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Reaktion dritter Ordnung

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Die Autor*innen
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André Otto
Reaktion dritter Ordnung
lernst du in der 12. Klasse - 13. Klasse

Reaktion dritter Ordnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Reaktion dritter Ordnung kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere folgende Begriffe der Reaktionskinetik.

    Tipps

    Die Tangente dient zur Beschreibung der Reaktionsgeschwindigkeit.

    Lösung

    Um eine Reaktion kinetisch zu beschreiben, werden Größen wie z.B. die Reaktionsgeschwindigkeit, Reaktionsordnung, Molekularität und Geschwindigkeitskonstante benötigt.

    Wenn die Reaktion von den Edukten zu den Produkten in einem Schritt stattfindet, nennt man diese Reaktion Elementarreaktion. Parallelreaktionen, Kettenreaktionen oder Gleichgewichte setzen sich damit aus mindestens zwei Elementarreaktionen zusammen. Handelt es sich um eine Elementarreaktion, so gilt stets die Annahme, dass die Molekularität der Reaktionsordnung entspricht (n = m). Die Reaktionsordnung n ist die Summe der Exponenten der Konzentration aus dem Geschwindigkeitsgesetz.

    • $\sum_{i = 1}^x{\alpha}_i = n$
    Die Molekularität m beschreibt die Anzahl der an einer Elementarreaktion beteiligten Komponenten. Das heißt, die Molekularität wird durch die Anzahl der Moleküle bestimmt, die im Reaktionsmechanismus gemeinsam reagieren, um einen Übergangszustand zu bilden, der entweder das neue Reaktionsprodukt oder den Ausgangsstoff für dessen Bildung darstellt.

    Die Reaktionsgeschwindigkeit v beschreibt die zeitabhängige Änderung der Konzentration. Sie erhält oft ein negatives Vorzeichen, da die Konzentration der Edukte abnimmt (<0).

    • $v = - \frac{dc_i}{dt}$
  • Bestimme das Geschwindigkeitsgesetz für folgende Elementarreaktion dritter Ordnung.

    Tipps
    Lösung

    Bei aufgeführter Reaktion handelt es sich um eine Reaktion dritter Ordnung, die nur von der Konzentration an Wasserstoffatomen abhängt. Damit bildet sie den „einfachsten" Fall:

    • $(1) v = k \cdot c^3$.
    Da an der Bildung von einem Wasserstoffmolekül zwei H-Atome beteiligt sind, ergibt sich ein Normierungsfaktor von $1/2$:

    • $(2) v = - \frac{dc}{2 \cdot dt}$.
    Um das Geschwindigkeitsgesetz zu ermitteln, werden immer folgende Schritte durchgeführt:

    1. Gleichsetzen von Gleichung (1) und (2)
    2. Variablentrennung (Separation der Variablen bedeutet, dass auf beiden Seiten der Gleichung zwei verschiedene Größen zusammengefasst werden.)
    3. Integration in den Grenzen: Start: $c = c_0;~t= 0$ und Ende: $c = c;~t = t$
    4. Umformung, sodass nur noch die Konzentration auf einer Seite der Gleichung steht.
    Für konkreten Fall gilt:

    1. $k \cdot c^3 = - \frac{dc}{2 \cdot dt}$
    2. $\frac{dc}{c^3} = -2k \cdot dt$
    3. $\int\limits_{c_0}^{c} \frac{1}{c^3}dc = -2k \int \limits_{0}^{t}dt$ = $- \frac{1}{2 \cdot c^2} \mathop{\big|}\limits_{c_0}^c = - 2k \cdot t \mathop{\big|}\limits_0^t$ = $\frac{1}{c^2} - \frac{1}{{c_0}^2} = 4k~\cdot~t$
    4. $\frac{1}{c^2} = \frac{1}{{c_0}^2} + 4k~\cdot~t$
  • Bestimme die Reaktionsordnung aus dem Geschwindigkeitsgesetz.

    Tipps

    Die Teilreaktionsordnung ist der Exponent über der Konzentration.

    Die Reaktionsordnung ist die Summe über alle Teilordnungen.

    Lösung

    Die Reaktionsordnung ist eine Summe von Teilreaktionsordnungen. Den Exponenten ${\alpha}_i$ bezeichnet man als Teilreaktionsordnung einer Komponente. An eine Reaktion dritter Ordnung ist lediglich die Bedingung gestellt, dass die Summe über alle Exponenten drei ergeben muss $\sum_{i = 1}^x {\alpha}_i = n$ (= Reaktionsordnung). Dazu existiert eine Vielfalt an Möglichkeiten:

    $\begin{array}{c|c} \text{Gleichung} & \text{Ordnung} \\ \hline v = k \cdot c^3 & n = 3 \\ \hline v = k \cdot {[A]}^2 \cdot {[B]} & n = 2+1 \\ \hline v = k \cdot {[A]} \cdot {[B]} \cdot {[C]} & n = 1 + 1 + 1 \\ \hline v = k \cdot {[A]}^{0,5} \cdot {[B]}^{1,5} \cdot {[C]} & n = 0,5 + 1,5 + 1 \\ \end{array}$

  • Leite das Geschwindigkeitsgesetz für folgende Elementarreaktion her.

    Tipps

    Stelle die beiden Geschwindigkeitsgesetze auf und setze sie gleich. Trenne die Variablen! Integriere in den Grenzen: $\mathop{\big|}\limits_0^x$ und $\mathop{\big|}\limits_0^t$.

    Lösung

    Um das Geschwindigkeitsgesetz zu ermitteln, werden immer folgende Schritte durchgeführt:

    1. Geschwindigkeitsgesetze aufstellen und gleichsetzen.
    2. Variablentrennung.
    3. Integration in den Grenzen.
    Für den konkreten Fall gilt:

    1.) $v = k \cdot {[NO]}^2 \cdot {[O_2]} = \frac{dx}{dt}$

    Nach Einsetzen der Konzentrationen gilt: $\frac{dx}{dt} = k \cdot {(a-2x)}^2 \cdot (b-x)$.

    2.) $\frac{1}{{(a - 2x)}^2 \cdot (b - x)}dx = k \cdot dt = \frac{1}{4{(b - x)}^3}dx$

    Aus der Reaktionsgleichung lässt sich leicht erkennen, dass für die Stoffmengenbilanz gilt: $n(NO) = 2 \cdot n(O_2)$, damit gilt: $a = 2 \cdot b$:

    • $Z = {(a - 2x)}^2 \cdot (b - x) = {(2b - 2x)}^2 \cdot (b - x)$
    • $Z = (4~b^2 - 8~bx + 4~x^2) \cdot (b -x)$
    • $Z = 4~b^3 - 8~b^2x +4~bx^2 - 4~b^2x + 8~bx^2 - 4~x^3$
    • Nach Ordnen und Zusammenfassen der Terme ergibt sich: $- 4~x^3 + 12~bx^2 - 12~b^2x + 4~b^3 = 4{(b - x)}^3$.
    3.) $\int\limits_{0}^{x} \frac{1}{4{(b - x)}^3}dx = k \int \limits_{0}^{t}dt$ $= \frac{1}{8} \frac{1}{{(b - x)}^2}\mathop{\big|}\limits_0^x = k \cdot t \mathop{\big|}\limits_0^t$

    • $\frac{1}{{(b - x)}^2} - \frac{1}{b^2} = 8~k \cdot t$
    Nach Substitution von b durch die Anfangskonzentration an Sauerstoff ergibt sich:

    • $\frac{1}{{[O_2]}^2} - \frac{1}{{[O_2]_0}^2} = 8~k \cdot t$.
  • Erkläre, warum es viele verschiedene kinetische Gleichungen für eine Reaktion dritter Ordnung gibt.

    Tipps

    n ... Reaktionsordnung

    Den Exponenten ${\alpha}_1$ bezeichnet man als Teilreaktionsordnung bezogen auf A.

    Lösung

    Die Reaktionsordnung ist eine Summe von Teilreaktionsordnungen. Den Exponenten ${\alpha}_i$ bezeichnet man als Teilreaktionsordnung einer Komponente. An eine Reaktion dritter Ordnung ist lediglich die Bedingung gestellt, dass die Summe über alle Exponenten drei ergeben muss $\sum_{i = 1}^x {\alpha}_i = n$ (= Reaktionsordnung). Dazu existiert eine Vielfalt an Möglichkeiten:

    $\begin{array}{c|c} \text{Gleichung} & \text{Ordnung} \\ \hline v = k \cdot c^3 & n = 3 \\ \hline v = k \cdot {[A]}^2 \cdot {[B]} & n = 2+1 \\ \hline v = k \cdot {[A]} \cdot {[B]} \cdot {[C]} & n = 1 + 1 + 1 \\ \hline v = k \cdot {[A]}^{0,5} \cdot {[B]}^{1,5} \cdot {[C]} & n = 0,5 + 1,5 + 1 \\ \end{array}$

  • Bestimme mit dem allgemeinen Geschwindigkeitsgesetz für eine Reaktion dritter Ordnung die Halbwertszeit für eine Reaktion dritter Ordnung.

    Tipps

    Die Halbwertszeit ($t_{1/2}$) ist die Zeit, in der nur noch die Hälfte der Eduktmoleküle vorliegt.

    Annahmen

    Lösung

    Die Halbwertszeit charakterisiert den Zeitraum, in dem die Konzentration des Eduktes auf die Hälfte abnimmt ($c_A = \frac{{c_A}^0}{2}$).

    Um aus einer gegebenen Geschwindigkeitsgleichung die Halbwertszeit zu ermitteln, muss $t = t_{1/2}$ gesetzt werden und für die Konzentration $[A] = \frac{[A]_0}{2}$ eingesetzt werden (s. Formel). Durch geeignetes Umstellen und Differenzbildung erlangt man die Halbwertszeit:

    • $k \cdot t_{1/2} = \frac{4}{2 \cdot {{[A]}_0}^2} - \frac{1}{2 \cdot {{[A]}_0}^2} \rightarrow t_{1/2} = \frac{1}{k} \cdot \frac{3}{2 \cdot {{[A]}_0}^2}$.
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