Masse, Radius und Dichte eines Sterns

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Heute beschäftigen wir uns aus dem Themenbereich Astrophysik mit Masse, Radius und Dichte eines Sterns. Für dieses Video solltet Ihr bereits die Keplerschen Gesetze und das Gravitationsgesetz kennen. Wir lernen heute: 1. Welche Eigenschaften eines Sterns ich überhaupt direkt messen kann? 2. Wie ich Masse, Dichte und Volumen der Sonne bestimmen kann? 3. Warum Doppelsterne in der Astrophysik so eine wichtige Rolle spielen? 4. Und zum Schluss gibt es noch ein paar praktische Formeln. So, dann wollen wir mal. Uns interessiert die Masse und die Größe eines Sterns und die Dichte, die man aus den beiden berechnen kann. Aber was kann ich überhaupt mit Hilfe eines Teleskops über einen Stern herausfinden? Mit Teleskopen direkt messbar ist eigentlich nur die Entfernung eines Sterns über seine Rotverschiebung (siehe das Video zum optischen Dopplereffekt) und wenn man die Entfernung kennt, seine Leuchtkraft. Aus dem Spektrum seiner Strahlung lässt sich ebenfalls seine Oberflächentemperatur TOF bestimmen. Das hilft uns aber auf den ersten Blick gar nicht weiter. Wie komme ich nun an Radius, Masse und Dichte eines Sterns?Wir sehen uns nun im nächsten Kapitel erst mal an, wie man das für allernächsten Stern, nämlich unsere Sonne macht. Die Sonne ist de Stern, um den die Erde kreist und natürlich verhältnismäßig nah an der Erde. Daher wissen wir über die Sonne eigentlich schon eine ganze Menge. Wir schreiben mal auf was: Als erstes ist da zum Beispiel die Umlaufdauer. Die Erde braucht genau 1 Jahr um die Sonne zu umrunden. Den Abstand von der Erde zur Sonne a, den man auch eine astronomische Einheit nennt, ist die große Halbachse der Ellipse, auf der die Erde um die Sonne kreist. Dieser Abstand beträgt 149,6 Millionen Kilometer. Da die Sonne so nah ist, kann mit mithilfe eines Fernrohres ihren Radius direkt bestimmen. Er beträgt ungefähr 700 000 Kilometer. Was und also noch fehlt ist die Masse M0 und dann können wir auch die Dichte, Roh0 der Sonne ausrechnen. Dann schauen wir mal, wie weit wir damit kommen. Das 3. Keplersche Gesetz besagt: Die große Halbachse a³ geteilt durch das Quadrat der Umlaufdauer ist die Gravitaionskonstante geteilt durch 4 ×  π² × (diese Masse der Sonne M0 + Die Masse von Erde und Mond MEM). Das kann ich umstellen und daraus folgt: Die Masse der Sonne ist also: 4× π²×a³ ÷ GT² - MEM (die Masse von Erde und Mond). Und die kann ich ebenfalls nachsehen. Damit ergibt sich für die Masse der Sonne: 2× 10³⁰, also 2 Pentillionen Kilogramm. Und mit diesem Ergebnis kann ich über: Dichte ist Masse ÷ Volumen auch die Dichte der Sonne ausrechnen. Das ergibt: 2.10^30kg÷4/3ro³×π. Ich erhalte 1400 kg pro Kubikmeter oder 1,4g pro Kubikzentimeter. Damit habe ich also nun die Daten der Sonne bestimmt. Schön und gut, aber was mache ich nun für weiter entfernte Sterne? Das sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Hier stand man erst mal eine Weile vor einem Rätsel. Bis man anfing auf einen Trick zu kommen: und zwar hat man Doppelsterne beobachtet. Das sind zwei Sterne, die um ihren gemeinsamen Schwerpunkt kreisen, wie in dieser Animation. Man sieht 2 Kugeln, die eine deutlich größer als die andere, die um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, gekennzeichnet mit dem roten Kreuz, rotieren. In diesem Beispiel bewegen sich beide Kugeln auf einer Kreisbahn. Natürlich kommen in der Natur häufig Ellipsenbahnen, wie in der Animation links vor. Das Praktische an Doppelsternen ist, dass man auch aus großer Entfernung Daten über sie gewinnen kann. Nämlich zum Beispiel die Umlaufdauer der beiden Sterne umeinander und das Verhältnis der Abstände zum Schwerpunkt. Wie man über diese Größen und an die Masse der Sterne kommen kann, das wollen wir uns am Beispiel des Alpha Centauri ansehen. Alpha Centauri ist der nächstgelegene Doppelstern. Er ist von der Erde ungefähr 4,5 Lichtjahre entfernt. Die Umlaufdauer der beiden Sterne umeinander, beträgt ungefähr 80 Jahre. Der mittlere Abstand zwischen den beiden Sternen beträgt 23,9 astronomische Einheiten. Die letzte Information, die uns jetzt noch fehlt, ist wie sich die beiden Bahnen zueinander verhalten. Oder anders gesagt: Welcher der beiden Sterne ist weiter vom Schwerpunkt weg und wie viel genau? Diese Größe ist das Verhältnis der großen Halbachsen ihrer Ellipsenbahnen a1 zu a2 und es beträgt: 1,18 zu 1. Der Ansatz, den wir nun machen ist: die Zentripetalkraft wirkt auf beide Sterne und zwar gleich stark. FZ1 = FZ2. Daraus folgt: Masse 1 × Halbachse 1 × ω² ist gleich Masse 2 × Halbachse 2× Omega-Quadrat:  M1 × a1 × ω²= M2 × a2 × ω². Da die beiden umeinander rotieren, ist die Winkelgeschwindigkeit gleich. Das heißt sie kürzt sich heraus und es ergibt sich: M1÷M2 =a2÷a1. Das ist eine sehr praktische Formel. Nun muss ich nur noch die Gravitationskraft mit der Zentripetalkraft gleich setzen für einen der beiden Sterne, und ich erhalte: Gravitationskonstante G × M1 × M2 ÷ r² = a2  × ω²× M2. Die Massen kürzen sich und Omega ω² ist ja gleich: 2 π ÷ T (die Umlaufdauer). Ich weiß, der Radius, also der Abstand zwischen den beiden, ist auch a1+a2 oder anders geschrieben: a2= r-a1. Und das kann ich umformen zu: r÷ (1+ a1÷a2). Und das habe ich da oben ja schon stehen. Die Formel für M1 lautet also: r²= 4π×r²+r÷ G×T² (1 + 1÷1,18) =2m2 × 10³⁰ Kg. Wenn ich das nun durch die Sonnenmasse teile, dann erfahre ich, dass das nun genau 1,1 Sonnenmassen sind. Der zweite Stern M2 kann nun ganz einfach mit der eingerahmten Formel (M1÷M2 =a2÷a1) berechet werden. M1÷ 1,18 = 1,86 + 10³⁰ kg oder 0,93 Sonnenmassen. Mit Hilfe dieser Methode hat man fleißig Daten zu Doppelsternen gesammelt und hat so eine der beiden Formeln gefunden, die wir uns jetzt im letzten Kapitel ansehen wollen. Die 1. Formel lässt sich aus dem Stefan-Boltzmann-Gesetz herleiten und vergleicht Leuchtkraft und Oberflächenstruktur eines Sternes mit dem der Sonne und daraus lässt sich der Radius berechnen: Der Radius meines Sternes, ist der Sonnenradius Ro × √ Leuchtkraft durch Sonnenleuchtkraft × Oberflächentemperatur der Sonne durch die Oberflächentemperatur zum Quadrat: R= Ro × √ L÷Lo × (ToFa÷TOF)². Mithilfe der Daten, die man für die Doppelsterne gefunden hatte, fand man heraus, dass die Leuchtkraft und die Masse eines Sternes in direktem Zusammenhang stehen. Dieser Zusammenhang, soweit er sich empirisch bestimmen lässt, lautet ungefähr: Leuchtkraft durch Leuchtkraft der Sonne ist gleich Masse durch Masse der Sonne hoch 3,5 (L÷Lo = (M÷Mo)³,5. Mit diesen beiden Formel kann ich also jetzt Radius und damit das Volumen und die Masse eines Sternes bestimmen. Und aus diesen beiden Größen kann ich dann auch die Dichte berechnen. Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Mit dem Teleskop lassen sich nur Entfernung, Leuchtkraft und Oberflächentemperatur eines Sternes ermitteln. Die Daten der Sonne lassen sich über das 3. Keplersche Gesetz berechnen. Mit Hilfe der durch Doppelsterne gewonnenen Daten, hat man für die anderen Sterne folgende Formeln gefunden: R= Ro × √ L÷Lo × (ToFa÷TOF)² und für die Masse gilt: (L÷Lo = (M÷Mo)³,5. So das wars schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Danke fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.