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Wahrscheinlichkeitsgrößen 06:12 min

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Transkript Wahrscheinlichkeitsgrößen

Eine der großen Errungenschaften des ausgehenden 19. Jahrhunderts war die atomistische Theorie der Materie. Ihre große Durchschlagskraft erhielt diese Theorie durch die Möglichkeit, durch stochastische Betrachtungen von mikroskopischen Prozessen makroskopische Eigenschaften der Materie herzuleiten. In diesem Video lernst du die Grundlagen solcher stochastischen Betrachtungen.

Videoübersicht

Dafür wiederholen wir im ersten Teil die Konzepte des thermodynamischen Systems und des Gleichgewichts. Wir klären was ein Zufallsexperiment ist und beschäftigen uns danach mit den Begriffen Teilbereich, absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit.

Das thermodynamische Gleichgewicht

Ein thermodynamisches System ist ein räumlich begrenztes, physikalisches System. Zusätzlich muss es möglich sein, in das System einströmende und aus dem System ausfließende Energie- und Stoffmengen zu bilanzieren. Das thermodynamische System befindet sich im Gleichgewicht, wenn es möglich ist, Zustandsgrößen zu formulieren, welche das System auf makroskopischer Ebene vollständig beschreiben und sich zeitlich nicht ändern.

Solche Größen sind zum Beispiel die Temperatur oder der Druck. Diese Größen können gemessen werden. Das thermodynamische Gleichgewicht wird von realen thermodynamischen Systemen immer nur annähernd erreicht. Belässt man ein thermodynamisches System ohne Energie oder Stoffaustausch mit der Umgebung, wird es sich aber immer weiter dem Gleichgewicht nähern.

Das thermodynamische System

Auf der mikroskopischen Ebene handelt es sich bei einem thermodynamischen System um eine Ansammlung von Teilchen. Die Kenngrößen und Wechselwirkung der Teilchen bestimmen die Eigenschaften des thermodynamischen Systems. Die Gesamtheit der Zustände der einzelnen Teilchen bestimmt den Zustand des Systems.

Zustand der Teilchen

Der Zustand jedes einzelnen Teilchens wird durch Variablen wie Geschwindigkeit und Ort festgelegt. Die in der Physik betrachteten thermodynamischen Systeme enthalten meistens eine große Zahl von Teilchen. Dadurch spielt der Zustand des einzelnen Teilchens keine Rolle mehr. Man muss nur noch für jeden Zustand wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass man diesen Zustand bei einem beliebig ausgewählten Teilchen antrifft. Es reicht also, sich mit Zufallsexperimenten zu beschäftigen. Ein Zufallsexperiment hat folgende Eigenschaften:

Das Zufallsexperiment

  • der Ablauf muss genau festgelegt sein
  • es ist beliebig oft wiederholbar
  • der Ausgang jeder einzelnen Wiederholung darf nicht vorhersagbar sein
  • die möglichen Ergebnisse müssen vorher bekannt sein und es müssen mindestens zwei sein

Die Ergebnismenge

Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments wird als Ergebnismenge bezeichnet. Ein einfaches Beispiel eines Zufallsexperiments ist das Werfen eines Würfels. Die Ergebnismenge beim Würfelwurf können wir einfach ablesen. Ein Teilbereich ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.

Die absolute und relative Häufigkeit

Ein Teilbereich der Ergebnismenge beim Wurf eines Würfels wären zum Beispiel die Seite des Würfels mit einem Punkt zusammen mit der Seite Würfels mit 3 Punkten. Angenommen wir führen ein Zufallsexperiment n-mal durch und notieren uns bei jedem Mal das aufgetretene Ergebnis. Dann können wir die absolute Häufigkeit und die relative Häufigkeit berechnen. Die absolute Häufigkeit Groß-H-n eines Ergebnisse ist die Anzahl der Durchführungen bei denen es auftrat.

Werfen wir einen Würfel 3 Mal und es erscheint 2 mal die eins und 1 mal die drei, ist die absolute Häufigkeit des Ergebnisses eins 2 und die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses drei 1. Die relative Häufigkeit Klein-h-n eines Ergebnisses ist seine absolute Häufigkeit geteilt durch die Anzahl an Durchführungen. Beim Beispiel des Würfels wären das also ⅔ für eins und ⅓ für drei. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, gibt an, wie oft es im Mittel auftritt.

Zusammenfassung der Wahrscheinlichkeitsgrößen

Lässt man n immer größer werden, nähert sich die relative Häufigkeit immer weiter an die Wahrscheinlichkeit an. Für unseren Würfel ist die Wahrscheinlichkeit jedes der Ereignisse genau ⅙. Fassen wir zusammen: Ein Teilbereich ist eine Teilmenge der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments.

Die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses nach n Durchführungen Groß-H-n ist die Anzahl der Durchführungen bei denen es auftrat. Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses nach n Durchführungen Klein-H-n ist seine absolute Häufigkeit Groß-H-n geteilt durch n. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, gibt an, wie oft es im Mittel auftritt. Jetzt kennst du einige Grundlagen, um dich mit der mikroskopischen Beschreibung der Materie auseinanderzusetzen. Viel Spaß dabei!

1 Kommentar
  1. ich bin cool,und kann alles aus bio und powi den besten fächern der welt.;)

    Von Friedrichelke Verfondern, vor 14 Tagen

Wahrscheinlichkeitsgrößen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wahrscheinlichkeitsgrößen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib den gesuchten Begriff an.

    Tipps

    $\Omega =\{ 1 ,~2,~3,~4,~5,~6\} $

    Lösung

    Bei jedem Zufallsexperiment muss man sich darüber klar werden, was alles bei diesem Experiment im Zusammenhang der Aufgabenstellung beachtet werden muss.

    Wenn z. B. mit zwei Würfeln gewürfelt wird, kommt es dann darauf an, welcher der beiden Würfel welche Zahl zeigt, oder nur darauf, welche beiden Zahlen aufliegen?

    Diese gesuchte Menge aller möglichen Ergebnisse nennt man Ergebnismenge.

    Anmerkung: Eine Ergebnisse berechnet man nicht, sondern man wählt diese passend zur Situation der Aufgabe.

  • Gib die gesuchte absolute Häufigkeit an.

    Tipps

    Was ist der Unterschied zwischen der absoluten und relativen Häufigkeit?

    Ist die Anzahl der Würfe relevant?

    Die absolute Häufigkeit, eine Zwei zu würfeln, ist: 3.

    Lösung

    Die absolute Häufigkeit ist gleichbedeutend mit dem umgangssprachlichen Begriff Anzahl. Sie gibt an, wie viele Elemente mit dem gleichen interessierenden Merkmal gezählt wurden.

    Dieses Merkmal ist in diesem Fall das Würfeln der Vier. Die Frage ist also, wie oft würde die Vier gewürfelt? Wenn du dir die gewürfelten Zahlen anschaust, siehst du, dass die Vier insgesamt fünf mal gewürfelt wurde. Somit gilt: Die absolute Häufigkeit, eine Vier zu würfeln, ist: 5.

  • Gib an, was man unter einem thermodynamischen Gleichgewicht versteht.

    Tipps

    Was ist ein thermodynamisches System?

    Was verstehst du ganz allgemein unter dem Begriff Gleichgewicht?

    Lösung

    Ganz allgemein kann man sagen, dass ein Teilchen oder auch ein ganzes System von Teilchen sich im Gleichgewicht befindet, falls sich nichts mehr ändert.

    Doch was genau sollte sich dabei nicht ändern?

    Wichtig sind hierbei die Zustandsgrößen, denn: Ein System ist dann im Gleichgewicht, wenn es möglich ist, Zustandsgrößen zu formulieren, welche das System auf makroskopischer Ebene vollständig beschreiben und sich zeitlich nicht verändern.

  • Gib die gesuchte relative Häufigkeit an.

    Tipps

    Was ist der Unterschied zwischen der absoluten und relativen Häufigkeit?

    Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als $1$, die nur durch sich selbst und durch $1$ ganzzahlig teilbar ist.

    Ist die Anzahl der Würfe relevant?

    Lösung

    Die relative Häufigkeit gibt den Anteil der Elemente einer Menge wieder, bei der die gesuchte Merkmalsausprägung vorliegt. Sie wird berechnet, indem die absolute Häufigkeit eines Merkmals durch die Gesamtanzahl aller Versuche geteilt wird.

    Die Frage ist also: Wie groß ist der Anteil der Primzahlen bei den $17$ Würfen von oben?

    Bemerkung: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als $1$, die nur durch sich selbst und durch $1$ ganzzahlig teilbar ist. Im Zahlenraum bis $20$ gibt es folgende Primzahlen: $2,~ 3,~ 5,~ 7,~ 11,~ 13,~ 17,~ 19$.

    Diese Primzahlen wurden bei $17$ Würfen sechsmal gewürfelt: $13,~2,~3,~13,~5,~7$ Somit gilt: $h_{Primzahl}=\frac{6}{17}=0,353=35,3~\%$.

  • Gib die Eigenschaften eines Zufallsexperiments an.

    Tipps

    Das Würfeln eines Würfels ist eines der klassischen Zufallsexperimente. Versuche herauszufinden, ob du mit diesem Beispiel die obigen Antworten ausschließen kannst oder nicht.

    Ein Kopf-oder-Zahl-Münzwurf ist auch ein Zufallsexperiment.

    Ist das Schreiben einer Klassenarbeit auch ein Zufallsexperiment?

    Lösung

    In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet ein Zufallsexperiment einen Versuch, der unter genau festgelegten Versuchsbedingungen durchgeführt wird.

    Obwohl die Ergebnisse der einzelnen Versuche zufällig sind, lassen sich Gesetzmäßigkeiten erkennen, die mathematisch erfasst werden können. Doch welche Eigenschaften muss ein Versuch oder Experiment besitzen, um als Zufallsexperiment zu gelten?

    Für alle Zufallsexperimente gilt:

    • Der Ablauf muss genau festgelegt sein.
    • Es muss beliebig oft wiederholbar sein.
    • Ausgang darf nicht vorhersagbar sein.
    • Alle möglichen Ergebnisse müssen bekannt sein.
    • Es muss mindestens zwei mögliche Ergebnisse geben.
  • Gib die gesuchten relativen Häufigkeiten an.

    Tipps

    Was ist der Unterschied zwischen der absoluten und relativen Häufigkeit?

    Ist die Anzahl der Würfe relevant?

    Die absolute Häufigkeit eine Zwei zu würfeln ist: 3.

    Die relative Häufigkeit eine Fünf zu würfeln beträgt $10,5~\%$.

    Lösung

    Die relative Häufigkeit gibt den Anteil der Elemente einer Menge wieder, bei der die gesuchte Merkmalsausprägung vorliegt. Sie wird berechnet, indem die absolute Häufigkeit eines Merkmals durch die Gesamtanzahl aller Versuche geteilt wird.

    Die Vier wurde bei 19 Würfen fünfmal gewürfelt. Somit gilt: $h_4=\frac{5}{19}=0,263=26,3~\%$.

    Die Zwei wiederum wurde bei 19 Würfen nur dreimal gewürfelt. Somit gilt: $h_2=\frac{3}{19}=0,158=15,8~\%$.