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Rechnen mit Logarithmen 11:53 min

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Transkript Rechnen mit Logarithmen

Guten Tag und herzlich willkommen! Dieses Video heißt Rechnen mit Logarithmen. Dieses Video dient der Vorbereitung von Rechnungen zum pH-Wert, pOH-Wert und dem Ionenprodukt des Wassers. Es gehört zur Themenreihe Säuren und Basen. Als Vorkenntnisse solltet ihr wissen, was der pH-Wert und der pOH-Wert sind. Außerdem solltet ihr bereits Bekanntschaft mit dem Ionenprodukt des Wassers geschlossen haben. Je mehr ihr aus der Schulmathematik noch wisst, desto besser. Ziel dieses Videos ist es, euch mit den wichtigsten Logarithmengesetzten bekannt zu machen, beziehungsweise, euch diese in Erinnerung zu rufen. Das Video wurde in 6 Abschnitte unterteilt. 1. Die Potenz, Freund des Logarithmus. 2. Produkt. 3. Quotient. 4. Potenz. 5. Negativer Logarithmus. 6. Kehrwert eines Quotienten.   1. Die Potenz, Freund des Logarithmus. Nehmen wir zum Beispiel die Potenz 2³. Wir bestimmen nun den Logarithmus, und zwar zur Basis 2. Also log2(2³). Ein solcher Logarithmus ist ein Glücksfall, denn die Basen der Potenz und des Logarithmus stimmen überein. Sie sind jeweils 2. Das Ergebnis ist 3. Nehmen wir nun die Potenz 30,5. Wir bestimmen wieder den Logarithmus, und zwar log3(30,5). Wieder stimmen die Basen von Potenz und Logarithmus überein, daher ist das Ergebnis wiederum der rot gekennzeichnete Exponent, also 0,5. Und noch ein Beispiel, 105. Wir bestimmen den log10(105). Die Basen des Logarithmus und der Potenz stimmen überein, daher ist das Ergebnis genau der rot gekennzeichnete Exponent, also 5. Und noch ein Beispiel, 101. Wir bestimmen den log10(101). Wieder stimmen die Basen von Logarithmus und Potenz überein. Das Ergebnis ist der rot gekennzeichnete Exponent, 1. Eine vereinfachte Schreibweise für log10=lg. Da es der Logarithmus zur Basis 10 ist, nennt man ihn auch den dekadischen Logarithmus. Wir wollen mit ihm noch ein wenig rechnen. lg(10^-2)=-2, denn die Basen des Logarithmus und der Potenz stimmen überein. Und weiter, -lg(10^-5)=Minus×dem Exponenten -5. Und das ist hier gerade 5. Ein einfaches Beispiel für den pH-Wert. Der pH-Wert ist gleich -lg(H3O+). Wir wählen ein Zahlenbeispiel. pH=-lg(0,001). Die Einheit mol/l wird weggelassen. Der Trick besteht ja darin, den Dezimalbruch in eine Potenz zu überführen. Also =-lg(10^-3). Wie man das ausrechnet, wissen wir =-(-3). Wir erhalten pH=3.   2. Produkt. Betrachten wir einen Logarithmus, wenn das Argument x×y, also lg(x×y)=lg(x)+lg(y). Das ist die Regel. x und y müssen >0 sein. Ein Beispiel: lg((10^-7)×(10^-7))=lg(10^-7)+lg(10^-7) nach der Regel. =-7+(-7)=-14. Ein weiteres Beispiel: lg((101)×(10^-15))=lg(101)+lg(10^-15) nach der Regel. Und weiter: =1+(-15)=-14.   3. Quotient. Wir nehmen an, dass das Argument des Logarithmus der Quotient von x und y ist, wobei x und y jeweils >0 sind. Wir schreiben: lg(x/y)=lg(x×(y^-1))=lg(x)+lg(y^-1). Nach dem Potenzgesetz, dass wir noch kennenlernen werden, können wir schreiben =lg(x)+(-1)×lg(y). Wir erhalten somit die Regel lg(x/y)=lg(x)-lg(y). Ein Beispiel: lg((10^-14)/(10^-7))=lg(10^-14)-lg(10^-7) nach der Regel. Und weiter: =-14-(-7). Wir erhalten als Ergebnis -7.   4. Potenz. Wir betrachten nun Logarithmen, die als Argument die Potenz (xn) besitzen. x soll >0 sein, n ist beliebig. Wir schreiben: lg(xn)=n×lg(x). Das ist die Regel, ohne Beweis. Ein Beispiel: lg(10^-3)=(-3)×lg(10)=(-3)×log10(10)=(-3)×1=-3. Ein weiteres Beispiel: -lg(10^-3)=-(-3)×lg10=3×log10(10)=3×1=3.   5. Negativer Logarithmus. Um zu veranschaulichen was ich meine, zeichne ich den Graphen einer Logarithmusfunktion im 1. und 4. Quadranten. Wir nehmen die Funktion des dekadischen Logarithmus mit der Funktionsgleichung y=lg(x). Andere Logarithmusfunktionen besitzen ähnliche Graphen. Das ist eine Skizze des Graphen der Logarithmusfunktion. Im Bereich unterhalb der x-Achse besitzt die Logarithmusfunktion negative Funktionswerte. Die Argumente der Logarithmusfunktion x müssen stets >0 sein. Der Wertbereich der Funktion ist nicht eingeschränkt, alle y Element R sind möglich. Ein Beispiel, wir bestimmen: lg(0,01). Der Trick besteht wieder darin, den Dezimalbruch in eine Potenz zu überführen, also: =lg(10^-2). Nach dem Gesetz für Potenzen erhalten wir: =(-2)×lg(10)=(-2)×1. Als Ergebnis erhalten wir -2. Ein weiteres Beispiel: lg(0,05). Wir schreiben: =lg(5×0,01). Das Argument des Logarithmus ist nun ein Produkt, wir wissen aber auch, dass man 0,01 als 10^-2 schreiben kann. Somit erhalten wir: =lg(5)+lg(10^-2)=lg(5)-2. lg(5) müssen wir mit dem Taschenrechner bestimmen. Auf meinem Taschenrechner muss ich für lg die Symboltaste log verwenden. Unter Verwendung eines grob gerundeten Wertes ergibt sich: ≈0,7-2≈(-1,3). Ihr könnt auf eurem Taschenrechner selber testen, ob die log Taste für den dekadischen Logarithmus lg vorgesehen ist, macht Folgendes: Gebt eine 10 ein und drückt dann auf die log Taste. Erhaltet ihr eine 1, so ist die log Taste für den dekadischen Logarithmus vorgesehen.   6. Umformung Quotient. Gemeint ist, dass der Quotient x/y, der ein Argument des Logarithmus ist, in seinen Kehrwert y/x umgeformt werden soll. Natürlich müssen x und y wieder jeweils >0 sein. Wir schreiben: lg(x/y). Nach der Regel für den Quotienten ergibt das: lg(x)-lg(y). Wir machen nun folgenden Trick, wir schreiben: =-(-lg(x)+lg(y)). Am Wert des Terms haben wir nichts verändert. Wir stellen nun die Summanden innerhalb des Terms um: =-(lg(y)-lg(x)). Aus der Regel für den Quotienten erhalten wir: lg(x/y)=-lg(y/x). Ein Beispiel: lg((10^-14)/(10^-8)) ist nach der eben hergeleiteten Regel: -lg((10^-8)/(10^-14)). Wir verwenden jetzt die Regel für den Quotienten im Argument des Logarithmus: =-(lg(10^-8)-lg(10^-14))=-(-8-(-14)). Schneller zum Ergebnis gelangt man, wenn man sich an die Potenzgesetze erinnert, (10^-14)/(10^-8) ist nämlich (10^-6), also ergibt sich =lg(10^-6). Und das ist, das wissen wir bereits, -6. Wem die gesamte Rechnerei unnütz erscheint, den möchte ich daran erinnern, dass es sich hier um eine Übung handelt.

Ich danke für die Aufmerksamkeit, alles Gute, auf Wiedersehen!

4 Kommentare
  1. Ja.

    Von André Otto, vor mehr als 3 Jahren
  2. 0,01 ist doch 10 hoch -2 und nicht 10 hoch -3 oder?

    Von Lena S., vor mehr als 3 Jahren
  3. Lieber Samy,
    ja, das ist es.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 4 Jahren
  4. Hallo Andre,
    bei einem anderen Video im Bereich Säuren und ph-Wert, hast du auf ein Video für Mediziner bezüglich Logarithmus verwiesen. Ist es das hier?
    Danke!
    Alles Gute!

    Von Samy Osman, vor mehr als 4 Jahren

Rechnen mit Logarithmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rechnen mit Logarithmen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Logarithmengesetze.

    Tipps

    Logarithmen unterscheiden sich in ihrer Basis.

    $log10^{-3} = -3$

    Lösung

    Einfach ausgedrückt kannst du dir folgendes merken:

    1. Logarithmen werden multipliziert, indem sie addiert werden.
    2. Logarithmen werden dividiert, indem sie subtrahiert werden.
    3. Der Exponent (Potenz) eines Logarithmus wird mit ihm multipliziert.
    Beim chemischen Rechnen stehen für a und b bzw. n reale Zahlenwerte. Es wird meistens mit dem Logarithmus zur Basis 10 gerechnet. Das ist der dekadische Logarithmus. Die Darstellung des Logarithmus ändert sich von log zu lg. Eine logarithmische Größe hat immer die physikalische Einheit 1. Eine Anwendung des Rechnens mit Logarithmen ist die pH-Wert-Berechnung.

  • Nenne die Art des Logarithmus und dessen Basis, der für pH-Wert-Berechnungen genutzt wird.

    Tipps

    Ist der Logarithmus der Freund der Potenzrechnung?

    Denke daran, dass Logarithmen eine unterschiedliche Basis haben können.

    Der Begriff Dekade steht für die Zahl 10.

    Lösung

    Der dekadische Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis 10. Mit ihm lassen sich besonders gut Zehnerpotenzen berechnen. Der dekadische Logarithmus lg von 10 ist 1. das erleichtert das Rechnen mit Zehnerpotenzen. Die Konzentrationsangaben für die pH-Wert Berechnungen von wässrigen, sauren oder basischen Lösungen werden in Zehnerpotenzen angegeben.

  • Berechne den pH-Wert einer sauren, wässrigen Lösung mit einer Konzentration von 0,01 mol/l.

    Tipps

    Wiederhole die Logarithmengesetze, die für die Berechnung des pH-Wertes verwendet werden.

    Überlege, in welchem pH-Bereich ein pH-Wert nur liegen kann, wenn eine saure Lösung vorliegt.

    Lösung

    Für die Berechnung der pH-Werte von Säuren und Basen sind die logarithmischen Gesetze von großer Nützlichkeit. Verwendet wird üblicherweise für die Berechnungen der dekadische Logarithmus, d.h. der Logarithmus zur Basis 10. Das ist besonders schlau, weil aufgrund dieser Basis eine einfache Berechnung von Konzentrationen, die dem pH-Wert zugrunde liegen, möglich wird. Kläre immer zuerst, ob eine Säure oder eine Base vorliegt. Liegt eine Konzentration für eine Säure vor, kannst du dies sofort als Konzentration der $[H_3O^+]$ einsetzen. Meist sind diese Konzentrationen mit Dezimalzahlen in $\frac{mol}{l} angegeben. Wandle diese Dezimalzahl in eine Zehnerpotenz um und setze dies in die Formel für den pH-Wert ein. Jetzt kommen die logarithmischen Gesetze zum Tragen. Der Exponent n der Zehnerpotenz erscheint vor dem log10. Der Dekadische Logarithmus der verbliebenen 10 ist 1. Jetzt musst du nur noch den Klammerausdruck auflösen und du erzielst den pH-Wert. Dein Ergebnis kannst du darüber prüfen, ob es größer als 1 und kleiner als 7 ist.

  • Wende die Logarithmengesetze für Produkte, Quotienten und Potenzen an.

    Tipps

    Beachte die Vorzeichenregeln beim negativen, dekadischen Logarithmus.

    Logarithmen können jeweils eine verschiedene Basis haben.

    Der dekadische Logarithmus (lg) hat die Basis 10.

    Lösung

    Das Rechnen mit Logarithmen erleichtert die pH-Wert-Berechnung. Man benutzt für diese Berechnung den negativen, dekadischen Logarithmus, den Logarithmus zur Basis 10. Der pH-Wert ist definiert über pH=$-log_{10}[H_3O^+]$. Vereinfacht schreibt man pH=$-lg[H_30^+]$. Wenn du eine pH-Wert Berechnung machen willst, musst du als erstes klären, ob es sich um eine saure oder eine basische Lösung handelt. Du kannst das leicht aus dem Namen ableiten, zum Beispiel Salzsäure. Dann brauchst du die Konzentration der Lösung. Diese ist meist in $\frac{mol}{l}$ angegeben und wird häufig in eckige Klammern gesetzt. Diese Konzentration setzt du in die Gleichung ein. Jetzt wendest du das zutreffende Logarithmengesetz an. Dabei beachte, dass die Konzentrationen als Zehnerpotenzen eingesetzt werden, z.B. 0,01 $\frac{mol}{l}$ zu $1\cdot10^{-2} \frac{mol}{l}$. Das erleichtert das Rechnen. Der Exponent wird vor den lg gezogen, also pH= $-(-2 log_{10}10)$. Da der lg von 10 gleich eins ist, ergibt sich ein pH-Wert von 2. Beachte auch: Eine logarithmische Größe hat immer die physikalische Einheit 1.

    1. $lg(a\cdot b) =lga+lgb$
    2. $lg(\frac{a}{b}) =lga - lgb$
    3. $lga^n = nlga$
  • Nenne Bereiche in Chemie und Alltag, in denen logarithmisches Rechnen verwendet wird.

    Tipps

    Überlege, wo du schon logarithmische Zusammenhänge kennengelernt hast.

    Lösung

    Logarithmisches Rechnen braucht man überall dort, wo die physikalischen oder chemischen Zahlenwerte der Größen sehr breit schwanken und sich weder linear noch quadratisch verhalten. In der Chemie ist das vor allem in den kleinen Konzentrationsbereichen in wässrigen Lösungen oder auch in den geringen Konzentrationsänderungen in galvanischen Elementen der Fall. Auch bei der Lärmpegelmessung spielt das logarithmische Rechnen eine Rolle, weil der Schall sich nicht linear ausbreitet, sondern weil die Ausbreitung einer logarithmischen Funktion folgt. Prinzipiell können logarithmische Rechnungen mit Hilfe des dekadischen Logarithmus, der vor allem in der Chemie Verwendung findet, aber auch mit dem natürlichen oder dem dualen Logarithmus ausgeführt werden.

  • Erkläre die Bedeutung des Ionenproduktes des Wassers für die pH-Wert-Berechnung.

    Tipps

    Überlege, welche Ionen für den sauren Charakter einer wässrigen Lösung verantwortlich sind.

    Ein Universalindikator zeigt entweder Wasserstoffionen oder Hydroxidionen an!

    Was verursacht einen sauren Geschmack?

    Lösung

    Das Ionenprodukt des Wassers wird $K_W$ genannt. Es ist eine Konstante mit dem Zahlenwert $1\cdot 10^ {-14}$ und einer physikalischen Einheit von $\frac{mol^2}{l^2}$. Es setzt sich am Neutralpunkt bei pH=7 aus gleichen Konzentrationsanteilen von Wasserstoffionen (kommen in Wasser in Form von Oxoniumionen vor) und Hydroxidionen zusammen. Daraus folgt, dass beide Ionenkonzentrationen gleich sein müssen, nämlich $1\cdot 10^-7 \frac{mol}{l}.$ So erklärt sich auch die Einheit des $K_W$.