Bewegung im Diagramm darstellen

Bewegung im Diagramm darstellen Übung

• Vervollständige den Text über die Darstellung von Bewegungen im Diagramm.

  Tipps

  Die Begriffe „Zeit“ und „Strecke“ benötigst du zweimal: einmal im ersten und einmal im zweiten Abschnitt.

  Eine Geschwindigkeit beschreibt eine zurückgelegte Strecke pro Zeit. Mathematisch meint „pro“ eine Division („geteilt durch“).

  Lösung

  Erster Abschnitt: Das Experiment

  Die Untersuchung von Bewegungen von Körpern ist ein wichtiger Punkt der experimentellen Mechanik.

  Aus der einfachen Messung von Strecke und Zeit kann man viel über den Bewegungszustand des Körpers lernen und so z. B. Vorhersagen über seinen Aufenthaltsort in der Zukunft machen.

  Bevor man die Messergebnisse aber auswerten kann, sollte man sie in einer Wertetabelle eintragen.

  Zweiter Abschnitt: Die grafische Darstellung

  In einer Wertetabelle ist es schwer, physikalische Zusammenhänge zu erkennen. Leichter gelingt dies, wenn man die gemessenen Werte in einem Zeit-Weg-Diagramm bzw. Weg-Zeit-Diagramm darstellt.

  In physikalischen Diagrammen ist es üblich, dass man auf der $x$-Achse den Messwert einträgt, der unabhängig von dem Experiment ist. Das ist hier die Zeit. Denn ganz egal, wie sich der Körper bewegt, wird immer eine Sekunde pro Sekunde vergehen. Auf der $y$-Achse wird dann der abhängige Messwert eingetragen. Das ist hier die zurückgelegte Strecke. Sie hängt von der Bewegung des Körpers und der verstrichenen Zeit ab.

  Der große Vorteil der grafischen Darstellung ist, dass sie uns erlaubt, etwas über den Körper herauszufinden, was wir vorher gar nicht im Experiment gemessen haben: Wenn wir alle Messwerte zu einer Geraden verbinden, dann können wir zum einen herausfinden, wo der Körper sich zwischen unseren Messungen befunden hat. Zum anderen können wir die Gerade auch verlängern und so voraussehen, wo sich der Körper in der Zukunft befinden wird.

  Dritter Abschnitt: Die weitere Auswertung

  Aus dem Diagramm können wir, wie bereits erwähnt, auch Informationen gewinnen, die wir im Experiment überhaupt nicht gemessen haben. Bei einem Weg-Zeit-Diagramm ist das in erster Linie die Geschwindigkeit des Körpers im Experiment.

  Diese entspricht der Steigung der Geraden, die die Messwerte verbindet. Die Steigung im Zeit-Weg-Diagramm drückt aus, wie viel Strecke pro Zeit zurückgelegt wurde. Das ist genau die Definition der Geschwindigkeit: $v = \dfrac{s}{t}$.

  Je steiler die Kurve ist, desto schneller bewegt sich der Körper. Eine waagerechte Linie entspricht der Steigung $0$: Es wird kein Weg zurückgelegt, während die Zeit verstreicht. Das heißt, der Körper ruht an seinem Ort.

  Können wir alle unsere Messwerte mit einer einfachen Geraden verbinden, spricht man in der Physik von einer gleichförmigen Bewegung.

• Bestimme die Werte der Wertetabelle aus dem Diagramm.

  Tipps

  Die Kreuze zeigen die Messwerte an. Für jeden der sechs Messwerte muss ein $t$-Wert und ein $s$-Wert eingetragen werden. Die Werte sollen zeitlich geordnet sein.

  Auf der $x$-Achse ist die Zeit in Sekunden abgetragen.

  Versuche, das Muster bei den Zeit- und den Strecken-Werten zu erkennen, um den Wert für $t=12~\text{s}$ herauszufinden.

  Alle zwei Sekunden legt Horst eine Strecke von drei Metern zurück.

  Lösung

  Die Messwerte

  In dem Zeit-Weg-Diagramm ist auf der $x$-Achse die Zeit in Sekunden abgetragen und auf der $y$-Achse die zurückgelegte Strecke in Meter. Die Kreuze in dem Diagramm zeigen die Messwerte. Der Hamster Horst startet seinen Weg zum Zeitpunkt $t=0~\text{s}$ beim Startpunkt $s=0~\text{m}$. Danach misst Hanna alle zwei Sekunden die zurückgelegte Strecke. Im Diagramm können wir ablesen, wie weit Horst zu diesen sechs Zeitpunkten gekommen ist. Dafür müssen wir nur schauen, welchen $y$-Wert die Kreuze an den genannten $x$-Werten haben.

  $\begin{array}{c|c} t~ \text{in s} & s~ \text{in m}\\ \hline 0 & 0 \\ 2&3\\ 4&6\\ 6&9\\ 8&12\\ 10&15\\ 12&18\\ \end{array}$

  
  

  Vorhersage

  Wir sehen, dass die Messwerte alle auf einer Geraden liegen. Das bedeutet, dass Horst mit einer konstanten Geschwindigkeit unterwegs ist. Wenn wir davon ausgehen, dass das so bleibt, dann können wir vorhersagen, wie weit der Hamster zu einem späteren Zeitpunkt gekommen ist. Aus den Messwerten erkennen wir, dass sich die Strecke alle zwei Sekunden um $3~\text{m}$ erhöht. Das heißt, dass der Hamster zum Zeitpunkt $t=12~\text{s}$ die Strecke $s=15~\text{m} + 3~\text{m} =18~\text{m}$ zurückgelegt hat.

  
  

  Weiter gedacht

  Wir können aus dem Diagramm auch die Gleichung für die zurückgelegte Strecke bestimmen. Die Gleichung sieht im Allgemeinen so aus: $s = v \cdot t$. Die Geschwindigkeit $v$ entspricht der Steigung der Geraden. Diese können wir aus der zurückgelegten Strecke und der dafür benötigten Zeit berechnen:

  $v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{3~\text{m}}{2~\text{s}} = 1{,}5~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Damit ergibt sich die Gleichung für die Strecke als:

  $s(t) = 1{,}5~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t$

  Falls Horst immer weiterläuft, könnten wir mit dieser Gleichung – ganz ohne etwas zu messen – sagen, wie weit er in $40$ Sekunden kommen wird oder sogar in einigen Stunden. (Irgendwann wird es allerdings unwahrscheinlich, dass der Hamster genau so weiterläuft. Er muss schließlich auch mal fressen und schlafen ...)

• Ermittle die Parameter der Gleichung für die Strecke aus dem Diagramm.

  Tipps

  Der Startort ist der Wert, den du bei $t=0$ auf der Weg-Achse ablesen kannst.

  Die Geschwindigkeit kannst du nicht unmittelbar aus dem Diagramm ablesen: Du musst sie berechnen.

  Die Formel für die Geschwindigkeit ist $v = \dfrac{s}{t}$.

  Achtung: Bei der Formel für die Geschwindigkeit geht es um die zurückgelegte Strecke pro Zeit. Du musst also auch den Startort berücksichtigen.

  Lösung

  Der Startort $s_0$ ist der Ort, an dem sich der Körper zum Zeitpunkt $t=0$ befindet. Man kann sich das als den Abstand des Körpers von einer gedachten Startlinie vorstellen, wenn man mit dem Experiment beginnt. Wir finden ihn im Diagramm ganz links, bei $t=0$, also dort, wo die Gerade die senkrechte Weg-Achse schneidet. Hier lesen wir den Wert $5$ ab. Da die Weg-Achse in der Einheit $\text{m}$ dargestellt ist, ist $s_0 = 5~\text{m}$.

  Die Geschwindigkeit ist nicht ganz so leicht abzulesen – hier müssen wir ein bisschen rechnen. Es gilt die Gleichung $v = \dfrac{s}{t}$, wobei $s$ die zurückgelegte Strecke pro Zeit $t$ meint.

  Zusatzinfo

  Um hier keine Fehler zu machen, können wir auch schreiben $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$. Dann ist ganz klar, dass man nicht einfach einen beliebigen $s$-Wert durch den dazugehörigen $t$-Wert teilen darf. Das Symbol $\Delta$ heißt „Delta“ und steht in der Physik für den Unterschied zwischen zwei Messwerten. Zum Beispiel wäre $\Delta s = s_2 - s_1$ die zurückgelegte Strecke zwischen dem Ort $s_1$ und dem Ort $s_2$.

  Zurück zur Lösung

  In dem Experiment sind insgesamt $t=3~\text{s}$ vergangen. (Wir starten bei $t_1=0~\text{s}$ und enden bei $t_2=3~\text{s}$.) In diesen $3~\text{s}$ hat sich der Körper von $s_1=5~\text{m}$ bis zu $s_2=35~\text{m}$ bewegt. Das entspricht einer zurückgelegten Strecke von $30~\text{m}$. Wir erhalten mit diesen Werten eine Geschwindigkeit von:

  $v = \dfrac{30~\text{m}}{3~\text{s}} = 10~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Zum Schluss müssen wir die beiden Werte noch in die Gleichung für die Strecke einsetzen.

  Tipp: Einheiten

  Falls du vergessen hast, wie genau die Gleichung für die Strecke aussieht, kannst du dich an den Einheiten orientieren.

  Du weißt:

  • Eine Geschwindigkeit wird in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ gemessen,
  • eine Zeit in $\text{s}$ und
  • eine Strecke in $\text{m}$.

  Bei der Gleichung muss also bei allen Termen die Einheit $\text{m}$ herauskommen.

  Wenn man eine Geschwindigkeit in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ mit einer Zeit in $\text{s}$ multipliziert, kürzen sich die Sekunden und es bleiben – wie gewollt – die Meter ($\text{m}$) übrig. Der Startort ist hingegen bereits in der gesuchten Einheit $\text{m}$. Die Gleichung für die Strecke ist:

  $s = v \cdot t + s_0$

  Somit finden wir für die Gerade im Diagramm die Funktion:

  $s = 10~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t + 5~\text{m}$

• Entscheide, welche Aussagen über die dargestellten Zeit-Weg-Funktionen zutreffen.

  Tipps

  Drei Aussagen sind korrekt.

  Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung einer Geraden im Zeit-Weg-Diagramm.

  Die zurückgelegte Strecke bestimmt sich aus dem Abstand zwischen Start- und Zielort.

  Lösung

  Gehen wir alle Aussagen durch und überlegen, warum sie stimmen oder nicht:

  • Die Aussage „Alle drei Körper haben unterschiedliche Startorte.“ ist falsch.

  Körper Nr. 1 und Nr. 2 starten beide bei $s_0 = 0~\text{m}$.

  • Die Aussage „$\color{darkgreen}{\text{Körper}~1}$ bewegt sich mit der höchsten Geschwindigkeit.“ ist richtig.

  Wir erkennen das daran, dass die dunkelgrüne Gerade am steilsten ist.

  • Die Aussage „$\color{orange}{\text{Körper}~3}$ legt in dem Experiment die kürzeste Strecke zurück.“ ist richtig.

  Um dies zu wissen, müssen wir gar nicht die genauen Strecken ermitteln, die jeweils zurückgelegt wurden: Der Körper mit der niedrigsten Geschwindigkeit, also der flachsten Gerade, legt immer den kürzesten Weg zurück.

  • Die Aussage „$\color{purple}{\text{Körper}~2}$ hat eine Geschwindigkeit von $v_2 = 4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.“ ist richtig.

  Wir setzen die zurückgelegte Strecke ($s=40~\text{m}$) und die dafür benötige Zeit ($t=10~\text{s}$) in die Gleichung für die Geschwindigkeit ein und erhalten $v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{40~\text{m}}{10~\text{s}} = 4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

  • Die Aussage „Nach dem Start treffen sich $\color{darkgreen}{\text{Körper}~1}$ und $\color{purple}{\text{Körper}~2}$ noch einmal am selben Ort.“ ist falsch.

  Zwei Geraden haben maximal einen Schnittpunkt. Da die beiden Körper den gleichen Startort haben, ist es unmöglich, dass ihre Geraden sich noch in einem anderen Punkt schneiden. Dies wäre aber die Voraussetzung dafür, dass sie sich an einem Ort treffen (also zur gleichen Zeit an der gleichen Stelle sind).

• Bestimme, welche Darstellung zu den Daten aus dem Experiment passt.

  Tipps

  Ein Diagramm und eine Gleichung sind richtig.

  Du kannst bei der Gleichung ein paar $t$-Werte aus der Tabelle einsetzen, um herauszufinden, ob sie die richtigen $s$-Werte liefert.

  Finde heraus, welches der Diagramme Punkte aus der Wertetabelle enthält.

  Lösung

  Die richtige Gleichung:

  Um die Gleichung für die Strecke zu finden, die zu der gegebenen Wertetabelle passt, sollten wir uns noch einmal an die allgemeine Form dieser Gleichung erinnern:

  $s = v \cdot t + s_0$

  Dabei ist $v$ die Geschwindigkeit und $s_0$ der Startort, also der $s$-Wert bei $t=0~\text{s}$. Beide Informationen können wir aus der Tabelle ablesen.
  Die Geschwindigkeit ist in der untersten Zeile angegeben. Sie hat den Wert $v = 1~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
  Den Startort finden wir in der zweiten Zeile der Tabelle in der zweiten Spalte (bei $t=0~\text{s}$). Er hat den Wert ${s_0 = 2~\text{m}}$.
  Damit lautet die korrekte Gleichung für die Strecke:

  $s = 1~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t + 2~\text{m}$

  Das richtige Diagramm:

  Um das passende Diagramm zu finden, könnten wir ganz akribisch prüfen, welche der eingezeichneten Kreuze in der Tabelle aufgeführt sind. Hier gibt es aber auch eine sehr viel schnellere Lösung! Am einfachsten ist es nämlich, den Startort $s_0$ in einem Diagramm abzulesen. Dieser entspricht dem Schnittpunkt der Geraden mit der $y$-Achse. Der Startort ist in der Tabelle $s_0 = 2~\text{m}$. Die grüne Gerade schneidet die $y$-Achse genau bei $2~\text{m}$. Somit stellt sie das Diagramm dar, das zu der Wertetabelle gehört.

• Entscheide, welches Experiment in welchem Diagramm dargestellt wird.

  Tipps

  Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Geradensteigung im Zeit-Weg-Diagramm und Geschwindigkeit.

  Wenn sich das Vorzeichen der Geschwindigkeit ändert, dann entspricht dies einer Richtungsänderung des Körpers.

  Bei einer Steigung von $0$ ändert sich der Ort des Körpers nicht.

  Lösung

  Anhand von Zeit-Weg-Diagrammen bzw. Weg-Zeit-Diagrammen kann man die Bewegungen von Körpern in verschiedenen Situationen darstellen.

  • Zu dem Experiment „Ein Körper fährt zu bis zu einem bestimmten Punkt, bleibt stehen und fährt anschließend mit der gleichen Geschwindigkeit an seinen Startort zurück.“ gehört die rote Kurve.

  Wir sehen hier eine Gerade, die im Ursprung beginnt und für eine gewisse Zeit eine bestimmte Steigung hat.
  Darauf folgt ein Abschnitt, an dem sich der $s$-Wert nicht verändert. Hier ist die Steigung der Gerade, die der Geschwindigkeit des Körpers entspricht, $v=0$. Das bedeutet, dass der Körper stehen bleibt.
  Im letzten Abschnitt ist die Gerade andersherum geneigt: Die Steigung, und damit die Geschwindigkeit, ist negativ. Physikalisch entspricht das einer Richtungsänderung. Die Steigung ist betragsmäßig allerdings unverändert. Der Körper bewegt sich also mit der Geschwindigkeit zurück zu seinem Startort, mit der er von ihm weggefahren ist.

  • Zu dem Experiment „Die Geschwindigkeit eines Körpers wird immer größer.“ gehört die blaue Kurve.

  Hier ist erkennbar, dass die Gerade von Abschnitt zu Abschnitt immer steiler wird: Je größer die Geradensteigung ist, desto höher ist die Geschwindigkeit.

  • Zu dem Experiment „Ein Körper bewegt sich mit einer Geschwindigkeit, bleibt stehen und bewegt sich dann mit einer höheren Geschwindigkeit weiter.“ gehört die grüne Kurve.

  Dies ist eine Kombination aus den beiden davor beschriebenen Experimenten: Im ersten Abschnitt sehen wir eine Gerade mit einer bestimmten Steigung, also einer bestimmten Startgeschwindigkeit. Im zweiten Abschnitt ist die Gerade waagerecht. Der Körper bewegt sich folglich nicht. Im letzten Abschnitt hat die Gerade eine größere Steigung als im ersten. Der Körper ist somit nun schneller unterwegs.

  • Zu dem Experiment „Ein Körper wird immer langsamer, bis er stehen bleibt.“ gehört die violette Kurve.

  Von Abschnitt zu Abschnitt wird die Geradensteigung geringer. Das bedeutet, der Körper wird immer langsamer. Am Ende ist die Steigung $0$ und der Körper bewegt sich nicht mehr.

  • Zu dem Experiment „Ein Körper bewegt sich zwischen zwei Punkten immer hin und her.“ gehört die orange Kurve.

  Die Erklärung ist hier fast wie bei dem ersten Experiment, nur dass die Haltepause in der Mitte fehlt und dass das Experiment noch einmal wiederholt wurde. Dass der Startort nicht bei $0$ liegt, ist für die Bewegung egal.