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Brüche und Anteile

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Brüche und Anteile
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Brüche und Anteile

Mit Brüchen können wir rechnen. Z.B. können wir Anteile bestimmen. Dazu multiplizieren wir den Bruch mit dem Ganzen. Wie das in einem konkreten Fall aussieht, kannst du im Video sehen. Außerdem besprechen wir, wie wie einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren können.

13 Kommentare

13 Kommentare
  1. Dönerkaufen

    Von #domikow, vor 5 Monaten
  2. Super .👍👍👍😊🥙🥙🥙

    Von Bischoff Bianka Bb, vor 9 Monaten
  3. Das Video ist sehr gut erklärt .

    Von Dmnbensch, vor etwa einem Jahr
  4. döner kaufen????😂😂😂

    Von Lenaoberholzner, vor etwa einem Jahr
  5. Uii die Kommentare gehen wieder ฅ^•ﻌ•^ฅ

    Von Dirk S., vor etwa einem Jahr
Mehr Kommentare

Brüche und Anteile Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche und Anteile kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Rolle von Brüchen in der Mathematik.

    Tipps

    Wenn etwas sehr sehr schnell passiert, sagt man oft auch, dass es sich „in einem Bruchteil einer Sekunde“ abspielt. Das gibt dir einen Hinweis darauf, was ein Bruch überhaupt verkörpert.

    „Vier Siebtel“ schreibst du als $\frac{4}{7}$.

    Lösung

    Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

    • Brüche dienen in der Mathematik dazu, einen Anteil von einem Ganzen darzustellen. Beispielsweise muss jeder, der in Deutschland Geld verdient, einen Anteil seines Gehalts als Steuern zahlen, also an die Allgemeinheit abgeben.
    Hier ist das Gehalt das Ganze, von dem ein Anteil an Steuern bezahlt wird.

    • Wir wollen die Steuern unseres Stundenlohns berechnen: Wenn du $15$ Euro pro Stunde verdienst, dann sind diese $15$ Euro hier das Ganze, von dem ein Anteil berechnet wird. Wenn du zwei Fünftel deines Einkommens an Steuern zahlen sollst, dann schreibst du diese „zwei Fünftel“ als Bruch als $\frac{2}{5}$.
    Die Fünftel geben an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wird; diese Zahl (hier also $5$) steht unter dem Bruchstrich. Die $2$ gibt an, wie viele dieser Teile wir betrachten wollen; sie steht über dem Bruchstrich.

    • Um einen Anteil an einer Zahl zu berechnen, multiplizierst du den Anteil mit dieser Zahl. Die Rechnung sieht dann wie folgt aus: $\frac{2}{5} \cdot 15$ bedeutet dasselbe wie „Zwei Fünftel von Fünfzehn“.
  • Bestimme, wie viel Geld du an Steuern zahlen musst.

    Tipps

    Die Zahl unter dem Bruchstrich gibt an, in wie viele gleich große Stücke das Ganze geteilt wird.

    Das Ganze ist diejenige Größe, die in Teile geteilt wird. In diesem Fall sind das also die $15$ Euro.

    Lösung

    Die Zahl unter dem Bruchstrich wird als Nenner bezeichnet. Der Nenner verrät dir, in wie viele gleich große Teile du das Ganze teilen musst. Er „benennt“ also die Anzahl der Anteile. Die Zahl über dem Bruchstrich ist der Zähler. Er „zählt“ die Anzahl dieser Anteile. Beim Bruch $\frac{2}{5}$ zum Beispiel gibt dir die $5$ im Nenner an, dass das Ganze in fünf Teile zerlegt wird und die $2$ sagt dir, dass du dann zwei dieser Teile betrachtest.

    Das Ganze ist die Größe, von der du einen Anteil berechnen willst. In diesem Fall sind das die $15$ Euro, die du pro Stunde verdienst. Den Lückentext kannst du dann folgendermaßen vervollständigen:

    Du verdienst $15$ Euro pro Stunde und musst davon $\frac{2}{5}$ als Steuern bezahlen. Um zu berechnen, wie viel das ist, teilst du die $15$ Euro zunächst in $5$ gleich große Anteile. Jeder dieser Teile besteht dann aus $3$ Euro.

    • Da unter dem Bruchstrich eine $5$ steht, weißt du, in wie viele Teile du das Ganze (die $15$ Euro) teilen musst. Um die Größe eines Anteils zu berechnen, führst du dann die Division $15:5=3$ durch.
    Du musst nun $2$ dieser Anteile als Steuern zahlen, also insgesamt $6$ Euro.

    • Die $2$ über dem Bruchstrich sagt dir, dass du zwei dieser Anteile bezahlen musst. Ein Anteil sind $3$ Euro, zwei Anteile also $2\cdot 3 = 6$ Euro.
    Den Rest des Geldes darfst du behalten. Das sind die übrigen $3$ Anteile, oder insgesamt $9$ Euro. Davon kannst du dir jetzt leckeren Döner kaufen!

    • Da du von den fünf Anteilen zwei als Steuern gezahlt hast, sind jetzt noch $5-2=3$ Anteile übrig, die zusammen $9$ Euro ergeben. Um sicher zu gehen, dass du auch keine Anteile vergessen hast, kannst du testen, ob die beiden Beträge (gezahltes Geld und behaltenes Geld) zusammen auch wieder das Ganze ergeben: $6+9=15$.
  • Prüfe, welche Rechnungen richtig durchgeführt wurden.

    Tipps

    Terme in Klammern werden immer zuerst berechnet.

    Sowohl Multiplikation als auch Division sind Punktrechenarten.

    Greift keine andere Vorrangregel, so wird von links nach rechts gerechnet.

    Lösung

    Um die richtige Reihenfolge zu finden, in der du eine Rechnung durchführst, solltest du hier die folgenden Regeln beachten:

    • Klammern werden zuerst berechnet.
    • Es wird von links nach rechts gerechnet.
    Da sowohl Multiplikation als auch Division Punktrechenarten sind, spielt die Regel „Punkt vor Strich“ hier keine Rolle; die beiden Rechenarten sind gleichgestellt.

    Ein Produkt aus einer Zahl und einem Bruch kannst du auf zwei verschiedene Arten berechnen:

    • Option 1: Du multiplizierst den Zähler (die Zahl über dem Bruchstrich) mit der Zahl und dividierst das Ergebnis dann durch den Nenner (die Zahl unter dem Bruchstrich).
    • Option 2: Du dividierst erst die Zahl durch den Nenner und multiplizierst dann mit dem Zähler.
    Die folgenden Rechnungen wurden richtig durchgeführt:

    • $\dfrac{3}{7}\cdot 14 = (3 \cdot 14):7 = 42:7 = 6$: Zuerst wird die Rechnung in Klammern durchgeführt, also der Zähler mit der Zahl neben dem Bruch multipliziert. Dann wird durch den Nenner dividiert (Option 1).
    • $20\cdot\dfrac{3}{4}=(20:4)\cdot 3 = 5\cdot3 = 15$: Hier wird zuerst die Zahl neben dem Bruch durch den Nenner dividiert und danach mit dem Zähler multipliziert (Option 2).

    Bei den anderen Rechnungen wurden Fehler begangen:

    • $\dfrac{2}{3}\cdot 6 = (2 \cdot 3) : 6 = 6:6 = 1$: Hier wurde der Zähler mit dem Nenner anstatt mit der Zahl neben dem Bruch multipliziert. Richtig wäre: $\dfrac{2}{3}\cdot 6=(2\cdot 6):3=12:3=4$.
    • $\dfrac{10}{2}\cdot5 = 10 : (2\cdot 5) = 10:10 = 1$: Hier wurden die Klammern falsch gesetzt. Sie sollten hier entweder um die Division stehen oder einfach weggelassen werden, da dann sowieso von links nach rechts gerechnet würde. Richtig wäre: $\dfrac{10}{2}\cdot5=(10\cdot 5):2=50:2=25$.
  • Ermittle, welche Produkte den gleichen Wert haben.

    Tipps

    Es gibt zwei mögliche Rechenreihenfolgen, die du verwenden kannst, um Brüche mit Zahlen zu multiplizieren.

    $\dfrac{2}{5}\cdot 15 = (2\cdot 15):5=30:5 = 6$

    $\dfrac{2}{5}\cdot 15 = (15:5)\cdot 2 = 3\cdot 2 = 6$

    Berechne die Produkte und vergleiche dann, welche dasselbe Ergebnis liefern.

    Lösung

    Erstes Produkt:

    $\dfrac{10}{3}\cdot 6 = (10\cdot 6):3 = 60:3 = 20$

    Wir multiplizieren hier erst die Zahl neben dem Bruch mit der Zahl über dem Bruchstrich, und teilen danach durch die Zahl unter dem Bruchstrich. Das ist dasselbe Ergebnis wie bei dem folgenden Bruch:

    $\dfrac{2}{5}\cdot 50 = (2\cdot 50):5=100:5=20$

    Zweites Produkt:

    $2\cdot \dfrac{5}{2}=(2\cdot 5):2=10:2=5$ und $3\cdot\dfrac{10}{6}=(3\cdot 10):6=30:6=5$.

    Drittes Produkt:

    $\dfrac{1}{3}\cdot 9 = (1\cdot 9):3=9:3=3$ und $\dfrac{6}{4}\cdot 2 = (6\cdot 2):4=12:4=3$.

    Viertes Produkt:

    $\dfrac{2}{5}\cdot 10=(2\cdot 10):5=20:5=4$ und $\dfrac{2}{4}\cdot 8=(2\cdot 8):4=16:4=4$.

  • Berechne das Ergebnis der Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl.

    Tipps

    Die Zahl über dem Bruchstrich wird als Zähler, die unter dem Bruchstrich als Nenner bezeichnet.

    Eine Rechnung, die in Klammern steht, wird immer zuerst ausgeführt.

    Lösung

    Bringe den Text in die folgende Reihenfolge:

    Du kannst einen Bruch auf verschiedene Arten mit einer Zahl multiplizieren. Sehen wir uns als Beispiel das Produkt $\frac{2}{5}\cdot 15$ an.

    Eine Möglichkeit ist es, dass du zuerst die Zahl durch den Nenner dividierst und das Ergebnis dann mit dem Zähler des Bruchs multiplizierst. Das sieht dann so aus:

    $\dfrac{2}{5}\cdot15=2\cdot (15:5)=2\cdot 3 = 6$

    • Den Term innerhalb der Klammer berechnen wir zuerst.
    Oder du multiplizierst die Zahl zuerst mit dem Zähler des Bruchs und dividierst das Ergebnis dann durch den Nenner des Bruchs. Das sieht dann so aus:

    $\dfrac{2}{5}\cdot15=(2\cdot15):5=30:5=6$

    Wie du siehst, ist das Ergebnis in beiden Fällen gleich.

    • Die Zahl unter dem Bruchstrich wird auch als Nenner bezeichnet, da sie die Art des Anteils benennt (hier ein Fünftel). Die Zahl über dem Bruchstrich ist der Zähler, da sie die Menge der Anteile zählt (hier also zwei).
  • Berechne Produkte, die keine ganzen Zahlen ergeben.

    Tipps

    Zahlen und Brüche kannst du multiplizieren und das Ergebnis als Bruch aufschreiben, indem du die Zahl neben dem Bruch mit dem Zähler des Bruches multiplizierst und den Nenner beibehältst. Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter.

    Achte darauf, ob der angegebene Anteil auch tatsächlich der gesuchte Anteil ist.

    Lösung

    Von den $25$ Kindern der Klasse 2b ist heute jedes fünfte nicht zum Unterricht erschienen. Wie viele Kinder waren in der Schule?

    • Hier ist mit $\frac{1}{5}$ der Anteil an Kindern gegeben, der nicht in der Schule war. Gesucht ist aber der Anteil an Kindern, die erschienen sind, der dementsprechend $\frac{4}{5}$ ausmachen muss. Diesen Anteil multiplizieren wir mit dem Ganzen, das in diesem Fall die Anzahl der Kinder ($25$) ist. Es sollte sich eine ganze Zahl ergeben, denn natürlich kann ein Kind nicht nur anteilsweise zum Unterricht erscheinen: $25\cdot\frac{4}{5}=\frac{100}{5}=20$.
    Genauso können wir die beiden weiteren Rechnungen durchführen. Achte jeweils darauf, ob der angegebene Anteil oder das „Gegenteil“ davon gesucht ist.

    Anna hat $250$ Gramm Nudeln gekocht, doch sie schafft nur ein Drittel davon. Wie viel Gramm Nudeln bleiben übrig?

    • Hier ist das „Gegenteil“ der angegebenen Menge gesucht: Anna isst ein Drittel der Nudeln, also bleiben zwei Drittel übrig. Es ergibt sich: $250\cdot\frac{2}{3}=\frac{500}{3}\approx 167$.
    Das forsa-Institut hat eine Umfrage über die Essensgewohnheiten von Erwachsenen durchgeführt. Von zweitausend Befragten gab genau ein Achtel an, sich vegetarisch zu ernähren. Wie viele der Befragten ernähren sich vegetarisch?
    • Hier ist wieder der gegebene Anteil gesucht. Wir multiplizieren diesen wieder mit dem Ganzen – also der Anzahl der Befragten – und erhalten: $2000\cdot\frac{1}{8}=\frac{2000}{8}=250$.

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