=h\cdot f$ für das Photon eine Frequenz von

    $f=\frac {1,889\cdot 1,602\cdot 10^{-19}~J} {6,626\cdot 10^{-34}~Js}=0,4567\cdot 10^{15}~Hz$.

    Der Frequenz kann über $\lambda\cdot f=c$ die Wellenlänge

    $\lambda=\frac {3\cdot 10^8\frac ms} {0,4567\cdot 10^{15}~Hz}=657~nm$ zugeordnet werden.

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