Die hexagonal dichteste Kugelpackung – Chemie
Metallatome können sich in verschiedenen Gitterstrukturen anordnen. Eine davon ist die hexagonal dichteste Kugelpackung. Aber was ist ein Kugelpackungsmodell? Und welche Eigenschaften besitzt eine hexagonal dichteste Kugelpackung? Die Antworten auf diese Fragen findest du im folgenden Text.
Was versteht man unter der dichtesten Kugelpackung? – Definition
Metallatome ordnen sich beim Abkühlen aus der Schmelze nach einem für jedes Metall typischen Kristallgitter an. Die Eigenschaften der Metalle, beispielsweise deren Verformbarkeit, werden durch die jeweilige Gitterstruktur stark beeinflusst. In der Abbildung unten siehst du einige wichtige Typen von Metallgittern, darunter auch die sogenannte hexagonal dichteste Kugelpackung.
In Kugelpackungsmodellen werden die Atome als Kugeln dargestellt. Sie beschreiben die dichteste Anordnung dieser gleich großen Kugeln. In der hexagonal dichtesten Kugelpackung besitzt also jedes Atom zwölf Nachbarn. Sechs sind in der gleichen Schicht wie das gegebene Atom, drei in der Schicht darüber und ebenfalls drei in der Schicht darunter. Die Schichtstruktur wird als $\ce{ABABAB…}$ bezeichnet. Das bedeutet, dass sich jeweils stets zwei verschiedene Schichten wiederholen.
Die Packungsdichte, auch Raumerfüllungsgrad genannt, beschreibt, wie viel Platz die Kugeln im Verhältnis zu den Lücken einnehmen.
Möchte man nun eine Formel für die Berechnung der Packungsdichte beziehungsweise den Raumerfüllungsgrad einer hexagonal dichtesten Kugelpackung herleiten, muss einiges bedacht werden. Wie das aussieht, sehen wir uns im folgenden Abschnitt an.
Wie kann man die Packungsdichte der hexagonal dichtesten Kugelpackung berechnen?
Wir wollen das Verhältnis aus dem Volumen vieler Kugeln bezogen auf das Volumen eines Kastens, in dem diese Kugeln in einer hexagonal dichtesten Kugelpackung angeordnet sind, berechnen. Die Anzahl der Kugeln ist dabei quasi unendlich groß. Um das Volumen des Kastens berechnen zu können, stellen wir uns als Modell einen Ausschnitt der Kugelpackung vor. Dazu nehmen wir drei Kugeln in einer Linie und darunter werden, so dicht wie nur möglich, zwei weitere Kugeln angelagert.
$\ce{Packungsdiche = \dfrac{V_{K}}{V} = \dfrac{Volumen~vieler~Kugeln}{Volumen~des~Kastens}}$
Wir gehen davon aus, dass in der Länge $\ce{m}$ Kugeln, in der Breite $\ce{n}$ Kugeln und in der Höhe $\ce{p}$ Kugeln vorliegen. Die Kugeln sind alle gleich groß. Für das Volumen vieler Kugeln ($\ce{V_{K}}$) lässt sich folgende Formel einsetzen:
$\ce{V_{K} = {m}\cdot{n}\cdot{p}\cdot{\dfrac{\pi}{6}}\cdot{d^{3}}}$
Dabei gilt:
- $\ce{d =}$ Durchmesser einer Kugel
- $\ce{{\dfrac{\pi}{6}}\cdot{d^{3}} =}$ Volumen einer Kugel
- $\ce{m,n,p >> 1}$
Wir können für die Berechnung des Volumens unseres Modellkastens die Formel für die Berechnung eines Quaders benutzen. Diese lautet:
$\ce{V_{Quader} =}$ ${Länge}\cdot{Breite}\cdot{Höhe}$
Dabei gilt:
- $\ce{{m}\cdot{d} =}$ Länge des Kastens
- $\ce{{n}\cdot{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\cdot{d} =}$ Breite des Kastens
- $\ce{{p}\cdot{\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\cdot{d} =}$ Höhe des Kastens
Im zugehörigen Video wird genau gezeigt, wie die Formeln für Länge, Breite und Höhe hergeleitet werden.
Setzen wir die einzelnen Formeln nun ein, erhalten wir die folgende Rechnung für die Berechnung des Volumens des Kastens:
$\ce{V = {m}\cdot{d}\cdot{n}\cdot{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\cdot{d}\cdot{p}\cdot{\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot{d}}}$
Diese Rechnung lässt sich noch kürzen:
$\ce{V = {m}\cdot{d}\cdot{n}\cdot{\dfrac{\cancel{\sqrt{3}}}{2}}\cdot{d}\cdot{p}\cdot{\dfrac{\sqrt{2}}{\cancel{\sqrt{3}}}\cdot{d}}}$
Nun setzen wir die erhaltenen Formeln für $\ce{V_{K}}$ und $\ce{V}$ in die am Anfang aufgestellte Formel für die Packungsdichte ein:
$\ce{\dfrac{V_{K}}{V} = \dfrac{{m}\cdot{n}\cdot{p}\cdot{\pi}\cdot{d^{3}}\cdot{2}}{{m}\cdot{n}\cdot{p}\cdot{6}\cdot{\sqrt{2}}\cdot{d^{3}}}} $
Auch diese Formel lässt sich kürzen:
$\ce{\dfrac{V_{K}}{V} = \dfrac{{\cancel{m}}\cdot{\cancel{n}}\cdot{\cancel{p}}\cdot{\pi}\cdot{\cancel{d^{3}}}\cdot{2}}{{\cancel{m}}\cdot{\cancel{n}}\cdot{\cancel{p}}\cdot{6}\cdot{\sqrt{2}}\cdot{\cancel{d^{3}}}} = \dfrac{\pi}{{3}\cdot{\sqrt{2}}} \approx{0,74} } $
Der Raumfüllungsgrad/die Packungsdichte beträgt in der hexagonal dichtesten Kugelpackung 74 Prozent.
Die kubisch flächenzentrierte Kugelpackung und die hexagonal dichteste Kugelpackung sind die beiden Gittertypen, die mit 74 Prozent die größte Packungsdichte von gleich großen Kugelteilchen aufweisen.
Die Packungsdichten anderer Gittertypen liegen unterhalb dieser 74 Prozent. Die kubisch raumzentrierte Kugelpackung besitzt zum Beispiel eine Packungsdichte von 68 Prozent.
Hexagonal dichteste Kugelpackung – Beispiel
Metalle, die sich in der hexagonal dichtesten Kugelpackung anordnen, gelten als schlecht verformbar. Dazu gehören zum Beispiel Magnesium ($\ce{Mg}$), Zink ($\ce{Zn}$), Cobalt ($\ce{Co}$) oder auch Titan ($\ce{Ti}$).
Expertenwissen: Welche Lücken existieren in dichten Kugelpackungen und wie viele Lücken gibt es?
Im Zusammenhang mit den dichtesten Kugelpackungen werden oft einige Begriffe genannt, die fürs bessere Verständnis in der folgenden Tabelle am Beispiel der hexagonal dichtesten Kugelpackung kurz und einfach erklärt werden.
| Begriffe |
Beschreibung |
| Tetraederlücken der hexagonal dichtesten Kugelpackung |
Die Tetraederlücke ist der Hohlraum in einem Tetraeder, der frei bleibt, wenn in die Ecken des Tetraeders sich berührende Kugeln gesetzt werden. Jedes Atom der hexagonal dichtesten Kugelpackung wird von insgesamt acht Tetraederlücken umgeben. Kleinere Fremdatome können in Tetraederlücken eingelagert werden. |
| Elementarzelle der hexagonal dichtesten Kugelpackung |
Die Elementarzelle stellt den kleinsten räumlichen Baustein einer räumlichen Gitterstruktur dar. Im Fall der hexagonal dichtesten Kugelpackung ist die Elementarzelle ein hexagonales Prisma, das zwei Atome enthält. |
| Oktaederlücken der hexagonal dichtesten Kugelpackung |
Die Oktaederlücke ist der Hohlraum in einem Oktaeder, der frei bleibt, wenn in die Ecken des Oktaeders sich berührende Kugeln gesetzt werden. Jedes Atom der hexagonal dichtesten Kugelpackung wird von sechs Oktaederlücken umgeben. Kleinere Fremdatome können in diese Lücken eingelagert werden. |
Dieses Video
In diesem Video wird erklärt, wie die Berechnung des Raumerfüllungsgrads der hexagonal dichtesten Kugelpackung funktioniert.
Auch zum Thema Hexagonal dichteste Kugelpackung haben wir einige interaktive Übungen vorbereitet. Du kannst dein neu gewonnenes Wissen also direkt testen. Viel Spaß!
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