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Bogenmaß bei der Kreisbewegung 05:13 min

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Transkript Bogenmaß bei der Kreisbewegung

Hallo und herzlich willkommen zum Video der mathematischen Grundlagen der Kreisbewegung. Wir beschäftigen uns heute zuerst mit dem Bogenmaß, welches in der Physik als Winkel sehr, sehr oft verwendet wird. Hier haben wir einen Kreis mit einem Winkel. Diesen Winkel könnten wir jetzt, zum Beispiel, einfach in Grad angeben. Dann ist dieser Winkel irgendeine Zahl zwischen 0 und 360°, wobei 360° den kompletten Umfang beschreibt. Wir könnten aber genauso gut diesen Winkel eindeutig über die Länge dieses Bogens hier angeben. Wenn der Radius 1 ist, wäre das eine Zahl zwischen 0 und 2π. Warum? Weil die Formel für den Umfang U=2πr ist und der komplette Umfang mit dem Radius 1 ist ja dann 2π. Das ist im Endeffekt schon der wichtigste Unterschied zwischen Grad und Bogenmaß. Gehen wir noch mal ein bisschen weiter. Das Bogenmaß ist folgendermaßen definiert: Der Winkel φ im Bogenmaß ist gleich b/r, wobei b die Länge des Bogens ist und r der Radius. Da nämlich bei gleichen Winkeln die Länge des Bogens bei großen Kreisen größer ist als bei kleinen Kreisen, muss man noch mal durch r teilen, damit das Bogenmaß unabhängig vom Radius wird. Daher kommt das geteilt durch r. Das hat den Effekt, dass jeder Kreis als ein Kreis mit Radius 1 betrachtet werden kann. Der Radius spielt ja bei Winkeln überhaupt keine Rolle. Ein Winkel φ im Bogenmaß ist also nichts anderes als das Verhältnis der Länge des Bogens hier zum Radius. Seine Einheit nennt man rad, die aber in unserem Einheitensystem dimensionslos ist und deshalb meistens weggelassen wird. Was ja auch erlaubt ist, weil das Bogenmaß wirklich keine echte Einheit besitzt. Das sieht man schon an der Formel b/r. Oben steht Meter, unten steht Meter - das kürzt sich raus. Also hat das Bogenmaß keine wirkliche Dimension. Aber wenn es nicht ganz klar ist, dass wir uns im Bogenmaßsystem befinden, schreibt man aber rad dazu, um Missverständnisse zu vermeiden. Bei einem Winkel von 1 rad ist nach der Formel 1 rad=b/r der Bogen genauso lang wie der Radius. Wenn wir jetzt wissen wollen, wie viel rad eine komplette Umdrehung entspricht, was man auch den Vollwinkel nennt, müssen wir für den Kreisbogen b den vollen Umfang U einsetzen. Der ist U=2πr. Dann steht dran, der Vollwinkel im Bogenmaß beträgt φ(voll)=2πr/r=2π. Ein uns schon bekanntes Ergebnis. Daraus ergibt sich eine wertvolle Information. Ein Vollwinkel entspricht im Bogenmaß 2πrad und daraus können wir ganz einfach die Umrechnung zwischen Grad und Bogenmaß herleiten. Ein Vollwinkel in Grad sind 360°. Das heißt, 2π rad=360°. Diese Gleichung ist leicht zu merken und alles Wichtige, was das Bogenmaß betrifft, lässt sich daraus sehr schnell herleiten. Das ist das Einzige, was du wirklich auswendig können musst. Wenn wir das jetzt jeweils nach rad oder Grad auflösen, ergibt sich: 1 rad=180°/π und 1°=π/180 rad. Mit diesen beiden Formeln kannst du nach Belieben zwischen rad und Grad hin und her wechseln. Die wichtigsten Winkel sollte man sich trotzdem merken. Zum Beispiel π/2=90°, π=180° und 2π=360°. Was ist jetzt so toll am Bogenmaß? Wir haben doch schon ein System, um Winkel zu beschreiben, nämlich unser gutes altes Gradsystem. Was kann dieses System nicht, was das Bogenmaß kann? Die Antwort liegt in der Physik. Das Bogenmaß und zum Beispiel die natürliche und praktische Einheit der Kreisfrequenz beziehungsweise der Winkelgeschwindigkeit ω. Würde man ω in Grad angeben, müsste man immer noch einen Umrechnungsfaktor mit einbeziehen und das würde die Physik unnötig kompliziert machen. Das Bogenmaß erleichtert dir also dein Leben. Damit bedanke ich mich und viel Spaß beim Lernen.                                                      

2 Kommentare
  1. Klar, verständlich.

    Von Libro E Musica, vor etwa 6 Jahren
  2. Gute Arbeit.

    Von Libro E Musica, vor etwa 6 Jahren

Bogenmaß bei der Kreisbewegung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bogenmaß bei der Kreisbewegung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschrifte die Kreisbewegung.

    Tipps

    Zwei der Lücken sind Polarkoordinaten.

    Lösung

    Klären wir hier erst einmal die Begrifflichkeiten.

    In Polarkoordinaten gibt es den Radius $r$, hier der blaue Strich. Der rote Strich ergibt sich durch den Winkel $\varphi$, der den Bogen $b$ aufspannt. Auch der rote Strich besitzt die Länge des Radius.

    Das Bogenmaß beschreibt den Winkel $\varphi$ für eine volle Kreisbewegung. Deshalb kann $\varphi$ im Bogenmaß zwischen $0$ und $2\pi$ liegen.

    Denn $\varphi=\dfrac{b}{r}$. Setzt man für $b$ den Umfang ein, ist das Ergebnis $2\pi$.

  • Nenne Eigenschaften des Rechnens im Bogenmaß.

    Tipps

    Überlege, ob die zweite und die vierte Aussage sich widersprechen.

    Lösung

    Auch hier gilt es einfach, ein paar Grundlagen zu kennen.

    Zum einen gilt $\varphi=\dfrac{b}{r}$. Die Einheit ist „rad". Da diese eigentlich $\dfrac{m}{m}=1$ ist, ist sie dimensionslos, das heißt, dass der Winkel eigentlich keine Einheit hat. Man schreibt aber rad, um zu zeigen, dass es sich um ein Bogenmaß handelt.

    Setzt man für $b$ den Kreisumfang $U=2\pi\cdot r$ als Bogenlänge ein, so ist das Ergebnis $2\pi$, was dann der maximale Winkel im Bogenmaß ist.

  • Nenne Unterschiede zwischen Grad- und Bogenmaß.

    Tipps

    Überlege für die letzte Aussage, was dir leichter erscheint: mit Brüchen bzw. Vielfachen von $\pi$ zu rechnen oder mit hohen Gradzahlen?

    Lösung

    Grad und Rad (Bogenmaß) unterscheiden sich in vielerlei Hinsicht.

    Beide beschreiben einen Kreis, nur eben in anderen Zahlen.

    Während der Kreiswinkel in Grad mit einer Größe von $0^\circ -360^\circ$ beschrieben wird, wird er im Bogenmaß in $0-2\pi$ beschrieben.

    Mit dem Bogenmaß lässt es sich einfacher rechnen, denn ein halber Kreis ist $\pi$ und ein ganzer $2\pi$. Ein Viertelkreis ist $\dfrac{\pi}{2}$ usw. Bei Schwingungen sind das eigentlich die einzigen Stellen, die man benötigt. In Grad müsste man dauernd mit Zahlen von 0 bis 360 arbeiten und Umrechnungsfaktoren berücksichtigen.

  • Berechne den Bogen.

    Tipps

    Betrachte den ganzen Umfang des Kreises und überlege, wie du mit dem Winkel in Grad ein Teil vom Umfang bekommst.

    Lösung

    Wie viel vom Kreisumfang wurde nun schon aufgespannt? Genau: das ist ja der Bogen. Eine Schwierigkeit hier ist, dass wir den Winkel in Grad gegeben haben. Aber auch dafür gibt es gute Umrechnungen:

    $b=\dfrac{2\cdot\pi\cdot r\cdot \varphi}{360^\circ}$.

    Einschub:Diese Formel ist im Grunde $ U\cdot\dfrac{\varphi}{360^\circ}$, also der ganze Umfang mal einem Bruchteil des Vollwinkels. Dadurch ergibt sich ein Bruchteil des gesamt Umfangs, also der Bruchteil, den wir suchen.

    Die 2 kann man schon mal kürzen:

    $b=\dfrac{\pi\cdot r\cdot \varphi}{180^\circ}=\dfrac{\pi\cdot 5~\text{cm}\cdot 45^\circ}{180^\circ}=3,9~\text{cm}$.

    Da wir als einzig echte Einheit Zentimeter haben, ist das auch die Einheit, die am Ende stehen bleibt.

  • Erkläre die Berechnungen im Bogenmaß.

    Tipps

    Im Bogenmaß wird der Winkel berechnet durch $\varphi=\dfrac{b}{r}$. Was sagt dir das über die Einheit?

    Lösung

    Wenn du mit Winkeln rechnest, musst du wissen, wie es sich mit Einheiten und Umrechnungen verhält.

    Das Bogenmaß benutzt man beim Beschreiben von Kreisbewegungen. Dabei geht der Winkel von $0$ bis $2\pi$ und ist letztendlich ohne Einheit. Allerdings bezeichnet man ihn oft mit der Einheit „rad", damit man weiß, dass es sich um ein Bogenmaß handelt.

    Mit der Gleichung $2\pi~\text{rad}=360^\circ$ kann man grad in rad umrechnen und umgekehrt.

  • Rechne Grad in Bogenmaß und andersherum.

    Tipps

    Es gilt $2\pi~\text{rad}=360^\circ$. Davon ausgehend kannst du dir Umformungen überlegen.

    Lösung

    Will man das Bogenmaß benutzen, muss man ab und zu umrechnen.

    Dafür gibt es zwei Gleichungen:

    $1^\circ=\dfrac{\pi}{180^\circ}$. Das ist also 1°. Nun haben wir aber $20^\circ$ bzw. $260^\circ$. Also multiplizieren wir einfach:

    $1^\circ=\dfrac{\pi}{180^\circ}\cdot 20^\circ=\dfrac{1}{9}\pi$

    bzw: $=\dfrac{13}{9}\pi$ für $260^\circ$.

    Und andersherum:

    $1~\text{rad}=\dfrac{180^\circ}{\pi}$ für 1 rad.

    Bei $\dfrac{7}{9}\pi$ also:

    $\dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot\dfrac{7}{9}\pi=140^\circ$ bzw:

    $\dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot\dfrac{13}{8}\pi=292,5^\circ$