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Das Lambert Beer'sche Gesetz 11:26 min

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Transkript Das Lambert Beer'sche Gesetz

Hallo und ganz herzlich willkommen. In diesem Video geht es um das Lambert-Beer'sche Gesetz. Physikalischer Hintergrund. Die Helligkeit eines Lichtstrahls wird durch seine Intensität I bestimmt. Im materiefreien Raum bleibt die Intensität erhalten. Es gilt I=konstant. Dringt ein Lichtstrahl in einen Stoff ein, so verliert er auf seinem Weg durch diesen Stoff an Intensität. I0 ist größer als I. I0 ist die Intensität vor dem Eindringen. I: eine Intensität innerhalb oder nach Verlassen des Stoffes. Bedeutung für die quantitative Analyse. Nehmen wir an, dass das Licht eine Lösung der Konzentration der Lösung c durchdringt. Bleibt der Lichtweg L durch die Lösung konstant, der gelöste Stoff ist es ohnehin, dann hängt I nur von I0 und der Konzentration c ab. I=F(I0, c). I ist Funktion von I0 und c. I und I0 sind messbare Größen. Daraus lässt sich die Konzentration c berechnen. Wir stellen fest: Konzentrationen von Lösungen sind bestimmbar durch die Messung der Absorption von Licht. Herleitung einer Gleichung: Eine Küvette habe die Länge l. Sie ist befüllt mit einer Lösung der Konzentration c. Die Lichtintensität sei bei Eintritt in die Lösung I0, bei Austritt I. Für die Änderungsrate von I lässt sind folgender Zusammenhang formulieren. dI nach dl ist proportional zu –c mal I. Das negative Vorzeichen berücksichtigt die stete Verminderung von I. Der Proportionalitätsfaktor k führt zu einer Gleichung. dI/dl=-k mal c mal I. Wir lösen diese Differentialgleichung. Multiplikation mit dl und Division durch I ergibt: dI/I=-k mal c mal dl. Wir integrieren in den Grenzen von I0 bis I und 0 bis l. Integral von I0 bis I. dI/I=-Integral von 0 bis l k mal c mal dl. Beide Integrale werden ausgewertet. lnI-lnI0=-k mal c mal l + k mal c mal 0. Und weiter: lnI0-lnI=k mal c mal l. Sowie: ln(I0/I)=k mal c mal l. Wir wandeln den natürlichen Logarithmus in den dekadischen Logarithmus um. lg(I0/I)/lge=k mal c mal l. Multiplikation mit lge ergibt lg(I0/I)=lge mal k mal c mal l. Wir setzen: lge mal k=Epsilon . Wir erhalten: lg(I0/I)=Epsilon mal c mal l. Epsilon heißt Extinktionskoeffizient. Epsilon ist eine Stoffkonstante. Abhängig vom gelösten Stoff und vom Lösungsmittel. Das Lambert-Beer‘sche Gesetz. Anstelle von l verwendet man d als Bezeichnung für die Schichtdicke. Küvettenlänge. lg von I0/I=Epsilon mal c mal d. Das ist das Lambert-Beer‘sche Gesetz. lg von I0/I bezeichnet man als Extinktion E. Somit ergibt sich: E=Epsilon mal c mal d. Auch diese Gleichung nennt man Lambert-Beer‘sches Gesetz. Konzentrationsbestimmung ist eine wesentliche Anwendung des Lambert-Beer‘schen Gesetzes. (a) Messung und Berechnung mit einer bekannten Konzentration. Für eine Lösung der Konzentration c wird die Extinktion E gemessen. Ich erinnere: E=lg von I0/I. Wir schreiben: E=Epsilon mal c mal d, Gleichung (1). Für eine Lösung unbestimmter Konzentration cx wird die Extinktion Ex gemessen. Entsprechend gilt: Ex=Epsilon mal cx mal d. Epsilon und d sind konstant. Epsilon ist eine Stoffkonstante. d ist als Küvettenlänge im Experiment festgelegt. Division von (2) durch (1) ergibt: Ex/E=Epsilon mal cx mal d/Epsilon mal c mal d. Und schließlich: Ex/E=cx/c. Man sieht: Extinktion E und Konzentration c sind zueinander proportional. Multiplikation mit c und Seitentausch ergibt: cx=c mal Ex/E. (b) Erstellen einer Eichkurve. Zuverlässiger ist die Messung der Extinktion E für mehrere Konzentrationen c. Die Ergebnisse werden graphisch in einer Eichkurve dargestellt. Durch Messung von Ex und Ablesen kann man eine unbekannte Konzentration Cx direkt bestimmen. Absorptionsspektrum. Die Extinktion E ist abhängig von der Wellenlänge λ des eingestrahlten Lichtes. Daraus ergibt sich zweierlei: (a) Es wird monochromatisches Licht verwendet. Das bedeutet, man verwendet nur eine Wellenlänge λ. (b) E ist eine Funktion von λ: E=f(λ). Man schreibt auch für E einfach E(λ). E(λ) ändert sich, weil sich der Extinktionskoeffizient Epsilon ändert. Diese Tatsache wird durch Epsilon λ ausgedrückt. Das Lambert-Beer‘sche Gesetz erhält die Form E(λ)=Epsilon λ mal c mal d. Die graphische Darstellung von E als Funktion von λ[E(λ)] nennt man Absorptionsspektrum. Es entsteht durch kontinuierliche Veränderung der Wellenlänge λ von monochromatischem Licht. Für die Messung von Absorptionsspektren verwendet man spezielle Geräte. Spektralphotometer. In der Abbildung seht ihr den Aufbau eines solchen Spektralphotometers. Die Lichtquelle wird durch zwei Lampen geliefert. Eine Deuteriumlampe und eine Wolframlampe. Ein drehbares Prisma bewirkt die Lichtzerlegung. Im Monochromator wird durch einen Spalt monochromatisches Licht erzeugt. Ein Drehspiegel zerlegt den Lichtstrahl. Der eine Strahl wird über einen Spiegel durch eine Vergleichszelle geleitet. Die Konzentration ist hier null. Der andere Strahl wird durch die Probezelle mit gelöstem Stoff geleitet. Die Intensitäten beider Strahlen werden durch Photozellen gemessen und miteinander verglichen. Im Verstärker werden sie verstärkt. Im Registriergerät wird die Absorption durch die Extinktion E gegen die Wellenlänge λ, meist in Nanometer, aufgetragen. Man erhält ein Absorptionsspektrum. Absorptionsspektren dienen der Strukturaufklärung von Stoffen. Man spricht auch von UV/VIS-Spektroskopie. Zusammenfassung: Das Lambert-Beer‘sche Gesetz beschreibt quantitativ die Absorption monochromatischen Lichts durch eine Lösung. Konzentrationen von Lösungen lassen sich gut messen. Durch kontinuierliche Veränderung der Wellenlänge gewinnt man Absorptionsspektren. Sie dienen in der UV/VIS-Spektroskopie der Strukturaufklärung von Stoffen. Das war es auch schon wieder für heute. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss! Euer André.

Das Lambert Beer'sche Gesetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das Lambert Beer'sche Gesetz kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die physikalischen Größen aus dem Lambert-Beerschen Gesetz.

    Tipps

    Lösung

    Das Lambert-Beersche Gesetz ist eine quantitative Beschreibung der Absorption von monochromatischem Licht. Es setzt sich aus folgenden physikalischen Größen zusammen:

    • $I_0$: Lichtintensität vor dem Durchqueren des Mediums
    • $I$: Intensität des Lichtes nach Durchqueren des Mediums
    • $\lg\left( \frac{I_0}{I} \right)$: Extinktion als Maß für die Abschwächung der Lichtintensität nach dem Durchqueren des Mediums. Die Lichtintensität $I$ ist immer kleiner als $I_0$, da ein Teil der Strahlung vom Stoff absorbiert wird.
    • $c$: Konzentration der zu untersuchenden Substanz in Lösung
    • $d$: Schichtdicke bzw. Küvettenlänge, die die Weglänge des Lichtes im Medium beschreibt.
    • $\varepsilon$: Extinktionskoeffizient, der eine stoff-, lösungsmittel- und wellenlängenabhängige Größe ist.
  • Bestimme das korrekte Diagramm der grafischen Methode zur Konzentrationsbestimmung.

    Tipps

    Die gesuchte Kurve wird auch Eichgerade oder Kalibrierfunktion genannt.

    Bedenke, dass der Extinktionskoeffizient stoff-, lösungsmittel und wellenlängenabhängig ist.

    Lösung

    Um im Labor mithilfe des Lambert-Beerschen Gesetzes Konzentrationen genau zu bestimmen, verwendet man die Methode der Kalibrierfunktion bzw. Eichkurve. Dabei werden verschiedene Lösungen mit bekannter Konzentration an einer bekannten Substanz hergestellt und dessen Extinktion bei einer festen Wellenlänge vermessen. Die Auftragung der Extinktion über die Konzentration (oder umgekehrt s. Abb.) liefert nach dem Lambert-Beerschen Gesetz einen linearen Zusammenhang:

    • $y(x) = ax + b \rightarrow E(c) = \varepsilon~\cdot~d~\cdot c + 0$
    Der Achsenabschnitt (b) ist Null, da bei einer Lösung ohne Substanz keine Extinktion bzw. Absorption von Licht auftritt. Die erhaltene Abschwächung der Lichtintensität durch Effekte wie Brechung und Reflexion an der Küvette wird durch kontinuierliches Abziehen dieses Blindwertes korrigiert.

  • Beschrifte das Spektralphotometer.

    Tipps

    Da die Extinktion wellenlängenabhängig ist, wird jede Messwellenlänge einzeln vermessen.

    Licht mit einer einzigen Wellenlänge ist monochromatisch.

    Lösung

    Im Spektralphotometer durchläuft das Licht, welches von einer Deuterium- oder Wolfram-Lampe stammt, folgenden Weg.

    1. Zunächst durchläuft es ein drehbares Prima, wobei durch Brechung an den Grenzflächen das weiße Licht in die einzelnen Bestandteile (Wellenlängen) zerlegt wird. Der gleiche Effekt kann anstatt eines Prismas auch mit einem Gitter (Beugung am Gitter) erreicht werden. Durch die Drehung des Prismas wird geregelt, welche Wellenlänge bzw. welcher kleiner Wellenlängenbereich zum Monochromator gelangt.
    2. Ein Teil des vom Prisma zerlegten Lichtes gelangt durch einen Spalt in den Monochromator. Dort wird über ein Spiegelsystem die einzelne Wellenlänge (z.B. 530 nm) herausgefiltert und über eine Austrittspalt gelangt es auf den ersten Drehspiegel bzw. semipermeablen Spiegel.
    3. Der Drehspiegel lässt ein Teil des Lichtes in die Probenzelle, d.h. die Küvette mit Probenlösung. Ein zweiter Teil gelangt über Reflexion an den Spiegeln in eine Vergleichszelle, in der keine Lösung vorliegt. Dieser Schritt ist notwendig, da auch die leere Küvette zu einer gewissen Verminderung der Intensität führt.
    4. Die Intensitäten nach Durchqueren der leeren Küvette und der Küvette mit Probenlösung wird mittels einer Photozelle detektiert. Die Photozelle ist häufig ein Dioden-Array-Detektor oder eine CCD.
    5. Das Signal der Photozelle gelangt zu dem Verstärker, welcher oft ein Sekundärelektronenvervielfacher ist.
    6. Im Registrierer wird die Blindextinktion, d.h. die Extinktion beim Durchqueren der leeren Küvette, von der Extinktion beim Durchqueren der Probenlösung abgezogen. Eine Auftragung der Extinktion gegeünber der Wellenlänge liefert das Absorptionsspektrum.
  • Bestimme die Gültigkeit vom Lambert-Beerschen-Gesetz.

    Tipps

    Lösungen mit großem molaren Extinktionskoeffizienten absorbieren einen Großteil des eingestrahlten Lichtes.

    Wie bei einer Waage gilt, je weniger Lichtintensität durchgelassen wird, desto schwieriger wird es technisch, die geringe Menge zu quantifizieren.

    Lösung

    Das Lambert-Beersche-Gesetz bzw. der lineare Zusammenhang zwischen Extinktion und Konzentration bei einer festen Messwellenlänge gilt nur für:

    • stark verdünnte Lösungen (kleiner Extinktionskoeffizient)
    • photostabile Verbindungen, d.h. Stoffe, die sich bei Lichtanregung nicht zersetzen
    • konstante Extinktionskoeffizienten bei gegebener Messwellenlänge, da dieser den linearen Anstieg bestimmt
    Stark konzentrierte Lösungen absorbieren einen Großteil vom eingestrahlten Licht, und die wenige durchgelassene Intensität kann nur erschwert detektiert werden. Die Reflexion, Brechung oder Beugung an der Küvette bzw. am Medium spielen für die Gültigkeit keine Rolle, da diese Effekte durch eine Blindmessung berücksichtigt werden. Allerdings sollte stets mit der gleichen Küvette (ohne Fingerabdrücken oder Kratzern) gearbeitet werden!

  • Vervollständige die Herleitung vom Lambert-Beerschen Gesetz.

    Tipps
    Lösung

    Der physikalische Hintergrund zur Herleitung vom Lambert-Beerschen Gesetz ist die Änderungsrate der Intensität $I$ nach Durchqueren eines Mediums. Diese Intensitätsabnahme entlang der Strecke d ist abhängig von der Konzentration c und einem Proportionalitätsfaktor k (in dem der Extinktionskoeffizient steckt). Da die Intensität vom Licht beim Verlassen des Mediums stets kleiner ist als die eingestrahlte Intensität $I_0$, steht auf einer Seite der Gleichung ein Minus-Zeichen:

    • $\frac{\partial I}{\partial d} = - k~\cdot~c~\cdot~I~~\left| \cdot \partial d \right.$
    • $\partial I = - k~\cdot~c~\cdot~I~\cdot~\partial d~~\left| :I \right.$
    • $\frac{\partial I}{I} = - k~\cdot~c~\cdot~\partial d$
    Die Integration von $1/x$ liefert den natürlichen Logarithmus von x $\left( \ln x \right)$. Zur Herleitung des Lambert-Beerschen-Gesetzes erfolgt die Integration über die Lichtintensität in den Grenzen der eingestrahlten Intensität $I_0$ und der austretenden Intensität $I$. Die rechte Seite der Differentialgleichung wird von der Schichtdicke von 0 bis d integriert:

    • $\int_{I_0}^I \frac{\partial I}{I} = - \int_0^d k~\cdot~c~\cdot~\partial d$
    • $\ln \left( \frac{I}{I_0} \right) = - k~\cdot~c~\cdot~d~~\left| \ln \left( \frac{x}{y} = \ln x - \ln y \right) \right.$
    • $\ln I - \ln I_0 = - k~\cdot~c~\cdot~d~~\left| \cdot - 1\right.$
    • $\ln I_0 - ln I = k~\cdot~c~\cdot~d~~\left| \ln \left( \frac{x}{y} = \ln x - \ln y \right) \right.$
    • $\ln \left( \frac{I_0}{I} \right) = k~\cdot~c~\cdot~d~~\left| \lg x = \frac{\ln x}{\lg e}\right.$
    • $\lg \left( \frac{I_0}{I} \right) = \lg e~k~\cdot~c~\cdot~d~~\left| \lg e \cdot k = \varepsilon \right.$
    • $\lg \left( \frac{I_0}{I} \right) = \varepsilon~\cdot~c~\cdot~d$
  • Berechne die Konzentration von Coffein in einer Tablette.

    Tipps

    Unter dem Gesamtvolumen einer Verdünnungsreihe wird das Volumen verstanden, in dem die Tablette hätte gelöst werden können, um dieselbe Konzentration zu erhalten wie in der Verdünnungsreihe.

    Lösung

    Über das Lambert-Beersche-Gesetz kann die Konzentration der vermessenen Coffein-Lösung bestimmt werden:

    • $E = \varepsilon~\cdot~c~\cdot~d$
    • $c = \frac{E}{\varepsilon~\cdot~d} = \frac{1~mol}{9740~L~\cdot 1~cm}$
    • $c = 1,03 \cdot 10^{-4}~\frac{mol}{L}$
    Das Gesamtvolumen der Verdünnung beträgt 1 Liter, da gilt:

    • $c_G = \frac{n_G}{V_G} = \frac{n_G}{10~mL \cdot 100}$
    • $V_G = 1000~mL = 1~L$
    Über das Gesamtvolumen kann die Stoffmenge der Lösung bestimmt werden:

    • $n = c \cdot V$
    • $n = 1,03 \cdot 10^{-4}~\frac{mol}{L}~\cdot~1~L = 1,03 \cdot 10^{-4}~mol$
    Mithilfe der molaren Masse kann die gelöste Masse an Coffein bestimmt werden:

    • $m = n \cdot M$
    • $m = 1,03 \cdot 10^{-4}~mol~\cdot~194,2~\frac{g}{mol}$
    • $m = 0,0199~g \equiv 19,9~mg$
    Die Tablette enthält damit insgesamt ca. $20~mg$ Coffein.