Reaktion erster Ordnung - c(t)

Hallo liebe Chemiefreundinnen und Chemiefreunde, hier ist wieder André mit einem Beitrag zur Reaktionskinetik. Wir sprechen heute über die Reaktion 1. Ordnung und befassen uns mit der Konzentrationsänderung als Funktion der Zeit. Reaktion 1. Ordnung kann man sich so vorstellen, dass ein einziges Teilchen sich in einem chemischem Prozess zerlegt. Man kann dann seine Reaktionskinetik formulieren. Geschwindigkeit v=k×[A]. V ist die Reaktionsgeschwindigkeit. Bei k handelt es sich um die Geschwindigkeitskonstante und [A] in Klammern beinhaltet die Konzentration des Ausgangsstoffs, des Edukts. Ich lade prinzipiell alle Interessierten ein, diese Videos anzuschauen. Von Vorteil ist es, wenn ihr die Leistungskurse in Mathematik und Chemie der 12. Klassenstufe belegt. Sollte dies nicht der Fall sein, so wäre die Grundvoraussetzung, dass ihr die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung beherrscht. Für die Herleitung der kinetischen Gleichungen empfiehlt es sich, die Abhängigkeit der Konzentration von der Zeit grafisch darzustellen. Zu Beginn der Reaktion sei die Anfangskonzentration C0. Die Veränderung der Konzentration in Abhängigkeit von der Zeit ist durch den Graphen mit blauer Farbe skizziert. Wenn wir die Tangente an einem Punkt der Funktionskurve anlegen, so erhalten wir an dieser Stelle dc/dt = v, die Reaktionsgeschwindigkeit. Man kann auch mit den Symbolen der Schulmathematik schreiben c´. Das ist nun aber gerade der Quotient aus Konzentrationsänderung und Zeit. Er wird als Reaktionsgeschwindigkeit definiert. Damit haben wir bereits eine Gleichung. Die 2. Gleichung stellt v in Abhängigkeit von c dar. v=k×c¹. Dabei bedeutet, dass der Exponent die 1. Ordnung dieser Reaktion ausdrückt. Das kleine Gleichungssystem ist nun nach c aufzulösen. Als 1. setzen wir 1 und 2 über v gleich. Bevor wir fortsetzen, müssen wir auf der rechten Seite der Gleichung 2 noch ein Hilfsminus einführen. Warum? Wir wissen aus der Zeichnung links, dass die Reaktionsgeschwindigkeit v<0 ist. Außerdem wissen wir, dass die Konzentrationskonstante k > 0 ist und eine Konzentration c muss ebenfalls größer 0 sein . Daraus ergibt sich: k×c>0, was einen Widerspruch darstellt. Daher das Hilfsminus. 1 und 2 über v gleichgesetzt ergibt somit dc/dt=-k×c. Als nächsten Schritt führen wir eine Variablenseparierung durch. Das heißt wir bringen alles was mit c zu tun hat auf de linke Seite und alles was mit t zu tun hat auf die rechte seite der Gleichung. Wir fahren auf der linken Seite der Tafel fort. dc/c=-k×dt. Sollte jemand Probleme mit Ausdrücken der Form dc und dt haben, so kann er in Analysisbüchern unter dem Wort Differenzial nachschlagen. Noch schnell Platz geschafft und wir integrieren. In der 1. Stufe ist Integration immer eine feine Sache, denn man brauch nur das Integrationszeichen links und rechts vor die entsprechenden Ausdrücke zu schreiben. Wir haben hier in bestimmten Grenzen zu integrieren. Es handelt sich somit um bestimmte Integrale. Die Untergrenzen sind C0 und 0. Da wir bei der Zeit 0 beginnen und eine Konzentration von C0 dabei vorliegt. Die Untergrenzen habe ich mit grüner Farbe eingetragen. Entsprechend ergeben sich als Obergrenzen eine Zeit t und dabei eine Konzentration c. Die Obergrenzen wurden mit roter Farbe eingetragen. Nun kommen wir zum eigentlichen Integrieren. Auf der linken Seite der Gleichung dc/c kann man auch schreiben als 1/c×dc, oder ich habe es in einer geschweiften Klammer zusammengefasst, c^-1×dc. Erinnert ihr Euch? Wenn nicht, dann sage ich es Euch, das entsprechende Integral ist Logarythmus naturalis lnc. Auf der rechten Seite der Gleichung steht -k×dt. Nun dt ist in geschweifter Klammer ausgedrückt 1×dt. Wir gehen über zur nächsten Zeile links unten und erhalten für den lnc eingesetzt in den Grenzen von C0 bis c lnc-lnc0= und nun das Integral von dt, richtig, ist t. Wir setzen die Grenzen ein und erhalten -k×t-(-k×0). Die linke Seite der Gleichung wird umgeformt. Wir erinnern uns an ein Logarythmengesetz. lna-lnb=ln(a/b). Für unsere Gleichung ergibt das links lnc/C0 und auf der rechten Seite bleibt stehen -k×t. Schnell oben Platz geschafft und weiter geht es. Rechts unten noch eine wichtige Überlegung lna, der Logarythmus naturalis von a=b, bedeutet nichts weiter, als das wir hier einen Logarythmus zur Basis e haben. Also äquivalent zu Logarythmus von a zur Basis e=b. Dieses Gesetz wollen wir benutzen. In der Zeile darüber setzen wir links fort. Wir erhalten aus Logarythmus von a zur Basis e =b aus einer äquivalenten Definition e^b=a. Logarythmus und Exponentialfunktion sind Umkehrfunktionen. Damit ergibt sich für die Gleichung in der unteren Zeile rechts e^-k×t=c/C0. Diese Gleichung noch mit C0 multipliziert und die Seiten vertauscht und wir sind am Ende unserer Wünsche. C=C0×e^-k×t. Wir wollen nun die Funktion c von t kurz diskutieren. Als Erstes ist festzustellen, dass es sich  bei c(t) um eine streng monoton fallende Exponentialfunktion handelt. Das bedeutet aber, je kleiner die Geschwindigkeitskonstante k ist, umso langsamer fällt die Kurve der Konzentration. Rechts unten habe ich das ein Mal grafisch dargestellt. Die schwarze Kurve deutet eine kinetische Kurve an, bei der die Geschwindigkeitskonstante relativ klein ist. Wird sie größer, fällt die Kurve stärker, so wie ausgedrückt bei k2 mit grüner Farbe. Noch schneller ist es bei dem noch größerem k3, ausgedrückt durch die Kurve mit roter Farbe. Noch ein Wort über die Einheit der Geschwindigkeitskonstanten k. Es ist klar, dass k×t einheitslos werden muss, wie es im Exponenten von e zu sehen ist. Das bedeutet aber, dass, vorausgesetzt wir verwenden die Si-Grundeinheit, k eine Einheit von 1/s, oder s/-1 hat.  So, das wär es wieder für heute. Viel Erfolg und alles Gute. Tschüss.