Konstruktionen mit dem Geodreieck: Winkel und parallele Geraden zeichnen

Konstruktionen mit dem Geodreieck: Winkel und parallele Geraden zeichnen Übung

• Gib an, welche Zeichnung auf den Bildern dargestellt ist.

  Tipps

  Um eine Parallele in kleinem Abstand zu zeichnen, können wir die parallelen Hilfslinien verwenden.

  Senkrechte zu einer Geraden zeichnen:
  Wir legen das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade. Den Nullpunkt platzieren wir dort, wo die Senkrechte die Gerade schneiden soll. Dann zeichnen wir die Senkrechte entlang der Linealkante.

  Lösung

  Das Geodreieck ist ein nützliches Werkzeug in der Geometrie. Wir erläutern im Folgenden, welche Zeichnungen wir mit dem Geodreieck durchführen können:

  $\,$

  • Zeichnen einer Senkrechten zu einer Geraden:

  Wir legen das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade. Den Nullpunkt platzieren wir dort, wo die Senkrechte die Gerade schneiden soll. Dann zeichnen wir die Senkrechte entlang der Linealkante.

  • Zeichnen eines Winkels durch Drehen des Geodreiecks:

  Wir können einen Winkel zeichnen, indem wir zunächst einen Schenkel zeichnen und den Scheitelpunkt markieren. Wir setzen nun den Nullpunkt des Geodreiecks an den Scheitelpunkt und drehen es so lange gegen den Uhrzeigersinn, bis die gewünschte Winkelmarkierung genau auf dem Schenkel liegt. Von dort zeichnen wir dann den zweiten Schenkel ein.

  • Zeichnen eines Winkels durch Markieren am Geodreieck:

  Wir zeichnen wieder zuerst einen Schenkel und markieren den Scheitelpunkt. Wir legen das Geodreieck mit der Zeichenkante auf den Schenkel, sodass der Nullpunkt auf dem Scheitelpunkt liegt. Wir betrachten die Winkelskala, welche am Schenkel bei $0^\circ$ beginnt und markieren an dieser Winkelskala den gewünschten Winkel mit einem Hilfspunkt. Zuletzt verbinden wir diesen Hilfspunkt mit dem Scheitelpunkt.

  • Zeichnen einer Parallelen mit kleinem Abstand:

  Um eine Parallele zu einer gegebenen Geraden in kleinem Abstand zu zeichnen, verwenden wir die parallelen Hilfslinien auf dem Geodreieck. Die Zahlen an den Hilfslinien geben uns den Abstand an. Wir wählen also die Hilfslinie mit dem gewünschten Abstand aus, und legen diese auf die gegebene Gerade. Dann können wir die Parallele entlang der Linealkante zeichnen.

  • Zeichnen einer Parallelen mit großem Abstand:

  Um eine Parallele zu einer gegebenen Geraden in großem Abstand zu zeichnen, zeichnen wir zunächst eine senkrechte Hilfsgerade zu der gegebenen Geraden. Wir markieren den gewünschten Abstand an der Hilfsgeraden. Dann legen wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Hilfsgerade und können an dem markierten Punkt eine zweite Senkrechte zeichnen. Dies ist die gesuchte Parallele.
  Dieses Vorgehen ist nicht auf den Bildern dargestellt.

• Beschreibe, wie man einen $60^\circ$-Winkel durch Drehen des Geodreiecks zeichnen kann.

  Tipps

  Bevor wir das Geodreieck drehen, müssen wir darauf achten, dass der Nullpunkt auf dem Scheitelpunkt liegt.

  Das Zeichnen des zweiten Schenkels ist der letzte Schritt.

  Lösung

  Mit dem Geodreieck können wir beliebige Winkel zeichnen. Dazu können wir entweder den Winkel am Geodreieck markieren, oder das Geodreieck drehen. Wir betrachten im Folgenden zunächst das Zeichnen eines Winkels durch Drehen des Geodreiecks:

  • Wir zeichnen zuerst einen Schenkel und markieren am Ende des Scheitels den Scheitelpunkt $S$.
  • Wir setzen den Nullpunkt des Geodreiecks an den Scheitelpunkt, die Spitze des Geodreiecks zeigt nach unten.
  • Wir betrachten nun die Winkelskala, die am Schenkel bei $0^\circ$ beginnt. Dies ist die innere Winkelskala. Wir drehen das Geodreieck gegen den Uhrzeigersinn.
  • Wir stoppen das Geodreieck, wenn die $60^\circ$-Markierung der inneren Winkelskala auf dem Schenkel liegt. Wir achten darauf, dass der Nullpunkt immer noch auf dem Scheitelpunkt liegt.
  • Wir zeichnen dort den zweiten Schenkel ein.

  $\,$

  Hinweis:
  Wir können den Winkel auch zeichnen, indem wir ihn am Geodreieck markieren.

  • Dazu zeichnen wir wieder zuerst einen Schenkel und markieren den Scheitelpunkt.
  • Wir legen das Geodreieck dann mit der Zeichenkante auf den Schenkel, sodass der Nullpunkt auf dem Scheitelpunkt liegt.
  • Wir betrachten die Winkelskala, welche am Schenkel bei $0^\circ$ beginnt, und markieren an dieser Winkelskala den $60^\circ$-Winkel mit einem Hilfspunkt.
  • Zuletzt verbinden wir diesen Hilfspunkt mit dem Scheitelpunkt.

• Bestimme die passenden Winkelgrößen, die beim Zeichnen entstehen.

  Tipps

  Achte darauf, dass du die Winkel an der richtigen Winkelskala abliest.

  Es sind nur Winkelgrößen, die auf $0$ oder $5$ enden, gesucht.

  • Zum Zeichnen eines Winkels zeichnen wir zuerst einen Schenkel und markieren den Scheitelpunkt.
  • Wir legen das Geodreieck dann mit der Zeichenkante auf den Schenkel, sodass der Nullpunkt auf dem Scheitelpunkt liegt.
  • Wir betrachten dann die Winkelskala, welche am Schenkel bei $0^\circ$ beginnt.

  Lösung

  Wir können das Geodreieck verwenden, um Winkel zu zeichnen. Dazu gehen wir wie folgt vor:

  • Wir zeichnen zuerst einen Schenkel und markieren den Scheitelpunkt.
  • Wir legen das Geodreieck dann mit der Zeichenkante auf den Schenkel, sodass der Nullpunkt auf dem Scheitelpunkt liegt.
  • Wir betrachten die Winkelskala, welche am Schenkel bei $0^\circ$ beginnt, und markieren an dieser Winkelskala den gewünschten Winkel mit einem Hilfspunkt.
  • Zuletzt verbinden wir diesen Hilfspunkt mit dem Scheitelpunkt.

  Wir untersuchen also, welche Winkel an der äußeren Winkelskala markiert wurden und tragen diese wie im Bild dargestellt ein.

• Überprüfe die Aussagen zum Zeichnen von Parallelen mit dem Geodreieck.

  Tipps

  Je nachdem, ob wir die Parallele in kleinem oder in großem Abstand zeichnen, gehen wir unterschiedlich vor.

  Lösung

  Wir können das Geodreieck verwenden, um eine Parallele zu zeichnen. Je nachdem, ob wir die Parallele in kleinem oder in großem Abstand zeichnen, gehen wir unterschiedlich vor.

  Zeichnen einer Parallelen mit kleinem Abstand:
  Um eine Parallele zu einer gegebenen Geraden in kleinem Abstand zu zeichnen, verwenden wir die parallelen Hilfslinien auf dem Geodreieck. Die Zahlen an den Hilfslinien geben uns den Abstand an. Wir wählen also die Hilfslinie mit dem gewünschten Abstand aus, und legen diese auf die gegebene Gerade. Dann können wir die Parallele entlang der Linealkante zeichnen.

  Zeichnen einer Parallelen mit großem Abstand:
  Um eine Parallele zu einer gegebenen Geraden in großem Abstand zu zeichnen, zeichnen wir zunächst eine senkrechte Hilfsgerade zu der gegebenen Geraden. Wir markieren den gewünschten Abstand an der Hilfsgeraden. Dann legen wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Hilfsgerade und können an dem markierten Punkte eine zweite Senkrechte zeichnen. Dies ist die gesuchte Parallele.

  $\,$

  Wir können damit die Aussagen wie folgt zuordnen:

  Korrekte Aussagen:

  • Für Parallelen in kleinen Abständen können wir die Hilfslinien auf dem Geodreieck verwenden. Dabei gehen wir wie oben beschrieben vor.
  • Die parallelen Hilfslinien und die Mittellinie des Geodreiecks stehen senkrecht aufeinander. Dies ergibt sich daraus, dass die Mittellinie senkrecht zur Zeichenkante steht.
  • Wenn wir eine Parallele in einem Abstand von $10~\text{cm}$ zeichnen wollen, müssen wir eine senkrechte Hilfsgerade verwenden. Da die parallelen Hilfslinien nicht bis $10~\text{cm}$ gehen, können wir sie hier nicht verwenden.

  Falsche Aussagen:

  • Um eine Parallele zu einer Geraden zu zeichnen, müssen wir immer die parallelen Hilfslinien auf dem Geodreieck verwenden. Dies ist nicht richtig, denn wenn der Abstand zwischen Gerade und Parallele zu groß ist, können wir die Hilfslinien nicht mehr verwenden. Wir zeichnen die Parallele dann mit Hilfe einer senkrechten Hilfsgerade.
  • Die parallelen Hilfslinien auf dem Geodreieck können wir auch verwenden, um einen beliebigen Winkel zu zeichnen. Diese Aussage ist falsch, die parallelen Hilfslinien dienen nur zum Zeichnen von Parallelen. Um einen Winkel zu zeichnen, verwenden wir hingegen die Winkelskala.
  • Es gibt immer zwei Möglichkeiten eine Parallele zu zeichnen. Diese Aussage ist falsch. Ist der Abstand zwischen Gerade und Parallele groß, müssen wir diese immer mit Hilfe einer senkrechten Hilfsgeraden zeichnen.

• Benenne die einzelnen Elemente des Geodreiecks.

  Tipps

  Die Zeichenkante ist an der längsten Seite. Wir können sie als Lineal verwenden.

  Eine Basis gibt es am Geodreieck nicht.

  Lösung

  Das Geodreieck ist ein nützliches Werkzeug in der Geometrie. Um es sicher verwenden zu können, müssen wir die einzelnen Elemente des Geodreiecks gut kennen:

  $\,$

  Zeichenkante:
  Die Zeichenkante ist an der längsten Seite. Wir können sie als Lineal verwenden.

  Mittlellinie:
  Die Mittellinie beginnt an der Zeichenkante und verläuft senkrecht, also genau im $90^\circ$-Winkel zur Zeichenkante. Sie teilt das Geodreieck in zwei gleich große Hälften.

  Winkelskala:
  Die Winkelskala hilft uns beim Zeichnen oder Messen von Winkeln. Es gibt eine äußere und eine innere Winkelskala. Mit beiden können wir jeweils einen Winkel zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$ messen oder auch einzeichnen.

  Parallele Hilfslinien:
  Auf dem Geodreieck befinden sich außerdem Hilfslinien, welche wir zum Zeichnen von parallelen Geraden und Strecken verwenden können.

• Beschreibe, wie man einen $260^\circ$-Winkel mit dem Geodreieck zeichnet.

  Tipps

  Man nennt den zu zeichnenden Winkel einen überstumpfen Winkel, da er größer als $180^\circ$ ist.

  Versuche, den Winkel in zwei Teile aufzuteilen.

  Beim Zeichnen des Winkels gehst du genau wie beim Zeichnen eines Winkels mit Markieren am Geodreieck vor.

  Lösung

  Zeichnen eines überstumpfen Winkels:

  Ein Winkel, welcher größer als $180^\circ$ ist, bezeichnen wir als überstumpfen Winkel. Um einen solchen überstumpfen Winkel mit dem Geodreieck zu zeichnen, müssen wir einen Trick anwenden, da die Winkelskala das Geodreiecks nur bis $180^\circ$ geht.

  $\,$

  Wir betrachten als Beispiel den $260^\circ$-Winkel: Wir schreiben den Winkel als Summe aus einem $180^\circ$-Winkel und einem weiteren Summanden:
  $260^\circ=180^\circ + 80^\circ$.

  $\,$

  Für das Zeichnen gehen wir nun wie folgt vor:

  • Wir zeichnen wieder zuerst einen Schenkel und markieren den Scheitelpunkt.
  • Dann zeichnen wir eine gestrichelte Hilfslinie, welche den Schenkel zu einem $180^\circ$-Winkel verlängert.
  • Wir legen nun das Geodreick umgekehrt an den verlängerten Schenkel an und achten darauf, dass der Nullpunkt auf dem Scheitelpunkt liegt.
  • Wir markieren an der äußeren Winkelskala die $80^\circ$ mit einem Punkt.
  • Dann verbinden wir diesen Hilfspunkt mit dem Scheitelpunkt.
  • Zum Schluss müssen wir darauf achten, den richtigen Winkel zu markieren. Dieser ist in der Abbildung rot mit $\alpha$ beschriftet.