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Balmer-Formel 04:58 min

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Transkript Balmer-Formel

Hallo und herzlich willkommen bei Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute aus der Atom- und Kernphysik mit der Balmer - Serienformel. Für dieses Video solltet Ihr ein wenig über das Bohrsche Atommodell Bescheid wissen. Wir lernen heute: was die Balmer-Formel ist, mit welchem Versuch Balmer auf diese Formel kam und wie sie aussieht und was quantenhafte Emission ist. Und los geht's. 1885, also ein kleines Stückchen, bevor es mit der Quantenphysik so richtig losging, entdeckte Johann Jacob Balmer, der übrigens Mathematiklehrer war, die Balmer-Serienformel. Diese Formel erlaubt die Berechnung der Wasserstoff-Spektrallinien. Und sie war einer der ersten Hinweise auf die quantenhafte Emission. Was quantenhafte Emission nun genau ist, behandeln wir im letzten Kapitel. Erst mal wollen wir uns ansehen, mit welchem Versuch Balmer auf diese Serienformel kam und wie sie nun eigentlich aussieht. Balmer verwendet eine Wasserstoffgasentladungsröhre. Also eine Glasröhre, die mit Wasserstoffgas gefüllt ist und oben und unten eine Katode und eine Anode hat, sodass durch das Gas ein Strom fließt. Eine Gasentladungsröhre ist wie ein Frank-Hertz-Versuch mit sehr hoher Spannung. Die Elektronen, die von der Katode ausgehen, flitzen durch das Gas, stoßen es an und regen es zum Leuchten an. Das von der Röhre ausgesandte Licht wird nun durch eine Linse gebündelt und auf ein Gitter geführt. Durch das Gitter wird es in seine Spektralfarben zerlegt und kann auf einem Schirm betrachtet werden. Das Ergebnis, das man erhält, ist das das Licht aus der Gasentladungsröhre genau aus vier speziellen Farben besteht. Man nennt diese  vier Farben das sichtbare Spektrum des Wasserstoffes. Und das Bild, das man auf dem Schirm erhält, sieht ungefähr so aus. Balmer fand also heraus, dass es nur diese vier sichtbaren Linien im Wasserstoffsprektrum gibt. Ihre Wellenlänge hängt nicht vom Versuchsaufbau ab. Das heißt, sie sind typisch, man sagt auch charakteristisch für Wasserstoff. Er probierte eine Weile herum und fand schließlich heraus, das sich ihre Frequenzen mit folgendender Formel berechnen lassen. F =  C(1/2² - 1/m2). Setzt man nun für m = 3, 4, 5, oder 6 ein und für C= 3,288 mal 10 hoch 15 Hz ein, so erhält man exakt die vier Wellenlängen der Spektrallinien des Wasserstoffes. Dies ist die Balmer - Serienformel. In den folgenden Jahren wurden von anderen Wissenschaftlern ähnliche Serienformeln entdeckt. Balmer vermutete, das diese Formel ein Spezialfall einer allgeneimgültigen Formel für alle Atome ist, konnte aber das Problem, genau wie die Bedeutung der Konstante m in der Formel, nicht lösen. Mit der Einführung des Bohrschen Atommodells und der Quantenphysik im Allgemeinen konnte dieses Emissionsspektrum endlich mithilfe der quantenhaften Emission erklärt werden. Und was die quantenhafte Emission nun ist, das sehen wir uns im letzten Kapitel an. Die Balmer Serie war eines der ersten Beispiele für quantenhafte Emissionen. Die Wasserstoffgasatome in der Röhre können nur bestimmte, für diesen Atomtyp charakteristische Wellenlängen, also Energiebeträge, aussenden, nämlich die, die genau dem Sprung eines Elektrons auf eine niedrigere Bahn entsprechen. Diese Eigenschaft, dass nur ganz bestimmte Energiebeträge ausgesendet werden können, nennt man quantenhafte Emission. Eine wichtige Eigenschaft der quantenhaften Emission ist, das das Emissionsspektrum, für eine bestimmte Atomart typisch ist. Das heißt, am Spektrum einer Gasentladungslampe, das sind alle von ihr ausgesandten Wellenlängen, kann man also erkennen, mit welchem Gas sie gefüllt ist. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Durch die Balmer-Formel, können die sichtbaren Spektrallinien des Wasserstoffs berechnet werden. Ihre Frequenzen sind  F =  C(1/2² - 1/m2) , m ist dabei 3, 4, 5 oder 6 und die Konstante c = 3,288 mal 10 hoch 15 Hz. Die Balmer - Serie ist ein Beispiel für quantenhafte Emission. Denn die von einem Atom ausgesandten Wellenlängen sind für den Atomtyp charakteristisch. Sie entsprechen der Energiedifferenz zwischen den Elektronenbahnen. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle.  

Balmer-Formel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Balmer-Formel kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe den Versuchsaufbau nach Balmer zur Herleitung der Balmer-Serienformel.

    Tipps

    Schaue dir das Bild an und überlege dir den Ablauf des Versuches. Beginne links.

    Elektronen sind elektrisch negativ geladen (-). Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, gegensätzliche Ladungen ziehen sich an.

    Überlege dir, welche Funktion die einzelnen optischen Bauteile im Aufbau erfüllen. Die Linse könnte zum Beispiel aus einer Lupe stammen. Das Gitter kennst du aus den Interferenzversuchen.

    Lösung

    Die Vorrichtung, die für das Experiment benötigt wird, ist hier eine Wasserstoff-Gasentladungsröhre. Innerhalb dieser Röhre befinden sich eine Kathode (negativ geladen) und eine Anode (positiv geladen). Dadurch entsteht innerhalb der Röhre ein elektrisches Feld $\vec{E}$. Von der Anode werden nun durch Glühemission Elektronen emittiert und im elektrischen Feld zur Kathode hin beschleunigt. Dabei treffen die Elektronen auf die Wasserstoffmoleküle. Durch einen inelastischen Streuprozess wird wie beim Franck-Hertz-Versuch das Wasserstoff-Gas zum Leuchten angeregt. Das dadurch emittierte Licht wird durch eine Linse gebündelt und auf ein Gitter gelenkt. Am Gitter wird das Licht je nach seiner Wellenlänge unterschiedlich stark gebeugt. Ähnlich wie bei einem Prisma kann das einfallende Licht somit in seine Spektralfarben zerlegt werden. Diese können dann auf einem Schirm betrachtet werden. Anwendung findet so ein Spektrometer zum Beispiel in der Chemie, um Aussagen über die in einer Probe vorkommenden Elemente zu machen. Das gleiche Prinzip wird auch in der Astronomie verwendet. Dort kann auf diese Weise ermittelt werden, aus welchen Elementen unsere Sonne oder andere Sterne bestehen.

  • Erläutere die Anwendung der Frequenzspektren und den Nutzen der Balmer-Serienformel.

    Tipps

    Überlege dir, wozu der Versuchsaufbau von Balmer diente. Dort kamen eine Linse, ein Gitter und ein Schirm vor.

    Lösung

    Jeder Mensch hat einen individuellen und unverwechselbaren Fingerabdruck. Und genauso hat jede Atomsorte ein individuelles Spektrum, das sich von dem der anderen Atomsorten unterscheidet. Du kannst dir zum Beispiel jeden Stern als einen Tatort vorstellen und das Spektrum ist eine Wand voller individueller Fingerabdrücke der dort vorkommenden Elemente. Durch einen Vergleich mit den Spektren aus einer Datenbank können die Elemente dieses Sterns dann identifiziert werden. Die Balmer-Serienformel erlaubt nun im Speziellen sogar die Berechnung der Wasserstoff-Spektrallinien, also der Frequenzen, aus denen sich das Licht einer Wasserstoff-Gasröhre zusammensetzt. Dadurch, dass nur bestimmte Frequenzen im Wasserstoff-Spektrum zu beobachten sind, ist die Balmer-Serienformel einer der ersten Hinweise auf die quantenhafte Emission gewesen. Bei der quantenhaften Emission werden nur Lichtquanten ganz bestimmter Energie (und damit bestimmter Frequenz) emittiert. Das Wasserstoffspektrum ist für die Astronomie weiterhin von ganz zentraler Bedeutung. Außerdem ließ sich mit der Spektroskopie sogar nachweisen, dass sich das Weltall ausdehnt. Zudem kann die Spektroskopie dazu benutzt werden, um Entfernungen von Galaxien zu bestimmen.

  • Leite die Balmer Serienformel her.

    Tipps

    Überlege dir, wie die Balmer-Serienformel aussehen würde, wenn du die Klammern und den Bruch ausrechnen würdest.

    Mit der Balmer-Serien-Formel wird im Allgemeinen eine Frequenz ausgerechnet. Überlege dir, welche Einheiten eine Frequenz hat.

    Lösung

    Durch reines Probieren konnte Balmer die Gemeinsamkeiten der Wellenlängen herausfinden.

    • $H_\alpha=\frac{3^2}{3^2-4}\cdot k=\frac95 \cdot 3645,6\cdot 10^{-10}\text{ m}=656,208 \text{nm}$
    • $H_\beta=\frac{4^2}{4^2-4}\cdot k=\frac{4}{3} \cdot 3645,6\cdot 10^{-10}\text{ m}=486,08\text{nm}$
    • $H_\gamma=\frac{5^2}{5^2-4}\cdot k=\frac{25}{21} \cdot 3645,6\cdot 10^{-10}\text{ m}=434,00\text{nm}$
    • $H_\sigma=\frac{6^2}{6^2-4}\cdot k=\frac{36}{32} \cdot 3645,6\cdot 10^{-10}\text{ m}=410,13\text{nm}$
    Das Wasserstoffatom kann aber auch noch weitere Wellenlängen emittieren:

    • $H_\epsilon=\frac{7^2}{7^2-4}\cdot k=\frac{49}{45} \cdot 3645,6\cdot 10^{-10}\text{ m}=396,97\text{nm}$
    • $H_\zeta=\frac{8^2}{8^2-4}\cdot k=\frac{16}{15} \cdot 3645,6\cdot 10^{-10}\text{ m}=388,86\text{nm}$
    Die kleinste Wellenlänge die Wasserstoff emittieren kann wäre $H_\eta=364,56 \text{nm}$ welches $1 \cdot k$ entspricht.

    Diese Linien sind jedoch nur schwach ausgeprägt oder befinden sich schon im UV-Bereich des Spektrums.

  • Bestimme, welche Atome sich in dem Gas befinden.

    Tipps

    Jedes der Referenzspektren kann aus der Überlagerung einer oder mehrerer Atomspektren bestehen.

    Lösung

    Am leichtesten machst du dir es, indem du die gegebenen Spektren über ein Referenzspektrum hältst und vergleichst, ob dort alle vorkommenden Spektralfarben auch im atomaren Spektrum vorkommen. Zum Referenzspektrum 1 gehören somit sowohl Natrium (Na), Quecksilber (Hg) und Lithium (Li). Zum Referenzspektrum 2 gehören Barium (Ba) und Wasserstoff (H$_2$). Zum Referenzspektrum 3 gehört nur Xenon (Xe). Nach dem selben Verfahren zur Bestimmung der in einer Probe vorkommenden Elemente gehen auch die Forscher vor, egal ob es sich bei den "Proben" um Sterne oder Galaxie handelt, Gasgemische in einem Behälter oder chemische Verbindungen.

  • Gib wieder, was man unter quantenhafter Emission versteht.

    Tipps

    Überlege dir, welche Bedeutung das Wort Emission hat.

    Was macht die Spektroskopie und was nutzt sie dazu?

    Lösung

    Bei der quantenhaften Emission geben die Atome nur Lichtquanten mit einer ganz bestimmten Wellenlänge $\lambda$ ab. Mit Hilfe der Relation $E=\frac{hc}{\lambda}$ kann jeder Wellenlänge auch eine Energie $E$ zugeordnet werden, $h$ ist hierbei das Planck'sche Wirkungsquantum, $c$ ist die Lichtgeschwindigkeit. Diese Energien entsprechen gerade der Differenz zweier möglicher Energiezustände, die das Elektron besetzen kann und die beim Übergang vom energetisch höheren Zustand in den energetisch niedrigeren Zustand frei wird.

  • Beschreibe den Vorgang der quantenhaften Emission.

    Tipps

    Überlege dir zuerst, was in der Röhre passiert, wenn diese nicht mit Gas gefüllt wäre.

    Wenn durch einen Draht ein Strom fließt, der so hoch ist, dass der Draht zu glühen beginnt, dann treten dort Elektronen aus. Dieser Vorgang wird Glühemission genannt.

    Lösung

    Wenn durch einen Draht ein Strom fließt, der so hoch ist, dass der Draht zu glühen beginnt, dann treten dort Elektronen aus. Dieser Vorgang wird Glühemission genannt. Die freien Elektronen befinden sich dann in der Gasröhre. Aufgrund der Potentialdifferenz zwischen Anode und Kathode entsteht ein elektrisches Feld, in welchem die freien Elektronen zur Anode hin beschleunigt werden. Es fließt ein Strom. Erreichen die freien Elektronen eine bestimmte kinetische Energie $E_{kin}$, so können inelastische Stöße mit den gebundenen Elektronen der Wasserstoffmoleküle stattfinden. Dabei gibt das freie Elektron gerade so viel Energie an ein gebundenes Elektron ab, um dieses vom Energiezustand $E_1$ in den nächst höheren, erlaubten Energiezustand $E_2$ zu bringen, der auch als angeregter Energiezustand bezeichnet wird. Beim Wasserstoff gibt es sogar vier verschiedene erlaubte Energieniveaus, die angeregt werden können. Nach einer kurzen Zeit (wenige Picosekunden) geht das Wasserstoffmolekül von diesem angeregten Zustand wieder in seinen Grundzustand über, hier also vom Energiezustand $E_2$ in den Energiezustand $E_1$ über. Aber auch Übergänge von anderen Energieniveaus in den Grundzustand sind möglich. Bei diesem Übergang emittiert es ein Photon, dessen Energie hier genau der Energiedifferenz $\Delta E=E_2 - E_1$ der beiden energetisch erlaubten Zuständen $E_1$ und $E_2$ im Wasserstoffmolekül entspricht. Dieser Übergang ergibt dann die rote Linie im Wasserstoffspektrum. Die blauen und die lila Linie im Spektrum werden durch Übergänge von höheren Energieniveaus verursacht. Diese Photonenemission wird auch als quantenhafte Emission bezeichnet, da nur Photonen bestimmter Energie (und somit bestimmter Wellenlänge) emittiert werden können.