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Relativitätstheorie (Übungsvideo)

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Die Autor/-innen
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Wolfgang Tews
Relativitätstheorie (Übungsvideo)
lernst du in der 11. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Relativitätstheorie (Übungsvideo)

In diesem Video kannst du durch Anwenden von Gleichungen der speziellen Relatitivitätstheorie Aufgaben zur Relativitätstheorie lösen. Inhalte der Aufgaben sind die Geschwindigkeitsaddition, Längenkontraktion, Massenzunahme und Zeitdilatation.

Relativitätstheorie (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Relativitätstheorie (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die addierte Geschwindigkeit an.

    Tipps

    Verwende die relativistische Addition, nicht die klassische.

    Lösung

    Bewegen sich zwei Körper in entgegengesetzter Richtung, so addieren sich ihre Geschwindigkeiten relativ zu einer höheren Geschwindigkeit.

    Für den entgegengesetzten Fall, wenn also beide in gleicher Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit reisen, ergibt sich die relative Geschwindigkeit $v_{rel} = 0$. Fahren etwa zwei Autos nebeneinander auf der Autobahn, so ist $v_{rel} = 0$ und du kannst dir in aller Ruhe den Fahrer des Nebenwagens anschauen.

    Für die relativistische Addition von Geschwindigkeiten müssen wir nun noch eine Einschränkung beachten. Die Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$ einfach zu addieren, wie es im klassischen Fall zulässig wäre, ist hier falsch.

    Mit der gezeigten Formel lässt sich die relative Geschwindigkeit $u$ bestimmen: $u = \frac{v_1+v_2}{1+ \frac{v_1 \cdot v_2}{c^2}} = \frac{0,8 c+ 0,9 c}{1+ \frac{0,8 c \cdot 0,9 c}{c^2}} = 0,988 c $.

    Die relative Geschwindigkeit ergibt $0,988 c$, also beinahe Lichtgeschwindigkeit.

  • Ordne den Formeln ihre physikalischen Größen zu.

    Tipps

    Die Effekte nehmen in allen Fällen mit steigender Geschwindigkeit $v$ zu.

    Die Formel für Zeitdilatation und relativistische Masse sind sehr ähnlich.

    Lösung

    Um wichtige Aufgaben aus dem Bereich der Relativität zu berechnen, brauchen wir einige grundlegende Formeln, mit denen etwa die Zeitdilatation, die relativistische Masse oder die Längenkontraktion berechenbar ist.

    Für alle Größen gilt, dass der relativistische Effekt mit der Geschwindigkeit zunimmt.

    Ebenfalls alle Größen dieser Aufgabe betrifft das Verhältnis von Geschwindigkeit und Lichtgeschwindigkeit $\beta = \frac{v}{c}$.

    Die Zeitdilatation $t_{rel}$ lässt sich anhand der Formel $t_{rel} = \frac{t_0}{\sqrt{1-\beta^2}}$ bestimmen.

    Mit einer sehr ähnlichen Formel lässt sich die relativistische Masse nach $m_{rel} = \frac{m_0}{\sqrt{1-\beta^2}}$ bestimmen.

    Für die Längenkontraktion gilt $l_{rel} = l_0 \cdot \sqrt{1-\beta^2}$.

    Mit diesen Formeln kannst du nun die wichtigen Größen der Relativität in Beziehung zur Geschwindigkeit auswerten.

  • Bestimme die relativistische Masse.

    Tipps

    Lösung

    Um die relativistische Masse zu bestimmen, muss die Geschwindigkeit $v$ im Bezug zur Lichtgeschwindigkeit $c$ gesetzt werden.

    Generell gilt: Je höher die Geschwindigkeit, desto größer der relativistische Effekt.

    Für die Masse gilt dabei die gezeigte Formel. Ist eine Masse unbewegt, so ergibt sich im Nenner $1$ und als Ergebnis ist $m_{rel} = m_0$. Mit anderen Worten: Es tritt kein relativistischer Effekt auf.

    Tatsächlich treten relevante Effekte erst ab einer Geschwindigkeit von $v = 0,1 c$ auf. Unterhalb dieser Geschwindigkeit werden keine relativistischen Berechnungen angestellt.

    Setzen wir die gegebenen Werte nun in die Formel ein, so ergibt sich: $1) \quad \beta=\frac{v}{c} = \frac{0,6 c}{c} = 0,6$

    $2) \quad m_{rel} = \frac{1,673 \cdot 10^{-27} kg}{\sqrt{1- 0,6^2}} = 2,09 \cdot 10^{-27} kg$ .

    Die Masse des bewegten Protons nimmt also deutlich zu auf $2,09 \cdot 10^{-27} kg $.

  • Berechne die Zeitdilatation.

    Tipps

    Je schneller die Bewegung ist, desto größer ist der Einfluss auf die Zeit $t_{rel}$.

    $\beta = \frac{v}{c}$

    Lösung

    Ähnlich wie die Masse mit steigender Geschwindigkeit zunimmt, nimmt auch die Zeit zu. Man könnte sagen: Uhren verlangsamen ihren Gang, wenn sie sich sehr schnell bewegen.

    Der Fachbegriff für dieses Phänomen aus der Relativitätstheorie lautet Zeitdilatation.

    Diese gilt es hier in mehreren Aufgabenteilen nach der gezeigten Formel zu bestimmen. Neben der unbeeinflussten Zeit $t_0$ spielt das Verhältnis von Lichtgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit des Systems $\beta = \frac{v}{c}$ eine wichtige Rolle.

    Wie du siehst, wird die Zeit t_0 umso mehr beeinflusst, je schneller die Bewegung ist. Für $v < 0,1 c $ tritt so gut wie kein Effekt auf und man nimmt an, dass hier $t_0 = t_{rel}$ gilt.

    Betrachten wir nun ein Beispiel: Im bewegten System soll eine Zeit von $t_0 = 36 min$ vergehen. Das könnte etwa eine Stoppuhr in einer Rakete sein. Diese Rakete ist mit $v= 0,9 c$ unterwegs.

    Wir setzen in die Formel ein und lösen: $t_{rel} = \frac{36 min}{\sqrt{1- 0,9^2}} = 82,59 min$.

    Für einen ruhenden Beobachter vergeht also in etwa die dreifache Zeit $t_rel = 82,59 min$.

  • Gib an, welche Aussagen zutreffen.

    Tipps

    Der Aspekt, der die Relativitätstheorie von Einstein so interessant und berühmt machte, ist die Relativität der Dinge.

    Relativistische Effekte treten nicht im Alltag auf.

    Lösung

    Der Aspekt, der die Relativitätstheorie von Einstein so interessant und berühmt machte, ist die Relativität der Dinge.

    Diesen scheinbar offensichtlichen Zusammenhang wollen wir etwas genauer betrachten. Bis zur Veröffentlichung der Relativitätstheorie war man sich sicher, dass Größen wie Längen oder Massen konstant sind und keineswegs relativ. Diesen absoluten Charakter büßten sie erst ein, nachdem Einsteins Theorie als plausibel anerkannt wurde. Zeit, Längen und Massen sind seither als relative Größen anzusehen und keineswegs absolut.

    Relativistische Effekte treten jedoch erst bei einer Geschwindigkeit auf, die ein Zehntel der Lichtgeschwindigkeit überschreitet. Unterhalb dieser Grenze ist fast kein Effekt feststellbar.

    Aus diesem Zusammenhäng lässt sich schließen, dass relativistische Effekte besondern auffällig sind, wenn die Geschwindigkeit eines Systems sehr hoch ist.

    Bei Geschwindigkeiten, wie sie etwa in unserem Alltag auftreten, sind keine relativistischen Effekte zu beobachten.

    Dieser Punkt machte den Beweis von Einsteins Theorie zunächst schwierig. Heute gilt diese jedoch als schlüssige und wertvolle Erweiterung der klassischen Physik.

  • Berechne die Längenkontraktion.

    Tipps

    je schneller die Bewegung, desto größer der Einfluss auf den Maßstab

    $\beta = \frac{v}{c}$

    $l_{rel} = l_0 \cdot \sqrt{1-\beta^2}$

    Lösung

    Auch bei der Kontraktion der Länge infolge der sehr schnellen Bewegung gilt: je schneller die Bewegung, desto größer der Effekt.

    Im Gegensatz zur relativistischen Masse und Zeit, die mit der Geschwindigkeit zunehmen, verkürzen sich Längen umso mehr, je schneller ein System bewegt ist. Für eine Bewegung mit $v=c$ ergibt sich $l_{rel} = 0m$. Das bedeutet: Bei einer Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit (eines Systems) ist dessen Ausbreiten und Längsrichtung $l_{rel} = 0m$.

    Betrachten wir nun ein Beispiel: Ein System der Länge $l_0 = 9,45 m$ bewege sich mit der Geschwindigkeit $v= 0,8 c$. Einsetzen in die gezeigte Formel liefert nun :

    $l_{rel} = 9,45m \cdot \sqrt{1-0,8^2}= 5,67 m$.

    Bei einer Bewegung mit $80%$ der Lichtgeschwindigkeit verringern sich Längen fast um die Hälfte. So ergibt sich in unserem Beispiel die relativistische Länge $l_{rel} = 5,67 m$.

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