Beschleunigung – differentielle Betrachtung

Hallo und herzlich willkommen! Diesmal beschäftigen wir uns mit der differentiellen Betrachtung der Beschleunigung. Immer, wenn sich die Geschwindigkeit von einem Körper ändert, tritt Beschleunigung auf. Die differentielle Betrachtung der Beschleunigung ist ein wichtiges Werkzeug in der Physik. Mit ihr kann man nämlich Beschleunigungen beliebig komplizierter geradliniger Bewegungen zu jedem Zeitpunkt der Bewegung berechnen. Um zu verstehen, wie das funktioniert, wirst du die Herleitung der differentiellen Beschleunigung sehen. Danach wirst du sehen, wie man die Zusammenhänge zwischen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Strecke in Diagrammen graphisch darstellen kann. Und damit kann es auch schon losgehen. Zu Anfang wirst du sehen, wie man sich die differentielle Beschleunigung aus einfachen Zusammenhängen herleiten kann. Dazu soll noch einmal kurz gesagt werden, dass die Geschwindigkeit gleich der Ableitung des Weges nach der Zeit ist. Die Beschleunigung gibt an, um welchen Betrag sich die Geschwindigkeit in einem gewissen Zeitintervall ändert. Die Beschleunigung ist also der Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung Delta v und dem zugehörigen Zeitintervall Delta t. Wie bei der Geschwindigkeit muss man bei der Beschleunigung auch zwischen Durchschnitts- und Momentanbeschleunigung unterscheiden. Die Geschwindigkeitsänderung über die gesamte Dauer der Bewegung ist die Durchschnittsbeschleungiung. Um die Momentanbeschleunigung möglichst genau zu berechnen, muss man den Wert für das Zeitintervall Delta t möglichst minimieren. Strebt der Wert von Delta t gegen Null, so geht die Gleichung in eine Differentialgleichung über. Die Beschleunigung ist dann die Ableitung der Geschwindigkeit der Zeit: dv nach dt. Ableitungen nach der Zeit schreibt man auch abgekürzt mit einem Punkt und der abgeleiteten Größe. dv nach dt ist damit gleich v Punkt. Außerdem ist bekannt, dass die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges nach der Zeit ist. Die Geschwindigkeit abgeleitet nach der Zeit ist wiederum die Beschleunigung. Daraus folgt, dass die Beschleunigung gleich der zweifachen Ableitung des Weges nach der Zeit ist. Um darzustellen, dass zweimal nach der Zeit abgeleitet wurde, schreibt man zwei Punkte über das s. Eine Art beschleunigter Bewegung ist die gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Bei gleichmäßig beschleunigten Bewegungen ist die Beschleunigung konstant. Die Geschwindigkeit ist gleich der Beschleunigung a mal der Zeit t. Der Weg, der bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung zurückgelegt wird, ist gleich 12a*t². Diese Formel kannst du zum Beispiel einer Formelsammlung entnehmen. Du hast eben gelernt, dass die einfache Ableitung des Weges nach der Zeit gleich der Geschwindigkeit und die zweifache Ableitung des Weges nach der Zeit gleich der Beschleunigung ist. Das werden wir an diesen Formeln jetzt mal überprüfen. Dazu leiten wir den Weg nach der Zeit ab. Tut man das, so kommt aus dem Quadrat ein Faktor Zwei nach vorne und die Potenz von t wird um eins verringert. t hoch eins ist dann gleich t., der Faktor Zwei kürzt sich mich dem ein halb. So ergibt sich ein Ergebnis für die Geschwindigkeit von a mal t. Das ist das Gleiche wie in der Formel oben. Die Beschleunigung ist gleich der zweifachen Ableitung des Weges nach der Zeit beziehungsweise der einfachen Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Die Ableitung nach der Zeit der Formel a mal t ergibt a. Die Potenz von t wird um eins verringert, es ist also t hoch null, was gleich eins ist. Die Beschleunigung ist also gleich a. Die Aussagen über die differenzielle Betrachtung der Beschleunigung stimmen also. Die Zusammenhänge von Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung kann man auch in Diagrammen darstellen. Um den Weg in Abhängigkeit von der Zeit graphisch darzustellen, nutzt man das t-s-Diagramm. Auf der x-Achse ist die Zeit in Sekunden, auf der y-Achse der Weg in Metern aufgetragen. Man kann in diesem Diagramm also zu jedem Zeitpunkt t den Weg ablesen, der zurückgelegt wurde. Wie du schon weißt ist die Geschwindigkeit gleich der Ableitung des Weges nach der Zeit. Gleichzeitig gilt auch, dass die Ableitung einer Kurve an einem bestimmten Ort gleich ihrer Steigung ist. Die Steigung an einem bestimmten Ort ergibt sich aus der Steigung einer angelegten Tangente. Leitet man also die Kurve des Weges nach der Zeit ab, so erhält man die Geschwindigkeit. In diesem Diagramm ist zu erkenne, dass der Weg quadratisch von der Zeit abhängt, es handelt sich also um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Außerdem gibt es noch t-v-Diagramme. Um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit darzustellen, trägt man auf der x-Achse die Zeit in Sekunden und auf der y-Achse die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde auf. im t-v-Diagramm kann man also die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt ablesen. In diesem Fall steigt die Geschwindigkeit mit der Zeit, es liegt also eine positive Beschleunigung vor. Die Ableitung der Funktion der Geschwindigkeit nach der Zeit gibt uns wieder die Beschleunigung und gleichzeitig auch die Steigung der Funktion. Die Steigung der Funktion im t-v-Diagramm gibt also die Beschleunigung an. Da die Steigung in diesem t-v-Diagramm positiv und konstant ist, ist die Beschleunigung eine positive Konstante. Es handelt sich demnach um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Sinkt die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit, so hat die Kurve im t-v-Diagramm eine negative Steigung. In diesem Fall eine konstant negative Steigung, es handelt sich also um eine konstant verzögerte Bewegung. Die Beschleunigung ist dann eine negative Konstante. So, was hast du eben gelernt? Beschleunigung ist gleich der Geschwindigkeitsänderung in einem gewissen Zeitintervall, die Momentanbeschleunigung ist gleich der Geschwindigkeitsänderung in einem möglichst kleinen Zeitintervall. Geht die Länge des Zeitintervalls gegen Null, so kann man die Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit schreiben. Ableitungen nach der Zeit kürzt man mit einem Punkt ab. Außerdem ist die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges nach der Zeit. Die Geschwindigkeit abgeleitet nach der Zeit ist wiederum die Beschleunigung. Daraus folgt, dass die Beschleunigung gleich der zweifachen Ableitung des Weges nach der Zeit ist. Diese Zusammenhänge haben wir dann an einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung überprüft. Man kann die Zusammenhänge in t-s-Diagrammen und t-v-Diagrammen darstellen. Die Ableitung gibt uns die Steigung der jeweiligen Kurve an. Die Steigung im t-s-Diagramm entspricht dabei der Geschwindigkeit, die Steigung im t-v-Diagramm der Beschleunigung. Das war’s zum Thema differentielle Betrachtung der Beschleunigung. Ich hoffe, du hast was gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal!