Die kirchhoffschen Gesetze in der Physik
In der Elektrotechnik hat man es oft mit komplizierten Schaltungen zu tun, die schnell sehr unübersichtlich werden. Deswegen ist es nützlich, die kirchhoffschen Regeln zu kennen, mit denen man solche Schaltungen etwas leichter beschreiben kann. Sie dienen zur Analyse der Ströme und Spannungen an sogenannten Knotenpunkten (Punkte, an denen mehrere Leitungen zusammenfließen und sich wieder aufteilen) oder Maschen (beliebige geschlossene Stromschleifen) von Stromkreisen.
Wir schreiben zunächst die beiden Regeln auf und betrachten sie anschließend im Detail.
Kirchhoffsche Gesetze – Definition
1. kirchhoffsches Gesetz (Knotenregel)
An einem Knoten entspricht die Summe der zufließenden Ströme der Summe der abfließenden Ströme. Da die zufließenden Ströme ein positives und die abfließenden ein negatives Vorzeichen haben, ist die Summe über alle Ströme an einem Knotenpunkt null. Mathematisch schreibt man das folgendermaßen:
$\sum\limits_{k=1}^{K} I_k = I_1 + I_2 + I_3 + ... + I_K= 0$
Das $I_k$ steht dabei für die einzelnen Ströme, über die summiert wird. $K$ steht für die Gesamtanzahl einzelner Ströme.
2. kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel)
In jeder Masche ist die Summe der Quellenspannungen gleich der Summe der abfallenden Spannungen $U_n$. In den meisten Stromkreisen, die im Physikunterricht betrachtet werden, gibt es nur eine Quellenspannung $U_0$. Im Folgenden betrachten wir daher speziell diese Fälle.
$\sum\limits_{n=1}^{N} U_n = U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_N= U_0$
Das $U_n$ steht dabei für die einzelnen Spannungen, über die summiert wird. $N$ steht für die Gesamtanzahl einzelner Spannungen.
Kirchhoffsche Gesetze – Beispiele
Parallelschaltung
Betrachten wir nun die kirchhoffschen Gesetze etwas genauer. Dazu zeichnen wir zunächst eine einfache Parallelschaltung von zwei ohmschen Widerständen $R_1$ und $R_2$, die an eine Gleichstromquelle angeschlossen sind.
Die beiden markierten Punkte, in denen sich die Leitungen aufteilen beziehungsweise wieder verbinden, sind die Knoten dieses Stromkreises. Jeder geschlossene Umlauf wird als Masche bezeichnet.
Wir wollen nun die 1. kirchhoffsche Regel nutzen, um eine Aussage über den Strom $I$ zu treffen. Nach dieser Regel muss für den oberen Knoten gelten:
$\sum\nolimits_{k} I_k = 0$
Es gibt an dem betrachteten Knoten einen Zufluss, der direkt von der Stromquelle kommt und den wir mit $I_0$ bezeichnen. Die beiden Abflüsse bezeichnen wir mit $I_1$ und $I_2$. Insgesamt muss die Summe gerade null ergeben, also:
$0 = I_0 - I_1 -I_2$
Dabei haben Zuflüsse ein positives und Abflüsse ein negatives Vorzeichen. Das können wir umformen zu:
$I_0 = I_1 + I_2$
Für den zweiten Knoten gilt das gleiche Prinzip. Nur sind hier $I_1$ und $I_2$ Zuflüsse und $I_3$ der Abfluss. Setzen wir dies wie oben ein und formen um, erhalten wir:
$I_3 = I_1 + I_2 = I_0$
Der Gesamtstrom teilt sich also auf die parallelen Leitungen auf. Außerdem stellen wir fest, dass die Stromstärke nach der Aufspaltung in zwei parallele Kreise, also $I_3$, genauso groß ist wie die Stromstärke vor der Spaltung, also $I_1$. Für das 1. kirchhoffsche Gesetz nutzt man zur Herleitung die Ladungserhaltung. Die mathematische Herleitung ist relativ kompliziert, aber die anschauliche Idee ist leicht zu verstehen. Elektrischer Strom ist nichts anderes als transportierte Ladung. Die Zuflüsse führen dem Knoten also Ladungen zu, während die Abflüsse Ladungen abführen. Weil im Knoten selbst keine Ladung verloren gehen kann, aber auch keine neue erzeugt wird, müssen genauso viele Ladungen zu- wie abfließen.
Betrachten wir nun die Spannung. Dazu nutzen wir das 2. kirchhoffsche Gesetz, also die Maschenregel. In jeder Masche muss die Summe der abfallenden Spannungen gleich der Quellspannung sein.
In diesem Fall haben wir zwei Maschen. In jeder Masche ist die Spannungsquelle die einzige Quellspannung und es fällt jeweils die Spannung an einem Widerstand ab. Wir haben also:
$\text{Masche 1: } U_0 = U_1$
$\text{Masche 2: } U_0 = U_2$
Daher können wir insgesamt schreiben:
$U_1 = U_2 = U_0$
Die Spannung ist in beiden Maschen gleich der Quellspannung $U_0$.
Reihenschaltung
Nun betrachten wir zwei Widerstände, die in Reihe geschaltet sind.
In dieser einfachen Schaltung gibt es nur eine Masche und keinen Knoten. Der Strom wird also nirgendwo aufgeteilt und ist folglich überall im Stromkreis gleich, also:
$I_0 = I_1 = I_2$
Für die Spannung gilt nach der Maschenregel:
$\sum\nolimits_{n} U_n = U_0$
$U_0$ ist hier einfach die Spannung der Spannungsquelle, da sie die einzige Quelle in diesem Stromkreis ist. Auf der linken Seite steht die Summe über alle an den Verbrauchern abfallenden Spannungen, also $U_1$ und $U_2$. Damit erhalten wir:
$U_1 + U_2 = U_0$
In der Reihenschaltung teilt sich die Spannung also auf die Verbraucher auf.
Die kirchhoffschen Gesetze haben direkte Einflüsse auf den Widerstand in Stromkreisen und das Verhältnis der einzelnen Spannungen. Mehr Informationen dazu findest du unter Parallelschaltung und Reihenschaltung.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Kirchhoffsche Gesetze – Reihen- und Parallelschaltung
Was besagt die erste kirchhoffsche Regel (Knotenregel)?
Die erste kirchhoffsche Regel wird auch Knotenregel genannt. Sie sagt:
An jedem Knotenpunkt eines Stromkreises ist die Summe der zufließenden Ströme genauso groß wie die Summe der abfließenden Ströme. Zuflüsse werden positiv, Abflüsse negativ gezählt. Mathematisch gilt also:
$\sum\limits_{k=1}^{K} I_k = 0$
Das bedeutet: Über einen Knotenpunkt geht keine Ladung verloren.
Beispiel:
Teilt sich der Strom $I_0$ an einem Knoten in $I_1$ und $I_2$ auf, gilt:
$I_0 = I_1 + I_2$
Wie lautet das zweite kirchhoffsche Gesetz (Maschenregel)?
Die zweite kirchhoffsche Regel ist die Maschenregel. Sie besagt, dass in jedem geschlossenen Umlauf (also einer Masche) die Summe der abfallenden Spannungen gleich der Quellenspannung ist.
Mathematisch schreibt man:
$\sum\limits_{n=1}^{N} U_n = U_0$
Beispiel:
In einer Masche mit einer Batterie ($U_0$) und zwei Widerständen ($U_1$, $U_2$) gilt:
$U_1 + U_2 = U_0$
Wann gelten die kirchhoffschen Gesetze?
Die kirchhoffschen Gesetze gelten bei allen Stromkreisen, in denen Ströme und Spannungen an Knoten (Verzweigungen) und in Maschen (geschlossene Stromschleifen) betrachtet werden. Sie können sowohl für Reihen- als auch für Parallelschaltungen genutzt werden.
Was versteht man unter einer Knotenregel und einer Maschenregel im Stromkreis?
Die Knotenregel bedeutet, dass an jedem Punkt, an dem sich Leitungen aufteilen oder zusammenkommen, die hineinfließende Stromstärke genauso groß ist wie die hinausfließende. So geht keine elektrische Ladung verloren.
Die Maschenregel bedeutet, dass bei jedem geschlossenen Umlauf im Stromkreis die Summe der abfallenden Spannungen der Quellenspannung entspricht.
Wie werden die Kirchhoffsche Gesetze bei einer Parallelschaltung angewendet?
Bei einer Parallelschaltung teilt sich der Gesamtstrom an Knotenpunkten auf die einzelnen parallelen Leitungen auf. Nach der Knotenregel ergibt die Summe aller eingehenden und ausgehenden Ströme an einem Knoten null.
Für die Spannung benutzen wir die Maschenregel – in jeder Masche (Stromweg durch einen Widerstand) ist die Spannung über dem Widerstand gleich der Quellenspannung.
Beispiel:
Wenn $I_0$ der Gesamtstrom ist, der sich an einem Knoten zu $I_1$ und $I_2$ aufteilt:
$I_0 = I_1 + I_2$
Und die Spannung $U_1$ und $U_2$ an den Widerständen ist jeweils gleich der Quellenspannung $U_0$:
$U_1 = U_2 = U_0$
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