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Linsengleichungen 08:22 min

Textversion des Videos

Transkript Linsengleichungen

Hallo, ich werde euch nun erklären, was die Linsengleichungen sind. Diejenigen Gleichungen also, die man zum Beispiel auf eine solche Linse anwenden kann, hier eine Konvexlinse. Wir wollen die Strahlen betrachten, die von der Spitze dieser Kerze hier ausgehen. Dazu müssen wir uns zunächst wieder die Brennachse und die optische Achse einzeichnen. Zwei sehr charakteristische Strahlen gehen von der Kerzenspitze aus. Einmal der parallele Strahl, der an der Linse so gebrochen wird, dass er danach durch den Brennpunkt läuft. Und der Mittelpunktstrahl, der gar nicht gebrochen wird in der Linse. Zwischen den beiden Strahlen sind nun zwei Dreiecke entstanden. Einmal hier das Rote, links von der Linse, und, wenn man hier rechts noch das entstehende Bild einzeichnet, das grüne Dreieck. Schauen wir uns nun mal die Seitenlängen der Dreiecke an. Wir wollen nur den Teil der Kerze betrachten, der sich oberhalb der optischen Achse befindet. Die Länge dieses Teils nennen wir G. Also ist die rechte Seite des roten Dreiecks auch die Größe G. Den gesamten Abstand von der Kerze bis zur Mitte der Linse bezeichnen wir mit g dementsprechend. G steht übrigens für Gegenstand. Nun zum grünen Dreieck. Die Länge des unteren Teiles des Bildes bezeichnen wir mit B und den Abstand des Bildes bis zur Linse bezeichnen wir mit b. Auf diese beiden Dreiecke können wir nun den Strahlensatz anwenden, denn alle Winkel in den Dreiecken sind gleich groß. Also gilt: Das Verhältnis von G, also der Gegenstandsgröße, zu g, dem Abstand des Gegenstands zur Linse, ist dasselbe, wie das Verhältnis von B, also die Größe des Bildes, zu dem Abstand des Bildes zur Linse, klein b. Also, möchte man zum Beispiel wissen, wie groß das Bild wird, wenn man bestimmte Abstände eingestellt hat, dann rechnet man einfach, wenn man die Gleichung umformt: B=G×b/g. Gut, also das ist unsere erste Linsengleichung. Es gibt aber noch eine andere Linsengleichung, die man so ähnlich herleiten kann, allerdings mit zwei anderen Dreiecken. Die beiden Dreiecke befinden sich jeweils hier und hier. Die linke Seite des großen Dreiecks ist ja genauso groß wie G und die untere Seite ist der Abstand vom Brennpunkt bis zur Linse, den bezeichnen wir mit f. Und beim grünen Dreieck die obere Seite ist ja die Differenz aus dem Abstand bis zum Bild - den Abstand bis zum Brennpunkt, also b-f. Auch bei diesen Dreiecken können wir wieder den Strahlensatz anwenden. Dann erhalten wir das Verhältnis aus G zu f, ist dasselbe wie das Verhältnis aus B/b-f. Und das ist dann unsere zweite Linsengleichung. Gut, und diese beiden Linsengleichungen können wir jetzt auch zu einer zusammenführen. Das werden wir jetzt mal tun. Zunächst einige Umformungen. Wenn wir die erste Gleichung mit b multiplizieren und mit G dividieren, erhalten wir b/g=B/G. Das kann man sich ganz gut merken, oder? Und die zweite Gleichung formen wir auch um. Wir multiplizieren mit b-f und wir teilen durch G, dann erhalten wir b-f/f=B/G. So, und diese beiden Gleichungen führen wir nun wirklich zusammen. Ihr seht schon, auf der rechten Seite steht jeweils B/G. Also, dann können wir diese beiden Gleichungen gleichsetzen und erhalten: b-f/f=b/g. Links den Bruch können wir nun aufteilen auf zwei. Dann erhalten wir: b/f-f/f=b/g. Die beiden fs kann man nun gegeneinander kürzen. Dann bleibt nur noch übrig: b/f-1=b/g. Nun teilen wir die gesamte Gleichung durch b. Im 1. Term kürzt sich dann das b und es bleibt nur noch übrig: 1/f -, den 2. Term müssen wir auch durch b dividieren, dann erhalten wir 1/b=, hier kürzt es sich wieder, 1/g. Wenn wir nun noch 1/b auf die andere Seite der Gleichung stellen, erhalten wir das Endergebnis. Das ist dann: 1/f=1/g+1/b. Also dann haben wir jetzt eine Gleichung, in der die Werte für die Brennweite, den Gegenstandsabstand und den Bildabstand miteinander verbunden sind. Und da das alles Werte sind, die sehr leicht zu bestimmen sind, ist das eine gute Gleichung. Zu der Gleichung möchte ich jetzt zum Schluss mit euch noch ein Beispiel durchrechnen. Gegeben haben wir die Werte für die Brennweite f=10cm, dann kennen wir auch durch Messen den Abstand von der Kerze bis zur Linse g, der ist g=30cm, und gesucht ist der Abstand bis zum Bild b, denn wir möchten herausfinden, an welcher Stelle wir den Schirm hinstellen müssen, damit das Bild scharf ist. Wir formen also die Gleichung um, subtrahieren also 1/g und erhalten dann 1/b=1/f-1/g. Jetzt können wir die gegeben Werte einsetzen. Also 1/b=1/10cm-1/30cm. Wenn wir die beiden Brüche subtrahieren wollen, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Wir multiplizieren also den ersten Bruch mit 3, dann erhalten wir 1/b=3/30cm-1/30cm und wenn wir das nun Ausrechnen erhalten wir 2/30cm. Das können wir gegeneinander kürzen, dann erhalten wir 1 und 15. Na, und jetzt sind wir fast fertig, jetzt müssen wir nur noch den Kehrwert davon nehmen, denn wir haben ja 1/b. Ja und dann haben wir die Lösung: b=15cm. Das heißt, wir müssen den Schirm in einem Abstand von 15cm rechts von der Linse aufstellen. Gut, das war es zu den Linsengleichungen. Bis zum nächsten Mal. Tschüss.

21 Kommentare
  1. Sehr gut gemacht👍

    Von Adam Sky#1, vor 11 Monaten
  2. @Aenkel,
    Was würdest du tun, wenn dort stehen würde:
    y=x+d. Wie würdest du dann nach x umstellen?

    Ich hoffe ich konnte dir mit der kleinen Vereinfachung helfen. Falls du noch Fragen haben solltest, kannst du dich gerne an den Hausaufgabenchat wenden. Dieser ist von Mo-Fr von 17-19 Uhr erreichbar.

    Von Karsten Schedemann, vor etwa einem Jahr
  3. Wie löse ich die Gleichung 1/f=1/g+1/b nach g auf?

    Von Aenkel, vor etwa einem Jahr
  4. Danke!

    Von Lara W., vor mehr als einem Jahr
  5. Von Jenny0212, vor mehr als einem Jahr
  1. Na ja....^^

    Von Unknown U., vor mehr als 3 Jahren
  2. woher weiß man welche Gleichung man nehmen muss?

    Von Deleted User 49371, vor mehr als 4 Jahren
  3. Woher weis ich in welchem Winkel ich den Lichtstrahl nach der Linse Zeichnen muss?

    Von Skulzer, vor mehr als 4 Jahren
  4. belz

    Von Sieg1, vor mehr als 4 Jahren
  5. belz

    Von Sieg1, vor mehr als 4 Jahren
  6. danke
    belz

    Von Sieg1, vor mehr als 4 Jahren
  7. gut

    Von Ben G, vor fast 5 Jahren
  8. gut erklärt

    Von Famhot, vor mehr als 5 Jahren
  9. Dankee :)

    Von Risa Sarte, vor etwa 6 Jahren
  10. danke!!!!!!
    ich habs endlich... endlich ...endlich verstnaden :D

    Von Huynh Giangthu, vor mehr als 6 Jahren
  11. Durch gute Erklärung gut zu verstehen.

    Von Oltibene, vor mehr als 6 Jahren
  12. Gut erklärt! :)

    Von Spatz007, vor mehr als 6 Jahren
  13. sehr gut

    Von Mitra Star1200, vor mehr als 7 Jahren
  14. sehr gut

    Von Mitra Star1200, vor mehr als 7 Jahren
  15. Wirklich sehr gut gemacht :)

    Von Deleted User 19778, vor mehr als 8 Jahren
  16. Sehr schön erklärt!!! Weiter so!!!

    Von Shay, vor mehr als 8 Jahren
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Linsengleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Linsengleichungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die beiden Linsengleichungen.

    Tipps

    Beide Gleichungen geben Auskunft über das Verhältnis der Entfernung von Bild und Gegenstand zur Linse.

    Eine der Gleichungen beinhaltet die Brennweite.

    Lösung

    Betrachten wir die beiden wichtigsten Linsengleichungen. Beide geben Auskunft über das Verhältnis der Entfernung von Bild und Gegenstand zur Linse.

    Die erste Linsengleichung lautet: $ \frac{B}{b} = \frac{G}{g} $.

    In Worten sagt diese aus: Das Verhältnis von Bildgröße und Bildweite entspricht dem Verhältnis von Gegenstand und Gegenstandsweite.

    Nach der zweiten Linsengleichung gilt:

    $\frac{1}{f} - \frac{1}{b} = \frac{1}{g}$, oder: Die Differenz der Kehrwerten aus Brennweite und Bildweite entspricht dem Kehrwert der Gegenstandsweite.

  • Gib die Bedeutung der Formelzeichen an.

    Tipps

    Gegenstandsweite und Gegenstandsgröße befinden sich auf der Gegenstandseite der Linse.

    Bildweite und Bildgröße finden wir auf der Bildseite.

    Die Brennweite gibt an, wie sehr eine Linse das Licht bricht.

    Lösung

    Grundsätzlich unterscheidet man die zwei Seiten der Linse.

    Die Seite, auf der sich der Gegenstand befindet, ist die Gegenstandsseite. Auf dieser Seite können wir die Größen Gegenstandshöhe G und Gegenstandsweite g abmessen. Wichtig ist hier, dass wir G von der optischen Achse bis zur Spitze des Gegenstandes messen.

    Hinter der Linse befindet sich das Bild, demnach handelt es sich um die Bildseite. Hier können wir die Bildgröße B und die Bildweite b ablesen.

    Außerdem können wir die Brennweite f ermitteln. Diese ist ein Maß dafür, wie sehr eine Linse das Licht bricht und gibt den Punkt an, an dem dieses am stärksten konzentriert wird.

  • Ermittle die fehlenden Größen.

    Tipps

    Sind Bildgröße und Gegenstandsgröße gleich, so sind $b$ und $g$ auch gleich.

    Lösung

    Es gilt der Zusammenhang:

    $\frac{B}{b} = \frac{G}{g}$.

    Das heißt, bei gleicher Größe von Bild und Gegenstand müssen auch Bildweite $b$ und Gegenstandsweite $g$ gleich groß sein.

    Betrachten wir einen Gegenstand mit $G = 10 \,\text{cm}$. Das entstehende Bild soll $B= 20 \,\text{cm}$ groß sein.

    Ist dieser $g=5 \,\text{cm}$ entfernt, so muss die Bildweite $b = 10 \,\text{cm}$ entsprechen, damit:

    $ \frac{B}{b} = \frac{G}{g} = \frac{20 \,\text{cm}}{10 \,\text{cm}} = \frac{10 \,\text{cm}}{5 \,\text{cm}} $ zutrifft.

    Entfernen wir den Gegenstand auf $g=10 \,\text{cm}$, wobei $B$ und $G$ konstant bleiben, so muss:

    $ \frac{B}{b} = \frac{G}{g} = \frac{20 \,\text{cm}}{10 \,\text{cm}} = \frac{G}{10 \,\text{cm}} $. Daraus folgt: $ G = \frac{20 \,\text{cm}}{10 \,\text{cm}} \cdot 10 \,\text{cm} = 20 \,\text{cm} $.

  • Gib an, welche Größen in den Linsengleichungen verwendet werden.

    Tipps

    Die Größe des Bildes variiert mit dessen Entfernung zur Linsenachse.

    Man unterscheidet die Seiten links und rechts der Linse in Gegenstands- und Bildseite

    $ \frac{B}{b} = \frac{G}{g} $

    Lösung

    Im Bild siehst du eine Linse, die einen Gegenstand von der Gegenstandsseite auf die Bildseite als Bild abbildet.

    Dabei ist die Breite oder Tiefe des Gegenstandes für die Linsengleichung unwichtig. Es kommt ausschließlich auf die Höhe an. Kennt man neben der Höhe G auch die Gegenstandsweite g und Bildweite b, so kann man die Bildhöhe B errechnen. Es gilt: $ \frac{B}{b} = \frac{G}{g} $.

    Das Verhältnis von Bild zu Bildweite entspricht genau dem Verhältnis von Gegenstand zu Gegenstandsweite.

    Die zweite Linsengleichung beinhaltet neben den Größen $b$ und $g$ auch die Brennweite $b$, sodass wir mit Gegenstandsweite, Gegenstandsgröße, Bildgröße, Bildweite und Brennweite beide Linsengleichungen lösen können.

  • Vervollständige das Schaubild.

    Tipps

    Die Ausrichtung des Bildes ist abhängig von der Brennweite.

    Der Brennpunkt ist der Schnittpunkt zweier Achsen.

    Lösung

    In einer Linse wird abhängig von der Entfernung des Gegenstandes und der Brennweite der Linse ein Bild erzeugt.

    Dabei sind mehrere Größen interessant.

    Auf der linken Seite der Linse findest du den Abstand des Gegenstandes $g$ und die Höhe des Gegenstandes $G$, welche von der optischen Achse bis zur Spitze des Gegenstandes gemessen wird.

    Auf der rechten Seite der Linse sind die Entfernung des entstehenden Bildes $b$ und dessen Höhe $B$ entscheidend. Außerdem ist der Brennpunkt interessant, da dieser in der 2. Linsengleichung verwendet wird.

  • Ermittle die Brennweite.

    Tipps

    Die Brennweite ist die Summe aus den Kehrwerten von Bildweite und Gegenstandsweite.

    Lösung

    Für den Zusammenhang zwischen Bildweite, Gegenstandsweite und Brennweite gilt der Zusammenhang, der oben beschrieben ist.

    Darin ist $f$ die Brennweite, $g$ die Gegenstandsweite und $b$ die Bildweite.

    Setzen wir nun $ g = 30 \,\text{cm}$ und $ b = 20 \,\text{cm}$ ein, so erhalten wir:

    $\frac{1}{f} = \frac{1}{30 \,\text{cm}} + \frac{1}{20 \,\text{cm}} = \frac{2}{60} + \frac{3}{60} = \frac{5}{60} $.

    Daraus folgt: $\frac{1}{12} = \frac{1}{f} $.

    Wir bilden den Kehrwert und erhalten:

    $ f = 12 \,\text{cm}$.