Thomson'sche Schwingungsgleichung

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Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Dieses Video gehört ins Gebiet Schwingungen und Wellen und beschäftigt sich im 2. Teil der Reihe zum elektrischen Schwingkreis mit der Thomson'schen Schwingungsgleichung. Für dieses Video solltet ihr bereits Teil 1 der elektrischen Schwingkreisreihe gesehen haben. Wir lernen heute, was die Thomson'sche Schwingungsgleichung ist bzw. was ich mit ihr ausrechnen kann, wie ich sie herleite und welche Art von Schwingung sie eigentlich beschreibt. Und auf geht's. Die Thomson'sche Schwingungsgleichung gibt an, mit welcher Frequenz ein Schwingkreis schwingt, abhängig von der Kapazität C des Kondensators und der Induktivität L der Spule. Wir können sie mithilfe des Energieerhaltungssatzes herleiten. Und wie das geht, sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Wir hatten im letzten Video gehört, dass ein Schwingkreis schwingt, indem er Energie zwischen der Spule und dem Kondensator hin und her transferiert. Dabei gilt natürlich der Energieerhaltungssatz. Das heißt, auch wenn sich die Energien in Spule und Kondensator ständig verändern, so ist ihre Summe konstant. Ich kann also aufschreiben: Die elektrische Energie im Kondensator ½CU² + die magnetische Energie in der Spule ½LI² = konstant. Wir machen erst einmal ein paar Randnotizen. Wir wissen: Die Ableitung der Ladung nach der Zeit Q^Punkt ist der Strom (I). Außerdem wissen wir: Q=C×U. Wenn ich das nach der Zeit ableite, erhalte ich: Q^Punkt=C×U^Punkt. Und daraus kann ich folgern: I=C×U^Punkt. Wir wissen, die Spannung zur Zeit t, U(t), folgt der Formel: U(t) = Scheitelspannung (U^)×sin(ωt+φU). Wenn wir das nach der Zeit ableiten, erhalten wir: U^Punkt(t)=(U^)×ω×cos(ωt+φU). Und wenn ich das mit der Kapazität × nehme, habe ich, siehe die blaue Formel oben, den Strom zum Zeitpunkt t errechnet. I(t) ist also: I(t)=C×(U^)×ω×cos(ωt+φU). Der Cosinus (cos) ist ja auch eine sinusförmige Funktion. Und da uns nur die Scheitelspannung interessiert, ist uns die Phase erst einmal egal. Wir sehen: C×(U^)×ω = der Scheitelstrom (I^). Wir schreiben unseren Ansatz mal ein wenig genauer. Zu dem Zeitpunkt, zu dem die maximale Spannung herrscht, also die Scheitelspannung, ist der Strom gleich 0. Die gesamte Energie ist im Kondensator und ich kann sie berechnen mit: ½×C×(U^)². Wenn der Strom maximal ist, ist die Spannung 0. Dann ist die gesamte Energie in der Spule, und diese kann ich berechnen mit: ½×L×(I^)². Die beiden müssen gleich sein. Ich kann nun die Scheitelspannung von rechts unten einsetzen und erhalte: ½×C×(U^)²=½×L×C²×(U^)²×ω². Und daraus kann ich nun die Kreisfrequenz meines Schwingkreises berechnen: ω²=(C×(U^)²)/(L×C²×(U^)²). Da lässt sich Einiges wegkürzen und übrig bleibt: ω²=1/(L×C). Daraus folgt, das ω meines Schwingkreises =1/\sqrt(L×C). Und aus ω kann ich nun auch die Periodendauer und die Frequenz berechnen. Wir erinnern uns: Die Periodendauer (T) war 2π/ω und die Frequenz (f) war ω/2π. Damit ist also T=2×π×\sqrt(L×C). Und die Frequenz, die ja 1 / die Periodendauer ist, ist: f=1/(2×π×\sqrt(L×C)). Und dies ist der Zusammenhang, den man die Thomson'sche Schwingungsgleichung nennt. Im letzten Kapitel wollen wir uns jetzt noch ansehen, was für eine Art von Schwingung diese Gleichung genau beschreibt. Vielleicht ist es euch auch schon aufgefallen: Die Thomson'sche Schwingungsgleichung vernachlässigt den Ohmschen Widerstand R des Schwingkreises. Das heißt, sie behandelt einen idealen Schwingkreis. Denn jeder Stromkreislauf hat einen Widerstand, außer er ist komplett supraleitend. Sie beschreibt daher eine ungedämpfte Schwingung. Wir wollen uns den Unterschied zwischen einer gedämpften und einer ungedämpften Schwingung noch einmal kurz mit 2 kleinen Zeichnungen ansehen. Die ungedämpfte Schwingung hat, wie wir gerade hergeleitet haben, die Frequenz f=1/(2×π×\sqrt(L×C)). Ihre Frequenz ist konstant und ihre Amplitude ändert sich nicht. Die gedämpfte Schwingung dagegen hat eine etwas kleinere Frequenz. Ihr genauer Wert ist: f=1/(2×π)×\sqrt(1/(L×C)-(R²/4L²)). Das heißt, sie benötigt ein wenig länger für ihre Schwingungen, abhängig davon, wie stark die Dämpfung ist. Aber der wichtigere Unterschied ist: Ihre Amplitude sinkt mit der Zeit. Und das ist natürlich nicht so gut. Eine ungedämpfte Schwingung wäre für viele Anwendungen relativ praktisch. Man kann allerdings durch periodische Energiezufuhr aus einem gedämpften einen ungedämpften Oszillator machen. Man nennt dies eine erzwungene Schwingung. Und wie das geht, wollen wir uns im nächsten Video ansehen. Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Mit der Thomson'schen Schwingungsgleichung kann man die Eigenfrequenz eines Schwingkreises berechnen. Man kann sie aus dem Energieerhaltungssatz herleiten und sie besagt: Die Frequenz des Schwingkreises f=1/(2×π×\sqrt(L×C)). Die Thomson'sche Schwingungsgleichung beschreibt allerdings nur ungedämpfte Schwingungen. Bei gedämpften Schwingungen ist die Frequenz ein bisschen kleiner. Ihr genauer Wert ist: f=1/(2×π)×\sqrt(1/(L×C)-(R²/4L²)). So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank für das Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle

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Die Autor*innen

Jakob Köbner

Thomson'sche Schwingungsgleichung

lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Thomson'sche Schwingungsgleichung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Thomson'sche Schwingungsgleichung kannst du es wiederholen und üben.

Nenne die relevanten Kenngrößen für die Frequenz eines elektrischen Schwingkreises.

Tipps

Bei der Herleitung der Thomson'schen Schwingungsgleichung benutzen wir den Energieerhaltungssatz.

Mit der Spannung und der Stromstärke können wir eine Aussage über die Energie in den einzelnen Systemteilen treffen.

Lösung

Wie angegeben lautet die Formel für die Frequenz der Schwingung im elektrischen Schwingkreis $f = \frac{1}{ 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{ L \cdot C}}$.
Darin enthalten sind die Konstanten $2$ und $\pi$. Dazu kommen die Werte für die Kapazität des verbauten Kondensators $C$ und für die Induktivität der Spule $L$.
Damit ist klar, die Thomson'sche Schwingungsgleichung ist ausschließlich abhängig von der Kapazität und der Induktivität.
Sowohl die Stromstärke $I$ als auch die Spannung $U$ spielen lediglich bei der Herleitung und der energetischen Betrachtung des Schwingkreises eine Rolle.
Gib an, wozu die Thomson'sche Schwingungsgleichung benutzt werden kann.

Tipps

Die Frequenz entspricht dem Kehrwert der Umlaufdauer.

Die Kapazität eines Kondensators wird in Farad angegeben.

Die Summe aus der Energien, welche im Kondensator und der Spule gespeichert sind, sollen erhalten bleiben.

Lösung

Die Thompson'sche Schwingungsgleichung gibt an, mit welcher Frequenz ein Schwingkreis schwingt, abhängig von der Kapazität $C$ des Kondensators und der Induktivität $L$ der Spule.
Aus der Frequenz lässt sich die Umlaufdauer mit $ T = \frac{1}{f}$ leicht berechnen.
Es gilt der Energieerhaltungssatz, welcher auch zur Herleitung genutzt wird.
Wir machen den Ansatz $ \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 + \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 = konst.$.
Denn die Summe aus der Energien, welche im Kondensator und der Spule gespeichert sind, sollen ja erhalten bleiben.
Betrachten wir nun die Zustände, in denen die gesamte Energie entweder im elektrischen Feld des Kondensators oder im magnetischen Feld der Spule gespeichert ist.
Hier gilt zunächst $ \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{max}^2 = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_{max}^2$.
Mit der $ I = C \cdot U_{max} \cdot \omega$ ergibt sich $ \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{max}^2 = \frac{1}{2} \cdot L \cdot C^2 \cdot U_{max}^2 \cdot \omega^2 $ und nach Umstellen und Kürzen schließlich $ \omega = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}$.
Mit Hilfe der Kreisfrequenz können wir nun die Umlaufdauer $T$ und die Frequenz $f$ ermitteln, und die Herleitung der Thomson'schen Schwingungsgleichung ist abgeschlossen.
Bestimme die Werte für die Kreisfrequenz.

Tipps

$\omega = \frac{1}{\sqrt{C \cdot L}}$

Lösung

Um die Kreisfrequenz der Thomson Schwingung zu berechnen, bedienen wir uns der Formel $\omega \omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$.
Dabei $C$ die Kapazität des Kondensators in Farad und $L$ die Induktivität der Spule in Henry.
Betrachten wir ein Beispiel : $\omega = \omega = \frac{1}{\sqrt{ 0,15 H \cdot 0,03 F}} = 14,91$.
Die Kreisfrequenz des elektrischen Schwingkreises beträgt für eine Kapazität von $ C = 0,03 F$ und eine Induktivität von $ L = 0,15 H$ $ \omega = 14,91 s$.
Betrachten wir zum Schluss die Einheit von $\omega$.
Dazu lösen wir $H$ und $F$ in die SI-Einheiten auf.
$ 1H = 1 \frac{kg \cdot m^2}{A^2 \cdot s^2} $ und $ 1 F = 1 \frac{ A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^2}$.
Nun multiplizieren wir $ 1 H \cdot 1F = s^2 $.
Da wir die Kreisfrequenz mit der Wurzel aus $ C \cdot L$ bilden, bleibt $ \sqrt{s^2} = s $ übrig.
Mit $\omega = 2 \pi \sqrt{C \cdot L}$ ergibt sich die Einheit $ s{-1}$.
Berechne die Umlaufdauer der Schwingung.

Tipps

$T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega} $

$\omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$

$T = 2 \pi \cdot \sqrt{ L \cdot C}$

Lösung

Die Umlaufdauer lässt sich aus der Kreisfrequenz mit $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega} $ errechnen.
Dabei ist $\omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$.
Setzen wir nun $\omega$ ein, so erhalten wir $T = 2 \pi \cdot \sqrt{ L \cdot C}$.
Die Umlaufdauer $T$ kann also entweder direkt über die Kreisfrequenz $\omega$ oder mit der Kapazität $C$ und der Induktivität $L$ angegeben werden.
Haben wir etwa $ L = 3,00 \cdot 10^{-2} H $ und $C = 0,15 F$ gegeben, setzen wir diese in $T = 2 \pi \cdot \sqrt{ L \cdot C}$ ein und erhalten so $T = 2 \pi \cdot \sqrt{ 3,00 \cdot 10^{-2} H \cdot C = 0,15 F} = 0,421 s $.
Die Umlaufdauer $T$ in einem elektrischen Schwingungskreis mit einer Spule $L = 3 \cdot 10^{-2} H $ und einem Kondensator $ C = 0,15C$ beträgt also $ 0,421s$.
Betrachten wir zum Schluss noch die Einheiten anhand von $\omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$. Bekannt ist $\omega = s^{-1}$. Der Kehrwert von $\omega $ ,$ \frac{1}{s^{-1}}$ ist also nun wieder $s$.
Wie zu erwarten ist die Einheit der Umlaufdauer also die Sekunde $s$.
Gib an, inwiefern der Widerstand in der Thomson Gleichung berücksichtigt wird.

Tipps

Wir müssen mit $f = \frac{1}{s \pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{LV} - {\frac{R^2}{4C^2}}} $ rechnen, wenn wir den Ohm'schen Widerstand betrachten.

Lösung

In der Thomson'schen Schwingungsgleichung wird der Einfluss des Widerstands $R$ vernachlässigt.
In der Realität, werden meistens Kabel verwendet, die abhängig von Material, Stirnquerschnitt und Länge einen bestimmten elektrischen Widerstand aufweisen. Diese Tatsache wird jedoch vernachlässigt, da wir sonst eine gedämpfte Schwingung betrachten müssten.
Die Berechnung würde dadurch unnötig erschwert. ( Wir müssten dann mit $f = \frac{1}{s \pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{LV} - {\frac{R^2}{4C^2}}} $ rechnen.)
Ziel ist es also, die im Schwingkreis ablaufende Schwingung ungedämpft zu machen.
Dazu könnten wir entweder supraleitende Kabel verwenden oder periodisch immer wieder Energie hinzufügen, um so den Energieverlust ausgleichen.
Die zweite Variante ist dabei meistens die einfachere und wird häufiger verwendet.
Fassen wir zusammen:
Durch periodische Energiezufuhr wird die Vernachlässigung des Ohm'schen Widerstandes beim elektrischen Schwingkreis umgesetzt.
Analysiere die Frequenz der elektrischen Schwingung.

Tipps

$ 1 Hz $ entspricht einem Hertz oder einer Schwingung pro Sekunde.

$ f = \frac{1}{T}$

$f = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$

Lösung

Die Einheit der Frequenz wird in Hertz angegeben, wobei $ 1 Hz = 1 s^{-1}$ genau dem Kehrwert der Schwingungsdauer $T$ entspricht.
Es gilt also $ f = \frac{1}{T}$.
Ist die Dauer der Schwingung im elektrischen Schwingkreis bekannt, so können wir die dazugehörige Frequenz leicht errechnen.
Sind hingegen die Parameter der Bauteile bekannt, müssen wir unsere Berechnung etwas anpassen. Es gilt $f = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$.
Das ist auch ganz logisch, denn $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}$ ist ja für die elektrische Schwingung ebenfalls bereits bekannt.
Betrachten wir abschließend ein Beispiel.
Es seien $L = 3,38 \cdot 10^{-3} H $ und mit $ C = 8,88 \cdot 10^{-7} F$ gegeben.
Setzen wir diese ein, so ergibt sich $f = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{3,38 \cdot 10^{-3} H \cdot 8,88 \cdot 10^{-7} F}} = 2,91 kHz$.
Die Frequenz dieses elektrischen Schwingkreises beträgt also $f = 2.910 Hz = 2,91 kHz$.
Das bedeutet, innerhalb von einer Sekunde wiederholt sich die Schwingung 2.910 mal.