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Logarithmus – Negative Exponenten 06:35 min

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Transkript Logarithmus – Negative Exponenten

Hallo! Es geht weiter um Logarithmen und ich möchte mal die negativen Exponenten ins Spiel bringen. Es gibt negative Exponenten. Du erinnerst Dich vielleicht an folgende Definitionen a^-n, das ist gleich, das ist nicht etwa -an oder so was, sondern es ist 1÷an. Okay, das hast Du Mal gemacht und jetzt kannst Du Dich gerne wieder daran erinnern, dass es diese Definition gibt und mit Logarithmen hat das Folgendes zu tun: Wir können zum Beispiel rechnen 2^-1=½. Ja, oder ich könnte natürlich jetzt ganz streng nach Definition schreiben 2^-1=1÷21. Aber Du weißt, dass ich ja das 21=2 ist. Da das hier also nun der Fall ist, 2^-1=½, könnte man jetzt auch die Frage stellen, mit welcher Zahl muss man denn 2 potenzieren, um ½ zu erhalten. Und diese Frage stellt ja der Logarithmus. Das heißt, wir haben also hier den Logarithmus zur Basis 2 von ½. Ja, vielleicht kann man hier eine Klammer drum setzen, dann ist es vielleicht etwas schöner zu lesen oder so, weiß ich auch nicht. Also hier der Logarithmus zur Basis 2 von ½ ist gleich -1, denn man muss 2 mit -1 potenzieren, damit ½ herauskommt. Und meiner Erfahrung nach, ist das für viele Leute ein bisschen ungewöhnlich, weil sie immer wieder sagen, also wenn ich etwas potenziere, dann wird das doch größer, dann wird das doch nicht kleiner. Übrigens, ½ kann ich auch schreiben als 0,5, nur der Vollständigkeitshalber sei es hier angegeben. Dann steht da also Logarithmus zur Basis 2 von 0,5, das ist das gleich. ½ ist ja 0,5. Ja, also wenn man etwas potenziert, wird es nicht unbedingt größer, nämlich dann, wenn man zum Beispiel mit negativen Zahlen potenziert, dann muss das nicht größer werden. Wie man hier sieht, 2^-1 ist eben kleiner als 2. Das Ergebnis ist ½. Dann kann man sich noch Folgendes vorstellen: Zum Beispiel haben wir 3^-2. 3^-2 bedeutet 1÷3² und 3²=9, also kommt da 1/9 raus. 3^-2=1/9. Mit welcher Zahl muss man jetzt 3 potenzieren, damit 1/9 rauskommt? Es ist -2. Deshalb kann ich hier also schreiben: Der Logarithmus zur Basis 3 von 1/9 ist gleich -2. Ja, ganz normal, kein Problem. Auch 1/9<3, aber wenn man 3 mit -2 potenziert, kommt 1/9 raus, daher der Logarithmus von 1/9 zur Basis 3=-2. So, eine kleine Sache möchte ich noch zeigen. Der Logarithmus zur Basis 10 von 0,01.Was könnte das sein? Also, die Sachen, die ich hier vormache, zum Beispiel, die sind ja quasi in der umgekehrten Richtung, wie Du Aufgaben gestellt bekommst. Steht ja das hier, oder das steht da, Logarithmus zur Basis 2 von ½ und Du musst  jetzt drauf kommen, dass es -1 ist. Aber, wenn Du jetzt, sag ich mal keine weiteren Möglichkeiten hast und das so im Kopf machen sollst, kannst Du Dir halt überlegen, ich nehme mir die 2, potenziere die mit irgendwelchen Zahlen, mal gucken was passiert und dann schließe ich darauf, dann komme ich irgendwann drauf, dass ich also 2 mit -1 potenzieren muss, damit ½ rauskommt. Hier möchte ich jetzt mal diese Richtung auch zeigen. Also Logarithmus zur Basis 10 von 0,01, da frage ich als Erstes, wie kann ich denn 10 potenzieren, was käme denn da so raus? Also 101=10, 10²=100, 10³=1000. Also, ich kann jetzt die Zahlen weiter durchgehen, weiter nach oben und das, was als Potenz rauskommt, wird immer größer, ich muss aber etwas haben, was um einiges kleiner als 10 ist, nämlich 0,01. Ja, könnte ich ja mal anfangen, mit negativen Zahlen zu potenzieren. 10^-1 zum Beispiel, das bedeutet 1÷10 oder 1÷101, aber 101=10, deshalb 1÷10=10^-1. Das reicht aber nicht, das ist 1/10. Was hier steht, ist ja 1/1000, nicht? Die 2. Nachkommastelle ist ja die Hundertstelstelle, hier steht ja 1/100, mit welcher Zahl muss ich 10 potenzieren, damit 1/100 rauskommt? Und, wenn ich mir das jetzt schon vorstelle, 10^-1 habe ich gesagt, das ist 1/10, naja 10^-2=1÷102=1÷100=1/100, also kommt hier -2 raus. Und schreibe die Begründung auch gleich hin, denn 10^-2=1÷10². 10²=1/100 und damit ist das gleich 0,01. Ja, und damit brauchst Du also auch keine Angst haben, wenn da irgendwelche kleinen Zahlen stehen und als Numerus und eine große Basis da steht, das ist kein Problem. Nimm einfach negative Exponenten, dann kommt beim Logarithmus eben was Negatives raus. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.

3 Kommentare
  1. gut^^

    Von Bilal Baroud, vor etwa 6 Jahren
  2. ich denke in der Übungsaufgabe ist die Klammer falsch gesetzt müsste log(5)0,2 sein...

    Von Jannick M., vor etwa 6 Jahren
  3. Wie rechne ich zum Beispiel log5(0,2) mit dem Taschenrechner (Casio fx-9860GII)? Ich komme nicht darauf.

    Von Deleted User 33672, vor mehr als 7 Jahren

Logarithmus – Negative Exponenten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmus – Negative Exponenten kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Rechenregel für Potenzen mit negativen Exponenten an.

    Tipps

    Es gilt $a^{-1}\cdot a^1=1$.

    Somit ist $a^{-1}=\frac1a$.

    Verwende die Potenzregel zum Potenzieren von Potenzen

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert.

    Lösung

    Bei Potenzen mit negativen Exponenten gilt

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Um dies besser zu erkennen, werden die folgenden Beispiel umgeformt:

    • $2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18=0,125$.
    • $3^{-4}=\frac1{3^4}=\frac1{81}$.
    • $4^{-4}=\frac1{4^4}=\frac1{256}$.
    • $5^{-1}=\frac1{5^1}=\frac15=0,2$.

  • Gib an, wie der Logarithmus berechnet werden kann.

    Tipps

    Es gilt $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Schreibe zunächst $0,5$ als Bruch. Wenn eine Zweierpotenz im Nenner steht, kannst du die obige Potenzregel verwenden.

    Es gilt die folgende Rechenregel für Logarithmen:

    $\log_b\left(b^n\right)=n$.

    Lösung

    Es soll der Logarithmus zur Basis $2$ von $0,5$ berechnet werden.

    Die Frage hierzu lautet: Womit muss $2$ potenziert werden, um als Potenzwert $0,5$ zu erhalten?

    Um diese Frage zu beantworten, muss man $0,5$ als Potenz mit der Basis $2$ schreiben:

    $0,5=\frac12=\frac1{2^1}$.

    Nun kann man die Potenzregel verwenden, welche besagt, dass eine Potenz mit einem negativen Exponenten als Bruch geschrieben werden kann: $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Also ist $0,5=\frac1{2^1}=2^{-1}$.

    Umgekehrt bedeutet dies, dass $\log_2 0,5=-1$ ist.

  • Berechne den Logarithmus.

    Tipps

    Schreibe $0,01$ zunächst als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner.

    Verwende die folgende Potenzregel:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Es gilt $\log_b\left(b^n\right)=n$.

    Lösung

    Wenn es möglich ist, $0,01$ als Zehnerpotenz zu schreiben, kann der Logarithmus zur Basis $10$ angegeben werden als der Exponent der Zehnerpotenz.

    Hierfür wird $0,01$ zunächst als Bruch geschrieben:

    $0,01=\frac1{100}=\frac1{10^2}$.

    Da der Quotient aus $1$ und einer Potenz dasselbe ist wie die gleiche Potenz nur mit negativem Exponenten, gilt

    $0,01=\frac1{10^2}=10^{-2}$.

    Nun kann der Logarithmus abgelesen werden. Es handelt sich um den Exponenten:

    $\log_{10}0,01=-2$.

  • Bestimme den Logarithmus.

    Tipps

    Beachte, dass der Logarithmus zur Basis $4$ berechnet werden soll.

    $4$ ist eine Zweierpotenz. Es gilt $4=2^2$.

    Wende die Regeln zum Potenzieren von Potenzen an, um $2^{-6}$ als Potenz mit der Basis $4$ zu schreiben:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Lösung

    Um den Logarithmus $\log_4\left(2^{-6}\right)$ zu berechnen, muss der Numerus $2^{-6}$ als Potenz mit der Basis $4$ geschrieben werden. Wie geht das?

    Man kann die folgende Regel verwenden:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Da $4=2^2$ ist, gilt $4^3=\left(2^2\right)^3=2^6$. Dies könnte man auch durch einen Vergleich der Exponenten nachweisen.

    Ebenso gilt $2^{-6}=4^{-3}$.

    Somit ist der gesuchte Logarithmus

    $\log_4\left(2^{-6}\right)=\log_4\left(4^{-3}\right)=-3$.

  • Ermittle zu jedem Logarithmusterm den Logarithmus.

    Tipps

    Schreibe jeweils die Zahl, von welcher der Logarithmus berechnet werden soll, als Potenz mit der gleichen Basis des Logarithmus.

    Alle Logarithmen sind negativ.

    Es kommen die Ergebnisse $-1$, $-2$, $-3$ und $-4$ heraus.

    Es ist $-1>-2>-3>-4$.

    Lösung

    Wenn man eine Potenz kennt, kennt man umgekehrt auch den Logarithmus. Anders ausgedrückt beantwortet der Logarithmus die Frage, mit welcher Zahl eine Basis potenziert werden muss, damit man einen gegebenen Potenzwert erhält.

    1. $10^{-1}=0,1$. Umgekehrt ist $\log_{10}0,1=-1$.
    2. Da $4=2^2$ ist, gilt $0,0625=2^{-4}=4^{-2}$ und somit $\log_40,0625=-2$.
    3. $5^{-3}=0,008$. Umgekehrt ist $\log_50,008=-3$.
    4. Es ist $2^{-4}=\frac1{2^4}=\frac1{16}=0,0625$. Somit ist $\log_20,0625=-4$.

  • Leite den Logarithmus her.

    Tipps

    Wenn du die Zahl, von welcher du den Logarithmus zur Basis $0,5$ kennen willst, als Potenz mit der gleichen Basis schreiben kannst, kannst du den Logarithmus ablesen. Dieser steht im Exponenten. Dies ist auch die Bedeutung des Logarithmus.

    Es gilt $0,5=\frac12$.

    Verwende die Potenzregel: $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert.

    Lösung

    Es gilt $0,5=\frac12$. Womit muss man diesen Bruch potenzieren, um auf $4$ zu kommen?

    $\frac12=2^{-1}$.

    Die obige Frage kann also mathematisch wie folgt formuliert werden:

    $\left(2^{-1}\right)^x=4$.

    Dabei steht $x$ für den gesuchten Exponenten.

    Nun kann man die Regel verwenden, welche das Potenzieren von Potenzen erklärt:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    $\left(2^{-1}\right)^x=2^{-x}=4$.

    $4$ lässt sich wie folgt als Zweierpotenz schreiben: $4=2^2$.

    Somit gilt $2^{-x}=2^2$. Wenn man die Exponenten miteinander vergleicht, erhält man die Gleichung $-x=2$, welche äquivalent ist zu $x=-2$.

    Gesamt ist $4=\left(\frac12\right)^{-2}$ und damit $\log_{0,5}4=-2$.