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Beschleunigung – differentielle Betrachtung 07:11 min

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Transkript Beschleunigung – differentielle Betrachtung

Hallo und herzlich willkommen! Diesmal beschäftigen wir uns mit der differentiellen Betrachtung der Beschleunigung. Immer, wenn sich die Geschwindigkeit von einem Körper ändert, tritt Beschleunigung auf. Die differentielle Betrachtung der Beschleunigung ist ein wichtiges Werkzeug in der Physik. Mit ihr kann man nämlich Beschleunigungen beliebig komplizierter geradliniger Bewegungen zu jedem Zeitpunkt der Bewegung berechnen. Um zu verstehen, wie das funktioniert, wirst du die Herleitung der differentiellen Beschleunigung sehen. Danach wirst du sehen, wie man die Zusammenhänge zwischen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Strecke in Diagrammen graphisch darstellen kann. Und damit kann es auch schon losgehen. Zu Anfang wirst du sehen, wie man sich die differentielle Beschleunigung aus einfachen Zusammenhängen herleiten kann. Dazu soll noch einmal kurz gesagt werden, dass die Geschwindigkeit gleich der Ableitung des Weges nach der Zeit ist. Die Beschleunigung gibt an, um welchen Betrag sich die Geschwindigkeit in einem gewissen Zeitintervall ändert. Die Beschleunigung ist also der Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung Delta v und dem zugehörigen Zeitintervall Delta t. Wie bei der Geschwindigkeit muss man bei der Beschleunigung auch zwischen Durchschnitts- und Momentanbeschleunigung unterscheiden. Die Geschwindigkeitsänderung über die gesamte Dauer der Bewegung ist die Durchschnittsbeschleungiung. Um die Momentanbeschleunigung möglichst genau zu berechnen, muss man den Wert für das Zeitintervall Delta t möglichst minimieren. Strebt der Wert von Delta t gegen Null, so geht die Gleichung in eine Differentialgleichung über. Die Beschleunigung ist dann die Ableitung der Geschwindigkeit der Zeit: dv nach dt. Ableitungen nach der Zeit schreibt man auch abgekürzt mit einem Punkt und der abgeleiteten Größe. dv nach dt ist damit gleich v Punkt. Außerdem ist bekannt, dass die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges nach der Zeit ist. Die Geschwindigkeit abgeleitet nach der Zeit ist wiederum die Beschleunigung. Daraus folgt, dass die Beschleunigung gleich der zweifachen Ableitung des Weges nach der Zeit ist. Um darzustellen, dass zweimal nach der Zeit abgeleitet wurde, schreibt man zwei Punkte über das s. Eine Art beschleunigter Bewegung ist die gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Bei gleichmäßig beschleunigten Bewegungen ist die Beschleunigung konstant. Die Geschwindigkeit ist gleich der Beschleunigung a mal der Zeit t. Der Weg, der bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung zurückgelegt wird, ist gleich 12a*t2. Diese Formel kannst du zum Beispiel einer Formelsammlung entnehmen. Du hast eben gelernt, dass die einfache Ableitung des Weges nach der Zeit gleich der Geschwindigkeit und die zweifache Ableitung des Weges nach der Zeit gleich der Beschleunigung ist. Das werden wir an diesen Formeln jetzt mal überprüfen. Dazu leiten wir den Weg nach der Zeit ab. Tut man das, so kommt aus dem Quadrat ein Faktor Zwei nach vorne und die Potenz von t wird um eins verringert. t hoch eins ist dann gleich t., der Faktor Zwei kürzt sich mich dem ein halb. So ergibt sich ein Ergebnis für die Geschwindigkeit von a mal t. Das ist das Gleiche wie in der Formel oben. Die Beschleunigung ist gleich der zweifachen Ableitung des Weges nach der Zeit beziehungsweise der einfachen Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Die Ableitung nach der Zeit der Formel a mal t ergibt a. Die Potenz von t wird um eins verringert, es ist also t hoch null, was gleich eins ist. Die Beschleunigung ist also gleich a. Die Aussagen über die differenzielle Betrachtung der Beschleunigung stimmen also. Die Zusammenhänge von Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung kann man auch in Diagrammen darstellen. Um den Weg in Abhängigkeit von der Zeit graphisch darzustellen, nutzt man das t-s-Diagramm. Auf der x-Achse ist die Zeit in Sekunden, auf der y-Achse der Weg in Metern aufgetragen. Man kann in diesem Diagramm also zu jedem Zeitpunkt t den Weg ablesen, der zurückgelegt wurde. Wie du schon weißt ist die Geschwindigkeit gleich der Ableitung des Weges nach der Zeit. Gleichzeitig gilt auch, dass die Ableitung einer Kurve an einem bestimmten Ort gleich ihrer Steigung ist. Die Steigung an einem bestimmten Ort ergibt sich aus der Steigung einer angelegten Tangente. Leitet man also die Kurve des Weges nach der Zeit ab, so erhält man die Geschwindigkeit. In diesem Diagramm ist zu erkenne, dass der Weg quadratisch von der Zeit abhängt, es handelt sich also um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Außerdem gibt es noch t-v-Diagramme. Um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit darzustellen, trägt man auf der x-Achse die Zeit in Sekunden und auf der y-Achse die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde auf. im t-v-Diagramm kann man also die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt ablesen. In diesem Fall steigt die Geschwindigkeit mit der Zeit, es liegt also eine positive Beschleunigung vor. Die Ableitung der Funktion der Geschwindigkeit nach der Zeit gibt uns wieder die Beschleunigung und gleichzeitig auch die Steigung der Funktion. Die Steigung der Funktion im t-v-Diagramm gibt also die Beschleunigung an. Da die Steigung in diesem t-v-Diagramm positiv und konstant ist, ist die Beschleunigung eine positive Konstante. Es handelt sich demnach um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Sinkt die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit, so hat die Kurve im t-v-Diagramm eine negative Steigung. In diesem Fall eine konstant negative Steigung, es handelt sich also um eine konstant verzögerte Bewegung. Die Beschleunigung ist dann eine negative Konstante. So, was hast du eben gelernt? Beschleunigung ist gleich der Geschwindigkeitsänderung in einem gewissen Zeitintervall, die Momentanbeschleunigung ist gleich der Geschwindigkeitsänderung in einem möglichst kleinen Zeitintervall. Geht die Länge des Zeitintervalls gegen Null, so kann man die Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit schreiben. Ableitungen nach der Zeit kürzt man mit einem Punkt ab. Außerdem ist die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges nach der Zeit. Die Geschwindigkeit abgeleitet nach der Zeit ist wiederum die Beschleunigung. Daraus folgt, dass die Beschleunigung gleich der zweifachen Ableitung des Weges nach der Zeit ist. Diese Zusammenhänge haben wir dann an einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung überprüft. Man kann die Zusammenhänge in t-s-Diagrammen und t-v-Diagrammen darstellen. Die Ableitung gibt uns die Steigung der jeweiligen Kurve an. Die Steigung im t-s-Diagramm entspricht dabei der Geschwindigkeit, die Steigung im t-v-Diagramm der Beschleunigung. Das war’s zum Thema differentielle Betrachtung der Beschleunigung. Ich hoffe, du hast was gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal!

3 Kommentare
  1. Hallo,
    kleiner Nachtrag zu meinen Kommentar:
    Macht Euch Screenshots von den Videos,sortiert sie in vorbereitete Ordner z.B..." Physik_Bewegung" ein, und nummeriert sie (die Sreenshots) fortlaufend durch.
    So könnt Ihr Euch im nachherein besser auf eine Videowiederholung vorbereiten.
    Wie funktiniert das:
    Sreenshot.....wenn Bildschirm voll/Teilvortragsende, Video anhalten und folgende Tasten drücken: Druck,Windowstaste,Paint aufrufen einfügen ,Speichern nach...Euren angelegten Ordner...nummerieren als PNG Datei.
    Fertig

    Ich hoffe das hilft wen es helfen soll/kann.

    MfG

    Ralf

    Von Ralf 10, vor fast 5 Jahren
  2. Ein bereits gesendeter Kommentar:
    "Eigentlich gut erklärt, leider in einem Tempo vorgetragen wo es mir nicht möglich ist, das dargebotene(gut) zu verstehen. Leider."
    Dem ist nichts hinzuzufügen!
    Eigentlich schade .
    MfG

    Ralf

    Von Ralf 10, vor fast 5 Jahren
  3. Eigentlich gut erklärt, leider in einem Tempo vorgetragen wo es mir nicht möglich ist, das dargebotene zu verstehen. Leider.

    Von Mail 60, vor mehr als 5 Jahren

Beschleunigung – differentielle Betrachtung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Beschleunigung – differentielle Betrachtung kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere die Beschleunigung.

    Tipps

    Was bedeutet das Wort Durchschnitt?

    Ein Zeitintervall ist die Zeit zwischen zwei Zeitpunkten.

    Lösung

    Es ist wichtig, zwischen Durchschnittsbeschleunigung und Momentanbeschleunigung zu unterscheiden. Nur in dem Fall, dass die Beschleunigung konstant ist, also die ganze Zeit gleich bleibt, sind beide Beschleunigungswerte gleich.

    Wenn nicht erwähnt wird, welche Art von Beschleunigung gemeint ist, geht es meistens um die Durchschnittsbeschleunigung.

  • Gib wieder, wie aus dem Diagramm die Beschleunigung abgelesen werden kann.

    Tipps

    Prüfe zuerst, welche Größen in dem Diagramm aufgetragen sind.

    Wie lautet die Formel für die Durschschnittsbeschleunigung?

    Welche Bedeutung hat die Steigung eines Diagrammes?

    Lösung

    In der Physik werden sehr oft Zusammenhänge aus Diagrammen abgelesen. Dabei ist es sehr wichtig sich zu merken, dass die Steigung m eines Diagrammes in nebenstehendem Zusammenhang zu den aufgetragenen Größen steht, den du bereits aus dem Mathematikunterricht kennst.

    Die Steigung steht in diesem Fall für die Beschleunigung a, da die Beschleunigung die Änderung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist. Wir wählen zwei Punkte aus dem Diagramm, deren Koordinaten wir ablesen können. Dadurch können wir die Beschleunigung bestimmen, die konstant ist, da der Graph eine Gerade darstellt.

    $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{ v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{6\frac{\text{m}}{\text{s}}- 0\frac{\text{m}}{\text{s}}}{3\,\text{s}-0\,\text{s}}=2\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

  • Gib alle Formeln an, die die Momentanbeschleunigung beschreiben.

    Tipps

    $\frac{d x}{dt}$ ist die Ableitung der Größe x nach der Zeit und ist gleichbedeutend mit $\dot x$.

    Schließe zuerst falsche Antworten aus.

    Lösung

    Die Momentangeschwindigkeit ist in der Schule nicht so oft ein Thema. Dennoch ist es sehr wichtig, zu wissen, wie zurückgelegter Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung zusammenhängen.

    Weg-Zeit-Gesetz: $s=\frac{a}{2}\cdot t^2$

    Geschwindigkeit:

    Die Änderung der zurückgelegten Wegstrecke in einem gewissen Zeitintervall ist die Durchschnittsgeschwindigkeit: $\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$.

    Die Momentangeschwindigkeit ist demzufolge die Ableitung der zurückgelegten Wegstrecke nach der Zeit: $v=\dot s=\frac{d s}{dt}=a\cdot t$.

    Beschleunigung:

    Die Änderung der Geschwindigkeit in einem gewissen Zeitintervall ist die Durchschnittsbeschleunigung: $\overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$.

    Die Momentanbeschleunigung ist demzufolge die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit: $a=\dot v=\frac{d v}{dt}$.

  • Finde die Beschleunigung zur Zeit t = 2 s heraus.

    Tipps

    Lege ein Lineal tangential an die Kurve an.

    Hast du die richtige Steigung des Lineals herausgefunden, kannst du es so verschieben, dass du die Werte leichter ablesen kannst.

    Lösung

    Diese Aufgabe kannst du graphisch lösen, indem du folgende Schritte ausführst:

    1. Den Punkt finden, an dem die Beschleunigung (Steigung) bestimmt werden soll.
    2. Ein Lineal tangential positionieren. Es darf die Kurve also nur in genau einem Punkt berühren, sie aber nicht kreuzen.
    3. Das Lineal parallel so verschieben, dass es durch den Ursprung geht.
    4. Einen Punkt finden, durch den das Lineal verläuft. In diesem Fall wäre das etwa $P(6,2)$ also $v =6 \frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $t = 2 \,\text{s}$.
    5. Die Steigung und somit die Beschleunigung ausrechnen, indem der der Y-Wert durch den X-Wert geteilt werden: $a =\frac{6 \frac{\text{m}}{\text{s}}}{ 2 \,\text{s}}=3 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
    Würde man die Funktionsgleichung des Graphen kennen, dann könnte man die Aufgabe auch rechnerisch lösen, indem man die Funktion ableitet und in die Ableitung für $x=2$ einsetzt.

  • Stelle graphisch unbeschleunigte und beschleunigte Bewegungen in einem Diagramm dar.

    Tipps

    Prüfe zuerst, welche Größen in diesem Diagramm aufgetragen sind.

    Variabel bedeutet, dass der Wert nicht konstant ist, sondern je nach Zeit verschiedene Werte annimmt.

    Lösung

    Aus einem Diagramm kann man sehr viele Informationen über die Bewegung herauslesen, z.B. die Entwicklung der Geschwindigkeit über einen längeren Zeitraum, nicht nur die Anfangs und Endgeschwindigkeit.

    a=0

    Findet keine Beschleunigung statt, dann ändert sich die Geschwindigkeit nicht und das erkennen wir in einem Diagramm als horizontale Linie.

    a=const.

    Gibt es eine konstante Beschleunigung, dann erscheint diese als Gerade in unserem Diagramm, an dessen Steigung man die Beschleunigung ablesen kann.

    a=variabel

    Ist die Beschleunigung nicht konstant, sondern variabel, dann wird sie durch irgendeinen Graphen dargestellt, der nicht geradlinig ist. Es sind verschiedenste Formen möglich. Die Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunk kann durch die zeitliche Ableitung an diesem Punkt bestimmt werden.

  • Berechne die Durchschnittsbeschleunigung des silbernen Autos, das in 5 s von 0 auf 100 km/h beschleunigt und vergleiche mit der Beschleunigung des blau-schwarzen Wagens von 5 m/s² .

    Tipps

    Wie lautet die Formel zu Berechnung der Durchschnittsbeschleunigung?

    Lösung

    Die Formel für die Berechnung der Durchschnittsbeschleunigung lautet:

    $\overline a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{27,8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{5\,\text{s}}=5,6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

    Dabei ist es wichtig, die Geschwindigkeit zuerst von km/h in m/s umzurechnen, indem du durch 3,6 teilst.

    Im Vergleich zum anderen Auto mit $\overline a=5,6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ hat das silberne Auto somit eine größere Beschleunigung.