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Kinetische Gastheorie

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Die Autor*innen
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Philip Rupp
Kinetische Gastheorie
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Kinetische Gastheorie Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kinetische Gastheorie kannst du es wiederholen und üben.
  • Vollziehe die Herleitung der ersten Gleichungsform der kinetischen Gastheorie nach.

    Tipps

    Beobachte genau, was sich in den Gleichungen verändert.

    Vergleiche die Annahmen mit dem Bild in der Mitte.

    Lösung

    Die kinetische Gastheorie ist eine statistische Theorie. Diese trifft Aussagen über eine Geschwindigkeitsverteilung von Teilchen. Aus diesen wird die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline v$ bestimmt.

    Alle Formeln beschreiben nur die Teilchen im türkisen Volumen.

    Diese Theorie bedient sich vieler makroskopischer Gesetzmäßigkeiten, trifft aber auch Annahmen, die dazu dienen, das makroskopische Verhalten so fassbar zu machen, dass Aussagen darüber möglich werden.

  • Forme die erste Form der Gleichung mit den richtigen Annahmen in die zweite und dritte Gleichung um.

    Tipps

    Du kannst auch von der letzten Form der Gleichung ausgehen und von unten beginnen.

    Die erste Gleichung besitzt zwei verschiedene Größen, die mit dem gleichen Buchstaben abgekürzt werden.

    Lösung

    Diese Gleichungen stellen die wesentlichen Werkzeuge zur Betrachtung der thermodynamischen Zusammenhänge aus Sicht der kinetischen Gastheorie dar.

    Mit diesen Gleichungen lassen sich sowohl die kinetische Energie und mittlere Geschwindigkeit aller Teilchen eines Gases als auch der Druck bestimmen.

    Auf diese Weise kann man mit kinetischen Erkenntnissen Aussagen über die makroskopische Ebene machen und genauso geht das auch andersherum.

  • Bestimme die mittlere kinetische Energie und die Geschwindigkeit eines Teilchens im Gas.

    Tipps

    Die Stoffmenge $n$ von einem Mol besagt, dass $N_A$ Teilchen vorliegen.

    Lösung

    Gegeben:

    $N\,=\,n\,\cdot\,N_A$,$~~~~$$N_A\,=\,6,022\,\cdot\,10^{23}$,$~~~~$$M_{Neon}\,=\,20,18\,\frac{g}{mol}$,$~~~~$$0°\,C\,=\,273,14\,K$,$~~~~$$p_S\,=101,3\,kPa$,$~~~~$$k_b\,=\,1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{J}{K}$,$~~~~$$V\,=\,24,4\,L$,$~~~~$$n\,=\,1\,mol$,$~~~~$$T\,=\,25°\,C$

    Gesucht: $\overline E_{Kin}$,$~~~~$$\overline v$

    Um die mittlere kinetische Energie zu bestimmen, benötigen wir nur ein paar dieser Größen in der richtigen Einheit. Einige können wir sofort einsetzen.

    $\overline E_{Kin}\,=\,\frac{3}{2}\,\cdot\,101,3\,kPa\,\cdot\,\frac{24,4\,L}{N}$

    N müssen wir zunächst über $N\,=\,n\,\cdot\,N_A$ bestimmen. Bei $n\,=\,1$ ist $N\,=\,N_A$.

    $\overline E_{Kin}\,=\,\frac{3}{2}\,\cdot\,101,3\,kPa\,\cdot\,\frac{24,4\,L}{6,022\,\cdot\,10^{23}}$

    Nun noch in die richtigen Einheiten umrechnen und ausrechnen:

    $\overline E_{Kin}\,=\,\frac{3}{2}\,\cdot\,101300\,\frac{N}{m^2}\,\cdot\,\frac{0,0244\,m^3}{6,022\,\cdot\,10^{23}}=\,6,16\,\cdot\,10^{-21}\,Nm\,=\,6,16\,\cdot\,10^{-21}\,J$.

    Nun bestimmen wir im zweiten Schritt die Geschwindigkeit.

    $\overline v\,=\,\sqrt{\,3\,\cdot\,\frac{k_b}{m}\,\cdot\, T}$

    Wir können alle Größen bis auf $m$ bereits einsetzen.

    $\overline v\,=\,\sqrt{\,3\,\cdot\,\frac{1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{J}{K}}{m}\,\cdot\, 25°\,C}$

    $m$ müssen wir über $m\,=\,M\,\cdot\,n$ bestimmen. Wir erhalten für das gesamte Mol $m_{mol}\,=\,0,02\,kg$ jedoch benötigen wir die Masse eines Teilchens. Daher teilen wir $m_{mol}$ durch $N_A$ und erhalten für $m\,=\,3,35\,\cdot\,10^{-26}\,kg$. Dies können wir nun auch einsetzen.

    $\overline v\,=\,\sqrt{\,3\,\cdot\,\frac{1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{J}{K}}{3,35\,\cdot\,10^{-26}\,kg}\,\cdot\, 25°\,C}$

    Nun nur noch in passende Einheiten umrechnen und ausrechnen.

    $\overline v\,=\,\sqrt{\,3\,\cdot\,\frac{1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{Nm}{K}}{3,35\,\cdot\,10^{-26}\,kg}\,\cdot\, 298,13\,K}=\,\sqrt{\,3\,\cdot\,\frac{1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{kg\,\cdot\,m^2}{K\,\cdot\,s}}{3,35\,\cdot\,10^{-26}\,kg}\,\cdot\, 298,13\,K}\,=\,607\,\frac{m}{s}$

  • Bestimme, wie viele Teilchen im Gas vorliegen.

    Tipps

    Das $m$ steht hier für die Masse eines Teilchens.

    Lösung

    Gegeben:

    $m_n\,=\,444\,g$,$~~~~$$\overline v\,=\,183\,\frac{m}{s}$,$~~~~$$T\,=\,25°\,C$,$~~~~$$k_b\,=\,1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{J}{K}$

    Damit wir die Teilchenanzahl N bestimmen können, müssen wir zunächst mit den gegeben Größen die Masse eines Teilchens bestimmen.

    $m\,=\,\frac{3\,\cdot\,k_b\,\cdot\,T}{\overline v^2}\,=\,\frac{3\,\cdot\,1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{J}{K}\,\cdot\,25°C}{183\,\frac{m}{s}}=\,\frac{3\,\cdot\,1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{kg\,\cdot\,m}{K\,\cdot\,s^2}\,\cdot\,298,13\,K}{183\,\frac{m}{s}}\,=\,3,69\,\cdot\,10^{-25}\,kg$

    Mit der berechneten Masse des Teilchens und der gesamten Masse können wir nun die Zahl der Teilchen im Gas bestimmen.

    $N\,=\,\frac{m_n}{m}\,=\,\frac{0,444\,kg}{3,69\,\cdot\,10^{-25}\,kg}\,=\,1,20\,\cdot\,10^{24}$

    Der Chemiker würde einfach die Molare Masse M von Radon nachschlagen $M_{Radon}\,=\,222\,\frac{g}{mol}$ und mit der folgenden Rechnung N bestimmen.

    $N\,=\,n\,\cdot\,N_A\,=\,\frac{m\,\cdot\,N_A}{M}\,=\,\frac{444\,g\,\cdot\,6,022\,\cdot\,10^{23}\,\frac{1}{mol}}{222\,\frac{g}{mol}}\,=\,1,20\,\cdot\,10^{24}$

  • Nenne die Definition der kinetischen Gastheorie.

    Tipps

    Beginne mit den bekannten Begriffen.

    Lösung

    Die kinetische Gastheorie ist eine statistische Theorie, sie bedient sich Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um das durchschnittliche Verhalten der Teilchen eines Gases vorherzusagen. Über dieses Verhalten lassen sich dann genauere Aussagen über das Verhalten des Gases machen.

    So entspricht die mittlere Geschwindigkeit aller Teilchen der Temperatur und der Gesamtimpuls aller Teilchen, welche mit den Gefäßwänden kollidieren: dem Druck. In Wechselwirkung lässt sich darüber auch das Volumen in Abhängigkeit vom Umgebungsdruck bestimmen.

    Bei all diesen Aussagen ist natürlich die Stoffmenge, also die Teilchenanzahl, als Faktor zu berücksichtigen.

  • Bewerte die Aussagen zum Ablesen der mittleren Geschwindigkeit der Teilchen im Gas.

    Tipps

    Was stellt der Graph dar?

    Achte auf die Begründungen.

    Lösung

    Es gibt viele Verteilungsfunktionen. Die dargestellte ist die Standardnormalverteilung. Diese geht davon aus, dass alle Werte zu dem mittleren Wert kumulieren.

    Mathematisch ist diese Funktion auf $x\,=\,0$ geeicht.

    $f(x)\,=\,\frac{1}{\sqrt{2\,\cdot\,\pi}}\,e^{-0,5\,\cdot\,x^2}$

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