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Bändermodell in Festkörpern 09:13 min

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Transkript Bändermodell in Festkörpern

Hallo. Ich bin Sandra. In diesem Video möchte ich Dir das Bändermodell in Festkörpern erklären. Aus dem Alltag weißt Du bestimmt, dass ein Draht aus Metall besser elektrisch leitet als ein Körper aus Glas oder Keramik. Aber warum ist das eigentlich so? Die Leitfähigkeit eines Festkörpers kann mit Hilfe des Bändermodells gedeutet werden. Schauen wir uns also mal an, was es mit diesem Modell auf sich hat. Zuerst möchte ich mit Dir die Frage klären, warum es Energiebänder gibt. Danach geht es um die Begriffe Valenzband und Leitungsband. Wir werden klären, was die Fermi-Energie ist und abschließend Leiter, Halbleiter und Isolatoren miteinander vergleichen. Warum also Energiebänder? Du kennst ja bereits das Bohrsche Atommodell mit dem positiv geladenen Kern und den darum kreisenden Elektronen. Aus diesem Modell ergibt sich auch, dass die Elektronen eines Atoms nur ganz bestimmte Energieniveaus haben können. Man sagt, die Energien der Elektronen seien diskret. Die diskreten Energieniveaus lassen sich in einem solchen Energieniveauschema darstellen. Die Elektronen besetzen dabei zuerst das unterste energieärmste Niveau. Wenn dieses gefüllt ist, besetzen die Elektronen das nächsthöhere Niveau. Und so weiter. In einem Festkörper sitzen viele Atome nebeneinander, die miteinander wechselwirken. Die Atome sind so nahe, dass sich die Aufenthaltsorte der Elektronen teilweise überlappen. Bestimmten Elektronen kann dann kein einzelnes Atom mehr zugeordnet werden. Dieses Zusammenwirken der Atome führt dazu, dass die diskreten Energieniveaus zu breiten Energiebändern verschwimmen. Genau wie bei einem einzelnen Atom werden die Energiebänder von unten nach oben aufgefüllt. Innerhalb dieser Energiebänder können die Elektronen nahezu alle Energiebeträge aufnehmen. Es gibt zwei wichtige Bänder, deren Anordnung entscheidend für die Leitfähigkeit des Festkörpers ist, das Valenzband und das Leitungsband. Das energiereichste Band, das bei null Kelvin noch vollständig mit Elektronen besetzt ist, bezeichnet man als das Valenzband. Die Elektronen des Valenzbandes sind fest an das Atom gebunden. Die Beweglichkeit der Elektronen ist in vollbesetzten Bändern sehr gering. Deswegen tragen voll besetzte Bänder nicht zur elektrischen Leitfähigkeit bei. Das darüberliegende Band ist gar nicht oder nur teilweise mit Elektronen gefüllt. Dieses Band ist das Leitungsband. Die Elektronen im Leitungsband sind nicht fest an das Atom gebunden, können sich also frei im Festkörper bewegen. Die freien Elektronen tragen somit zur Leitung bei. Woher auch der Name Leitungsband kommt. Zwischen dem Leitungsband und dem Valenzband ist meist eine Lücke. Das bedeutet, dass die Elektronen keine Energie dieses Bereichs aufnehmen können. Man nennt diese Energielücke auch "Verbotene Zone". Die Energielücke kann je nach Material unterschiedlich groß sein und bestimmt entscheidend die Leitungseigenschaften des Festkörpers. Damit ein Elektron von dem Valenzband in das Leitungsband übergehen kann, muss dem Elektron mindestens der Differenzbetrag zwischen der unteren Kante des Leitungsbandes und der oberen Kante des Valenzbandes zugefügt werden. Dies kann zum Beispiel durch Zuführung von Wärmeenergie oder Licht geschehen. Jetzt kennst Du schon das Valenzband und Leitungsband. Kommen wir nun zum Begriff der Fermi-Energie. Bei null Kelvin sind die Energiebänder von unten an bis zu einem bestimmten höchsten Energieniveau vollständig besetzt. Die Fermi-Energie gibt dann die Energie des höchst möglichen, theoretisch besetzbaren Energieniveaus an. Hier liegt die Fermi-Energie also oberhalb des Valenzbandes. Die Fermi-Energie beschreibt also die höchste Energie, die ein Elektron in dem Festkörper bei null Kelvin annehmen könnte. Steigt die Temperatur an, dann nehmen die Elektronen auch Energie oberhalb der Fermi-Energie auf und können zum Beispiel vom Valenzband ins Leitungsband übergehen. Kehren wir nun zurück zur Ausgangsfrage, warum es Festkörper gibt, die sehr gute elektrische Leiter sind und andere, die kaum elektrisch leiten. Wir teilen die Festkörper auf in Leiter, Halbleiter und Isolatoren. Vergleichen wir mal die Lage der Bänder in den drei Festkörpern. In Leitern gibt es zwischen Valenzband, hier VB, und Leitungsband LB keine Energielücke. Die beiden Bänder überlappen sogar. Die Fermi-Energie liegt bei Leitern also mitten in einem Energieband. Dadurch, dass es zwischen Valenz- und Leitungsband keine Lücke gibt, können Elektronen schon mit einer sehr geringen zusätzlichen Energie in das Leitungsband gehoben werden. Im Leitungsband können sie sich dann frei bewegen. Der Festkörper hat daher eine besonders gute elektrische Leitfähigkeit. Sie liegt bei Raumtemperatur im Bereich von σ rund 106S/m (Siemens pro Meter). Beispiele für Leiter sind Metalle wie Kupfer oder Aluminium. In Halbleitern gibt es eine Energielücke zwischen Valenz- und Leitungsband. Die Breite Delta E ist bei Halbleitern kleiner als 3eV. Bei null Kelvin befinden sich keine Elektronen im Leitungsband, weshalb der Festkörper nicht elektrisch leitfähig ist. Steigt die Temperatur, können Elektronen in das Leitungsband springen und das Material wird somit leitend. Die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern ist somit stark temperaturabhängig. Die breite der Energielücke von Silizium beträgt 1,1eV. Silizium ist daher ein Halbleiter. Ein weiterer Halbleiter ist Kohlenstoff in Form von Graphit. Dieser wird als Kohleleiter technisch eingesetzt. Dagegen ist die Energielücke Delta E zwischen Valenz- und Leitungsband >3eV. Bei Zimmertemperatur ist das Leitungsband zwar auch teilweise besetzt, aber die elektrische Leitfähigkeit von Isolatoren um etwa 14 Größenordnungen geringer als die von Metallen, σ liegt im Bereich von 10-8S/m. Als Beispiel von Isolatoren sind alle Arten von Kunststoff zu erwähnen. Also noch einmal zusammenfassend: Energiebänder entstehen durch das Wechselwirken der benachbarten Atome. Das Valenzband in Halbleitern und Isolatoren ist bei null Kelvin voll besetzt. Die Elektronen des Valenzbandes tragen nicht zur elektrischen Leitfähigkeit bei. Die Elektronen des Leitungsbandes bewegen sich frei im Festkörper und tragen daher zur elektrischen Leitfähigkeit bei. In Halbleitern und Isolatoren gibt es zwischen Valenz- und Leitungsband eine Energielücke, die auch verbotene Zone genannt wird. Bei Leitern gibt es keine Energielücke, weswegen deren Leitfähigkeit so groß ist. Die Fermi-Energie bezeichnet das höchstmögliche Energieniveau im Grundzustand. Jetzt weißt Du also, warum ein Metalldraht zum Stromtransport verwendet wird und nicht etwa eine Tasse. Also merke Dir: Anhand des Bändermodells können Leitungsvorgänge in Festkörpern gut veranschaulicht werden. Danke fürs Zuschauen. Bis zum nächsten Mal.

5 Kommentare
  1. Wieso sinkt die elektrische Leitfähigkeit von Metallen nach einer Temperaturerhöhung?

    Von Catserma, vor etwa einem Jahr
  2. Wo würde die Fermi Energie liegen wenn man den Halbleiter p dotiert oder n dotiert (Bitte beides angeben). Und meine 2. Frage ist, mein Lehrer hat mal gemeint das die Fermi-Energie irgendwas mit einer Wahrscheinlichkeit zu tun hat wo Elektronen sein könnten(könntest du das etwas genauer mir erklären bitte).
    Ps. Gutes Video ;)

    Von Serkan 21, vor etwa 4 Jahren
  3. @Sybille
    Als Festkörper wird,jeder Körper betrachtet, der fest ist. Also sowohl die Tasse wie auch der Metalldraht.

    Von Karsten Schedemann, vor etwa 4 Jahren
  4. Ist ein Festkörper jetzt sowas wie ein Metalldraht oder eine Tasse?

    Von Sybille1, vor etwa 4 Jahren
  5. perfekt!

    Von Denis Ahrens, vor mehr als 4 Jahren

Bändermodell in Festkörpern Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bändermodell in Festkörpern kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere die folgenden Begriffe zum Thema Bändermodell in der Festkörperphysik.

    Tipps

    Die Begriffe stehen in einem logischen Zusammenhang zueinander.

    Lösung

    Im Bändermodell der Festkörperphysik sind zwei Bandtypen besonders wichtig, um die Leitfähigkeit eines Festkörpers abzuschätzen und zu erklären.

    Die Zuordnung dieser Bänder erfolgt bei 0 Kelvin. Für diese Temperatur wird ermittelt, welche Bänder vollständig mit Elektronen besetzt sind. Das energiereichste dieser Bänder wird Valenzband genannt. Über dem Valenzband liegt das Leitungsband. Dieses ist teilweise oder gar nicht mit Elektronen besetzt.

    Zwischen Valenzband und Leitungsband kann es einen Energiebereich geben, in dem sich keine Elektronen aufhalten dürfen. Dieser Bereich heißt deshalb verbotene Zone oder Bandlücke.

    Bei 0 Kelvin kann außerdem die Fermi-Energie für jeden Festkörper angegeben werden. Das ist die Energie, die ein Elektron bei dieser Temperatur maximal besitzen kann.

  • Ordne den gezeigten Bandverteilungen die zu erwartenden Leitungseigenschaften zu.

    Tipps

    Welche Stoffe besitzen keine Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband?

    Bei welchen Stoffen ist die Bandlücke kleiner als drei Elektronenvolt?

    Bei welchen Stoffen ist sie größer als drei Elektronenvolt?

    Lösung

    In der schematischen Darstellung der Bänder unterscheidet man Leiter, Halbleiter und Isolatoren nach den Eigenschaften ihrer Bandlücken. Die Bandlücke umfasst den Energiebereich von der Oberkante des Valenzbandes bis zur Unterkante des Leitungsbandes. Die Energiedifferenz zwischen diesen beiden Niveaus ist in den Abbildungen angegeben. Ist die y-Achse mit Zahlenwerten versehen, kann man sie auch selbst aus der Differenz dieser beiden Grenzen rechnerisch ermitteln.

    Stoffe, die keine Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband besitzen, gehören zu den Leitern. Stoffe mit einer geringen Bandlücke von unter drei Elektronenvolt zählen zu den Halbleitern. Liegt die Bandlücke über dem Wert von drei Elektronenvolt, so spricht man von Isolatoren.

  • Vergleiche die Eigenschaften von Leitern, Halbleitern und Isolatoren.

    Tipps

    Leiter im Bändermodell

    Halbleiter im Bändermodell

    Isolator im Bändermodell

    Lösung

    Leiter wie Metalle besitzen keine Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband. Sie besitzen daher eine sehr hohe Leitfähigkeit.

    Isolatoren wie Kunststoffe hingegen besitzen eine große Lücke von über drei Elektronenvolt zwischen Valenz- und Leitungsband. Ihre Leitfähigkeit ist daher sehr gering.

    Halbleiter wie Silizium oder reiner Kohlenstoff besitzen zwar eine Bandlücke, doch liegt diese unter drei Elektronenvolt. Sie sind daher ab einer bestimmten Temperatur ebenfalls gute Leiter.

  • Ordne der gezeigten Bandverteilung die zu erwartende Leitungseigenschaft zu.

    Tipps

    Richtig: Hier gibt es einen Stolperstein. Aber wo genau?

    Lösung

    Der dargestellte Festkörper existiert nicht. Er zeigt eine unzulässige Eigenschaft: Die Fermi-Energie liegt im Valenzband. Dies würde bedeuten, dass bei 0 Kelvin Elektronen auch Energien oberhalb der Fermi-Energie erreichen könnten. Und dies ist ganz ausdrücklich nicht erlaubt!

  • Beurteile die Aussagen zum Bändermodell in der Festkörperphysik.

    Tipps

    Die Energie welcher Objekte wird im Bändermodell betrachtet?

    Wie sind die Begriffe Valenzband, Leitungsband, Energielücke und Fermi-Energie definiert?

    Zur elektrischen Leitung sind frei bewegliche Elektronen notwendig.

    Innerhalb der Bänder können die Elektronen jede Energie besitzen.

    Lösung

    In einem einzelnen Atom besitzen die Elektronen der Atomhülle diskrete Energieniveaus. Nähert man jedoch Atome dicht an, wie dies in Festkörpern geschieht, so verschwimmen diese Energieniveaus zu Bändern. Das liegt daran, dass nicht mehr jedes Elektron eindeutig einem Atom zugeordnet werden kann. Ein Elektron besitzt nun keinen fest vorgeschriebenen Energiewert mehr, sondern einen Energiebereich, in dem es sich bewegen kann.

    Die Lage und Anordnung dieser Bänder ist für jeden Festkörper anders und bestimmt seine Leitungseigenschaften. Es gibt jedoch definitionsgemäß immer nur ein Valenzband und ein Leitungsband, wobei die Fermi-Energie oberhalb des Valenzbandes liegt.

    Freie Elektronen, die zur Stromleitung dienen können, entstehen nur in Bändern, die nicht voll besetzt sind. Überlappen sich Valenz- und Leitungsband wie bei Leitern, so reichen bereits geringe Energien aus, um Elektronen ins Leitungsband zu heben. Liegt zwischen Valenz- und Leitungsband eine Bandlücke, so benötigen Elektronen mindestens die Energiedifferenz der Bandlücke, um ins Leitungsband zu gelangen. Da diese bei Halbleitern nicht so hoch ist, werden diese ab bestimmten Temperaturen leitend.

  • Erkläre, was bei der Dotierung von Halbleitern geschieht.

    Tipps

    Was für Fremdatome werden in den Leiter eingebracht?

    Diese besitzen Elektronen mit besonderen Eigenschaften. Was können diese Elektronen?

    Wie wirken sich diese Elektronen auf die Leitfähigkeit des Halbleiters aus?

    Lösung

    Die Dotierung von Halbleitern bewirkt eine gezielte Verbesserung der Leitfähigkeit unter den technisch jeweils gewünschten Bedingungen.

    Bei einer n-Dotierung erhält der Halbleiter zusätzliche Elektronen im Leitungsband. Bei einer p-Dotierung hingegen werden positive bewegliche Ladungen im Valenzband erzeugt.