Radioaktiver Zerfall und Zerfallsgeschwindigkeit

Radioaktiver Zerfall

Als radioaktiven Zerfall bezeichnet man den Prozess, bei dem instabile Atomkerne in stabilere Zustände übergehen und dabei Energie und/oder Teilchen freisetzen. Der genaue Zeitpunkt, an dem ein einzelner Atomkern zerfällt, ist nicht vorhersagbar. Allerdings lassen sich Aussagen über den zeitlichen Verlauf des Zerfalls für die Gesamtheit der Kerne treffen.

Radioaktive Zerfallsgeschwindigkeit

Um den Verlauf des radioaktiven Zerfalls zu beschreiben, verwendet man die Zerfallsgesetze. Hier nehmen wir an, dass wir ein radioaktives Präparat haben, in dem man folgende Größen definieren kann:

• Zu einem (beliebigen) Startzeitpunkt $ t_0 $ gibt es $ N_0 $ nicht zerfallene Atomkerne.
• Die Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zu einem späteren Zeitpunkt $t$ bezeichnen wir mit $N(t)$.

Die Proportionalitätskonstante $\lambda$ bezeichnet man als Zerfallskonstante. Sie hat die Einheit $\frac{1}{\pu{s}}$. Die Zerfallskonstante gibt an, welcher Anteil an noch nicht zerfallenen Atomkernen durchschnittlich in der nächsten Sekunde zerfallen wird. Ihr Wert hängt ausschließlich von dem betreffenden Nuklid ab.

Halbwertszeit

Die Halbwertszeit $T_{\frac{1}{2}}$ ist die Zeitspanne, in der die Hälfte aller Atomkerne zerfallen ist. Daher gilt für die Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zum Zeitpunkt der Halbwertszeit:

$ N(T_{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2} \cdot N_0$

Wie die Zerfallskonstante hängt die Halbwertszeit allein vom Nuklid der radioaktiven Substanz ab. Sie sind statistische Größen und daher unabhängig von äußeren Bedingungen wie zum Beispiel Temperatur oder Druck.

Gesetz des radioaktiven Zerfalls

Das Gesetz des radioaktiven Zerfalls leitet man mithilfe der momentanen Änderungsrate des Zerfalls und der Anfangsbedingung $N(0)=N_0$ her. Die Lösung der Differenzialgleichung beschreibt die Anzahl der nicht zerfallenen Atomkerne zum Zeitpunkt $t$.

Der Bestand der nicht zerfallenen Kerne $N$ sinkt also exponentiell mit der Zeit.
Da die Anzahl der Atomkerne und die Masse des radioaktiven Präparats über die molare Masse in Beziehung stehen, kann man das Zerfallsgesetz auch für die Masse $m$ des radioaktiven Präparats aufstellen.

Aktivität eines radioaktiven Präparats

Die Aktivität A beschreibt die Anzahl der momentan in dem Präparat stattfindenden radioaktiven Zerfälle. Man berechnet die Aktivität als die negative momentane Änderungsrate:

$A=-\frac{dN}{dt}$

Aus dieser Beziehung kann man das aktivitätsbezogene Zerfallsgesetz herleiten.

$A_0$ ist die Aktivität des radioaktiven Präparats zu einem beliebigen Startzeitpunkt. Die Einheit der Aktivität ist Becquerel ($\pu{Bq}$). Eine Aktivität von $\pu{1 Bq}$ entspricht einem radioaktiven Zerfall pro Sekunde.

Beispiel – Berechnung der Halbwertszeit

In diesem Beispiel betrachten wir die Aktivität einer strahlenden Substanz. Ihre Aktivität sinkt innerhalb von $\pu{7 h}$ von $4,2 \cdot 10^{6} \pu{ Bq}$ auf $3,7 \cdot 10^{6} \pu{ Bq}$. Wie groß ist die Halbwertszeit?
Die Aufgabenstellung gibt uns folgende Werte:

• $A_{0}= 4,2 \cdot 10^{6} \pu{ Bq}$
• $A(t)= 3,7 \cdot 10^{6} \pu{ Bq}$
• $t=\pu{7 h}$

Gesucht ist laut Aufgabenstellung die Halbwertszeit. Die Formel für die Berechnung der Halbwertszeit lautet $T_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln(2)}{\lambda}$.
Aus der Aufgabenstellung können wir $\lambda$ nicht einfach herauslesen. Es bietet sich an, das aktivitätsbezogene Zerfallsgesetz zu verwenden. Wir haben die Werte für $A(t)$, $A_0$ und $t$ gegeben und können somit $\lambda$ berechnen. Zunächst müssen wir das aktivitätsbezogene Zerfallsgesetz umstellen, sodass wir $\lambda$ auf einer Seite der Gleichung haben.

$\lambda = \frac{1}{t} \cdot \ln \frac{A_0}{A(t)}$

Nun setzen wir die bekannten Werte für $A(t)$, $A_0$ und $t$ in diese Gleichung ein. Um die richtige Einheit für $\lambda$ zu erhalten, rechnen wir Stunden in Sekunden um.

$\pu{7 h} \hat{=} \pu{25 200 s}$

$\lambda = \frac{1}{\pu{25 200 s}} \cdot \ln \frac{4,2 \cdot 10^{6} \pu{ Bq}}{3,7 \cdot 10^{6} \pu{ Bq}}=5,03 \cdot 10^{-6} \cdot \pu{s}^{-1}$

Nun haben wir $\lambda$ berechnet und können diesen Wert in die Formel für die Halbwertszeit einsetzen.

$T_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln(2)}{\lambda}=\frac{0,693}{5,03 \cdot 10^{-6} \cdot \pu{s}^{-1}}=1,38 \cdot 10^{5} \pu{s}$

Die Halbwertszeit der Substanz beträgt also $1,38 \cdot 10^{5}$ Sekunden. Das entspricht etwa $38,3$ Stunden.

Radioaktiver Zerfall und Zerfallsgeschwindigkeit – Zusammenfassung

Häufig gestellte Fragen zum Thema Radioaktiver Zerfall und Zerfallsgeschwindigkeit