Auftriebskraft (Übungsvideo)
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Grundlagen zum Thema Auftriebskraft (Übungsvideo)
Was ist die Auftriebskraft?
Hast du schon einmal ein riesiges Containerschiff gesehen? Dann hast du dich bestimmt gefragt, wie so ein riesiges Schiff überhaupt schwimmen kann. Der Grund dafür ist die sogenannte Auftriebskraft. Doch was ist die Auftriebskraft eigentlich und wie kann man sie berechnen?
Archimedisches Prinzip
Das Prinzip, das hinter der Auftriebskraft steckt, ist schon sehr lange bekannt. Es wurde zum ersten Mal vor über 2.000 Jahren von einem griechischen Gelehrten namens Archimedes formuliert. Deswegen nennt man es auch das archimedische Prinzip. Es besagt, dass die Auftriebskraft eines Körpers gerade so groß ist wie die Gewichtskraft des Mediums, das er verdrängt.
Auftriebskraft Formel
Für die Herleitung einer Formel für die Auftriebskraft, also den physikalischen Auftrieb, schauen wir uns die folgende Situation an:
Ein großes Schiff schwimmt auf dem Ozean. Aufgrund der Erdanziehung wirkt auf das Schiff eine Gewichtskraft, die es nach unten zieht. Da es nicht untergeht, muss eine Kraft wirken, die die Gewichtskraft des Schiffs gerade kompensiert. Beide Kräfte wirken in entgegengesetzte Richtungen, wie du im Bild sehen kannst.
Nach dem archimedischen Prinzip ist die Auftriebskraft gerade so groß wie die Gewichtskraft des verdrängten Wassers und diese können wir wiederum als Produkt aus der Masse des verdrängten Wassers und der Erdbeschleunigung $g$ schreiben, also:
$F_{Auftrieb} = m_{verdrängtes~Wasser} \cdot g = V_{verdrängt} \cdot \rho_{Wasser} \cdot g$
Im letzten Schritt der Gleichung haben wir außerdem ausgenutzt, dass die Masse des Wassers dem Produkt aus verdrängtem Volumen und Dichte entspricht. Wenn wir die Auftriebskraft in einem anderen Medium berechnen wollen, müssen wir natürlich auch die entsprechende Dichte dazu einsetzen.
Nun haben wir also auch eine Formel für die Auftriebskraft. Bisher haben wir einen schwimmenden Körper betrachtet. Insgesamt können aber drei Fälle auftreten, je nachdem wie sich Auftriebskraft und Gewichtskraft zueinander verhalten:
1. $F_{Auftrieb} \gt F_{Gewicht~Körper} \longrightarrow $ Der Körper steigt auf.
2. $F_{Auftrieb} = F_{Gewicht~Körper} \longrightarrow $ Der Körper schwimmt.
3. $F_{Auftrieb} \lt F_{Gewicht~Körper} \longrightarrow $ Der Körper sinkt.
Ist die Auftriebskraft größer als die Gewichtskraft, die auf den Körper wirkt, steigt der Körper auf. Das passiert zum Beispiel dann, wenn du einen mit Luft gefüllten Luftballon unter Wasser loslässt. Wenn Auftriebskraft und Gewichtskraft gleich sind, schwimmt der Körper. Und wenn die Auftriebskraft kleiner als die Gewichtskraft ist, geht der Körper unter.
Auftriebskraft – Beispiele:
Um das Verständnis der Auftriebskraft zu vertiefen, wollen wir gemeinsam ein paar Beispielrechnungen durchgehen.
Beispiel 1: Wie groß ist die Auftriebskraft für ein $100.000~\text{kg}$ schweres schwimmendes Schiff?
Da das Schiff schwimmt, wissen wir, dass der Auftrieb gerade die Gewichtskraft kompensiert – sonst würde es ja untergehen. Wir können also festhalten:
$F_{Auftrieb} = F_{Gewicht}$
Da wir die Masse des Schiffs und die Erdbeschleunigung $g$ kennen, können wir diese Werte zur Berechnung der Gewichtskraft einsetzen. So erhalten wir die Auftriebskraft:
$F_{Auftrieb} =m_{Schiff} \cdot g = 100.000~\text{kg} \cdot 10~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 1.000.000~ \text{N}$
Im letzten Schritt haben wir für die Auftriebskraft noch die Definition für die Einheit Newton verwendet. Es ist also eine Auftriebskraft von $1~\text{Million}~\text{Newton}$ nötig, damit unser Schiff schwimmt. Das ist ganz schön viel!
Beispiel 2: Wie groß ist das Volumen des vom Schiff verdrängten Wassers?
Um das Volumen zu berechnen, nutzen wir das archimedische Prinzip. Wir schreiben die Gleichung noch einmal auf:
$F_{Auftrieb} = m_{verdrängtes~Wasser} \cdot g = V_{verdrängt} \cdot \rho_{Wasser} \cdot g$
Die Auftriebskraft haben wir schon im ersten Beispiel ausgerechnet. Sie beträgt genau $1.000.000$ N. Die Erdbeschleunigung $g$ kennen wir auch und die Dichte von Wasser können wir in einer Datenbank nachschlagen. Sie beträgt gerundet $1.000~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Wir müssen also nur noch die Formel nach $V$ umstellen, indem wir durch $\rho_{Wasser}$ und $g$ teilen:
$F_{Auftrieb} = V_{verdrängt} \cdot \rho_{Wasser} \cdot g ~ | \, : (\rho_{Wasser} \cdot g)$
$\Longrightarrow V_{verdrängt} = \frac{F_{Auftrieb}}{(\rho_{Wasser} \cdot g)} $
Jetzt müssen wir nur noch alle Werte einsetzen, um das Volumen des verdrängten Wassers zu erhalten:
$V_{verdrängt} = \frac{1.000.000~\text{N}}{1.000~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10\frac{\text{m}}{\text{kg}}} = 100~\text{m}^3 $
Das Schiff verdrängt also $100~\text{Kubikmeter}$ Wasser.
Beispiel 3: Wir schwer muss eine ein Kubikmeter große Kiste sein, damit sie sinkt?
Wir bleiben auf dem Schiff und wollen messen, wie tief das Meer ist. Dazu müssen wir eine Kiste an einem Seil ins Wasser lassen, die bis auf den Meeresboden sinkt. An der Länge des Seils können wir dann die Tiefe ablesen.
Damit die Kiste untergeht, muss ihre Gewichtskraft größer sein als die Auftriebskraft. Das können wir als Gleichung aufschreiben:
$F_{Gewicht} > F_{Auftrieb}$
Wir setzen die Formel für die Gewichtskraft der Kiste ein und nutzen für die Auftriebskraft wieder das archimedische Prinzip. Dann formen wir nach der Masse der Kiste um, indem wir auf beiden Seiten durch $g$ teilen. Also:
$m_{Kiste} \cdot g > V_{verdrängt} \cdot \rho_{Wasser} \cdot g |:g $
$\Longrightarrow m_{Kiste} > V_{verdrängt} \cdot \rho_{Wasser}$
Jetzt müssen wir nur noch das Volumen der Kiste und die Dichte des Wassers einsetzen:
$m_{Kiste} > 1~\text{m}^3 \cdot 1.000~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 1.000~\text{kg}$
Die Kiste muss also $1.000~\text{Kilogramm}$ wiegen, damit sie bis auf den Meeresboden absinkt.
Auftriebskraft – Aufgaben
Du findest neben Video und Text interaktive Aufgaben, mit denen du weiterüben kannst.
Sind dir die Aufgaben zu leicht? Dann überleg doch mal, wie du die Auftriebskraft für einen Heißluftballon bestimmen kannst.
Transkript Auftriebskraft (Übungsvideo)
Berechnungen zur Auftriebskraft
Hallo und herzlich Willkommen. In diesem Video wollen wir Berechnungen zur Auftriebskraft und zum Archimedischen Gesetz demonstrieren. Bevor es los geht, wiederholen wir noch einmal kurz, was Auftrieb eigentlich ist. Dann demonstrieren wir die wichtigsten Berechnungen anhand von drei unterschiedlichen Aufgaben, die wir gemeinsam lösen. Los geht es also mit einer kleinen Wiederholung zum Auftrieb.
Das ist ein Schiff im Ozean. Es schwimmt. Aber was passiert hier eigentlich genau? Hierfür können wir die beteiligten Kräfte einzeichnen. Zunächst wirkt die Gewichtskraft nach unten: F_Gewicht ist gleich der Schiffsmasse m_Schiff mal der Fallbeschleunigung g. Da das Schiff jedoch nicht untergeht, muss diese Kraft durch eine nach oben wirkende Kraft aufgehoben werden. Dies ist die Auftriebskraft.
Das Archimedische Gesetz besagt nun, dass die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Flüssigkeit ist - in unserem Beispiel ist diese Flüssigkeit Wasser.
Als Formel bedeutet dies, für unser im Wasser schwimmendes Schiff, dass die Auftriebskraft gleich der Masse des verdrängten Wassers mal der Fallbeschleunigung g ist. Aber wie bestimmen wir die Masse des verdrängten Wassers?
Wenn wir wissen, dass das Schiff soweit eingetaucht ist, dass es ein Volumen V_verdrängt einnimmt, dann können wir die Masse des verdrängten Wassers mithilfe der Dichte berechnen: Die Masse m_verdrängtes_Wasser ist gleich dem Volumen V_verdrängt mal der Dichte des Wassers Rho_Wasser.
Diese beträgt rund Eintausend Kilogramm pro Kubikmeter. Damit können wir jetzt die Masse des verdrängten Wassers in die Formel für das Archimedische Gesetz einsetzen und erhalten, dass die Auftriebskraft gleich dem Volumen des verdrängten Wassers mal der Dichte des Wassers mal der Fallbeschleunigung g ist. So lässt sich die Auftriebskraft in jeder beliebigen Flüssigkeit berechnen, man muss nur die Dichte des Wasser in der Formel durch die Dichte der entsprechenden Flüssigkeit ersetzen. Der Körper sinkt, wenn die Gewichtskraft des Körpers größer als die Auftriebskraft ist. Schwimmt er, so hat sich ein Kräftegleichgewicht zwischen der Gewichtskraft des Körpers und der Auftriebskraft eingestellt.
Mit diesem Wissen können wir auch schon gleich mit unserer ersten Aufgabe loslegen. In unserer ersten Aufgabe begegnen wir dem Schiff auch gleich wieder. Sie lautet: Zeichne in die Abbildung alle Kräfte ein und berechne die Auftriebskraft für ein schwimmendes 100.000 Kilogramm schweres Schiff.
Als Kräfte zeichnen wir wieder die Gewichtskraft F_Gewicht und die Auftriebskraft F_Auftrieb. Nun sollen wir Auftriebskraft berechnen, wenn das Schiff schwimmt. Hier brauchen wir noch kein Archimedisches Gesetz, da wir ja wissen, dass die Auftriebskraft gerade die Gewichtskraft aufheben muss. Deshalb müssen diese zwei Kräfte gleich groß sein. Es gilt also das Kräftegleichgewicht F_Auftrieb gleich F_Gewicht.
Deshalb folgt F_Auftrieb gleich m_Schiff mal Fallbeschleunigung g. Das können wir nun ausrechnen, indem wir die 100.000 kg mal der Fallbeschleunigung von rund 10 Newton pro Kilogramm einsetzen. Das ergibt eine Million Newton. Ganz schön schwer das Schiff. Unsere Antwort lautet also: Die Auftriebskraft beträgt eine Millionen Newton.
Dann machen wir gleich mit unserer zweiten Schiffsaufgabe weiter: Wie groß ist das Volumen des vom Schiff verdrängten Wassers aus Aufgabe 1? Wir suchen also das Volumen V_verdrängt.
Hierfür werden wir nun auf jeden Fall das Archimedische Gesetz benötigen: F_Auftrieb gleich V_verdrängt mal Rho_Wasser mal Fallbeschleunigung g.
Natürlich ist unser gesuchtes Volumen gerade V_verdrängt. Und tatsächlich kennen wir alle anderen Größen in der Formel: Die Dichte des Wassers und die Fallbeschleunigung sind bekannt - und F_Auftrieb haben wir schon in der ersten Aufgabe über die Gewichtkraft des Schiffes ausgerechnet. Wir müssen also nur nach V_verdrängt umstellen. Hierzu teilen wir auf beiden Seiten durch Rho_Wasser mal g und erhalten V_verdrängt gleich F_Auftrieb geteilt durch Rho_Wasser mal g.
Setzen wir die Werte ein, so erhalten wir eine Million Newton geteilt durch 1000 Kilogramm pro Kubikmeter mal 10 Newton pro Kilogramm. Das ergibt 100 Kubikmeter. Wir können die Einheiten nochmal überprüfen: Erst kürzen sich die kg im Nenner raus und wir erhalten Newton durch Newton pro Kubikmeter. Die Newton kürzen sich ebenfalls und die Kubikmeter wandern, nach den rechenregeln für Doppelbrüche, in den Zähler.
Unsere Antwort lautet deshalb: Das Schiff verdrängt ein Volumen von 100 Kubikmeter Wasser.
Wir bleiben beim Schiff und wollen jetzt eine Kiste an einem Seil im Meer versenken, um die Tiefe zu messen. Da wollen wir natürlich nicht, dass die Kiste schwimmt, sondern dass sie sinkt. Hierzu die folgende Aufgabe: Die Kiste ist ein Kubikmeter groß. Zeichne alle Kräfte ein und berechne die Masse der Kiste, ab der sie sinkt. Natürlich müssen wir wieder Gewichtskraft und Auftriebskraft einzeichnen. Hierbei beachten wir, dass diesmal die Gewichtskraft größer sein muss als die Auftriebskraft, da die Kiste sinken soll.
Damit erhalten wir F_Gewicht größer F_Auftrieb. Auf der linken Seite können wir F_Gewicht gleich m_Kiste mal g ergänzen. Auf der rechten Seite schreiben wir das archimedische Gesetz F_Auftrieb gleich V_Kiste mal Rho_Wasser mal g.
Hieraus folgt also, dass m_Kiste mal g größer sein muss als V_Kiste mal Rho_Wasser mal g. Gesucht ist die Masse der Kiste, während alles andere gegeben ist. Wir teilen auf beiden Seiten durch g und es ergibt sich, dass m_Kiste größer sein muss als V_Kiste mal Rho_Wasser.
Die rechte Seite können wir ausrechnen: Ein Kubikmeter mal 1000 Kilogramm pro Kubikmeter ergibt genau 1000 Kilogramm. Das ist unsere Lösung. Die Antwort lautet: Die Masse der Kiste muss größer als Eintausend Kilogramm sein, damit sie sinkt.
Damit haben wir alle drei Aufgaben gelöst. Fassen wir noch einmal die wichtigsten Punkte für Aufgaben mit Auftriebskraft zusammen.
Erstens: Auf einen Körper in einer Flüssigkeit, z.B. Wasser, wirkt seine Gewichtskraft F_Gewicht sowie die entgegen gerichtete Auftriebskraft F_Auftrieb.
Zweitens: Ein Körper schwimmt, wenn beide Kräfte gleich groß sind. Und er sinkt, wenn die Gewichtskraft größer als die Auftriebskraft ist.
Drittens: Die Auftriebskraft ist durch das Archimedische Gesetz gegeben: F_Auftrieb ist gleich dem verdrängten Volumen mal der Dichte der Flüssigkeit mal der Fallbeschleunigung.
Das waren unsere Berechnungen zur Auftriebskraft.
Auftriebskraft (Übungsvideo) Übung
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Nenne die gültigen Definitionen für das Sinken und das Schwimmen.
TippsWenn du einen gleichschweren Körper aus Holz oder Kork ins Wasser gibst, schwimmt dieser. Warum geht ein gleich schweres Stück Eisen dann unter?
Wie viel Volumen an Federn bräuchtest du wohl, damit alle Federn zusammen soviel wiegen wie dieses Bleigewicht?
Erinnere dich an das Archimedische Gesetz.
LösungJeder Körper besitzt eine Masse $m$. Multipliziert man diese mit der Erdbeschleunigung $g$, erhält man die Gewichtskraft $F_{G}$ des Körpers.
$F_{G}=m \cdot g$
Diese muss mit der Auftriebskraft $F_{Auf}$ verglichen werden. Diese berechnet sich nach dem Archimedischen Gesetz aus dem verdrängten Volumen der Flüssigkeit $V_{verdrängt}$, der Erdbeschleunigung $g$ und der Dichte $\rho$ der Flüssigkeit.
$F_{Auftrieb}=V_{verdrängt}\, \cdot\, \rho\, \cdot\, g$
Ist die Auftriebskraft größer oder gleich der Gewichtskraft, schwimmt der Körper.
$F_{Auftrieb} \ge F_G$
Ist die Gewichtskraft größer als die Auftriebskraft, sinkt der Körper.
$F_G > F_{Auftrieb} $
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Berechne die nötige Masse der 13 m³ großen Kiste, damit sie im Wasser mit $\rho=1000\frac{kg}{m^3}$ versinkt.
TippsZu jeder Größe gehört in der Physik eine Einheit.
Erinnere dich an das Archimedische Gesetz.
LösungÜber das Archimedische Gesetz, auch Archimedisches Prinzip genannt, können wir die nötige Masse m der Kiste bestimmen. Es gilt:
$F_{Auf}=V_{verdrängt} \cdot g \cdot \rho_{Flüssigkeit}$
Damit die Kiste sinkt, muss ihre Gewichtskraft größer sein als ihre Auftriebskraft. Zudem wissen wir, dass die Kiste unter Wasser ihr Volumen an Flüssigkeit verdrängen wird. Daher können wir $V_{verdrängt}$ durch $V_{Kiste}$ ersetzen. Zudem ist die Gewichtskraft $m_{Kiste}$ mal $g$
Damit gilt:
$m_{Kiste} \cdot g >V_{Kiste} \cdot g \cdot \rho_{Wasser}$
Kürzen wir g und setzen die Werte ein:
$m_{Kiste} > 1 m^3 \cdot 1000 \frac{kg}{m^3}=1000 kg = 1 t$
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Erkläre, warum der menschliche Körper im See nur sehr schwer schwimmt, aber im Toten Meer gar nicht untergehen kann.
TippsWelche Kräfte müssen verglichen werden, um die Schwimmfähigkeit zu bestimmen.
Beim Treiben lassen, liegt der menschliche Körper, wie ein Stück Holz im Wasser.
LösungDurch das viele im Wasser gelöste Salz, hat Salzwasser eine höhere Dichte als Süßwasser. Während Süßwasser eine Dichte von annähernd 1000 kg/m³ besitzt, hat das Wasser des Toten Meeres eine Dichte von 1240kg/m³. Der menschliche Körper besitzt mit prall gefüllten Lungen eine Dichte von 980kg/m³. Mit leeren Lungen hat er jedoch eine Dichte von 1020kg/m³.
Deshalb sinkt der menschliche Körper im Süßwasser, wenn man ausatmet, während der Körper im Wasser des toten Meeres, nur mit schweren Bleigewichten versinken wird.
Das Tote Meer war vor langer Zeit mit dem Ozean verbunden, doch wurde es von diesem isoliert und trocknet seit diesem Tage nach und nach aus. Heute liegt es bereits 420 m unter dem Meeresspiegel. Da im gesamten Jahr nur etwa 50 mm Niederschlag fallen, wird dieses Meer nach und nach komplett vertrocknen und eine gewaltige Salzschicht wird übrig bleiben.
Das Tote Meer ist aber nicht das einzige stark salzhaltige Meer und noch nicht einmal das salzigste. Der Don-Juan-See in den antarktischen Trockentälern besitzt beispielsweise einen Salzgehalt von über 40%, während das Tote Meer nur einen Salzgehalt von 33% aufweist.
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Berechne die Änderung des Tiefganges eines Schiffes, nachdem es voll beladen wurde.
TippsTiefgang bezeichnet die Eintauchtiefe des Schiffes.
Wende das Archimedische Prinzip an.
Das Volumen eines Quaders beträgt $V=l\cdot b\cdot h$
Es werden nicht alle Angaben benötigt um die Aufgabe zu lösen.
LösungNach dem Archimedischen Gesetz verdrängt ein Körper eine Masse an Flüssigkeit, die genauso groß ist wie die eigene. Daher gilt:
$\dfrac{m_{Gesamt}}{\rho_{Wasser}}=V_{verdrängt}= l \,\cdot \,b \,\cdot \,h_{max}$
Wobei $l$ die Länge und $b$ die Breite des Schiffes ist.
Stellen wir nach $h_{max}$ um, erhalten wir:
$h_{max}=\dfrac{m_{Gesamt}}{\rho_{Wasser}\,\cdot\, l \,\cdot\, b}$
Setzen wir die Werte ein:
$h_{max}=\dfrac{162.400\,t + 196.000 \,t}{1\,\dfrac{t}{m^3} \,\cdot\, 400\,m \,\cdot\, 56\,m}=16\,m$
Damit taucht das Schiff maximal 16 m tief ins Wasser ein. Die Bordwände sind jedoch fast doppelt so hoch, da es sonst bei schwerem Seegang kentern würde.
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Gib an, warum ein Stahlschiff schwimmen kann, wenn ein gleich schwerer Stahlblock untergeht?
TippsDas Schiff schwimmt auf dem Wasser wie ein Topf im Abwaschbecken.
Was passiert, wenn du den Topf voll Wasser laufen lässt?
Eine Tonkugel geht unter, formt man aber eine Schale aus dieser Tonkugel, schwimmt diese.
LösungMit der Information über die Dichte eines Materials und der Dichte der Flüssigkeit können wir nicht entscheiden, ob jeder Körper aus dem Material schwimmen wird. Wenn es ein Hohlkörper, wie ein Schiff oder eine Schale ist, könnte er dennoch schwimmen. Da die Tonschale mehr Wasser verdrängt als die gleichschwere Tonkugel.
Wir müssen also die Dichte des Hohlkörpers mit der Dichte der Flüssigkeit vergleichen.
$\rho_{Hohlkörper}=\frac{m_{Körperwand} + m_{Inhalt}}{V_{Gesamt}}$
Ist diese kleiner als die Dichte der Flüssigkeit, würde der Körper schwimmen.
Wenn Wasser von oben in den Körper läuft, steigt seine Dichte an, bis sie größer wird als die Dichte der Flüssigkeit und der Körper versinkt.
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Berechne das Volumen der Ballasttanks eines U-Bootes.
TippsBeim Abtauchen wird Wasser in die Tanks gepumpt und zum Auftauchen Pressluft.
Das Volumen der Tanks muss mindestens die Differenz zwischen dem aufgetauchten und dem abgetauchten Zustand ausmachen.
LösungDas Schwierigste an dieser Aufgabe ist der Ansatz. Wir können davon ausgehen, dass im getauchten Zustand die Ballast-Tanks voll mit Wasser sind und aufgetaucht komplett geleert sind. Daher gilt:
$V_{Ballast}=\dfrac{m_{getaucht}-m_{aufgetaucht}}{\rho_{Wasser}}$
Setzen wir die Werte ein:
$V_{Ballast}=\dfrac{45000~t - 23000~t}{1~\frac{t}{m^3}}=22000 m^3$
Damit sind die Ballast-Tanks minimal 22.000 m³ groß, das ist etwas mehr als die Hälfte des kompletten Volumens des U-Bootes.
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Sehr gutes Video. Vor allem die Aufgaben haben mir sehr weitergeholfen. Vielen Dank.
haha geiler klipp ich brauch immer was zu lachen und diese fail sind so geil
aber yolo
Das hat mir gerade extrem geholfen! Danke für die gute Erklärung!:)
Hallo Franziska,
da die Dichte rho berechnest du, indem du die Masse m des Körpers durch sein Volumen V teilst. Diese Formel kannst du nach der Masse umstellen.
Wie berechnet man die Masse wenn man nur Volumen und die dichte angegeben hat?