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Pascalsches Dreieck – Exkurs

Mit dem Pascalschen Dreieck kann man schnell Binomialkoeffizienten ausrechnen.

Pascalsches Dreieck

PascalschesDreieck.jpg

Die oben abgebildete Grafik geht auf den Mathematiker Blaise Pascal zurück und bietet eine Hilfe, schnell Potenzen von Binomen der Form $(a\pm b)^{n}$ auszumultiplizieren.

Zu erkennen ist, dass sich das untere Feld aus der Summe der beiden jeweils oberen Felder errechnen lässt. Beginne in der Dreieckspitze:

  • Für $n=0$ erhältst du das Binom $(a\pm b)^{0} =1$.
  • In der zweiten Zeile setzt du $n=1$ und es folgt $(a\pm b)^{1} =1a\pm 1b$.
  • Für die Koeffizienten der dritten Zeile ergibt sich $(a\pm b)^{2} = 1a^{2}\pm 2a^{1}b^{1}+1b^{2}$. Du erkennst hier die erste binomische Formel und zweite binomische Formel wieder.

Entsprechend übernimmst du aus der vierten Zeile die Koeffizienten, wenn du mit $3$ potenzierst:

$(a\pm b)^{3} = 1a^{3}\pm 3a{^2}b^{1}+3a^{1}b^{2}\pm 1b^{3}$.

Dieser Vorgang lässt sich in den nachfolgenden Zeilen fortführen. Durch das $\pm$-Zeichen wird deutlich, dass sich bei dem Binom $(a-b)$ die Vorzeichen $-$ und $+$ abwechseln.

Das Pascalsche Dreieck stellt ebenso die Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ dar. Mathematisch kannst du diesen Sachverhalt ausdrücken durch:

$\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} \binom{n}{k+1}$.

In der obigen Gleichung entspricht die Variable $n$ dem Zeilenindex und die Variable $k$ dem Spaltenindex. Die Dreieckspitze beginnt mit $n=0$ und $k=0$, also gilt:

$\binom{0}{0} = 1$.

Anschließend folgt für die nächsten drei Reihen des Pascalschen Dreiecks:

$\begin{array}{ccccccc} && \binom{1}{0} && \binom{1}{1} && \\ & \binom{2}{0} && \binom{2}{1} && \binom{2}{2} & \\ \binom{3}{0} && \binom{3}{1} && \binom{3}{2} && \binom{3}{3} \end{array}$

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