Radioaktive Zerfallsgeschwindigkeit (Übungsvideo 1)

Hallo und herzlich willkommen! Das heutige Video ist eine Übung zum Thema "Radioaktive Zerfallsgeschwindigkeit". Um von der Übung profitieren zu können, solltest du allerdings bereits wissen, was Radioaktivität ist. Außerdem solltest du bereits wissen, wie die radioaktive Zerfallsgeschwindigkeit quantitativ beschrieben wird, nämlich durch das Zerfallsgesetz. Zur Wiederholung hier noch einmal besagtes Zerfallsgesetz: A(t) = A0×e^-λ×t. Hierbei bedeutet A(t) die Aktivität zum Zeitpunkt t; A0 ist die Anfangsaktivität, also zum Zeitpunkt 0; und t ist die Zeit oder der Zeitpunkt, an dem man sich gerade befindet. λ ist die Zerfallskonstante, die stoffabhängig ist. Dieses Zerfallsgesetz kann man auch noch anders formulieren: Nämlich bezogen auf die Teilchenzahl N, und dann hieße es: N(t) = N0×e^-λ×t, wobei N(t) die noch übrige Teilchenzahl ist und N0 die Anfangsteilchenzahl, also die Teilchenzahl zu Beginn des Prozesses. Ebenso kann man das Zerfallsgesetz auf die Masse bezogen formulieren, dann lautet es: m(t) = m0×e^-λ×t, wobei m immer die Masse in Gramm bedeutet. Und dann noch eine wichtige Formel, die Formel für die Halbwertszeit: t½=ln2/λ, durch die Zerfallskonstante. So, das ist das Rüstzeug, mit dem wir uns auf die folgende Aufgabe stürzen wollen: Wie viel Gramm Phosphor-32 sind von 5 g Anfangsmasse nach 70 Tagen noch vorhanden? Als zusätzliche, notwendige Angabe ist hier die Halbwertszeit gegeben, die 14,3 Tage beträgt. Wenn ihr wollt, könnt ihr jetzt das Video anhalten und die Lösung selber finden, und sie dann mit der vergleichen, die ich jetzt gleich vorführen werde. Es ist immer gut, sich zu Beginn einer solchen Aufgabe, eine Liste der gegebenen Größen anzufertigen. In diesem Falle wäre das die Masse zu Beginn des Zerfallsprozesses, 5 g; die Halbwertszeit t½ =14,3 d; und der untersuchte Zeitpunkt, der bei 70 Tagen liegt. Gesucht ist die Masse zum Zeitpunkt t, also zum Zeitpunkt 70 Tage. So, und dann suchen wir uns die Formel, mit deren Hilfe wir das berechnen wollen. m(t)=m0×e^-λ×t bietet sich da ja an. Gegeben sind da bereits die Größen m0 und t, und wir können sofort m an der Stelle t ausrechnen, wenn wir auch λ noch kennen würden. Wir kennen es aber noch gar nicht. Aber wir kennen die Halbwertszeit. Und für die Halbwertszeit gibt es eine Formel, in der auch λ vorkommt. t½=ln2/λ. Diese Formel können wir nach λ umstellen und λ ausrechnen, wenn wir die Halbwertszeit kennen. Und das ist hier ja der Fall. Unsere Strategie besteht also darin, mit Hilfe der zweiten Formel λ auszurechnen, das Ergebnis in die erste Formel einzusetzen, und dann die Masse zum Zeitpunkt t auszurechnen. Es ist sinnvoll, vor der Berechnung sowohl t½ als auch t von der Angabe in Tagen in Sekunden umzurechnen. Das ist für diese Aufgabe zwar nicht dringend notwendig, aber es ist in sofern sinnvoll, als dass die Zeit normalerweise in der Sekunde angegeben wird und λ demzufolge als 1/s. Wir wandeln 14,3 Tage in Sekunden um, indem wir 14.3×24×60×60 Sekunden ausrechnen. Der Einfachheit halber macht man das mit Hilfe von Zehnerpotenzen. Als Ergebnis kommt heraus: 1,236×10⁶ Sekunden beträgt die Halbwertszeit t½. Das gleiche machen wir mit der Angabe t=70 d und erhalten als Ergebnis: 6,048×10⁶ Sekunden sind 70 Tage.  So, nun nehmen wir die Formel λ = ln2 durch die Halbwertszeit und setzen Zahlen ein. Als Ergebnis erhalten wir für λ: 5,6×10^-7 pro Sekunde. Nun sind wir so weit, dass wir m(t) ausrechnen können, indem wir Zahlen einsetzen in die erste Formel: m an der Stelle t ist gleich m0×e^-λt.  Tun wir das, dann ergibt sich der Ausdruck: m(t) = 5 g×e^{(-5,61×10^-7)[s^-1]×(6,048×106)[s]}. Berechnen wir nun den Exponenten von e, dann ergibt sich dabei die Zahl -3,393. Wie man sieht, kürzen sich die Sekunden raus, was ja auch sinnvoll ist, weil der Exponent am besten dimensionslos ist. Damit ergibt sich, dass von den ursprünglich 5 Gramm ungefähr noch 1/30 übrig bleibt, nämlich genau 0,168 Gramm. Der Antwortsatz lautet folglich: Nach 70 Tagen sind noch 0,168 Gramm Phosphor-32 vorhanden. Stimmt diese Antwort mit der überein, die ihr selbst gefunden habt? Ja, super! Und damit wären wir auch schon am Ende dieser Übung angelangt. Vielen Dank fürs Mitmachen, tschüss und bis zum nächsten Mal.