Textaufgaben verstehen und lösen

Lily und ihr Opa wohnen auf dem Land. Sie wollen sich heute Nachmittag treffen, um einen Drachen steigen zu lassen. Ihre beiden Ortschaften liegen zwar sechzehn Kilometer auseinander, aber ein Radweg verbindet die beiden und entlang des Wegs liegen schöne Wiesen. Lily und ihr Opa verabreden, dass sie beide um 14 Uhr jeweils von zu Hause aus losfahren. Lily hat ein neues Fahrrad und schafft damit im Durchschnitt zwölf Kilometer pro Stunde. Ihr Opa hat ein E-Bike und ist damit eineinhalbmal so schnell wie Lily. Um wie viel Uhr werden sich die beiden auf dem Radweg treffen und wie weit sind sie dann von Lilys Zuhause entfernt?

Diese Textaufgabe macht ihrem Namen alle Ehre – es ist wirklich viel Text. Es geht, ganz grob, um zwei Personen, die sich treffen wollen. Deshalb fahren sie sich mit dem Fahrrad entgegen. Wir haben mit verschiedenen Geschwindigkeiten, Strecken und Fahrzeiten zu tun, mit denen wir rechnen müssen. Bei so vielen Angaben ist es gar nicht so leicht, zu erfassen, was jetzt eigentlich die Frage ist. Bei Textaufgaben wird normalerweise nicht klar benannt, welche Größen berechnet werden sollen. Stattdessen wird (meist am Ende) eine Frage aufgeworfen, die beantwortet werden muss. Die Frage zu finden, ist nicht schwer, denn der entsprechende Satz hat ja normalerweise ein Fragezeichen. So ist das auch hier im Beispiel:

Um wie viel Uhr werden sich die beiden auf dem Radweg treffen und wie weit sind sie dann von Lilys Zuhause entfernt?

• Lily und ihr Opa sind an zwei verschiedenen Orten und wollen sich treffen.
• Sie sind sechzehn Kilometer auseinander.
• Sie fahren beide um 14 Uhr los und kommen sich auf einem Radweg entgegen.
• Lilys Opa fährt schneller als Lily.
• Da Lily und ihr Opa sich auf dem Radweg entgegenfahren, werden sie sich irgendwann treffen. Da gefragt ist, um wie viel Uhr das passiert, muss eine Uhrzeit berechnet werden. Also brauchen wir die Zeit, die ab der Startzeit (um 14 Uhr) während der Fahrt der beiden vergeht.
• Außerdem ist noch nach einer zweiten Sache gefragt, nämlich wie weit der Punkt, an dem sich die beiden treffen, von Lilys Startpunkt (ihrem Zuhause) entfernt ist. Also brauchen wir die Strecke, die Lily bis zu dem Punkt zurücklegt, an dem ihr ihr Opa entgegenkommt. (Lily und ihr Opa werden sich nicht genau in der Mitte zwischen ihren beiden Ortschaften treffen, weil der Opa ja schneller fährt.)

Es sind also zwei Größen gesucht:
die Fahrzeit bis zum Treffpunkt der beiden und die Strecke, die Lily bis dahin zurücklegt.

Lily und ihr Opa wohnen auf dem Land. Sie wollen sich heute Nachmittag treffen, um einen Drachen steigen zu lassen. Ihre beiden Ortschaften liegen zwar sechzehn Kilometer auseinander, aber ein Radweg verbindet die beiden und entlang des Wegs liegen schöne Wiesen. Lily und ihr Opa verabreden, dass sie beide um 14 Uhr jeweils von zu Hause aus losfahren. Lily hat ein neues Fahrrad und schafft damit im Durchschnitt zwölf Kilometer pro Stunde. Ihr Opa hat ein E-Bike und ist damit eineinhalbmal so schnell wie Lily. Um wie viel Uhr werden sich die beiden auf dem Radweg treffen und wie weit sind sie dann von Lilys Zuhause entfernt?

Vielleicht hast du dir diese Stellen auch schon markiert, als es darum ging, die Frage zu verstehen. Jetzt wollen wir den Angaben aber konkrete Größen zuordnen:

• Die Strecke zwischen den Startpunkten von Lily und ihrem Opa beträgt $\pu{16 km}$.
• Die Startzeit der beiden ist 14 Uhr. Alles, was davor passiert, ist für die Aufgabe uninteressant. Deshalb ist diese Uhrzeit unser Zeitpunkt $0$. Wichtig ist hierbei, dass Lily und ihr Opa zum gleichen Zeitpunkt losfahren.
• Lilys Geschwindigkeit (bzw. ihre Durchschnittsgeschwindigkeit) beträgt $\pu{12 km//h}$.
• Die Geschwindigkeit von Lilys Opa muss das Eineinhalbfache von Lilys Geschwindigkeit sein. Seine Geschwindigkeit beträgt also $1{,}5 \cdot \pu{12 km//h} = \pu{18 km//h}$.

Wie bereits erwähnt: Die beiden treffen sich nicht genau in der Mitte, da Lilys Opa schneller fährt als Lily und deshalb auch eine längere Strecke in der gleichen Zeit (vom Startpunkt bis zum Treffpunkt) zurücklegen wird.

Gesucht ist der Zeitpunkt, an dem Lily auf ihren Opa trifft, und die Strecke, die sie bis zu diesem Treffpunkt zurücklegt.

Gesucht:

• $t_\text{Lily} = \,? \quad$
  (Das ist die Zeit, die Lily von ihrem Startpunkt bis zum Treffpunkt benötigt.)
• $s_\text{Lily} = \,? \quad$
  (Das ist die Strecke, die Lily von ihrem Startpunkt bis zum Treffpunkt fährt.)

Gegeben:

• $v_\text{Lily} = \pu{12 km//h} \quad$
  (Das ist die Geschwindigkeit, mit der Lily fährt.)
• $v_\text{Opa} = 1{,}5 \cdot \pu{12 km//h} = \pu{18 km//h} \quad$
  (Das ist die Geschwindigkeit, mit der Lilys Opa fährt.)

Die Geschwindigkeit von Lilys Opa haben wir weiter oben schon mithilfe eines Zusammenhangs berechnet, der in der Aufgabe angegeben war (der Opa ist eineinhalbmal so schnell wie Lily). Auf ähnliche Art und Weise können wir noch eine weitere Angabe mathematisch ausdrücken:
Es ist angegeben, dass die beiden Ortschaften, also die jeweiligen Startpunkte von Lily und ihrem Opa, $\pu{16 km}$ auseinanderliegen. Das bedeutet, dass die Gesamtstrecke des Radwegs zwischen den beiden Startpunkten eine Länge von $\pu{16 km}$ hat. Außerdem muss die Strecke $s_\text{Lily}$, die Lily zurücklegt, zusammen mit der Strecke $s_\text{Opa}$, die ihr Opa zurücklegt, die Gesamtstrecke ergeben. Es gilt also:

• $s_\text{gesamt} = \pu{16 km} \quad$
  (Das ist die Gesamtstrecke zwischen den Startpunkten von Lily und ihrem Opa.)
• $s_\text{Lily} + s_\text{Opa} = s_\text{gesamt}$
  (Die Strecken, die Lily und ihr Opa jeweils bis zum Treffpunkt fahren, ergeben zusammen die Gesamtstrecke.)

Das Sammeln der Angaben, das Zeichnen der Skizze und das Formulieren der Variablen kann manchmal ziemlich lange dauern und erfordert viel Konzentration. Aber wenn du das ein paarmal geübt hast, bist du bald so weit, dass du schon beim ersten Durchlesen erkennen kannst, um welche Art von Aufgabe es sich handelt. Dann kannst du die Variablen oft schon beim Sammeln der Angaben und Zeichnen der Skizze zuordnen. So sparst du Zeit und musst nicht so viel schreiben. Deshalb ist Üben auch so wichtig – du kriegst das hin!

$v_\text{Lily} = \dfrac{s_\text{Lily}}{t_\text{Lily}}$

In dieser Formel taucht die gesuchte Größe $t_\text{Lily}$ auf, allerdings auch eine Größe, die wir nicht gegeben haben, nämlich $s_\text{Lily}$. Das heißt, wir brauchen noch eine zweite Formel. Das ist ein guter Zeitpunkt, um einen mathematischen Zusammenhang zu nutzen, den wir weiter oben schon hergeleitet haben:

$s_\text{Lily} + s_\text{Opa} = s_\text{gesamt}$

Hier kommt $s_\text{Lily}$ vor und $s_\text{gesamt}$ ist gegeben. Jetzt haben wir zwar wieder eine neue fehlende Größe, nämlich $s_\text{Opa}$, aber dafür kennen wir ja auch noch eine andere Formel:

$v_\text{Opa} = \dfrac{s_\text{Opa}}{t_\text{Opa}}$

Jetzt sind wir endlich am Ende, denn $v_\text{Opa}$ ist gegeben und $t_\text{Opa}$ ist genauso groß wie $t_\text{Lily}$, es kommt also keine weitere Unbekannte mehr hinzu. Die beiden Zeiten $t_\text{Opa}$ und $t_\text{Lily}$ sind deshalb gleich groß, weil Lily und ihr Opa ja zur gleichen Zeit losfahren und sich logischerweise auch zur gleichen Zeit treffen. Ihre Fahrt vom jeweiligen Startpunkt zum Treffpunkt dauert also für beide gleich lang:

$t_\text{Lily} = t_\text{Opa}$

Jetzt müssen wir nur noch von hinten nach vorne in die Formeln einsetzen, bis wir alle fehlenden Größen durch gegebene Größen ersetzt haben. Dann können wir nach der gesuchten Größe $t_\text{Lily}$ auflösen.
Also ersetzen wir zuerst $t_\text{Opa}$ durch $t_\text{Lily}$ in der Formel für die Geschwindigkeit des Opas:

$v_\text{Opa} = \dfrac{s_\text{Opa}}{t_\text{Lily}}$

Dann formen wir diese Formel so um, dass wir $s_\text{Opa}$ in die nächste Formel einsetzen können:

$v_\text{Opa} = \dfrac{s_\text{Opa}}{t_\text{Lily}} \quad \big\vert ~\cdot t_\text{Lily}$

$v_\text{Opa} \cdot t_\text{Lily} = s_\text{Opa}$

Nun können wir weiter oben einsetzen:

$s_\text{Lily} + v_\text{Opa} \cdot t_\text{Lily} = s_\text{gesamt}$

Diese Formel müssen wir nun nach $s_\text{Lily}$ auflösen, weil wir diese Größe in der Formel für Lilys Geschwindigkeit noch ersetzen müssen. Also stellen wir um:

$s_\text{Lily} + v_\text{Opa} \cdot t_\text{Lily} = s_\text{gesamt} \quad \big\vert ~-v_\text{Opa} \cdot t_\text{Lily}$

$s_\text{Lily} = s_\text{gesamt} - v_\text{Opa} \cdot t_\text{Lily}$

Jetzt können wir in die Formel für Lilys Geschwindigkeit einsetzen:

$v_\text{Lily} = \dfrac{s_\text{gesamt} - v_\text{Opa} \cdot t_\text{Lily}}{t_\text{Lily}}$

Diese Formel müssen wir nun nach der gesuchten Größe $t_\text{Lily}$ auflösen. Dazu müssen wir ein paar Umformungen durchführen:

$v_\text{Lily} = \dfrac{s_\text{gesamt} - v_\text{Opa} \cdot t_\text{Lily}}{t_\text{Lily}} \quad \big\vert ~\cdot t_\text{Lily}$

$v_\text{Lily} \cdot t_\text{Lily} = s_\text{gesamt} - v_\text{Opa} \cdot t_\text{Lily} \quad \big\vert ~+\left( v_\text{Opa} \cdot t_\text{Lily} \right)$

$v_\text{Lily} \cdot t_\text{Lily} + \left( v_\text{Opa} \cdot t_\text{Lily} \right) = s_\text{gesamt}$

$t_\text{Lily} \cdot \left( v_\text{Lily} + v_\text{Opa} \right) = s_\text{gesamt} \quad \big\vert ~: \left( v_\text{Lily} + v_\text{Opa} \right)$

$t_\text{Lily} = \dfrac{s_\text{gesamt}}{\left( v_\text{Lily} + v_\text{Opa} \right)}$

Hier können wir jetzt auf der rechten Seite alle gegebenen Größen einsetzen und letztendlich die Zeit, die Lily braucht, berechnen:

$t_\text{Lily} = \dfrac{\pu{16 km}}{\left( \pu{12 km//h} + \pu{18 km//h} \right)} \approx \pu{0,53 h}$

Lily braucht also ungefähr eine halbe Stunde, bis sie auf ihren Opa trifft. Zugegeben, das waren jetzt ganz schön viele Rechenschritte. Aber das macht deutlich, wie das Prinzip funktioniert.

Wenn Lily genauso schnell fahren würde wie ihr Opa, müsste sie ihn auf der Hälfte des Wegs treffen, also bei einer Strecke von $\pu{16 km} : 2 = \pu{8 km}$. Ein solche Strecke würde sie mit ihrer Geschwindigkeit von $\pu{12 km//h}$ in einer Zeit von $\pu{12 km//h} : \pu{8 km} \approx \pu{0, 67 h}$ schaffen.
Da ihr Opa aber schneller ist als sie, fährt Lily eine kürzere Strecke und braucht deshalb etwas weniger Zeit. Die zuvor berechneten $\pu{0,53 h}$ sind also ein plausibles Ergebnis.
Dass diese Zeit umgerechnet $\pu{32 min}$ entspricht, ist auch plausibel, da es sich um etwas mehr als eine halbe Stunde handelt.

Um wie viel Uhr werden sich die beiden auf dem Radweg treffen und wie weit sind sie dann von Lilys Zuhause entfernt?

Wir haben noch nicht beantwortet, wie weit Lily am Treffpunkt von ihrem Zuhause entfernt ist, also wie lang die Stecke ist, die sie bis zum Treffpunkt zurücklegt. Wir müssen also noch einmal eine passende Formel finden und einen Lösungsweg aufstellen. In diesem Fall geht das aber recht schnell:
Gesucht ist die Strecke $s_\text{Lily}$, die wir zuvor mühsam ersetzt haben. Das müssen wir nicht noch einmal machen, denn jetzt haben wir ja auch die Zeit $t_\text{Lily}$ schon berechnet. Wir können also in die gleiche Formel einsetzen, mit der wir zuvor $t_\text{Lily}$ berechnet haben:

$v_\text{Lily} = \dfrac{s_\text{Lily}}{t_\text{Lily}}$

Diesmal stellen wir allerdings nach $s_\text{Lily}$ um und können dann schon einsetzen:

$v_\text{Lily} = \dfrac{s_\text{Lily}}{t_\text{Lily}} \quad \big\vert ~\cdot t_\text{Lily}$

$v_\text{Lily} \cdot t_\text{Lily} = s_\text{Lily}$

$s_\text{Lily} = \pu{12 km//h} \cdot \pu{0,53 h} \approx \pu{6,4 km}$

Lily fährt also von ihrem Zuhause aus $\pu{6,4 km}$ weit, bevor sie auf ihren Opa trifft.

Die Hälfte der Strecke läge ja, wie bereits erwähnt, bei $\pu{8 km}$. Da Lily langsamer ist als ihr Opa, ist es plausibel, dass sie etwas weniger als $\pu{8 km}$ zurücklegt.
Ihr Opa fährt in der gleichen Zeit eine Strecke von $\pu{16 km} - \pu{6,4 km} = \pu{9,6 km}$. Das ist genau eineinhalbmal so viel wie die Strecke, die Lily fährt $\left(\pu{6,4 km} \cdot 1{,}5 = \pu{9,6 km} \right)$. Das muss auch so sein, denn schließlich fährt ihr Opa laut Angabe ja auch eineinhalbmal so schnell wie Lily.

So genau hätten wir das gar nicht überprüfen müssen, aber diese kleine Rechnung zeigt, dass wir die Aufgabe auch etwas schneller hätten lösen können, wenn wir einfach die Gesamtstrecke $\left( \pu{16 km} \right)$ im Verhältnis $3 : 2$ geteilt hätten.
Solche Zusammenhänge sind allerdings gar nicht so leicht auf Anhieb zu erkennen, deshalb war es wichtig, dass wir einen systematischen Lösungsweg erarbeitet haben, der sich auch auf andere Aufgaben übertragen lässt – dafür haben wir Formeln aufgestellt, umgestellt und eingesetzt.

Lily und ihr Opa treffen sich um 14:32 Uhr auf dem Radweg zwischen ihren beiden Ortschaften.
Sie sind dann $\pu{6,4 km}$ von Lilys Zuhause entfernt.

Gehen wir die sechs Schritte nacheinander durch:

Schritt 1 – durchlesen und Frage verstehen

Wir lesen den Text einmal sorgfältig durch und versuchen, ihn in eigenen Worten wiederzugeben. Das könnte in etwa so aussehen:

• Es geht darum, eine Straße zu asphaltieren, also mit Asphalt zu bedecken.
• Über den Vorgang wissen wir, dass es $2$ Tage dauert, $5$ Kilometer zu asphaltieren.
• Insgesamt soll ein Straßenstück der Länge $15$ Kilometer auf diese Art bearbeitet werden.
• Es ist gefragt, wie viele Tage es dauert, die gesamten $15$ Kilometer Straße zu asphaltieren.
• Die Angabe, dass das Unternehmen mit der gleichen Effizienz arbeitet, bedeutet, dass die Arbeiten immer mit der gleichen Geschwindigkeit durchgeführt werden.

Bei der gesuchten Größe handelt es sich also um eine Zeit – nämlich die Zeit, die es braucht, eine bestimmte Strecke zu asphaltieren.

Schritt 2 – Angaben sammeln und Skizze zeichnen

Sehen wir uns den Text noch einmal an und markieren alle Angaben:

Ein Bauunternehmen möchte eine Straße asphaltieren. Für $5$ Kilometer Straße benötigt das Unternehmen $2$ Tage. Die gesamte Straße ist $15$ Kilometer lang. Wie viele Tage wird es dauern, die ganze Straße zu asphaltieren, wenn das Unternehmen mit der gleichen Effizienz arbeitet?

Die ersten zwei Angaben können wir so ausdrücken:

Eine Strecke von $\pu{5 km}$ benötigt $2$ Tage, entspricht also einer Zeit von $\pu{2 d}$. Kurz:

$\pu{5 km} \quad \widehat{=} \quad \pu{2 d}$

Wir könnten diese Angaben auch als eine Art Geschwindigkeit interpretieren, denn es handelt sich ja um die Angabe einer Strecke pro Zeit: Die Straße wird demnach mit einer Geschwindigkeit von $\frac{\pu{5 km}}{\pu{2 d}}$ asphaltiert.

Die Gesamtstrecke, die asphaltiert werden muss, hat eine Länge von $\pu{15 km}$.

Weiter oben haben wir bereits erwähnt, dass die Angabe mit der gleichen Effizienz bedeutet, dass das Asphaltieren der Straße immer gleich schnell vonstattengeht, also mit konstanter Geschwindigkeit – nämlich mit der Geschwindigkeit, die wir mit den ersten beiden Angaben aufstellen konnten: $\frac{\pu{15 km}}{\pu{2 d}}$.

Diese Angaben bzw. den Vorgang des Asphaltierens können wir in einer kleinen Skizze darstellen:

Gesucht ist die Zeit (in Tagen), die es dauert, die Gesamtstrecke von $\pu{15 km}$ zu asphaltieren.

Schritt 3 – Gegebene und gesuchte Variablen zuordnen

Die gesuchte Zeit nennen wir $t_\text{gesamt}$, denn sie bezieht sich auf die Gesamtstrecke.

Gesucht: $t_\text{gesamt} = \,?$

Die Gesamtstrecke bezeichnen wir am besten mit $s_\text{gesamt}$. Für die weiteren Angaben haben wir schon einen mathematischen Zusammenhang formuliert:

$\pu{15 km} \quad \widehat{=} \quad \pu{2 d}$

Damit können wir so etwas wie eine Geschwindigkeit der Asphaltierung definieren. Für diese führen wir eine Variable $v_\text{a}$ ein. Also gilt:

Gegeben:
$s_\text{gesamt} = \pu{15 km}$
$v_\text{a} = \frac{\pu{5 km}}{\pu{2 d}}$

Wir können davon ausgehen, dass sich die asphaltierte Strecke und die dafür benötigte Zeit proportional zueinander verhalten. Das heißt, je mehr Strecke asphaltiert wird, desto mehr Zeit wird dafür benötigt.

Schritt 4 – Formeln aufstellen und Lösungsweg erarbeiten

Da ein proportionaler Zusammenhang zwischen asphaltierter Strecke und benötigter Zeit besteht, können wir die Aufgabe mit dem Dreisatz lösen.

Wir wissen, dass eine Strecke von $\pu{5 km}$ in einer Zeit von $\pu{2 d}$ asphaltiert wird:

$\pu{5 km} \quad \widehat{=} \quad \pu{2 d}$

Wir wollen wissen, wie viel Zeit $x$ für eine Strecke von $\pu{15 km}$ benötigt wird:

$\pu{15 km} \quad \widehat{=} \quad x\,?$

Für den klassischen Dreisatz-Lösungsweg müssen wir nun zuerst berechnen, wie viel Zeit pro Kilometer benötigt wird, indem wir $\pu{2 d}$ durch $\pu{5 km}$ teilen:

Benötigte Zeit pro $\pu{1 km}$: $\quad \dfrac{\pu{2 d}}{\pu{5 km}} = \pu{0,4 d//km}$

Diesen Proportionalitätsfaktor können wir nun mit der Gesamtstrecke $s_\text{gesamt} = \pu{15 km}$ multiplizieren und erhalten die gesuchte Zeit $t_\text{gesamt}$:

$x = t_\text{gesamt} = \pu{0,4 d//km} \cdot \pu{15 km}$

Auf einen ebenso guten Lösungsweg kommt man, wenn man die zweite Zeile durch die erste Zeile teilt, also die Angaben jeweils in ein Verhältnis zueinander setzt und die daraus resultierende Gleichung nach $x$ auflöst:

$\dfrac{\pu{15 km}}{\pu{5 km}} = \dfrac{x}{\pu{2 d}} \quad \big\vert ~\cdot \pu{2 d}$

$\dfrac{\pu{15 km}}{\pu{5 km}} \cdot \pu{2 d} = x = t_\text{gesamt}$

Eine dritte Möglichkeit wäre die Verwendung der Formel $s = v \cdot t$, die allgemein den Zusammenhang zwischen einer Strecke $s$, einer (konstanten) Geschwindigkeit $v$ und der dafür benötigten Zeit $t$ ausdrückt.
Hier können wir die Gesamtstrecke $s_\text{gesamt}$ und die Geschwindigkeit $v_\text{a}$ (welche konstant ist) einsetzen und nach der gesuchten Zeit $t_\text{gesamt}$ auflösen:

$s_\text{gesamt} = v_\text{a} \cdot t_\text{gesamt} \quad \big\vert ~ : v_\text{a}$

$\dfrac{s_\text{gesamt}}{v_\text{a}} = t_\text{gesamt}$

$\dfrac{\pu{15 km} \cdot \pu{2 d}}{\pu{5 km}} = t_\text{gesamt}$

mit $s_\text{gesamt} = \pu{15 km}$ und $v_\text{a} = \frac{\pu{5 km}}{\pu{2 d}}$

Schritt 5 – Lösung berechnen und kontrollieren

Alle drei Lösungsansätze führen zur gleichen Lösung:

$x = t_\text{gesamt} = \pu{0,4 d//km} \cdot \pu{15 km} = \pu{0,4 d} \cdot 15\,\frac{\cancel{\text{km}}}{\cancel{\text{km}}} = \pu{6 d}$

$\dfrac{\pu{15 km}}{\pu{5 km}} \cdot \pu{2 d} = x = t_\text{gesamt} = 3\,\frac{\cancel{\text{km}}}{\cancel{\text{km}}} \cdot \pu{2 d} = \pu{6 d}$

$\dfrac{\pu{15 km} \cdot \pu{2 d}}{\pu{5 km}} = \dfrac{15\,\cancel{\text{km}} \cdot \pu{2 d}}{5\,\cancel{\text{km}}} = t_\text{gesamt} = \pu{6 d}$

Sehen wir uns das Ergebnis einmal genauer an, wird die Proportionalität deutlich:
Für die Asphaltierung einer Strecke von $\pu{5 km}$ benötigt das Bauunternehmen $2$ Tage, für die dreifache Strecke von $\pu{15 km}$ wird dementsprechend auch die dreifache Zeit benötigt – eben $6$ Tage. Unser Ergebnis ist also sinnvoll.
Diesen einfachen Gedankengang haben wir in unseren Lösungswegen jeweils mathematisch ausgedrückt.

Schritt 6 – Antwortsatz formulieren

Damit können wir folgenden Antwortsatz formulieren:
Das Bauunternehmen benötigt $6$ Tage, um $15$ Kilometer Straße zu asphaltieren, wenn es mit konstanter Effizienz arbeitet.

Wir gehen die Aufgabe wieder in sechs Schritten an:

Schritt 1 – durchlesen und Frage verstehen

Wir versuchen wieder, den Aufgabentext in eigenen Worten wiederzugeben, zum Beispiel so:

• Es geht um einen Stromkreis mit einer Spannungsquelle mit $9$ Volt und fünf LED-Leuchten, also fünf Widerständen, die in Reihe geschaltet sind.
• Die Stromstärke wird gemessen und ist mit $30$ Milliampere angegeben.
• Der elektrische Widerstand der LED-Leuchten ist nicht bekannt. Sally schätzt ihn auf je $50$ Ohm.
• Die Frage am Ende verlangt danach, zu überprüfen, ob Sallys Schätzung zutreffend ist. Dazu muss offensichtlich der elektrische Widerstand der LED-Leuchten berechnet werden.

Die gesuchte Größe ist der elektrische Widerstand einer einzelnen LED-Leuchte, da alle fünf Leuchten baugleich sind.

Schritt 2 – Angaben sammeln und Skizze zeichnen

Markieren wir alle Angaben im Aufgabentext:

Sally hat sich fünf baugleiche LED-Leuchten gekauft und diese in Reihe an eine Batterie mit $\pu{9 V}$ angeschlossen. Es interessiert sie, welchen elektrischen Widerstand jede einzelne Leuchte hat. Dazu misst sie den Strom, der durch den gesamten Stromkreis fließt, mit einem Amperemeter. Dieses zeigt eine Stromstärke von $30$ Milliampere. Sally schätzt, dass jede der fünf LED-Leuchten einen Widerstand von mindestens $50$ Ohm haben muss. Liegt sie damit richtig?

Die Tatsache, dass es sich um fünf baugleiche LED-Leuchten handelt, bedeutet, dass wir nur den Widerstand einer einzelnen Leuchte berechnen müssen und damit auch die Widerstände der anderen Leuchten kennen.
Die Angabe, dass die LED-Leuchten in Reihe geschaltet sind, ist in Bezug auf den elektrischen Stromkreis wichtig. Bei einer Reihenschaltung gilt nämlich, dass sich der Gesamtwiderstand aus der Summe der in Reihe geschalteten Einzelwiderstände ergibt.
Die Batterie ist die Spannungsquelle. Sie liefert die Gesamtspannung von $\pu{9 V}$, die im Stromkreis anliegt.
Bei der gemessenen Stromstärke handelt es sich um die Gesamtstromstärke. Sie beträgt laut Messung $\pu{30 mA}$. Bei der Angabe, dass die fünf LED-Leuchten jeweils einen Widerstand von mindestens $\pu{50 \Omega}$ haben, handelt es sich nur um eine Schätzung von Sally. Diese Schätzung soll (durch Rechnung) überprüft werden.

Zeichnen wir auch eine Skizze des Schaltplans:

Gesucht ist der elektrische Widerstand einer einzelnen LED-Leuchte.

Schritt 3 – gegebene und gesuchte Variablen zuordnen

Das Formelzeichen für den elektrischen Widerstand ist $R$. Wir müssen allerdings zwischen dem Widerstand des gesamten Stromkreises unterscheiden – diesen nennen wir am besten $R_\text{gesamt}$ – und dem Widerstand einer einzelnen Leuchte, den wir $R_\text{L}$ nennen.

Gesucht: $R_\text{L} = \,?$

Gegeben sind eine Spannung $U$ und eine Stromstärke $I$, die sich jeweils auf den gesamten Stromkreis beziehen.

Gegeben:
$U_\text{gesamt} = \pu{9 V}$
$I_\text{gesamt} = \pu{30 mA} = \pu{0,030 A}$

Die Angabe der Stromstärke in der Einheit Milliampere $\left( \pu{mA} \right)$ haben wir gleich in Ampere $\left( \pu{A} \right)$ umgerechnet, damit wir später beim Einsetzen und Ausrechnen keinen Fehler machen.

Auch die Angabe, dass die LED-Leuchten in Reihe geschaltet sind, können wir mathematisch ausdrücken. Für elektrische Widerstände in einer Reihenschaltung gilt, dass sich die Einzelwiderstände zu einem Gesamtwiderstand addieren. In unserem Fall muss also gelten:

$R_\text{L1} + R_\text{L2} + R_\text{L3} + R_\text{L4} + R_\text{L5} = R_\text{gesamt}$

Da alle fünf Leuchten baugleich sind, sind auch ihre Widerstände gleich groß. Damit können wir vereinfachen:

$5 \cdot R_\text{L} = R_\text{gesamt}$

Wenn wir $R_\text{gesamt}$ kennen, können wir also auch $R_\text{L}$ berechnen.

Schritt 4 – Formeln aufstellen und Lösungsweg erarbeiten

Für den gesamten Stromkreis haben wir die Spannung $\left( U_\text{gesamt} \right)$ und die Stromstärke $\left( I_\text{gesamt} \right)$ gegeben. Den Gesamtwiderstand $R_\text{gesamt}$ können wir mit dem ohmschen Gesetz berechnen:

$R_\text{gesamt} = \dfrac{U_\text{gesamt}}{I_\text{gesamt}}$

Es wurde zwar in der Aufgabe nicht explizit erwähnt, dass es sich bei den Leuchten um ohmsche Widerstände handelt, aber für diese Art von Aufgaben können wir näherungsweise immer davon ausgehen – schließlich wurde auch nichts Gegenteiliges erwähnt.

Den Term für $R_\text{gesamt}$ können wir nun in die Gleichung für $R_\text{L}$ einsetzen und auflösen:

$5 \cdot R_\text{L} = R_\text{gesamt} = \dfrac{U_\text{gesamt}}{I_\text{gesamt}} \quad \big\vert ~: 5$

$R_\text{L} = \dfrac{ \pu{9 V}}{5 \cdot \pu{0,030 A}}$

Schritt 5 – Lösung berechnen und kontrollieren

Rechnen wir also aus:

$R_\text{L} = \dfrac{ \pu{9 V}}{5 \cdot \pu{0,030 A}} = \pu{60 \Omega}$

Sallys Schätzung war, dass der Widerstand eines einzelnen LED-Lämpchens mindestens $\pu{50 \Omega}$ groß sein muss. Unser Ergebnis bestätigt das. Zur Probe können wir auch den Gesamtwiderstand $R_\text{gesamt}$ berechnen und diesen in das ohmsche Gesetz einsetzen:

$R_\text{gesamt} = 5 \cdot R_\text{L} = 5 \cdot \pu{60 \Omega} = \pu{300 \Omega}$

$U_\text{gesamt} = R_\text{gesamt} \cdot I_\text{gesamt} = \pu{300 \Omega} \cdot \pu{0,030 A} = \pu{9 V}$

Beim Rechnen mit dem ohmschen Gesetz muss man wissen, dass für die Einheit Ohm $\left( \Omega \right)$ folgender Zusammenhang gilt:

$\pu{1 \Omega} = \dfrac{\pu{1 V}}{\pu{1 A}}$

In unserer Rechnung passt also alles einwandfrei zusammen.

Schritt 6 – Antwortsatz formulieren

Wir haben die gesuchte Größe berechnet und Sallys Schätzung bestätigt. Wir können folgenden Antwortsatz formulieren:

Der elektrische Widerstand einer einzelnen LED-Leuchte in einem Stromkreis mit fünf in Reihe geschalteten Leuchten beträgt $\pu{60 \Omega}$, wenn ein Strom von $30$ Milliampere fließt und dabei eine Spannung von $9$ Volt abfällt. Die Schätzung, dass jede Leuchte einen Widerstand von mindestens $50$ Ohm haben muss, ist richtig.

Wir wenden noch einmal die sechs Schritte an:

Schritt 1 – durchlesen und Frage verstehen

Formulieren wir die Aufgaben in eigenen Worten:

• Es soll eine chemische Reaktion stattfinden, nämlich die Elektrolyse von Wasser.
• Dabei entsteht elementarer Wasserstoff in Form von Gasbläschen.
• Der Versuchsaufbau besteht aus zwei Grafitelektroden, einer Spannungsquelle mit etwa $\pu{2 V}$ und einer wässrigen Salzlösung.
• Es wird nicht benannt, um welches Salz es sich handelt, aber es wird erklärt, dass das für die chemische Reaktion auch keine Rolle spielt.

Am Ende wird eine konkrete Frage gestellt und noch eine Angabe gegeben. Es ist gefragt, wie viel Mol Wasserstoff aus einem Liter Wasser entstehen kann.
Die gesuchte Größe ist also eine Stoffmenge, die in der Einheit Mol angegeben wird.

Schritt 2 – Angaben sammeln und Skizze zeichnen

Es werden nicht viele konkrete Angaben im Aufgabentext gegeben. Markieren wir trotzdem einmal alles, was wir finden:

Bei der Elektrolyse wird Wasser in seine elementaren Bestandteile aufgespaltet. Dieser Vorgang kann genutzt werden, um elementaren Wasserstoff zu gewinnen. Es handelt sich um eine elektrochemische Reaktion. Werden beispielsweise zwei Grafitelektroden in eine wässrige Salzlösung getaucht und eine Spannung von etwa $\pu{2 V}$ angelegt, bilden sich kleine Gasbläschen an beiden Elektroden. Das Salz nimmt dabei nicht an der Reaktion teil, es sorgt aber für die nötige elektrische Leitfähigkeit, um den Stromkreis zu schließen. Wie viel Mol Wasserstoff entstehen im Idealfall bei der Elektrolyse von einem Liter Wasser?

Das Wichtigste bei einer chemischen Reaktion ist immer, die Reaktionsgleichung aufzustellen. Dazu müssen wir wissen, welche Reaktionsteilnehmer vorhanden sind. Hier haben wir Wasser als Ausgangsstoff, das in seine elementaren Bestandteile aufgespaltet wird.
Die Zusammensetzung von Wasser ist Allgemeinwissen: $\ce{H2O}$. Du solltest also wissen, dass es sich bei den elementaren Bestandteilen um Wasserstoff $\left( \ce{H} \right)$ und Sauerstoff $\left( \ce{O} \right)$ handeln muss, auch wenn nur Wasserstoff explizit im Aufgabentext erwähnt wurde.
Wir können aus den Angaben also folgende Wortgleichung bilden:

$\ce{Wasser -> Wasserstoff + Sauerstoff}$

Gegeben ist das Volumen des Ausgangsstoffs: $\pu{1 \ell}$ Wasser.
Die Angabe der Spannung $\left( \pu{2 V} \right)$ ist für das Aufstellen der Reaktionsgleichung nicht entscheidend. Allerdings ist die Angabe, dass bei der Reaktion Gasbläschen entstehen, wichtig. Wasserstoff und Sauerstoff liegen im gasförmigen Zustand nämlich in Form von zweiatomigen Molekülen vor. Dementsprechend müssen die chemischen Formeln der Reaktionsteilnehmer folgendermaßen lauten:
Wasser $\ce{H2O}$, Wasserstoff(gas) $\ce{H2}$ und Sauerstoff(gas) $\ce{O2}$.

Als Skizze zur Aufgabe könnten wir nun den Versuchsaufbau des Elektrolyse-Experiments zeichnen. Das ist allerdings für diese Aufgabe nicht zwingend notwendig, da zur Berechnung der gesuchten Stoffmenge die Reaktionsgleichung ausreicht. Schreiben wir diese also auch einmal in Formelschreibweise auf:

$\ce{H2O -> H2 + O2}$

Diese Reaktionsgleichung müssen wir noch ausgleichen, da die Anzahl der $\ce{H}$- und $\ce{O}$-Atome links und rechts gleich sein muss. Das sieht dann so aus:

$\ce{2 H2O -> 2 H2 + O2}$

Gesucht ist die Stoffmenge des entstehenden Wasserstoffgases.

Schritt 3 – gegebene und gesuchte Variablen zuordnen

Das Formelzeichen für die Stoffmenge ist $n$. Die Stoffmenge des Wasserstoffgases nennen wir am besten $n_\ce{H2}$.

Gesucht: $n_\ce{H2} = \,?$

Gegeben ist das Volumen von Wasser. Das nennen wir $V_\ce{H2O}$. Jetzt könnten wir noch die Spannung $U = \pu{2 V}$ auflisten, aber wie du sehen wirst, benötigen wir diese zur Berechnung der Stoffmenge von Wasserstoff nicht.

Gegeben: $V_\ce{H2O} = \pu{1 \ell}$

Das sieht zwar nicht nach viel aus, aber du wirst sehen, das reicht uns schon! Denn wir haben ja auch noch die Reaktionsgleichung, die wir schon aufgestellt haben:

$\ce{2 H2O -> 2 H2 + O2}$

Schritt 4 – Formeln aufstellen und Lösungsweg erarbeiten

Für das Rechnen mit Stoffmengen ist es wichtig, zu verstehen, dass die Reaktionsgleichung immer das Stoffmengenverhältnis der Reaktionsteilnehmer darstellt.

$\ce{\color{blue}{2} H2O -> \color{blue}{2} H2 + \color{blue}{1} O2}$

In unserem Fall bedeutet das also, dass die Stoffmengen von Wasser $\left( n_\ce{H2O} \right)$, Wasserstoff $\left( n_\ce{H2} \right)$ und Sauerstoff $\left( n_\ce{O2} \right)$ im Verhältnis ${\color{blue}{2}} : {\color{blue}{2}} : {\color{blue}{1}}$ vorliegen.
Wenn wir die Stoffmenge des Ausgangsstoffs Wasser kennen, haben wir also auch die gesuchte Stoffmenge von Wasserstoff, denn es gilt:

$n_\ce{H2O} : n_\ce{H2} = {\color{blue}{2}} : {\color{blue}{2}} = 1 : 1 \Longleftrightarrow n_\ce{H2O} = n_\ce{H2}$

Das muss so sein, denn in jedem Wassermolekül $\left( \ce{H2O} \right)$ stecken genau zwei $\ce{H}$-Atome – und damit genauso viel wie in einem Wasserstoffmolekül $\left( \ce{H2} \right)$. Da im Aufgabentext erwähnt wurde, dass wir vom Idealfall ausgehen sollen, können wir also annehmen, dass aus jedem Wassermolekül genau ein Wasserstoffmolekül gebildet wird. Deshalb müssen auch die Stoffmengen der beiden Stoffe (die sich ja auf deren Teilchenzahlen beziehen) gleich groß sein.

Allerdings haben wir die Stoffmenge des Ausgangsstoffs Wasser nicht gegeben, sondern nur dessen Volumen. Das müssen wir also erst einmal in eine Stoffmenge umrechnen.
Da es sich bei Wasser um eine Flüssigkeit handelt, können wir nicht mit dem molaren Volumen rechnen – wir brauchen stattdessen die molare Masse. Die molare Masse von Wasser nennen wir $M_\ce{H2O}$. Sie beträgt $\pu{18 g//mol}$ – das ergibt sich aus den relativen Atommassen der Atome des Wassermoleküls (jeweils mit der Einheit Gramm pro Mol):

$M_\ce{H2O} = 2 \cdot \pu{1 g//mol} + \pu{16 g//mol}$

Die relativen Atommassen von Wasserstoff $\left( \pu{1 g//mol} \right)$ und Sauerstoff $\left( \pu{16 g//mol} \right)$ kannst du aus dem Periodensystem der Elemente ablesen, wenn du sie nicht auswendig kennst.

Nun können wir die Stoffmenge von Wasser mithilfe der Formel für die molare Masse berechnen:

$M_\ce{H2O} = \dfrac{m_\ce{H2O}}{n_\ce{H2O}} \Longleftrightarrow n_\ce{H2O} = \dfrac{m_\ce{H2O}}{M_\ce{H2O}}$

Diese Formel gehört zum Grundwissen in der Chemie. Außerdem solltest du wissen, dass reines Wasser eine Dichte von rund $\pu{1,00 g//ml}$ bzw. $\pu{1,00 kg// \ell}$ hat.
Das bedeutet, dass $\pu{1 \ell}$ Wasser ziemlich genau einer Masse von $\pu{1 kg}$ entspricht. Es gilt also:
$m_\ce{H2O} = \pu{1 kg} = 1\,000~\pu{g}$

Damit haben wir alles beisammen, was wir brauchen, und können einen Lösungsansatz aufstellen:
$n_\ce{H2} = n_\ce{H2O} = \dfrac{m_\ce{H2O}}{M_\ce{H2O}} = \dfrac{1\,000~\pu{g}}{\pu{18 g//mol}}$

Die Umrechnung von $m_\ce{H2O}$ in die Einheit Gramm $\left( \pu{g} \right)$ war notwendig, weil auch die molare Masse $\left( M_\ce{H2O} \right)$ in Gramm (pro Mol) steht.

Schritt 5 – Lösung berechnen und kontrollieren

Rechnen wir also aus:

$n_\ce{H2} = \dfrac{1\,000~\pu{g}}{\pu{18 g//mol}} \approx \pu{56 mol}$

Es entstehen also $\pu{56 mol}$ Wasserstoffgas.
Das Ergebnis ist schwer einzuschätzen, weil wir normalerweise keine Alltagserfahrungen mit Mengenangaben in Mol haben. Aber wir können hier trotzdem darauf vertrauen, das wir richtig gerechnet haben – schließlich haben wir die Einheiten aller Größen sauber beachtet. Die Einheit Gramm ist bei der Rechnung herausgefallen, weil sie sowohl im Zähler als auch im Nenner des Bruchs stand. Damit blieb $\pu{mol}$ als Einheit der gesuchten Stoffmenge übrig – so, wie es sein soll.

Schritt 6 – Antwortsatz formulieren

Wir formulieren folgenden Antwortsatz:

Es entstehen (im Idealfall) rund $\pu{56 mol}$ Wasserstoffgas bei der Elektrolyse von $1$ Liter Wasser.

Übrigens: Das Wasserstoffgas entsteht nur an einer der beiden Elektroden, nämlich an der Kathode. An der Anode entsteht ein anderes Gas, nämlich Sauerstoff.

Wir haben hier ein Vorgehen in sechs Schritten vorgestellt:

1. Durchlesen und Frage verstehen
2. Angaben sammeln und Skizze zeichnen
3. Gegebene und gesuchte Variablen zuordnen
4. Formeln aufstellen und Lösungsweg erarbeiten
5. Lösung berechnen und kontrollieren
6. Antwortsatz formulieren

Im Wesentlichen geht es erst einmal darum, zu verstehen, welche Größe gesucht ist bzw. berechnet werden soll. Gegebene und gesuchte Größen werden aus der Aufgabenstellung herausgelesen und mithilfe von Variablen ausgedrückt.
Versuche immer, dir den in der jeweiligen Aufgabe beschriebenen Vorgang bildlich vorzustellen – dabei hilft dir eine selbst gezeichnete Skizze.
Beim Erarbeiten des Lösungswegs gehst du dann am besten von bekannten, einfachen Formeln aus und versuchst, alle Größen mathematisch auszudrücken, die zur Berechnung der gesuchten Größe benötigt werden.
Am Ende solltest du deine Lösung immer noch einmal überprüfen: Passen die Einheiten deiner Rechnung? Kann dein Ergebnis die Frage der Aufgabenstellung vollständig beantworten? Ist die Lösung plausibel?

Wenn du diese Punkte berücksichtigst, kannst du Sachaufgaben bzw. Textaufgaben systematisch bearbeiten und weißt immer, was zu tun ist.

Textaufgaben kommen vor allem im Fach Mathematik und in naturwissenschaftlichen Fächern wie Physik und Chemie vor. Dabei geht es immer darum, eine bestimmte Problemstellung zu lösen, die sich so auch in Wirklichkeit stellen könnte – zum Beispiel das Berechnen von Geldbeträgen beim Kaufen, Verkaufen oder Sparen, die Berechnung von Bewegungen physikalischer Körper oder die Modellierung von Arbeits- oder Herstellungsprozessen.
Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, Textaufgaben zu formulieren. In der Schule zielen diese aber in der Regel auf bestimmte Lösungswege und -muster ab, die du gut üben und systematisch durchspielen kannst.

Es gibt viele verschiedene Textaufgaben, aber oft ähneln sich die Lösungswege innerhalb eines bestimmten Themas.
Es geht in der Regel darum, eine gesuchte Größe zu berechnen, indem die Angaben mathematisch dargestellt und in eine mathematische Beziehung zueinander gesetzt werden. Dafür werden Formeln genutzt – oft reicht bereits die einfachste Formel, die du zu dem jeweiligen Thema gelernt hast.
Wenn dir dafür noch Größen fehlen, suche im Aufgabentext nach weiteren Hinweisen, mit denen du mathematische Beziehungen aufstellen kannst. Formeln aufstellen, umstellen, einsetzen und ausrechnen – das ist meist alles, was dahintersteckt!