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Reaktion dritter Ordnung 15:37 min

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Transkript Reaktion dritter Ordnung

In diesem Video geht es um die Reaktion dritter Ordnung. Das Video gehört zur Reihe Reaktionskinetik, kurz Kinetik. An Vorkenntnissen solltest du über gutes Wissen in der chemischen Kinetik verfügen. Du weißt, was Reaktionsgeschwindigkeit, Geschwindigkeitskonstante und Konzentration sind. Außerdem beherrschst du die schulische Integralrechnung gut. Im Video möchte ich dir grundlegende Vorstellungen über die Probleme angewandter Reaktionskinetik vermitteln. Der Film besteht aus den folgenden Abschnitten: 1. Anliegen der Reaktionskinetik, 2. Drei ist nicht gleich drei, 3. Der einfache Fall, 4. Ein schwererer Fall, 4.1. Die Annahmen, 4.2. Strategie der Integration, 4.3. Partialbruchzerlegung, 4.4. Die Kinetische Gleichung, 4.5. Experimentelle Auswertung und 5. Zusammenfassung. 1. Anliegen der Reaktionskinetik: Die Reaktionskinetik ist die Lehre von den Reaktionsgeschwindigkeiten. Es werden verschiedene kinetische Kurven erstellt. Was will man damit erreichen? Ich erinnere, in der Reaktionskinetik hat man es mit folgenden Begriffen zu tun: C – Konzentration, Zeit ist t, V – Reaktionsgeschwindigkeit und k die Geschwindigkeitskonstante. Zwei wichtige Abhängigkeiten werden hauptsächlich beschrieben. Die Konzentration in Abhängigkeit von der Zeit. Mit ihr werden wir uns hauptsächlich befassen. Und als weiteres die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit. Bei unveränderter Temperatur ist auch die Geschwindigkeitskonstante konstant, und das möchte sie ja auch bitteschön als Konstante immerhin. 2. Drei ist nicht gleich drei: Wenn die Gesamtordnung einer chemischen Reaktion gleich 3 ist, so heißt es noch lange nicht, dass sie durch eine Gleichung beschrieben ist. Die erste Gleichung wäre auch die einfachste: V = k mal C3, klar die Ordnung N = 3. Als zweites könnten auch zwei Stoffe die Reaktionsgeschwindigkeit bestimmen: k mal CA1 mal CB2. Die Gesamtordnung setzt sich aus den Teilordnungen zusammen. 3 = 1 + 2. Und schließlich bestimmen drei Stoffe die Reaktionsgeschwindigkeit V = k mal CA1 mal CB1 mal CC1. Die Gesamtordnung m = 3 setzt sich aus den Teilordnungen zusammen. Sie ist gleich 1 + 1 + 1. Auch gebrochene Zahlen sind möglich wie bei viertens V = k mal CA0,5 mal CB1,5 mal CC1. Die Gesamtordnung ist die Summe der Teilordnungen. 3 = 0,5 + 1,5 + 1. Und es gibt noch weitere Möglichkeiten. Bei derartigen Perspektiven sind die Schülerinnen und Schüler meist traurig, doch sehen wir es einmal positiv. Nehmen wir die vielen Möglichkeiten als Herausforderungen an. 3. Der einfachste Fall: Der einfachste Fall ist unstrittig V = k mal C3. Ein Beispiel ist die Reaktion von drei Wasserstoffatomen zu einem Wasserstoffmolekül und einem Wasserstoff Atom. Ich glaub, ich muss das hier einmal sagen. Das ist kein Witz und kein Schreibfehler. Bemerkung: bei der dargestellten Reaktion handelt es sich um eine Elementarreaktion. Das heißt, sie ist weiter nicht zerlegbar. Das bedeutet aber, dass die Ordnung der Reaktion gleich ihrer Molekularität ist. Ordnung bedeutet formalkinetisch, wir schauen gar nicht in den Mechanismus hinein. Molekularität bedeutet realkinetisch, wir können beim Elementarschritt, bei der Elementarreaktion sehen was passiert. Hier stimmt beides überein. Und das schafft Klarheit bei der Betrachtung. Wir wollen uns die gesamte Reaktion vornehmen und betrachten die Konzentration des Eduktes. V = DC nach DT mit negativem Vorzeichen. Denn bei Edukten ist das meistens so, dass die Konzentration mit zunehmender Reaktion abnimmt. Nun noch ein Detail, um nicht zu sagen eine Spitzfindigkeit. Effektiv entstehen aus zwei Wasserstoffatomen ein Wasserstoffmolekül. Wir schreiben daher eine 2 in den Nenner des Bruchs. Es wird gewissermaßen eine Normierung der Reaktionsgeschwindigkeit durchgeführt. 1 und 2 werden nun gleichgesetzt. Wir formen um. Die Variablen werden separiert. Das heißt, links alles mit C, rechts alles mit Dt. -2k schreibe ich dorthin, wo es bequem ist. Nun integrieren wir. C in den Grenzen von C0 bis zu einer Konzentration C. Und die Zeit t von der Startzeit 0 bis zu der entsprechenden Zeit t. 1 durch C3 ergibt integriert -1 durch 2C2 in den Grenzen von C0 bis C. Die rechte Seite ergibt -2 kt in den Grenzen von 0 bis t. Wir multiplizieren beide Seiten mit -2. Nun werten wir das Integral aus. 1 durch C2 -1 durch C02 = 4kt – 4k mal 0. Wir addieren abschließend 1 durch C02 und erhalten die kinetische Gleichung. Bei der Auswertung trägt man die Messergebnisse in ein Diagramm ein. Wir tragen 1 durch C2 gegen t auf. Man bildet nun an einer geeigneten Stelle das Steigungsdreieck und misst Delta 1 durch C2 und Delta t aus. Das Verhältnis ist gerade 4 kt. Und somit lässt sich die Geschwindigkeitskonstante k experimentell bestimmen. 4. Ein schwererer Fall: Betrachten wir diese genetische Gleichung V = k mal CA mal CB mal CC. Das ist unsere Arbeitsgleichung 1. Wir haben es hier mit drei verschiedenen Konzentrationen zu tun. 4.1. Die Annahmen: Um sicher zu sein, wollen wir davon ausgehen, dass es sich um eine Elementarreaktion handelt. A + B + C reagieren in einem Schritt miteinander. Ordnung = Molekularität. Dann können wir aber auch einen Zusammenhang zwischen den Konzentrationen formulieren. CC sei X, CA sei X + A und CB sei X + B. A und B seien entsprechende Differenzen von Konzentrationen. Im Experiment seien A und B konstant. Man schreibt dann für V = k mal X + A mal X + B mal X. 4.2 Strategie der Integration: Für Gleichung 2 schreiben wir V = - DC nach Dt durch 3. 3 im Nenner erhält man, weil drei Moleküle zu einem reagieren. Das negative Vorzeichen erhalten wir, weil es sich hier um die Konzentration der Edukte handelt. Der erste Schritt ist wie gehabt. Wir setzen 1 und 2 gleich. Der zweite Schritt ist umformen, Variablen trennen. Der dritte Schritt ist recht aufwändig. Man muss hier eine Partialbruchzerlegung durchführen. Und schließlich wird gewöhnlich integriert und umgeformt. 4.3. Partialbruchzerlegung: Die anderen Schritte möchte ich hier auch erklären, weil wir sie bereits im ersten Beispiel angewendet haben. Zunächst werden die Gleichungen 1 und 2 über V gleichgesetzt. Wir dividieren durch den rechten Teil und multiplizieren mit -3 Dt. Mit dem Bruch auf der linken Seite wird eingerahmt und eine Partialbruchzerlegung durchgeführt. Der Term ist am Ende leicht integrierbar. Und nun wird es ernst. Der Bruch auf der linken Seite ist gleich A dividiert durch X + A + B dividiert durch X + B + C dividiert durch X. A, B und C sind Konstanten, sie sind nur abhängig von den konstanten Werten a und b. Wir multiplizieren mit dem Nenner des Bruchs auf der linken Seite. Wir erhalten auf der rechten Seite A, B und C multipliziert mit entsprechenden Termen. Wir fassen rechts zusammen. Und zwar derart, dass wir die Konstante einzeln schreiben, X einzeln schreiben und X2 einzeln schreiben. Nun vergleichen wir die entsprechenden Konstanten miteinander. Eins, blau gehalten = C mal a mal b. Null ist der gesamte grün untersetzte Ausdruck. Das ist auch klar, denn auf der linken Seite gibt es keine X. Und genauso muss orange gehalten A + B 0 sein, denn auf der linken Seite gibt es kein X2. Das erste blau Untersetzte ist einfach. 1 = C mal a mal b. C ist folglich eins durch A mal B. Wir betrachten nun den grün untersetzten Ausdruck, er ist 0. Der orangefarbene Ausdruck ist ebenfalls 0. Daher ist A gleich minus B. Wir kennzeichnen die beiden kleinen Gleichungen als I und II. Hierfür ergibt sich für die Gleichung mit der grünen 0. 0 = minus B mal b + B mal a + a + b geteilt durch ab. Wir fassen die großen Bs zusammen. Wir bringen sie auf die linke Seite und teilen durch b - a. Somit erhalten wir B. Aus II erhalten wir dann auch a, denn das ist genau der negative Wert von B. Im Gegensatz zu B schreiben wir im Nenner nicht B - A, sondern A - B. Damit erhält A das entgegengesetzte Vorzeichen von B. Damit ist die Partialbruchzerlegung vollbracht. Die Koeffizienten A, B und C sind gefunden. 4.4. Die kinetische Gleichung: Wir haben für den Bruch auf der linken Seite die Partialbruchzerlegung durchgeführt. Wir wollen für A, B und C die entsprechenden Werte nicht explizit einsetzen. Die Integration gestaltet sich nun zu einer feinen Sache, da wir genau natürliche Logarithmusfunktionen als Integral erhalten. Durch Anwendung von Potenzgesetzen kann man die einzelnen Logarithmen zu einem einzigen zusammenfassen. Die Integration der rechten Seite führe ich nur nicht aus. Sie ergibt - 3kt. Nun multiplizieren wir mit -1. Zähler und Nenner auf der linken Seite tauschen ihre Plätze. Die kinetische Gleichung ist erbracht. 4.5. Experimentelle Auswertung: Statt der unhandlichen kinetischen Gleichung, die hergeleitet wurde, kann man auch vereinfacht schreiben: lnz=3kt. A, B, C sind bekannt. Im Experiment kann man lnz über t auftragen. Im Steigungsdreieck lassen sich leicht Delta lnz und Delta t ablesen. Die Steigung Delta lnz durch Delta t = 3k. Die Geschwindigkeitskonstante erhält man somit aus Delta lnz dividiert durch 3 Delta t. 5. Zusammenfassung: Für die Reaktion dritter Ordnung gibt es viele kinetische Gleichungen. Der einfachste Fall und ein schwererer Fall, siehe unten, wurden im Video betrachtet. In der kinetischen Gleichung gibt es außer X nur noch Konstanten, denn A, B und C sind bekannt. Es ergibt sich eine logarithmische Gleichung. Man trägt lnz gegen t ab und erhält ein Steigungsdreieck. Aus dem Steigungsdreieck ergibt sich k zu Delta lnz dividiert durch 3 Delta t. Ich danke für die Aufmerksamkeit, alles Gute, auf Wiedersehen.

Reaktion dritter Ordnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Reaktion dritter Ordnung kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere folgende Begriffe der Reaktionskinetik.

    Tipps

    Die Tangente dient zur Beschreibung der Reaktionsgeschwindigkeit.

    Lösung

    Um eine Reaktion kinetisch zu beschreiben, werden Größen wie z.B. die Reaktionsgeschwindigkeit, Reaktionsordnung, Molekularität und Geschwindigkeitskonstante benötigt.

    Wenn die Reaktion von den Edukten zu den Produkten in einem Schritt stattfindet, nennt man diese Reaktion Elementarreaktion. Parallelreaktionen, Kettenreaktionen oder Gleichgewichte setzen sich damit aus mindestens zwei Elementarreaktionen zusammen. Handelt es sich um eine Elementarreaktion, so gilt stets die Annahme, dass die Molekularität der Reaktionsordnung entspricht (n = m). Die Reaktionsordnung n ist die Summe der Exponenten der Konzentration aus dem Geschwindigkeitsgesetz.

    • $\sum_{i = 1}^x{\alpha}_i = n$
    Die Molekularität m beschreibt die Anzahl der an einer Elementarreaktion beteiligten Komponenten. Das heißt, die Molekularität wird durch die Anzahl der Moleküle bestimmt, die im Reaktionsmechanismus gemeinsam reagieren, um einen Übergangszustand zu bilden, der entweder das neue Reaktionsprodukt oder den Ausgangsstoff für dessen Bildung darstellt.

    Die Reaktionsgeschwindigkeit v beschreibt die zeitabhängige Änderung der Konzentration. Sie erhält oft ein negatives Vorzeichen, da die Konzentration der Edukte abnimmt (<0).

    • $v = - \frac{dc_i}{dt}$
  • Erkläre, warum es viele verschiedene kinetische Gleichungen für eine Reaktion dritter Ordnung gibt.

    Tipps

    n ... Reaktionsordnung

    Den Exponenten ${\alpha}_1$ bezeichnet man als Teilreaktionsordnung bezogen auf A.

    Lösung

    Die Reaktionsordnung ist eine Summe von Teilreaktionsordnungen. Den Exponenten ${\alpha}_i$ bezeichnet man als Teilreaktionsordnung einer Komponente. An eine Reaktion dritter Ordnung ist lediglich die Bedingung gestellt, dass die Summe über alle Exponenten drei ergeben muss $\sum_{i = 1}^x {\alpha}_i = n$ (= Reaktionsordnung). Dazu existiert eine Vielfalt an Möglichkeiten:

    $\begin{array}{c|c} \text{Gleichung} & \text{Ordnung} \\ \hline v = k \cdot c^3 & n = 3 \\ \hline v = k \cdot {[A]}^2 \cdot {[B]} & n = 2+1 \\ \hline v = k \cdot {[A]} \cdot {[B]} \cdot {[C]} & n = 1 + 1 + 1 \\ \hline v = k \cdot {[A]}^{0,5} \cdot {[B]}^{1,5} \cdot {[C]} & n = 0,5 + 1,5 + 1 \\ \end{array}$

  • Bestimme das Geschwindigkeitsgesetz für folgende Elementarreaktion dritter Ordnung.

    Tipps
    Lösung

    Bei aufgeführter Reaktion handelt es sich um eine Reaktion dritter Ordnung, die nur von der Konzentration an Wasserstoffatomen abhängt. Damit bildet sie den „einfachsten" Fall:

    • $(1) v = k \cdot c^3$.
    Da an der Bildung von einem Wasserstoffmolekül zwei H-Atome beteiligt sind, ergibt sich ein Normierungsfaktor von $1/2$:

    • $(2) v = - \frac{dc}{2 \cdot dt}$.
    Um das Geschwindigkeitsgesetz zu ermitteln, werden immer folgende Schritte durchgeführt:

    1. Gleichsetzen von Gleichung (1) und (2)
    2. Variablentrennung (Separation der Variablen bedeutet, dass auf beiden Seiten der Gleichung zwei verschiedene Größen zusammengefasst werden.)
    3. Integration in den Grenzen: Start: $c = c_0;~t= 0$ und Ende: $c = c;~t = t$
    4. Umformung, sodass nur noch die Konzentration auf einer Seite der Gleichung steht.
    Für konkreten Fall gilt:

    1. $k \cdot c^3 = - \frac{dc}{2 \cdot dt}$
    2. $\frac{dc}{c^3} = -2k \cdot dt$
    3. $\int\limits_{c_0}^{c} \frac{1}{c^3}dc = -2k \int \limits_{0}^{t}dt$ = $- \frac{1}{2 \cdot c^2} \mathop{\big|}\limits_{c_0}^c = - 2k \cdot t \mathop{\big|}\limits_0^t$ = $\frac{1}{c^2} - \frac{1}{{c_0}^2} = 4k~\cdot~t$
    4. $\frac{1}{c^2} = \frac{1}{{c_0}^2} + 4k~\cdot~t$
  • Bestimme mit dem allgemeinen Geschwindigkeitsgesetz für eine Reaktion dritter Ordnung die Halbwertszeit für eine Reaktion dritter Ordnung.

    Tipps

    Die Halbwertszeit ($t_{1/2}$) ist die Zeit, in der nur noch die Hälfte der Eduktmoleküle vorliegt.

    Annahmen

    Lösung

    Die Halbwertszeit charakterisiert den Zeitraum, in dem die Konzentration des Eduktes auf die Hälfte abnimmt ($c_A = \frac{{c_A}^0}{2}$).

    Um aus einer gegebenen Geschwindigkeitsgleichung die Halbwertszeit zu ermitteln, muss $t = t_{1/2}$ gesetzt werden und für die Konzentration $[A] = \frac{[A]_0}{2}$ eingesetzt werden (s. Formel). Durch geeignetes Umstellen und Differenzbildung erlangt man die Halbwertszeit:

    • $k \cdot t_{1/2} = \frac{4}{2 \cdot {{[A]}_0}^2} - \frac{1}{2 \cdot {{[A]}_0}^2} \rightarrow t_{1/2} = \frac{1}{k} \cdot \frac{3}{2 \cdot {{[A]}_0}^2}$.
  • Bestimme die Reaktionsordnung aus dem Geschwindigkeitsgesetz.

    Tipps

    Die Teilreaktionsordnung ist der Exponent über der Konzentration.

    Die Reaktionsordnung ist die Summe über alle Teilordnungen.

    Lösung

    Die Reaktionsordnung ist eine Summe von Teilreaktionsordnungen. Den Exponenten ${\alpha}_i$ bezeichnet man als Teilreaktionsordnung einer Komponente. An eine Reaktion dritter Ordnung ist lediglich die Bedingung gestellt, dass die Summe über alle Exponenten drei ergeben muss $\sum_{i = 1}^x {\alpha}_i = n$ (= Reaktionsordnung). Dazu existiert eine Vielfalt an Möglichkeiten:

    $\begin{array}{c|c} \text{Gleichung} & \text{Ordnung} \\ \hline v = k \cdot c^3 & n = 3 \\ \hline v = k \cdot {[A]}^2 \cdot {[B]} & n = 2+1 \\ \hline v = k \cdot {[A]} \cdot {[B]} \cdot {[C]} & n = 1 + 1 + 1 \\ \hline v = k \cdot {[A]}^{0,5} \cdot {[B]}^{1,5} \cdot {[C]} & n = 0,5 + 1,5 + 1 \\ \end{array}$

  • Leite das Geschwindigkeitsgesetz für folgende Elementarreaktion her.

    Tipps

    Stelle die beiden Geschwindigkeitsgesetze auf und setze sie gleich. Trenne die Variablen! Integriere in den Grenzen: $\mathop{\big|}\limits_0^x$ und $\mathop{\big|}\limits_0^t$.

    Lösung

    Um das Geschwindigkeitsgesetz zu ermitteln, werden immer folgende Schritte durchgeführt:

    1. Geschwindigkeitsgesetze aufstellen und gleichsetzen.
    2. Variablentrennung.
    3. Integration in den Grenzen.
    Für den konkreten Fall gilt:

    1.) $v = k \cdot {[NO]}^2 \cdot {[O_2]} = \frac{dx}{dt}$

    Nach Einsetzen der Konzentrationen gilt: $\frac{dx}{dt} = k \cdot {(a-2x)}^2 \cdot (b-x)$.

    2.) $\frac{1}{{(a - 2x)}^2 \cdot (b - x)}dx = k \cdot dt = \frac{1}{4{(b - x)}^3}dx$

    Aus der Reaktionsgleichung lässt sich leicht erkennen, dass für die Stoffmengenbilanz gilt: $n(NO) = 2 \cdot n(O_2)$, damit gilt: $a = 2 \cdot b$:

    • $Z = {(a - 2x)}^2 \cdot (b - x) = {(2b - 2x)}^2 \cdot (b - x)$
    • $Z = (4~b^2 - 8~bx + 4~x^2) \cdot (b -x)$
    • $Z = 4~b^3 - 8~b^2x +4~bx^2 - 4~b^2x + 8~bx^2 - 4~x^3$
    • Nach Ordnen und Zusammenfassen der Terme ergibt sich: $- 4~x^3 + 12~bx^2 - 12~b^2x + 4~b^3 = 4{(b - x)}^3$.
    3.) $\int\limits_{0}^{x} \frac{1}{4{(b - x)}^3}dx = k \int \limits_{0}^{t}dt$ $= \frac{1}{8} \frac{1}{{(b - x)}^2}\mathop{\big|}\limits_0^x = k \cdot t \mathop{\big|}\limits_0^t$

    • $\frac{1}{{(b - x)}^2} - \frac{1}{b^2} = 8~k \cdot t$
    Nach Substitution von b durch die Anfangskonzentration an Sauerstoff ergibt sich:

    • $\frac{1}{{[O_2]}^2} - \frac{1}{{[O_2]_0}^2} = 8~k \cdot t$.