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C14-Methode (Übungsvideo) 07:43 min

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Transkript C14-Methode (Übungsvideo)

Guten Tag und willkommen beim Übungsvideo zum Thema C14-Methode. Wir werden hier zwei Beispielaufgaben zu diesem Thema berechnen. Als Grundlage solltet ihr natürlich schon über das Prinzip der C14-Altersbestimmung informiert sein und auch ein wenig Wissen zu Exponentialfunktionen ist nötig, denn Grundlagen sollen hier nicht behandelt werden. Wie ihr wisst, dient die C14-Methode der ungefähren Altersbestimmung von Organismen, also Lebewesen und Pflanzen nach deren Absterben. Die Grenzen der Anwendbarkeit liegen hierbei bei einigen hundert bis ca. 60.000 Jahren. Beginnen werde ich mir der Zerfallsfunktion für die C14-Methode. Ich zeige euch die zu verwendende Formel und erkläre euch ihren Aufbau. Danach betrachten wir einmal eine theoretische Altersbestimmung eines gut konservierten Pharaos und als zweites Beispiel wollen wir uns überlegen, wie dessen C14-Konzentration in der Zukunft aussieht. Doch beginnen wir erstmal kurz mit dem mathematischen Aufbau. Der radioaktive Zerfall unterliegt einer Exponentialfunktion, genauer: einer Formel in der Form C = C0 * e-at. C steht hierbei für die Konzentration an C14-Isotopen in einer Probe zum Zeitpunkt t. Das t steht also für die Zeit. Das C0 ist die Anfangskonzentration, beschreibt also die Menge an Kohlenstoff 14, als der Organismus gestorben ist oder anders gesagt: zum Zeitpunkt t=0l. Diese Anfangskonzentration lässt sich aus der Menge an normalem C zwölf Kohlenstoff bestimmen und beträgt circa 10-12 mal dessen Konzentration, die wir leicht messen können. Sie wird meist aus Vergleichsproben bestimmt. Das Minus in der Formel zeigt uns nur an, dass die C14-Konzentration mit der Zeit abnimmt. Das a ist ein Abklingfaktor. Er legt die Halbwertszeit fest und gibt an, wie schnell die Kohlenstoff-Atome zerfallen. Berechnen lässt sich dieser Abklingfaktor leicht aus der Halbwertszeit über t 1/2 = ln(2) / a. ln steht für den natürlichen Logarithmus zur Basis e und t 1/2 ist natürlich die Halbwertszeit. Mit diesem gesammelten Wissen können wir uns nun den konkreten Rechnungen zuwenden. In der ersten Aufgabe wollen wir uns der Altersbestimmung einer Mumie widmen. Wir wollen wissen: Wie alt ist die Mumie, wenn sich derzeitig circa zwei Komma fünf mal zehn hoch acht C14-Atome pro Gramm nachweisen lassen. Als weiterhin bekannt sehen wir die Halbwertszeit des Isotops mit t 1/2 gleich 5.730 Jahre an. Außerdem kennen wir die durchschnittliche Konzentration an C14-Isotopen in einem lebenden Menschen. Die beträgt in diesem Beispiel vier mal zehn hoch acht Atome pro Gramm Gewebe und stellt unsere Anfangskonzentration dar. Beginnen werden wir mit unserer Rechnung bei der allgemeinen Zerfallsgleichung, also der Exponentialfunktion C = C0 * e-at. Da wir die Zeit suchen, müssen wir hiernach umstellen. Als Erstes müssen wir hierfür die Konstante von der e-Funktion trennen. Wir teilen also durch C0. Anschließend ziehen wir den natürlichen Logarithmus aus beiden Seiten, denn dies ist die Gegenoperation der e-Funktion. Diese verschwindet rechts und es bleibt nur noch der Exponent -at stehen. Links bleibt ein ln(C/C0). Nun müssen wir nur noch durch -a teilen, um das t auf einer Seite allein stehen zu haben. Unsere Formel lautet also vorerst: ln(C/C0)/-a = t. Hier werden meist jedoch noch zwei kleine Vereinfachungen durchgeführt. Aufgrund der Logarithmusgesetze kann man das Minus im Nenner neutralisieren, wenn man dafür den Kehrwert im Logarithmus bildet, denn es gilt: ln(a/b) = -ln(b/a). Außerdem können wir für den Abklingfaktor a die vorhin angegebene Formel angeben. Dadurch brauchen wir a nicht explizit zu berechnen und bekommen eine einfache Formel, in der nur die Konzentration und die Halbwertszeit enthalten sind. Es gilt: a = ln2/(t 1/2). Wir teilen durch a, also müssen wir mit dem Kehrwert multiplizieren. Unsere endgültige Formel lautet somit: t = t 1/2 * ln(C0/C) / ln2. Da wir bisher keine Angaben aus der konkreten Aufgabe verwendet haben, lässt sich diese Formel natürlich allgemein für alle Rechnungen dieser Art verwenden. Um unsere Aufgabe zu lösen, müssen wir nun lediglich die konkreten Daten eingeben. Wir erhalten t ist gleich 5.730 Jahre mal ln von vier mal zehn hoch acht Atome pro Gramm durch zwei Komma fünf mal zehn hoch acht Atome pro Gramm durch ln zwei. Oder nach dem Kürzen: t = 5.730 Jahre * ln(4/2,5) / ln2. Das ergibt ausgerechnet circa 3.900 Jahre. Das alte ägyptische Reich hat grob in der Zeit von 4.000 vor Christus bis zu dessen Geburt existiert. Das Ergebnis ist also plausibel. Nun wollen wir ein zukünftiges Ereignis berechnen. Wir fragen uns: Wie hoch wird die C14-Konzentration der Mumie in circa 1.000 Jahren sein? Hierfür nehmen wir natürlich wieder unsere anfängliche Formel zur Hand: C = C0 * e-at. Die bekannte Halbwertszeit und Anfangskonzentration bleiben natürlich erhalten. Alles, was wir nun noch brauchen, ist der Abklingfaktor. Natürlich könnten wir die Formel für a auch wieder in die Exponentialfunktion einsetzen, um so eine allgemeine Formel zu erhalten. Wir berechnen hier den Abklingfaktor aber einmal explizit, um ein Gefühl für die Größe zu erhalten. Wir setzen also die bekannte Halbwertszeit ein: a = ln(2) / t 1/2. Das ergibt circa 1,21 * 10-4(1/Jahre). Da unsere Mumie momentan circa 3.900 Jahre alt ist, wird unser t in weiteren tausend Jahren circa 4.900 Jahre betragen. Die beiden Werte setzen wir in unsere Funktion ein und erhalten: C ist gleich vier mal zehn hoch acht Atome pro Gramm mal e hoch Minus eins Komma eins, zwei mal zehn hoch Minus vier, eins durch Jahre mal 4.900 Jahre. Die Halbwertszeit brauchen wir nun nicht mehr, denn sie steckt im Abklingfaktor drin. Ausgerechnet erhalten wir für die Konzentration in tausend Jahren einen Wert von circa 2,2108 Atome pro Gramm. Man erkennt hierbei gut den Exponentialcharakter durch den die Konzentration immer langsamer fällt. Die konkreten Berechnungen zur C14-Methode beziehen sich in der Regel auf eine simple Formel, die vonnöten umgestellt werden kann. Wichtig ist, daran zu denken, dass man in passenden Einheiten rechnet und sich etwas mit den Regeln von Exponentialfunktionen und Logarithmen vertraut macht. Ich verabschiede mich von euch und wünsche noch viel Spaß beim Üben. Euer Philip Physik.

C14-Methode (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video C14-Methode (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Formel zur Berechnung nach der $C14$-Methode an.

    Tipps

    Die Konzentration der C-Isotope zum Todeszeitpunkt ins Verhältnis zur Konzentration zum Vergleichzeitpunkt gesetzt.

    Der Abklingfaktor ist von der Halbwertszeit abhängig.

    Lösung

    Die $C14$-Methode wird dazu benutzt, das Alter abgestorbener Organismen näherungsweise zu bestimmen.

    Dabei wir die Konzentration der C-Isotope zum Todeszeitpunkt ins Verhältnis zur Konzentration zum Vergleichszeitpunkt gesetzt.

    Also etwa der Zeitpunkt des Todes des Pharaos und dem Zeitpunkt der Ausgrabung. Zur Altersbestimmung ist nun ein weiterer Faktor wichtig. Der sogenannte Abklingfaktor.

    Fassen wir nun alle diese genannten Größen in einer Formel zusammen, so ergibt sich:

    $C(t) = C_0 \cdot e^{-a \cdot t} $.

    Stellen wir nun nach $t$ um, so können wir Rückschlüsse auf das Alter der untersuchten Probe ziehen. Diese Methode kann zur Altersbestimmung zwischen einigen hundert und $60.000$ Jahren dienen.

  • Benenne die Formelzeichen.

    Tipps

    Diese Methode kann zur Altersbestimmung zwischen einigen hundert und $60.000$ Jahren dienen.

    Der Abklingfaktor gib an, wie schnell Isotope zerfallen.

    Lösung

    Die $C14$-Methode kann etwa dazu genutzt werden, den Zeitpunkt des Todes eines Pharaos zu bestimmen.

    Dazu müssen wir die $C14$-Konzentration zu Beginn des betrachteten Zeitraumes kennen. Am Beispiel des Pharaos nehmen wir an, diese Konzentration $C_0$ entspricht der durchschnittlichen Konzentration bei einem Menschen. Nun muss die Konzentration der Isotope zum Zeitpunkt der Ausgrabung bestimmt werden. Diese entspricht dem Formelzeichen $C$. Der so genannte Abklingfaktor $a$ muss ebenfalls bekannt sein. Dieser gibt an, wie schnell die Isotope zerfallen.

    Fassen wir nun alle diese genannten Größen in einer Formel zusammen, so ergibt sich: $C(t) = C_0 \cdot e^{-a \cdot t} $.

    Stellen wir nun nach $t$ um, so können wir Rückschlüsse auf das Alter der untersuchten Probe ziehen. Diese Methode kann zur Altersbestimmung zwischen einigen hundert und $60.000$ Jahren dienen.

  • Berechne den Abklingfaktor.

    Tipps

    Beachte die Einheiten.

    Die Halbwertszeit ist definiert als die Zeit, die vergeht, bis nur noch genau die Hälfte einer Anfangsmenge vorhanden ist.

    $a = \frac{ln 2}{t_{\frac{1}{2}}}$

    Lösung

    Um den Abklingfaktor $a$ zu bestimmen, müssen wir die Halbwertszeit $t_{\frac{1}{2}}$ kennen.

    Die Halbwertszeit ist definiert als die Zeit, die vergeht, bis nur noch genau die Hälfte einer Anfangsmenge vorhanden ist.

    Wir müssen im Diagramm also bei $50%$ ablesen und erhalten so $t_{\frac{1}{2}}= 5.730 a$. Nun, da wir die Halbwertszeit kennen, setzen wir sie in die Formel zur Berechnung von $a$ ein und erhalten so $a = \frac{ln 2}{5.730 a} =1,2097 \cdot 10^{-4} a^{-1}$.

    Damit ist der Abklingfaktor für das $C14$-Isotop nun bestimmt und wir können die Altersbestimmung anwenden.

    Wichtig sind bei der Berechnung auch hier wieder die Einheiten. Da wir in diesem Fall den Faktor $a$ in $a^{-1} = \frac{1}{Jahr}$ angeben, müssen wir auch $t$ in Jahren angeben. Für den Fall, dass wir die Einheiten vertauschen, kommen entweder sehr viel zu große oder sehr viel zu kleine Werte raus.

    Also wie immer unbedingt auf die Einheiten achten!

  • Bestimme das Alter der Mumie.

    Tipps

    $C(t) = C_0 \cdot e^{-a \cdot t} $

    $t_{\frac{1}{2}} = 5730 a$

    $t = t_{\frac{1}{2}} \cdot \frac{ln(\frac{C_0}{C})}{ln(2)}$

    Lösung

    Die $C14$-Methode wird dazu benutzt, das Alter abgestorbener Organismen näherungsweise zu bestimmen.

    Dabei wir die Konzentration der C-Isotope zum Todeszeitpunkt ins Verhältnis zur Konzentration zum Vergleichszeitpunkt gesetzt. Zusätzlich muss die Halbwertszeit des betrachteten Isotopes bekannt sein.

    Fassen wir nun alle diese genannten Größen in einer Formel zusammen, so ergibt sich:

    $C(t) = C_0 \cdot e^{-a \cdot t} $

    Der Abklingfaktor $a$ ergibt sich aus der Division von $ln2$ durch die Halbwertszeit. So ergibt sich $a = \frac{ln 2}{5.730 a} =1,2097 \cdot 10^{-4} a^{-1}$.

    $C$ und $C_0$ sind in der Aufgabenstellung gegeben.

    Stellen wir nun die Formel nach der gesuchten Größe, der Zeit $t$, um, so erhalten wir:

    $t = t_{\frac{1}{2}} \cdot \frac{ln (\frac{C_0}{C})}{ln(2)}$

    Wir setzen ein und erhalten $t = 4.154,2 a$.

    Es ist also durchaus möglich, dass die gefundene Mumie zur Zeit der Pharaonen im alten Ägypten lebte.

  • Gib an, wozu die $C14$-Methode benutzt werden kann.

    Tipps

    Für die $C14$-Methode ist die Halbwertszeit des Isotopes wichtig.

    Die Konzentration des $C14$-Isotops ist in einem lebendigen Organismus konstant.

    Lösung

    Die $C14$-Methode kann dazu genutzt werden, das Alter eines abgestorbenen Organismus näherungsweise zu bestimmen.

    Doch warum gilt diese Berechnung nur für tote Organismen?

    Diese Methode funktioniert aus einem relativ einfachen Grund. Die Konzentration des $C14$-Isotops ist in einem lebendigen Organismus konstant. Erst mit dessen Tod nimmt diese Konzentration langsam ab.

    Aufgrund dieser Tatsache kann man Rückschlüsse von der verbliebenen $C14$-Konzentration auf das Alter des Organismus schließen.

    Neben dem Verhältnis der Konzentration ist es wichtig die Halbwertszeit des Isotopes zu kennen. Aus der Halbwertszeit können wir dann den Abklingfaktor berechnen und so Altersbestimmungen in einem Zeitrahmen von $100 - 60.000$ Jahren durchführen.

  • Bestimme die Halbwertszeit.

    Tipps

    $a = \frac{ln (\frac{C_0}{C})}{t}$

    Bevor du den $ln$ anwendest, stelle sicher, dass auf einer Seite nur $e^x$ steht.

    Die Zielgröße ist $t_{\frac{1}{2}}$

    Lösung

    Bisher haben wir aus bekannter Halbwertszeit sowie $C$ und $C_0$ die Altersbestimmung durchgeführt.

    Dabei wählten wir den Ansatz: $C(t) = C_0 \cdot e^{-a \cdot t} $

    Der Abklingfaktor $a$ ergibt sich nun aus der Division von $ln2$ durch die Halbwertszeit.

    Ziel muss es also sein, nach $a$ aufzulösen, um daraus schlussendlich die Halbwertszeit zu bestimmen.

    Dazu dividieren wir durch $C_0$, wenden den $ln$ an und lösen nach $a$. So ergibt sich:

    $a = \frac{ln (\frac{C_0}{C})}{t}$.

    Mit $a$ können wir nun leicht die Halbwertszeit bestimmen: $ a= \frac{ln2}{t_{\frac{1}{2}}} \to t_{\frac{1}{2}} = \frac{ln2}{a}$ .

    Mit dieser Formel können wir nun die Halbwertszeit aus $C$, $C_0$ und $t$ bestimmen.