Elektronen als Quantenobjekte

Hallo, mein Name ist Lukas. Und heute geht es um das Thema „Elektronen als Quantenobjekte“. Um dieses Video verstehen zu können, solltest du wissen, was eine Braunsche Röhre ist und mit dem Begriff Beschleunigungsspannung umgehen können. Auch solltest du den Doppelspaltversuch mit Licht kennen. Insbesondere solltest du den Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Abstand der Maxima beim sich ergebenden Interferenzmuster schon mal gesehen haben. Wir werden heute lernen, dass man nicht nur Licht, sondern auch Materie wie Elektronen eine Wellenlänge zuordnen kann, nämlich die sogenannte „de-Broglie-Wellenlänge“. Anschließend werden wir die de-Broglie-Wellenlänge für Elektronen ausrechnen, welche eine bestimmte Beschleunigungsspannung durchlaufen haben. Dann werde ich erklären, wie man mit Hilfe des Doppelspaltversuches die Theorie von de Broglie überprüfen kann. Du wirst in diesem Video anhand dieses Beispiels lernen, wie häufig der Prozess der Erkenntnisgewinnung in der Physik abläuft. Legen wir los: 1924 hat Louis de Broglie den allgemeinen Zusammenhang zwischen dem Impuls p eines beliebigen Teilchens und der damit verbundenen Wellenlänge Lambda formuliert. Lambda de Broglie ist gleich h geteilt durch p. Wobei Lambda die de-Broglie-Wellenlänge, h das Plancksche Wirkungsquantum und p der Impuls dieses Teilchens ist. Die Wellenlänge und der Impuls sind also indirekt proportional zueinander. Wir beschleunigen das Elektron zum Beispiel mit einer Braunschen Röhre, mit einer bestimmten Beschleunigungsspannung U. Ihr wisst bestimmt, dass die kinetische Energie des Elektrons nach Durchlaufen dieser Beschleunigungsspannung gleich der Elementarladung mal der Beschleunigungsspannung ist. Also E kin ist gleich e mal U. Zunächst suchen wir den Zusammenhang zwischen Impuls und kinetischer Energie. Der Impuls ist einfach p ist gleich m e mal v. Und die kinetische Energie beträgt E kin ist gleich ein Halb m e mal v Quadrat, wobei m e die Elektronenmasse und v die Geschwindigkeit des Elektrons ist. Nun lösen wir die Gleichung für den Impuls nach v, der Geschwindigkeit auf, und setzen ihn in die Gleichung für die kinetische Energie ein. Der Zusammenhang zwischen Impuls und Energie lautet also: E kin ist gleich p Quadrat geteilt durch zwei m e. Da wir ja die de-Broglie-Wellenlänge wissen möchten, lösen wir diese Gleichung nach p auf und setzen sie in die Gleichung für die de-Broglie-Wellenlänge ein. p ist Wurzel aus zwei m e E kin. Und Lambda de Broglie ist gleich h geteilt durch Wurzel aus zwei m E kin. Und wenn wir nun E kin noch durch e mal U ersetzen, haben wir die de-Broglie-Wellenlänge in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung hergeleitet. Und Lambda de Broglie ist gleich h geteilt durch Wurzel aus zwei m e mal U. Diesen Zusammenhang zeichnen wir jetzt mal als Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung. An der y-Achse ist die de-Broglie-Wellenlänge eingetragen. Und an der x-Achse die Beschleunigungsspannung. Da wir uns für viele Größenordnungen von Beschleunigungsspannungen und de-Broglie-Wellenlängen interessieren, sind beide Achsen logarithmiert. Wir sehen, dass, je mehr die Elektronen beschleunigt werden, desto kürzer wird ihre Wellenlänge. Das vergleichen wir jetzt mal mit der Wellenlänge von sichtbarem Licht. Die Wellenlänge von sichtbarem Licht befindet sich grob zwischen 400 und 800 Nanometern. Wir sehen, dass Elektronen schon bei Beschleunigungsspannungen von nur 0,1 Volt deutlich kürzere Wellenlängen als sichtbares Licht haben. Eine wichtige Anmerkung: Die von uns hergeleitete Formel gilt nur für Geschwindigkeiten, die viel kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit. Oberhalb dieser Geschwindigkeiten muss man relativistisch rechnen. Weiter geht es mit den Welleneigenschaften der Elektronen: Drei Jahre, nachdem de Broglie seine Formel postulierte, gelang er Nachweis der Welleneigenschaften von Elektronen durch Interferenz und Beugungsversuche an einem Nickel-Einkristall. Dieses Experiment hieß „Davisson-Germer-Experiment“. Die Wellenlängenformel von de Broglie wurde dabei bestätigt. Und zwei Jahre später erhielt de Broglie für seine Theorie den Nobelpreis für Physik. 1959 wurde auch zum ersten Mal der Doppelspaltversuch mit Elektronen erfolgreich durchgeführt und zwar von Claus Jönsson. Das wollen wir uns jetzt mal genauer anschauen. Ihr kennt eventuell noch den Zusammenhang zwischen der Wellenlänge des Lichts und dem Abstand des nullten und ersten Maximums beim sich ergebenden Interferenzmuster. Diese wird in einem anderen Video hergeleitet. Sie lautet: d ist gleich Lambda mal a geteilt durch b. Wobei d der Abstand zwischen dem nullten und ersten Maximum, a der Abstand des Schirms vom Doppelspalt, b der Abstand der beiden Doppelspalte und Lambda die Wellenlänge des Lichts ist. Wenn Elektronen nun die gleichen Welleneigenschaften wie Licht haben sollen, müsste diese Formel nun auch für den Doppelspaltversuch gelten, wenn wir ihn mit Elektronen statt mit Licht durchführen würden. Wir müssten einfach nur für Lambda die vorhin ausgerechnete de-Broglie-Wellenlänge einsetzen. Dieser Zusammenhang wurde, wie bereits erwähnt, von Claus Jönsson 1959 bestätigt. Theorie und Experiment passen also zusammen. Und wenn Theorie und Experiment zusammenpassen, neigen wir Physiker dazu, die Theorie zu akzeptieren. Und damit war klar: Elektronen haben genau wie Licht auch Welleneigenschaften. Man kann im Prinzip alle Interferenz- oder Beugungsversuche, die man mit Licht machen kann, auch mit Elektronen machen. Elektronen eignen sich sogar noch viel besser, weil man ihre Wellenlänge durch die Wahl der Beschleunigungsspannung einfach wählen kann. Mit Licht ist das Wählen der Wellenlänge sehr schwer und stößt bei sehr kurzwelligem Licht schnell an Grenzen. Da man kurze Wellenlängen braucht, um kleine Gegenstände zu untersuchen, hat auch ein Elektronenmikroskop eine wesentlich bessere Auflösung als ein Lichtmikroskop. Aus diesem Grund war de Broglie’s theoretische Entdeckung und dann der experimentelle Nachweis super wichtig für die weitere Erforschung der Materie. So, jetzt gibt es noch eine kurze Zusammenfassung: Dass wir Elektronen nun eine Wellenlänge zuordnen können, beweist die Quantennatur von Elektronen. Auch sie haben nun Teilchen- und Welleneigenschaften. Diese Wellenlänge, die sogenannte de-Broglie-Wellenlänge, berechnet sich so: Lambda de Broglie ist gleich h geteilt durch p, wobei h das Plancksche Wirkungsquantum und p der relativistische Impuls ist. Für Elektronen, die eine Beschleunigungsspannung durchlaufen haben, beträgt die de-Broglie-Wellenlänge Lambda de Broglie ist gleich h geteilt durch Wurzel aus zwei m e mal e mal U. Wobei U die Beschleunigungsspannung, m e die Elektronenmasse und e die Elementarladung des Elektrons ist. Diese Formel gilt nur für den nichtrelativistischen Fall. Und der gilt, wenn v viel kleiner ist als die Lichtgeschwindigkeit. Der Doppelspaltversuch lässt sich neben Licht auch mit Elektronen durchführen. Und es gelten alle Formeln, die wir zuvor beim Doppelspaltversuch mit Licht hergeleitet haben. Man muss nur die Wellenlänge durch die de-Broglie-Wellenlänge ersetzen. Außerdem eignen sich Elektronen besser als Licht, um kleine Strukturen zu untersuchen. Weil man wesentlich einfacher kürzere Wellenlängen erreicht, indem man die Beschleunigungsspannung so einstellt, wie man sie haben möchte. Und damit bedanke ich mich und bis zum nächsten Mal. Tschau.