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Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit

Die Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit beschreibt, wie die Arrhenius-Gleichung die Reaktionsgeschwindigkeit $k$ in Abhängigkeit von der Temperatur $T$ bestimmt. Die RGT-Regel besagt: Eine Temperaturerhöhung um 10 Kelvin verdoppelt bis vervierfacht die Reaktionsgeschwindigkeit. Interessiert? Das und vieles mehr erfährst du im folgenden Text!

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Die Autor*innen
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André Otto
Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit kannst du es wiederholen und üben.
  • Erkläre die Arrhenius-Gleichung.

    Tipps

    Die Formel ist nach ihrem Entdecker benannt.

    Lösung

    Die Arrhenius-Gleichung wurde nach ihrem Entdecker, dem Chemiker, Physiker und Nobelpreisträger Svante Arrhenius, benannt. Sie beschreibt die Temperaturabhängigkeit von Reaktionen und führt zur sogenannten RGT-Regel, nach der sich die Reaktionsgeschwindigkeit von Reaktionen bei der Erhöhung der Temperatur um $10\,\text{K}$ verdoppelt. Die Arrhenius-Regel besteht aus einigen wichtigen Bestandteilen, wie etwa der Temperatur $T$, dem präexponentiellen (vor der Exponentialfunktion stehenden) Faktor $A$, der Aktivierungsenergie ${E}_{a}$ und der universellen Gaskonstante $R$.

    Die universelle Gaskonstante beträgt $8{,}314\,\frac {\text{J}}{\text{K} \cdot \text{mol}}$. Die Aktivierungsenergie wird in $\frac{\text{J}}{\text{mol}}$ angegeben und muss vor einer Reaktion überwunden werden, damit die Reaktion stattfinden kann. Sollte sie negativ sein, ist die Reaktion exotherm. Die Temperatur ist sicherlich einer der wichtigsten Faktoren und wird in $\text{K}$ angegeben. Sie bestimmt über den Verlauf der Arrhenius-Gleichung.

  • Bestimme die Aktivierungsenergien bei folgenden Temperaturen.

    Tipps

    Setze die Werte der Temperatur in die vereinfachte Gleichung ein, um die entsprechenden Aktivierungsenergiewerte zu bekommen.

    Die Einheit der universellen Gaskonstante ist $\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}}$. Die gegebenen Aktivierungsenergien sind in $\frac{\text{kJ}}{\text{mol}} umgerechnet.

    Lösung

    Die Arrhenius-Formel lautet: <p>$k=t A \cdot {E}_{a}{ \cdot e}^{\frac{-{E}_{a}}{R \cdot T}}$.</p>

    Wenn man nun die Formel für die Berechnung der Aktivierungsenergie umstellt, erhält man <p>$E_{a} = 8{,}314 \cdot \frac {\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10)$.</p> Dies ist die vereinfachte Formel, die nach Einsetzen der verschiedenen Werte für die Temperatur nun einen Wert für die Aktivierungsenergie ergibt.

    Setzt man konkret $300\,\text{K}$ in die vereinfachte Formel ein, so ergibt sich beispielsweise ein Wert von $53594\,\frac{\text{J}}{\text{mol}}$, also umgerechnet $54\,\frac{\text{kJ}}{\text{mol}}$ für die Aktivierungsenergie. Dabei steigt die Aktivierungsenergie mit steigenden Temperaturwerten.

  • Erkläre das Grenzwertverhalten der Temperatur in der Arrhenius-Gleichung.

    Tipps

    Der Wert $\frac {1}{\infty}$ nähert sich dem Wert $0$ an.

    Die Temperaturauswirkung wird durch die Reaktionskonstante $k$ am Graphen deutlich, die durch die Steigung bestimmt werden kann.

    Lösung

    <p>$k = A {\cdot e}^{\frac{-{E}_{a}}{Rv\cdot T}}$<p>

    Diese Gleichung soll nun für Extremwerte betrachtet werden. Wenn die Temperatur gegen $0$ geht, so ergibt sich folgender Term:

    <p>${e}^{\frac{{E}_{a}}{R \cdot [T \rightarrow 0] } \quad }\Rightarrow \quad \lim _{ }{k \rightarrow 0}$

    Das bedeutet, wenn $k$ sich dem Wert $0$ annähert, auch die Temperatur gegen $0$ geht. Umgekehrt nähert sich der Wert der <nobr>$e$-Funktion</nobr> dem Wert $1$ an, wenn gilt: $T \rightarrow \infty$.

    Somit ergibt sich in diesem Fall für die Arrhenius-Gleichung:

    <p>$k \quad = \quad A \cdot 1$.</p>

    Bei hohen Temperaturen nähert sich $k$ also dem präexponentiellen Faktor $A$ an. Diese Entwicklung lässt sich asymptotisch in den Graphen übertragen. Eine Temperaturerhöhung hat also in den unteren Bereichen viel stärkere Auswirkung auf die Reaktionsgeschwindigkeit, da hier der Anstieg der Kurve höher ist.

  • Berechne die Aktivierungsenergie in folgenden Beispielen.

    Tipps

    Die ersten beiden Nachkommastellen sind anzugeben, auch, wenn es sich etwa um eine Null als letzte Stelle handelt. Ab $5$ wird aufgerundet.

    Die Aktivierungsenergie wird mit einer Erhöhung der Temperatur ebenfalls steigen.

    Lösung

    Die Arrhenius-Formel lautet: <p>$k = {A \cdot e}^{\frac{-E_a}{R \cdot T}}$.</p> Umgestellt nach ${E}_{a}$ ergibt sich die folgende Formel, die auch als Überprüfung der RGT-Regel (Reaktionsgeschwindigkeit-Temperatur-Regel) verwendet werden kann:

    <p>$R \cdot \frac {\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10) = {E}_{a}$.</p>

    Durch das Herauskürzen des präexponentiellen Faktors $A$ und dem Einsetzen der universellen Gaskonstante $\left( 8{,}314\,\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \right)$ ergibt sich für den ersten Teil des Terms der ungefähre Wert von $0{,}576$. Dieser wird zuerst mit der angegebenen Temperatur multipliziert und schließlich mit der um $10\,\text{K}$ erhöhten Temperatur, um die RGT-Regel zu überprüfen. Wie sich nun zeigt, liefert die von uns entwickelte Formel äußerst treffende, realistische Werte für die RGT-Regel. Diese kann somit als bewiesen gelten.

  • Erkläre die RGT-Regel.

    Tipps

    Die RGT-Regel (Reaktionsgeschwindigkeits-Temperatur-Regel) beschreibt einen Zusammenhang zwischen Temperatur und Reaktionsgeschwindigkeit.

    Lösung

    Die Arrhenius-Regel ermöglicht es uns, mittels der Reaktionskonstante $k$, den Einfluss der Temperatur auf die Geschwindigkeit darzustellen. Aus ihr lässt sich die sogenannte RGT-Regel (Reaktionsgeschwindigkeits-Temperatur-Regel) ableiten, welche besagt, dass bei einer Erhöhung der Temperatur sich die Geschwindigkeit verdopple. Die umgestellte Formel ergibt dann: <p>$R \cdot \frac{\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10)={E}_{a}$.</p> Wenn man passende Werte für die Temperatur einsetzt, ergibt sich, dass die RGT-Regel durchaus passable Werte ausgibt.

  • Berechne den Faktor $n$.

    Tipps

    Die Temperatur muss erst in Kelvin umgerechnet werden: $0\,^\circ\text{C}$ sind äquivalent zu $273{,}15\,\text{K}$.

    Die Aktivierungsenergie ist in Kilojoule pro mol $\left( \frac{\text{kJ}}{\text{mol}} \right)$ angegeben, sodass die Kilojoule erst in Joule umgerechnet werden müssen. Kilo bedeutet, dass der Umrechnungsfaktor $1000$ ist.

    Lösung

    Die umgestellte Arrhenius-Gleichung, mit der man den Faktor der Geschwindigkeit $n$, berechnen kann, lautet:

    <p>$\ln{n} =\frac{{E}_{a}}{0{,}8314 \cdot ({{T}^{2}}+10\,T)}$</p>

    Zuerst kann der Term im Nenner berechnet werden, indem erst die Temperatur von Grad Celsius in Kelvin überführt wird. Die Temperatur beträgt also $373{,}15\,\text{K}$. Setzt man diesen Wert nun in den Nenner ein, ergibt sich für den Teil: <p>$0{,}8314 \cdot [373{,}15^{2} + (10 \cdot 373{,}15)]$</p> ein Wert von: $118867{,}2721\,\frac{\text{J}}{\text{mol}}$.

    Die Aktivierungsenergie im Zähler muss ebenfalls noch umgerechnet werden, indem Kilojoule in Joule umgerechnet werden. Die Aktivierungsenergie, mit der wir nun rechen, beträgt $397000$ Joule.

    Nun teilt man die Aktivierungsenergie durch den unteren Wert, sodass sich alle Einheiten wegkürzen:

    <p>$\frac{397000\,\frac{\text{J}}{\text{mol}}}{118867{,}2721\,\frac{\text{J}}{\text{mol}}}$.</p> Der Wert, der sich nun ergibt, lautet: $3{,}33998748$

    Wichtig ist noch, den Logarithmus $\left( \ln{n} = {...} \right)$ auf der linken Seite durch eine Exponentialfunktion rückgängig zu machen, sodass der gesuchte Wert von $0{,}035$ errechnet wird. Die Reaktion beschleunigt sich also um den Faktor $0{,}04$.