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Hexagonal dichteste Kugelpackung

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Die Autor*innen
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André Otto
Hexagonal dichteste Kugelpackung
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Hexagonal dichteste Kugelpackung

Inhalt

Die hexagonal dichteste Kugelpackung – Chemie

Metallatome können sich in verschiedenen Gitterstrukturen anordnen. Eine davon ist die hexagonal dichteste Kugelpackung. Aber was ist ein Kugelpackungsmodell? Und welche Eigenschaften besitzt eine hexagonal dichteste Kugelpackung? Die Antworten auf diese Fragen findest du im folgenden Text.

Was versteht man unter der dichtesten Kugelpackung? – Definition

Metallatome ordnen sich beim Abkühlen aus der Schmelze nach einem für jedes Metall typischen Kristallgitter an. Die Eigenschaften der Metalle, beispielsweise deren Verformbarkeit, werden durch die jeweilige Gitterstruktur stark beeinflusst. In der Abbildung unten siehst du einige wichtige Typen von Metallgittern, darunter auch die sogenannte hexagonal dichteste Kugelpackung.

Unterschied hexagonal kubisch dichteste Kugelpackung

In Kugelpackungsmodellen werden die Atome als Kugeln dargestellt. Sie beschreiben die dichteste Anordnung dieser gleich großen Kugeln. In der hexagonal dichtesten Kugelpackung besitzt also jedes Atom zwölf Nachbarn. Sechs sind in der gleichen Schicht wie das gegebene Atom, drei in der Schicht darüber und ebenfalls drei in der Schicht darunter. Die Schichtstruktur wird als $\ce{ABABAB…}$ bezeichnet. Das bedeutet, dass sich jeweils stets zwei verschiedene Schichten wiederholen.

Die Packungsdichte, auch Raumerfüllungsgrad genannt, beschreibt, wie viel Platz die Kugeln im Verhältnis zu den Lücken einnehmen. Möchte man nun eine Formel für die Berechnung der Packungsdichte beziehungsweise den Raumerfüllungsgrad einer hexagonal dichtesten Kugelpackung herleiten, muss einiges bedacht werden. Wie das aussieht, sehen wir uns im folgenden Abschnitt an.

Wie kann man die Packungsdichte der hexagonal dichtesten Kugelpackung berechnen?

Wir wollen das Verhältnis aus dem Volumen vieler Kugeln bezogen auf das Volumen eines Kastens, in dem diese Kugeln in einer hexagonal dichtesten Kugelpackung angeordnet sind, berechnen. Die Anzahl der Kugeln ist dabei quasi unendlich groß. Um das Volumen des Kastens berechnen zu können, stellen wir uns als Modell einen Ausschnitt der Kugelpackung vor. Dazu nehmen wir drei Kugeln in einer Linie und darunter werden, so dicht wie nur möglich, zwei weitere Kugeln angelagert.

$\ce{Packungsdiche = \dfrac{V_{K}}{V} = \dfrac{Volumen~vieler~Kugeln}{Volumen~des~Kastens}}$

Wir gehen davon aus, dass in der Länge $\ce{m}$ Kugeln, in der Breite $\ce{n}$ Kugeln und in der Höhe $\ce{p}$ Kugeln vorliegen. Die Kugeln sind alle gleich groß. Für das Volumen vieler Kugeln ($\ce{V_{K}}$) lässt sich folgende Formel einsetzen:

$\ce{V_{K} = {m}\cdot{n}\cdot{p}\cdot{\dfrac{\pi}{6}}\cdot{d^{3}}}$

Dabei gilt:

  • $\ce{d =}$ Durchmesser einer Kugel
  • $\ce{{\dfrac{\pi}{6}}\cdot{d^{3}} =}$ Volumen einer Kugel
  • $\ce{m,n,p >> 1}$

Wir können für die Berechnung des Volumens unseres Modellkastens die Formel für die Berechnung eines Quaders benutzen. Diese lautet:

$\ce{V_{Quader} =}$ ${Länge}\cdot{Breite}\cdot{Höhe}$

Dabei gilt:

  • $\ce{{m}\cdot{d} =}$ Länge des Kastens
  • $\ce{{n}\cdot{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\cdot{d} =}$ Breite des Kastens
  • $\ce{{p}\cdot{\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\cdot{d} =}$ Höhe des Kastens

Im zugehörigen Video wird genau gezeigt, wie die Formeln für Länge, Breite und Höhe hergeleitet werden.

Setzen wir die einzelnen Formeln nun ein, erhalten wir die folgende Rechnung für die Berechnung des Volumens des Kastens:

$\ce{V = {m}\cdot{d}\cdot{n}\cdot{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\cdot{d}\cdot{p}\cdot{\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot{d}}}$

Diese Rechnung lässt sich noch kürzen:

$\ce{V = {m}\cdot{d}\cdot{n}\cdot{\dfrac{\cancel{\sqrt{3}}}{2}}\cdot{d}\cdot{p}\cdot{\dfrac{\sqrt{2}}{\cancel{\sqrt{3}}}\cdot{d}}}$

Nun setzen wir die erhaltenen Formeln für $\ce{V_{K}}$ und $\ce{V}$ in die am Anfang aufgestellte Formel für die Packungsdichte ein:

$\ce{\dfrac{V_{K}}{V} = \dfrac{{m}\cdot{n}\cdot{p}\cdot{\pi}\cdot{d^{3}}\cdot{2}}{{m}\cdot{n}\cdot{p}\cdot{6}\cdot{\sqrt{2}}\cdot{d^{3}}}} $

Auch diese Formel lässt sich kürzen:

$\ce{\dfrac{V_{K}}{V} = \dfrac{{\cancel{m}}\cdot{\cancel{n}}\cdot{\cancel{p}}\cdot{\pi}\cdot{\cancel{d^{3}}}\cdot{2}}{{\cancel{m}}\cdot{\cancel{n}}\cdot{\cancel{p}}\cdot{6}\cdot{\sqrt{2}}\cdot{\cancel{d^{3}}}} = \dfrac{\pi}{{3}\cdot{\sqrt{2}}} \approx{0,74} } $

Der Raumfüllungsgrad/die Packungsdichte beträgt in der hexagonal dichtesten Kugelpackung 74 Prozent.

Die kubisch flächenzentrierte Kugelpackung und die hexagonal dichteste Kugelpackung sind die beiden Gittertypen, die mit 74 Prozent die größte Packungsdichte von gleich großen Kugelteilchen aufweisen.

Die Packungsdichten anderer Gittertypen liegen unterhalb dieser 74 Prozent. Die kubisch raumzentrierte Kugelpackung besitzt zum Beispiel eine Packungsdichte von 68 Prozent.

Hexagonal dichteste Kugelpackung – Beispiel

Metalle, die sich in der hexagonal dichtesten Kugelpackung anordnen, gelten als schlecht verformbar. Dazu gehören zum Beispiel Magnesium ($\ce{Mg}$), Zink ($\ce{Zn}$), Cobalt ($\ce{Co}$) oder auch Titan ($\ce{Ti}$).

Expertenwissen: Welche Lücken existieren in dichten Kugelpackungen und wie viele Lücken gibt es?

Im Zusammenhang mit den dichtesten Kugelpackungen werden oft einige Begriffe genannt, die fürs bessere Verständnis in der folgenden Tabelle am Beispiel der hexagonal dichtesten Kugelpackung kurz und einfach erklärt werden.

Begriffe Beschreibung
Tetraederlücken der hexagonal dichtesten Kugelpackung Die Tetraederlücke ist der Hohlraum in einem Tetraeder, der frei bleibt, wenn in die Ecken des Tetraeders sich berührende Kugeln gesetzt werden. Jedes Atom der hexagonal dichtesten Kugelpackung wird von insgesamt acht Tetraederlücken umgeben. Kleinere Fremdatome können in Tetraederlücken eingelagert werden.
Elementarzelle der hexagonal dichtesten Kugelpackung Die Elementarzelle stellt den kleinsten räumlichen Baustein einer räumlichen Gitterstruktur dar. Im Fall der hexagonal dichtesten Kugelpackung ist die Elementarzelle ein hexagonales Prisma, das zwei Atome enthält.
Oktaederlücken der hexagonal dichtesten Kugelpackung Die Oktaederlücke ist der Hohlraum in einem Oktaeder, der frei bleibt, wenn in die Ecken des Oktaeders sich berührende Kugeln gesetzt werden. Jedes Atom der hexagonal dichtesten Kugelpackung wird von sechs Oktaederlücken umgeben. Kleinere Fremdatome können in diese Lücken eingelagert werden.

Dieses Video

In diesem Video wird erklärt, wie die Berechnung des Raumerfüllungsgrads der hexagonal dichtesten Kugelpackung funktioniert.

Auch zum Thema Hexagonal dichteste Kugelpackung haben wir einige interaktive Übungen vorbereitet. Du kannst dein neu gewonnenes Wissen also direkt testen. Viel Spaß!

Transkript Hexagonal dichteste Kugelpackung

Guten Tag und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um die hexagonal dichteste Kugelpackung. Hexagonal dichteste Kugelpackung bedeutet zunächst einmal eine dichteste Anordnung gleichgroßer Kugeln im Raum. Durch diese Anordnung kann die räumliche Struktur einiger Metalle modelliert werden, zum Beispiel die Struktur des Magnesiums. Hexagonal dichteste Kugelpackung bedeutet eine der Möglichkeiten dichtester Anordnung, das heißt, es gibt mindestens noch eine weitere.

Hexagonal dichteste Kugelpackung bedeutet, dass die Kugeln in Schichten nach dem Schema ABABAB angeordnet sind. Wir wollen in diesem Video die Berechnung des Raumfüllungsgrades ausführen. Der Raumfüllungsgrad bedeutet: Das Verhältnis aus dem Volumen vieler Kugeln bezogen auf das Volumen des Kastens, in dem diese Kugeln in einer hexagonal dichtesten Kugelpackung angeordnet sind. Bei unseren Überlegungen gehen wir immer davon aus, dass die Zahl der Kugeln quasi unendlich ist. Das heißt, wir haben es mit sehr vielen Kugeln zu tun. Das Volumen der vielen Kugeln im Kasten, VK, lässt sich recht einfach darstellen: Wir gehen davon aus, dass in der Länge m Kugeln, in der Breite n Kugeln und in der Höhe p Kugeln angeordnet sind. Dann können wir schreiben: VK=m×n×p×π/6d3, π/6d3 ist das Volumen einer einzigen Kugel, d ist dabei ihr Durchmesser. Wir gehen davon aus, dass m, n und p sehr große Zahlen sind, sie sind also viel größer als 1 und sie sollen in etwa gleich groß sein.

Wir wollen uns nun ein einfaches Modell für die hexagonal dichteste Kugelpackung in einer Schicht anschauen. An 3 Kugeln grenzen 2 Kugeln möglichst dicht an. Die 3 Durchmesser der 3 Kugeln oben bilden die Kastenlänge unseres Models. Es ist klar, dass in der 2. Reihe nur 2 Kugeln angeordnet sein können. Daher erhalten wir für die entsprechenden Kastenlängen (3d)/(2d)=3/2, das ergibt 1,5 und unterscheidet sich doch erheblich von 1. Wenn wir allerdings mit vielen Kugeln arbeiten, mit einer Zahl von der Größenordnung 1023, typisch für Mol-Mengen, so erhalten wir für die 1. Reihe 1023 Kugeln und für die 2. Reihe 1023-1. Wenn wir nun das Verhältnis der Kastenlängen aus der 1. und der 2. Reihe berechnen, so erhalten wir 1023d/(1023-1)d. Und das ist eine Zahl, die, nachdem wir d gekürzt haben, fast exakt 1 ist. Damit wird klar, dass unsere Überlegungen nur dann richtig sind, wenn wir es mit sehr vielen Kugeln zu tun haben. Für sehr große m, m ist viel größer als 1, sind folglich die Ränder von jeweils d/2 unerheblich. Das Modell funktioniert folglich nur dann, wenn nicht, wie bei uns hier, m=3 und n=2 sind, sondern m und n, wie wir schon sagten, quasi unendlich sind. Wir kommen nun zur Berechnung des Volumens des Kastens. Und das gestaltet sich etwas komplizierter. Für die Berechnung von V benutzen wir die Formel für die Berechnung des Volumens eines Quaders. Länge × Breite × Höhe. Die Länge ist gerade bei uns das m-fache des Durchmessers einer einzigen Kugel, also die Länge ist m×d. m×d=Länge des Kastens. Die Breite einer Kugelschicht in der hexagonal dichtesten Kugelpackung wird hier von oben nach unten vermessen. Und dort können wir nicht einfach die Durchmesser der einzelnen Kugeln addieren, weil sie ja etwas zusammengeschoben sind. Man sieht aber, so wie ich es hier in der Anordnung zeige, dass jeweils 3 Kugeln ein gleichseitiges Dreieck bilden. Die Eckpunkte des gleichseitigen Dreiecks sind die Mittelpunkte der Kugeln. Dann ist jeweils eine Dreiecksseite d nämlich genau der Durchmesser einer Kugel. Wenn wir jetzt die Höhen dieser gleichseitigen Dreiecke berechnen und mit der Zahl der Kugelpackungen in der Breite multiplizieren, so erhalten wir auch die Breite des Kastens. In einem anderen Video habe ich bereits gezeigt, und ihr könnt es herleiten oder in der Formelsammlung nachschlagen, dass die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge d genau (\sqrt3)/2×d ist. Wir schreiben somit in unsere Formel für das Volumen des Kastens für die Breite des Kastens hinein: n×(\sqrt3)/2×d. Die Breite des Kastens beträgt für eine sehr große Zahl n: n×(\sqrt3)/2×d. Nun bleibt noch übrig, die Höhe des Kastens zu bestimmen. Bei der hexagonal dichtesten Kugelpackung ist die 2. Schicht immer so angeordnet, dass eine Kugel genau über 3 anderen Kugeln so angeordnet ist, dass sie zusammen, wenn man ihre Mittelpunkte miteinander verbindet, ein Tetraeder bilden. Die Idee der Höhenberechnung besteht nun darin, dass man die Höhe eines solchen Tetraeders in die Formel für das Volumen einsetzt, und mit der Anzahl der Lagen in der Höhenausrichtung p multipliziert. Wir schreiben somit p × und die Höhe eines Tetraeders kann man nachlesen, herleiten, ich hab es auch schon in einem Video gezeigt, beträgt \sqrt2/\sqrt3/×d. Die Höhe des Kastens beträgt somit für sehr große p p×\sqrt2/\sqrt3/×d. Und wir erinnern noch einmal, die Höhe eines Tetraders beträgt hier h=\sqrt2/\sqrt3×d, wobei d der Durchmesser einer Kugel ist. Jetzt vereinfachen wir die gefundene Gleichung: Wir können \sqrt3 gegen \sqrt3 kürzen, wir erhalten somit für das Volumen des Kastens V=m×n×p×(\sqrt2)/2×d3. Gleichung 2.

Der Raumfüllungsgrad ist gerade definiert als Quotient aus VK und V. Wir benutzen die beiden rechten Seiten der Gleichung 1 und 2 und schreiben sie oberhalb und unterhalb des Bruchstrichs auf. Also VK/V= , im Zähler steht dann entsprechend Gleichung 1 m×n×p×π×d3 und außerdem auch noch aus Gleichung 1 steht im Nenner eine 6. Aus Gleichung 2 erhalten wir für den Nenner m×n×p×\sqrt2×d3 und außerdem steht aus Gleichung 2 noch eine 2 im Zähler. Jetzt kommt das große Kürzen. m gegen m, n gegen n, p gegen p und d3 gegen d3. Letztlich können wir noch die 2 gegen die 6 kürzen, indem wir beide Zahlen durch 2 dividieren. Im Zähler bleibt dann noch übrig ein π und im Nenner 3×\sqrt2. Mit dem Taschenrechner ermittelt man dafür etwa 0,74, also 74 %. Und das stimmt mit dem Literaturwert auch wunderbar überein.

Ich danke für die Aufmerksamkeit. Auf Wiedersehen.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Danke für die Darstellung !
    Kurz und gut struktuiert - damit lässt sich der Chemie-Stoff
    schnell verstehen und behalten.

    Ganz prima.

    Von Ip Pfeffer, vor fast 8 Jahren
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