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Auftriebskraft (Übungsvideo) 08:55 min

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Transkript Auftriebskraft (Übungsvideo)

Berechnungen zur Auftriebskraft

Hallo und herzlich Willkommen. In diesem Video wollen wir Berechnungen zur Auftriebskraft und zum Archimedischen Gesetz demonstrieren. Bevor es los geht, wiederholen wir noch einmal kurz, was Auftrieb eigentlich ist. Dann demonstrieren wir die wichtigsten Berechnungen anhand von drei unterschiedlichen Aufgaben, die wir gemeinsam lösen. Los geht es also mit einer kleinen Wiederholung zum Auftrieb.

Das ist ein Schiff im Ozean. Es schwimmt. Aber was passiert hier eigentlich genau? Hierfür können wir die beteiligten Kräfte einzeichnen. Zunächst wirkt die Gewichtskraft nach unten: F_Gewicht ist gleich der Schiffsmasse m_Schiff mal der Fallbeschleunigung g. Da das Schiff jedoch nicht untergeht, muss diese Kraft durch eine nach oben wirkende Kraft aufgehoben werden. Dies ist die Auftriebskraft.

Das Archimedische Gesetz besagt nun, dass die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Flüssigkeit ist - in unserem Beispiel ist diese Flüssigkeit Wasser.

Als Formel bedeutet dies, für unser im Wasser schwimmendes Schiff, dass die Auftriebskraft gleich der Masse des verdrängten Wassers mal der Fallbeschleunigung g ist. Aber wie bestimmen wir die Masse des verdrängten Wassers?

Wenn wir wissen, dass das Schiff soweit eingetaucht ist, dass es ein Volumen V_verdrängt einnimmt, dann können wir die Masse des verdrängten Wassers mithilfe der Dichte berechnen: Die Masse m_verdrängtes_Wasser ist gleich dem Volumen V_verdrängt mal der Dichte des Wassers Rho_Wasser.

Diese beträgt rund Eintausend Kilogramm pro Kubikmeter. Damit können wir jetzt die Masse des verdrängten Wassers in die Formel für das Archimedische Gesetz einsetzen und erhalten, dass die Auftriebskraft gleich dem Volumen des verdrängten Wassers mal der Dichte des Wassers mal der Fallbeschleunigung g ist. So lässt sich die Auftriebskraft in jeder beliebigen Flüssigkeit berechnen, man muss nur die Dichte des Wasser in der Formel durch die Dichte der entsprechenden Flüssigkeit ersetzen. Der Körper sinkt, wenn die Gewichtskraft des Körpers größer als die Auftriebskraft ist. Schwimmt er, so hat sich ein Kräftegleichgewicht zwischen der Gewichtskraft des Körpers und der Auftriebskraft eingestellt.

Mit diesem Wissen können wir auch schon gleich mit unserer ersten Aufgabe loslegen. In unserer ersten Aufgabe begegnen wir dem Schiff auch gleich wieder. Sie lautet: Zeichne in die Abbildung alle Kräfte ein und berechne die Auftriebskraft für ein schwimmendes 100.000 Kilogramm schweres Schiff.

Als Kräfte zeichnen wir wieder die Gewichtskraft F_Gewicht und die Auftriebskraft F_Auftrieb. Nun sollen wir Auftriebskraft berechnen, wenn das Schiff schwimmt. Hier brauchen wir noch kein Archimedisches Gesetz, da wir ja wissen, dass die Auftriebskraft gerade die Gewichtskraft aufheben muss. Deshalb müssen diese zwei Kräfte gleich groß sein. Es gilt also das Kräftegleichgewicht F_Auftrieb gleich F_Gewicht.

Deshalb folgt F_Auftrieb gleich m_Schiff mal Fallbeschleunigung g. Das können wir nun ausrechnen, indem wir die 100.000 kg mal der Fallbeschleunigung von rund 10 Newton pro Kilogramm einsetzen. Das ergibt eine Million Newton. Ganz schön schwer das Schiff. Unsere Antwort lautet also: Die Auftriebskraft beträgt eine Millionen Newton.

Dann machen wir gleich mit unserer zweiten Schiffsaufgabe weiter: Wie groß ist das Volumen des vom Schiff verdrängten Wassers aus Aufgabe 1? Wir suchen also das Volumen V_verdrängt.

Hierfür werden wir nun auf jeden Fall das Archimedische Gesetz benötigen: F_Auftrieb gleich V_verdrängt mal Rho_Wasser mal Fallbeschleunigung g.

Natürlich ist unser gesuchtes Volumen gerade V_verdrängt. Und tatsächlich kennen wir alle anderen Größen in der Formel: Die Dichte des Wassers und die Fallbeschleunigung sind bekannt - und F_Auftrieb haben wir schon in der ersten Aufgabe über die Gewichtkraft des Schiffes ausgerechnet. Wir müssen also nur nach V_verdrängt umstellen. Hierzu teilen wir auf beiden Seiten durch Rho_Wasser mal g und erhalten V_verdrängt gleich F_Auftrieb geteilt durch Rho_Wasser mal g.

Setzen wir die Werte ein, so erhalten wir eine Million Newton geteilt durch 1000 Kilogramm pro Kubikmeter mal 10 Newton pro Kilogramm. Das ergibt 100 Kubikmeter. Wir können die Einheiten nochmal überprüfen: Erst kürzen sich die kg im Nenner raus und wir erhalten Newton durch Newton pro Kubikmeter. Die Newton kürzen sich ebenfalls und die Kubikmeter wandern, nach den rechenregeln für Doppelbrüche, in den Zähler.

Unsere Antwort lautet deshalb: Das Schiff verdrängt ein Volumen von 100 Kubikmeter Wasser.

Wir bleiben beim Schiff und wollen jetzt eine Kiste an einem Seil im Meer versenken, um die Tiefe zu messen. Da wollen wir natürlich nicht, dass die Kiste schwimmt, sondern dass sie sinkt. Hierzu die folgende Aufgabe: Die Kiste ist ein Kubikmeter groß. Zeichne alle Kräfte ein und berechne die Masse der Kiste, ab der sie sinkt. Natürlich müssen wir wieder Gewichtskraft und Auftriebskraft einzeichnen. Hierbei beachten wir, dass diesmal die Gewichtskraft größer sein muss als die Auftriebskraft, da die Kiste sinken soll.

Damit erhalten wir F_Gewicht größer F_Auftrieb. Auf der linken Seite können wir F_Gewicht gleich m_Kiste mal g ergänzen. Auf der rechten Seite schreiben wir das archimedische Gesetz F_Auftrieb gleich V_Kiste mal Rho_Wasser mal g.

Hieraus folgt also, dass m_Kiste mal g größer sein muss als V_Kiste mal Rho_Wasser mal g. Gesucht ist die Masse der Kiste, während alles andere gegeben ist. Wir teilen auf beiden Seiten durch g und es ergibt sich, dass m_Kiste größer sein muss als V_Kiste mal Rho_Wasser.

Die rechte Seite können wir ausrechnen: Ein Kubikmeter mal 1000 Kilogramm pro Kubikmeter ergibt genau 1000 Kilogramm. Das ist unsere Lösung. Die Antwort lautet: Die Masse der Kiste muss größer als Eintausend Kilogramm sein, damit sie sinkt.

Damit haben wir alle drei Aufgaben gelöst. Fassen wir noch einmal die wichtigsten Punkte für Aufgaben mit Auftriebskraft zusammen.

Erstens: Auf einen Körper in einer Flüssigkeit, z.B. Wasser, wirkt seine Gewichtskraft F_Gewicht sowie die entgegen gerichtete Auftriebskraft F_Auftrieb.

Zweitens: Ein Körper schwimmt, wenn beide Kräfte gleich groß sind. Und er sinkt, wenn die Gewichtskraft größer als die Auftriebskraft ist.

Drittens: Die Auftriebskraft ist durch das Archimedische Gesetz gegeben: F_Auftrieb ist gleich dem verdrängten Volumen mal der Dichte der Flüssigkeit mal der Fallbeschleunigung.

Das waren unsere Berechnungen zur Auftriebskraft.

9 Kommentare
  1. Karsten

    Hallo Franziska,
    da die Dichte rho berechnest du, indem du die Masse m des Körpers durch sein Volumen V teilst. Diese Formel kannst du nach der Masse umstellen.

    Von Karsten Schedemann, vor 5 Monaten
  2. Default

    Wie berechnet man die Masse wenn man nur Volumen und die dichte angegeben hat?

    Von Franziska Hunn, vor 5 Monaten
  3. 2bc11df4a36dcbaad6ffe08db5eeb4cf

    Bei der Aufgabe 4 kann man es auch ganz simpel und einfach berechnen, ohne diese aufwendige Rechnung zu machen.

    Von Kyokon, vor 8 Monaten
  4. Default

    nicht beste traurig :(

    Von Titus 9, vor 8 Monaten
  5. Default

    Müsste es bei 7:10 nicht Volumen des verdrängten Wassers heißen und nicht Volumen der Kiste ?

    Von Amend Juergen, vor mehr als einem Jahr
  1. Default

    danke für dieses tolle Video

    Von Bahijal, vor fast 4 Jahren
  2. Wp 000233

    Tipp für die schwere Bonusaufgabe: es sind dort mehr Angaben gemacht worden als benötigt.

    Von Juliane Viola D., vor fast 4 Jahren
  3. Img 0110

    danke Gott, für diesen Intilligenten Mann ;D (Fehler)

    Von Klinsi68, vor mehr als 4 Jahren
  4. Default

    Danke! Das Video hat mir Klarheit über die Auftriebskraft gebracht. Weiter so!

    Von Suemnick, vor etwa 5 Jahren
Mehr Kommentare

Auftriebskraft (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Auftriebskraft (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die gültigen Definitionen für das Sinken und das Schwimmen.

    Tipps

    Wenn du einen gleichschweren Körper aus Holz oder Kork ins Wasser gibst, schwimmt dieser. Warum geht ein gleich schweres Stück Eisen dann unter?

    Wie viel Volumen an Federn bräuchtest du wohl, damit alle Federn zusammen soviel wiegen wie dieses Bleigewicht?

    Erinnere dich an das Archimedische Gesetz.

    Lösung

    Jeder Körper besitzt eine Masse $m$. Multipliziert man diese mit der Erdbeschleunigung $g$, erhält man die Gewichtskraft $F_{G}$ des Körpers.

    $F_{G}=m \cdot g$

    Diese muss mit der Auftriebskraft $F_{Auf}$ verglichen werden. Diese berechnet sich nach dem Archimedischen Gesetz aus dem verdrängten Volumen der Flüssigkeit $V_{verdrängt}$, der Erdbeschleunigung $g$ und der Dichte $\rho$ der Flüssigkeit.

    $F_{Auftrieb}=V_{verdrängt}\, \cdot\, \rho\, \cdot\, g$

    Ist die Auftriebskraft größer oder gleich der Gewichtskraft, schwimmt der Körper.

    $F_{Auftrieb} \ge F_G$

    Ist die Gewichtskraft größer als die Auftriebskraft, sinkt der Körper.

    $F_G > F_{Auftrieb} $

  • Gib an, warum ein Stahlschiff schwimmen kann, wenn ein gleich schwerer Stahlblock untergeht?

    Tipps

    Das Schiff schwimmt auf dem Wasser wie ein Topf im Abwaschbecken.

    Was passiert, wenn du den Topf voll Wasser laufen lässt?

    Eine Tonkugel geht unter, formt man aber eine Schale aus dieser Tonkugel, schwimmt diese.

    Lösung

    Mit der Information über die Dichte eines Materials und der Dichte der Flüssigkeit können wir nicht entscheiden, ob jeder Körper aus dem Material schwimmen wird. Wenn es ein Hohlkörper, wie ein Schiff oder eine Schale ist, könnte er dennoch schwimmen. Da die Tonschale mehr Wasser verdrängt als die gleichschwere Tonkugel.

    Wir müssen also die Dichte des Hohlkörpers mit der Dichte der Flüssigkeit vergleichen.

    $\rho_{Hohlkörper}=\frac{m_{Körperwand} + m_{Inhalt}}{V_{Gesamt}}$

    Ist diese kleiner als die Dichte der Flüssigkeit, würde der Körper schwimmen.

    Wenn Wasser von oben in den Körper läuft, steigt seine Dichte an, bis sie größer wird als die Dichte der Flüssigkeit und der Körper versinkt.

  • Berechne die nötige Masse der 13 m³ großen Kiste, damit sie im Wasser mit $\rho=1000\frac{kg}{m^3}$ versinkt.

    Tipps

    Zu jeder Größe gehört in der Physik eine Einheit.

    Erinnere dich an das Archimedische Gesetz.

    Lösung

    Über das Archimedische Gesetz, auch Archimedisches Prinzip genannt, können wir die nötige Masse m der Kiste bestimmen. Es gilt:

    $F_{Auf}=V_{verdrängt} \cdot g \cdot \rho_{Flüssigkeit}$

    Damit die Kiste sinkt, muss ihre Gewichtskraft größer sein als ihre Auftriebskraft. Zudem wissen wir, dass die Kiste unter Wasser ihr Volumen an Flüssigkeit verdrängen wird. Daher können wir $V_{verdrängt}$ durch $V_{Kiste}$ ersetzen. Zudem ist die Gewichtskraft $m_{Kiste}$ mal $g$

    Damit gilt:

    $m_{Kiste} \cdot g >V_{Kiste} \cdot g \cdot \rho_{Wasser}$

    Kürzen wir g und setzen die Werte ein:

    $m_{Kiste} > 1 m^3 \cdot 1000 \frac{kg}{m^3}=1000 kg = 1 t$

  • Berechne das Volumen der Ballasttanks eines U-Bootes.

    Tipps

    Beim Abtauchen wird Wasser in die Tanks gepumpt und zum Auftauchen Pressluft.

    Das Volumen der Tanks muss mindestens die Differenz zwischen dem aufgetauchten und dem abgetauchten Zustand ausmachen.

    Lösung

    Das Schwierigste an dieser Aufgabe ist der Ansatz. Wir können davon ausgehen, dass im getauchten Zustand die Ballast-Tanks voll mit Wasser sind und aufgetaucht komplett geleert sind. Daher gilt:

    $V_{Ballast}=\dfrac{m_{getaucht}-m_{aufgetaucht}}{\rho_{Wasser}}$

    Setzen wir die Werte ein:

    $V_{Ballast}=\dfrac{45000~t - 23000~t}{1~\frac{t}{m^3}}=22000 m^3$

    Damit sind die Ballast-Tanks minimal 22.000 m³ groß, das ist etwas mehr als die Hälfte des kompletten Volumens des U-Bootes.

  • Erkläre, warum der menschliche Körper im See nur sehr schwer schwimmt, aber im Toten Meer gar nicht untergehen kann.

    Tipps

    Welche Kräfte müssen verglichen werden, um die Schwimmfähigkeit zu bestimmen.

    Beim Treiben lassen, liegt der menschliche Körper, wie ein Stück Holz im Wasser.

    Lösung

    Durch das viele im Wasser gelöste Salz, hat Salzwasser eine höhere Dichte als Süßwasser. Während Süßwasser eine Dichte von annähernd 1000 kg/m³ besitzt, hat das Wasser des Toten Meeres eine Dichte von 1240kg/m³. Der menschliche Körper besitzt mit prall gefüllten Lungen eine Dichte von 980kg/m³. Mit leeren Lungen hat er jedoch eine Dichte von 1020kg/m³.

    Deshalb sinkt der menschliche Körper im Süßwasser, wenn man ausatmet, während der Körper im Wasser des toten Meeres, nur mit schweren Bleigewichten versinken wird.

    Das Tote Meer war vor langer Zeit mit dem Ozean verbunden, doch wurde es von diesem isoliert und trocknet seit diesem Tage nach und nach aus. Heute liegt es bereits 420 m unter dem Meeresspiegel. Da im gesamten Jahr nur etwa 50 mm Niederschlag fallen, wird dieses Meer nach und nach komplett vertrocknen und eine gewaltige Salzschicht wird übrig bleiben.

    Das Tote Meer ist aber nicht das einzige stark salzhaltige Meer und noch nicht einmal das salzigste. Der Don-Juan-See in den antarktischen Trockentälern besitzt beispielsweise einen Salzgehalt von über 40%, während das Tote Meer nur einen Salzgehalt von 33% aufweist.

  • Berechne die Änderung des Tiefganges eines Schiffes, nachdem es voll beladen wurde.

    Tipps

    Tiefgang bezeichnet die Eintauchtiefe des Schiffes.

    Wende das Archimedische Prinzip an.

    Das Volumen eines Quaders beträgt $V=l\cdot b\cdot h$

    Es werden nicht alle Angaben benötigt um die Aufgabe zu lösen.

    Lösung

    Nach dem Archimedischen Gesetz verdrängt ein Körper eine Masse an Flüssigkeit, die genauso groß ist wie die eigene. Daher gilt:

    $\dfrac{m_{Gesamt}}{\rho_{Wasser}}=V_{verdrängt}= l \,\cdot \,b \,\cdot \,h_{max}$

    Wobei $l$ die Länge und $b$ die Breite des Schiffes ist.

    Stellen wir nach $h_{max}$ um, erhalten wir:

    $h_{max}=\dfrac{m_{Gesamt}}{\rho_{Wasser}\,\cdot\, l \,\cdot\, b}$

    Setzen wir die Werte ein:

    $h_{max}=\dfrac{162.400\,t + 196.000 \,t}{1\,\dfrac{t}{m^3} \,\cdot\, 400\,m \,\cdot\, 56\,m}=16\,m$

    Damit taucht das Schiff maximal 16 m tief ins Wasser ein. Die Bordwände sind jedoch fast doppelt so hoch, da es sonst bei schwerem Seegang kentern würde.