Das Lambert Beer'sche Gesetz

Das Lambert Beer'sche Gesetz Übung

• Beschreibe die physikalischen Größen aus dem Lambert-Beerschen Gesetz.

  Tipps

  Lösung

  Das Lambert-Beersche Gesetz ist eine quantitative Beschreibung der Absorption von monochromatischem Licht. Es setzt sich aus folgenden physikalischen Größen zusammen:

  • $I_0$: Lichtintensität vor dem Durchqueren des Mediums
  • $I$: Intensität des Lichtes nach Durchqueren des Mediums
  • $\lg\left( \frac{I_0}{I} \right)$: Extinktion als Maß für die Abschwächung der Lichtintensität nach dem Durchqueren des Mediums. Die Lichtintensität $I$ ist immer kleiner als $I_0$, da ein Teil der Strahlung vom Stoff absorbiert wird.
  • $c$: Konzentration der zu untersuchenden Substanz in Lösung
  • $d$: Schichtdicke bzw. Küvettenlänge, die die Weglänge des Lichtes im Medium beschreibt.
  • $\varepsilon$: Extinktionskoeffizient, der eine stoff-, lösungsmittel- und wellenlängenabhängige Größe ist.

• Beschrifte das Spektralphotometer.

  Tipps

  Da die Extinktion wellenlängenabhängig ist, wird jede Messwellenlänge einzeln vermessen.

  Licht mit einer einzigen Wellenlänge ist monochromatisch.

  Lösung

  Im Spektralphotometer durchläuft das Licht, welches von einer Deuterium- oder Wolfram-Lampe stammt, folgenden Weg.

  1. Zunächst durchläuft es ein drehbares Prima, wobei durch Brechung an den Grenzflächen das weiße Licht in die einzelnen Bestandteile (Wellenlängen) zerlegt wird. Der gleiche Effekt kann anstatt eines Prismas auch mit einem Gitter (Beugung am Gitter) erreicht werden. Durch die Drehung des Prismas wird geregelt, welche Wellenlänge bzw. welcher kleiner Wellenlängenbereich zum Monochromator gelangt.
  2. Ein Teil des vom Prisma zerlegten Lichtes gelangt durch einen Spalt in den Monochromator. Dort wird über ein Spiegelsystem die einzelne Wellenlänge (z.B. 530 nm) herausgefiltert und über eine Austrittspalt gelangt es auf den ersten Drehspiegel bzw. semipermeablen Spiegel.
  3. Der Drehspiegel lässt ein Teil des Lichtes in die Probenzelle, d.h. die Küvette mit Probenlösung. Ein zweiter Teil gelangt über Reflexion an den Spiegeln in eine Vergleichszelle, in der keine Lösung vorliegt. Dieser Schritt ist notwendig, da auch die leere Küvette zu einer gewissen Verminderung der Intensität führt.
  4. Die Intensitäten nach Durchqueren der leeren Küvette und der Küvette mit Probenlösung wird mittels einer Photozelle detektiert. Die Photozelle ist häufig ein Dioden-Array-Detektor oder eine CCD.
  5. Das Signal der Photozelle gelangt zu dem Verstärker, welcher oft ein Sekundärelektronenvervielfacher ist.
  6. Im Registrierer wird die Blindextinktion, d.h. die Extinktion beim Durchqueren der leeren Küvette, von der Extinktion beim Durchqueren der Probenlösung abgezogen. Eine Auftragung der Extinktion gegeünber der Wellenlänge liefert das Absorptionsspektrum.

• Vervollständige die Herleitung vom Lambert-Beerschen Gesetz.

  Tipps

  Lösung

  Der physikalische Hintergrund zur Herleitung vom Lambert-Beerschen Gesetz ist die Änderungsrate der Intensität $I$ nach Durchqueren eines Mediums. Diese Intensitätsabnahme entlang der Strecke d ist abhängig von der Konzentration c und einem Proportionalitätsfaktor k (in dem der Extinktionskoeffizient steckt). Da die Intensität vom Licht beim Verlassen des Mediums stets kleiner ist als die eingestrahlte Intensität $I_0$, steht auf einer Seite der Gleichung ein Minus-Zeichen:

  • $\frac{\partial I}{\partial d} = - k~\cdot~c~\cdot~I~~\left| \cdot \partial d \right.$
  • $\partial I = - k~\cdot~c~\cdot~I~\cdot~\partial d~~\left| :I \right.$
  • $\frac{\partial I}{I} = - k~\cdot~c~\cdot~\partial d$

  Die Integration von $1/x$ liefert den natürlichen Logarithmus von x $\left( \ln x \right)$. Zur Herleitung des Lambert-Beerschen-Gesetzes erfolgt die Integration über die Lichtintensität in den Grenzen der eingestrahlten Intensität $I_0$ und der austretenden Intensität $I$. Die rechte Seite der Differentialgleichung wird von der Schichtdicke von 0 bis d integriert:

  • $\int_{I_0}^I \frac{\partial I}{I} = - \int_0^d k~\cdot~c~\cdot~\partial d$
  • $\ln \left( \frac{I}{I_0} \right) = - k~\cdot~c~\cdot~d~~\left| \ln \left( \frac{x}{y} = \ln x - \ln y \right) \right.$
  • $\ln I - \ln I_0 = - k~\cdot~c~\cdot~d~~\left| \cdot - 1\right.$
  • $\ln I_0 - ln I = k~\cdot~c~\cdot~d~~\left| \ln \left( \frac{x}{y} = \ln x - \ln y \right) \right.$
  • $\ln \left( \frac{I_0}{I} \right) = k~\cdot~c~\cdot~d~~\left| \lg x = \frac{\ln x}{\lg e}\right.$
  • $\lg \left( \frac{I_0}{I} \right) = \lg e~k~\cdot~c~\cdot~d~~\left| \lg e \cdot k = \varepsilon \right.$
  • $\lg \left( \frac{I_0}{I} \right) = \varepsilon~\cdot~c~\cdot~d$

• Berechne die Konzentration von Coffein in einer Tablette.

  Tipps

  Unter dem Gesamtvolumen einer Verdünnungsreihe wird das Volumen verstanden, in dem die Tablette hätte gelöst werden können, um dieselbe Konzentration zu erhalten wie in der Verdünnungsreihe.

  Lösung

  Über das Lambert-Beersche-Gesetz kann die Konzentration der vermessenen Coffein-Lösung bestimmt werden:

  • $E = \varepsilon~\cdot~c~\cdot~d$
  • $c = \frac{E}{\varepsilon~\cdot~d} = \frac{1~mol}{9740~L~\cdot 1~cm}$
  • $c = 1,03 \cdot 10^{-4}~\frac{mol}{L}$

  Das Gesamtvolumen der Verdünnung beträgt 1 Liter, da gilt:

  • $c_G = \frac{n_G}{V_G} = \frac{n_G}{10~mL \cdot 100}$
  • $V_G = 1000~mL = 1~L$

  Über das Gesamtvolumen kann die Stoffmenge der Lösung bestimmt werden:

  • $n = c \cdot V$
  • $n = 1,03 \cdot 10^{-4}~\frac{mol}{L}~\cdot~1~L = 1,03 \cdot 10^{-4}~mol$

  Mithilfe der molaren Masse kann die gelöste Masse an Coffein bestimmt werden:

  • $m = n \cdot M$
  • $m = 1,03 \cdot 10^{-4}~mol~\cdot~194,2~\frac{g}{mol}$
  • $m = 0,0199~g \equiv 19,9~mg$

  Die Tablette enthält damit insgesamt ca. $20~mg$ Coffein.

• Bestimme das korrekte Diagramm der grafischen Methode zur Konzentrationsbestimmung.

  Tipps

  Die gesuchte Kurve wird auch Eichgerade oder Kalibrierfunktion genannt.

  Bedenke, dass der Extinktionskoeffizient stoff-, lösungsmittel und wellenlängenabhängig ist.

  Lösung

  Um im Labor mithilfe des Lambert-Beerschen Gesetzes Konzentrationen genau zu bestimmen, verwendet man die Methode der Kalibrierfunktion bzw. Eichkurve. Dabei werden verschiedene Lösungen mit bekannter Konzentration an einer bekannten Substanz hergestellt und dessen Extinktion bei einer festen Wellenlänge vermessen. Die Auftragung der Extinktion über die Konzentration (oder umgekehrt s. Abb.) liefert nach dem Lambert-Beerschen Gesetz einen linearen Zusammenhang:

  • $y(x) = ax + b \rightarrow E(c) = \varepsilon~\cdot~d~\cdot c + 0$

  Der Achsenabschnitt (b) ist Null, da bei einer Lösung ohne Substanz keine Extinktion bzw. Absorption von Licht auftritt. Die erhaltene Abschwächung der Lichtintensität durch Effekte wie Brechung und Reflexion an der Küvette wird durch kontinuierliches Abziehen dieses Blindwertes korrigiert.

• Bestimme die Gültigkeit vom Lambert-Beerschen-Gesetz.

  Tipps

  Lösungen mit großem molaren Extinktionskoeffizienten absorbieren einen Großteil des eingestrahlten Lichtes.

  Wie bei einer Waage gilt, je weniger Lichtintensität durchgelassen wird, desto schwieriger wird es technisch, die geringe Menge zu quantifizieren.

  Lösung

  Das Lambert-Beersche-Gesetz bzw. der lineare Zusammenhang zwischen Extinktion und Konzentration bei einer festen Messwellenlänge gilt nur für:

  • stark verdünnte Lösungen (kleiner Extinktionskoeffizient)
  • photostabile Verbindungen, d.h. Stoffe, die sich bei Lichtanregung nicht zersetzen
  • konstante Extinktionskoeffizienten bei gegebener Messwellenlänge, da dieser den linearen Anstieg bestimmt

  Stark konzentrierte Lösungen absorbieren einen Großteil vom eingestrahlten Licht, und die wenige durchgelassene Intensität kann nur erschwert detektiert werden. Die Reflexion, Brechung oder Beugung an der Küvette bzw. am Medium spielen für die Gültigkeit keine Rolle, da diese Effekte durch eine Blindmessung berücksichtigt werden. Allerdings sollte stets mit der gleichen Küvette (ohne Fingerabdrücken oder Kratzern) gearbeitet werden!