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Transkript Funktionen – Eigenschaften

In diesem Video geht´s um reelle Funktionen, was es da für Begriffe alles gibt und so ein paar wichtige Eigenschaften. Was ist überhaupt eine Funktion? Das ist eine Abbildung von einer Menge in eine Andere. Die 1. Menge wird dabei sozusagen als Quellmenge bezeichnet, und die Funktion ordnet dann jedem Element der Quellmenge genau 1 Element der Zielmenge zu. Und wenn diese beiden Mengen die reellen Zahlen sind, dann sprechen wir von reellen Funktionen. Wer genau hingeschaut hat, hat gemerkt, dass wir jeder Zahl aus der linken Menge in der rechten Menge deren Quadrat-1 zugeordnet haben. Das heißt, unsere Funktion hat die Zuordnungsvorschrift x wird abgebildet auf x2-1. Das x2-1 heißt dabei Funktionsterm. Und wenn wir schreiben f(x)=x2-1, dann ist das die Funktionsgleichung, und f ist der Name der Funktion. Meistens schreibt man dann auch y=x2-1, man nimmt also noch eine Variable. Das x ist dabei die unabhängige Variable, das beliebige, reelle Werte durchlaufen kann, und das y ist die abhängige Variable, die man eben in Abhängigkeit von der unabhängigen Variable ausrechnen kann. Wenn wir hier mal ein paar Werte einsetzen, dann erhalten wir auf der rechten Seite jeweils die Funktionswerte. Jetzt muss man aber aufpassen. Da der Funktionsterm ein Term ist, kann es sein, dass der nicht für alle x definiert ist. Man muss sich also fragen: Für welche x ist der Term definiert? In diesem Fall ist der Term für alle x definiert. Nimmt man aber zum Beispiel die Zuordnungsvorschrift, x wird abgebildet auf \sqrt(x+3), dann ist der Term nur definiert für Zahlen, die größer gleich 0 sind, weil ich die Wurzel ja nicht aus negativen Zahlen ziehen kann. Und das ist dann auch der Definitionsbereich der Funktion. Der wird mit Df oder D(f) bezeichnet, und das ist die Menge aller Werte, für die der Funktionsterm definiert ist. Also die Zahlen, die x annehmen kann sind die Werte, und die Zahlen, die zugeordnet werden, sind die Funktionswerte. Für den nächsten Begriff schreiben wir uns die Funktion noch mal hin. Das ist der Wertebereich. Der wird mit Wf oder W(f) bezeichnet und ist die Menge aller möglichen Funktionswerte für die Werte aus dem Definitionsbereich. Also alles das, was rauskommen kann, wenn ich das einsetze, was ich einsetzen darf. In unserer Beispielfunktion ergibt die Wurzel immer ein positives Ergebnis oder 0, und wenn ich noch 3 addiere, können also nur Zahlen herauskommen, die größer oder gleich 3 sind. Kommen wir jetzt zum Graph einer Funktion. Der Graph ist eine Veranschaulichung der Funktion in der euklidischen Ebene, also in einem Koordinatensystem mit den Koordinaten x und y. Dabei betrachten wir die Koordinatenpaare x und f(x). Also immer ein Wert mit seinem Funktionswert. Das sind die Punkte, die auf dem Graphen liegen. Der Graph der Funktion f(x)=x2-1 sieht zum Beispiel so aus. Meistens schreibt man sich in einer Tabelle zu ein paar Werten für x die entsprechenden Funktionswerte auf. Das heißt dann Wertetabelle. Die Koordinatenpaare aus der Wertetabelle findet man auch in dem Graphen wieder. Eine wichtige Eigenschaft einer Funktion ist ihre Symmetrie, bzw. die Symmetrie des Graphen. Der Graph heißt symmetrisch zur f(x)-Achse, wenn man ihn an dieser spiegeln kann, ohne dass er sich verändert. Die Funktion erfüllt dann die Gleichung f(-x)=f(x). Wie das gemeint ist, will ich kurz an unserer Funktion erläutern. f(x)=x2-1. Und f(-x) bedeutet, dass ich an jeder Stelle anstatt x, -x einsetze. Wenn ich das vereinfache, kommt aber wieder x2-1 raus. Die Terme sind also gleich. Man nennt eine solche Funktion dann auch eine gerade Funktion. Schauen wir uns mal diesen Graphen an. Wenn ich diesen um 180° drehen würde, bzw. am Ursprung spiegeln würde, würde er wieder auf sich selber zu liegen kommen. Diese Eigenschaft heißt symmetrisch zum Ursprung, bzw. punktsymmetrisch. Die entsprechende Funktion erfüllt dann die Gleichung f(-x)=-f(x) und heißt ungerade. Eine weitere wichtige Eigenschaft ist die Monotonie. Eine Funktion heißt monoton steigend, wenn gilt, für x1, welches kleiner ist als x2 ist der Funktionswert f(x1) kleiner gleich dem Funktionswert f(x2). Übersetzt bedeutet das, wenn ich auf der x-Achse nach rechts gehe, bewegt sich der Graph nach oben. Die Funktion heißt streng monoton steigend, wenn der rechte Funktionswert sogar echt größer ist als der linke. Bei einer monoton fallenden Funktion hat der linke x-Wert den größeren Funktionswert, das heißt, wenn man sich nach rechts bewegt, geht der Graph nach unten. Auch hier spricht man wieder von strenger Monotonie, wenn der links liegende Funktionswert echt größer ist als der rechts liegende. Nehmen wir zum Beispiel die Funktion f(x)=x2. Diese ist monoton steigend für x>=0, denn wenn ich 2 positive Zahlen habe, dann hat die größere der beiden auch das größere Quadrat. Für x>=0 ist die Funktion monoton fallend, da größere negative Zahlen den kleineren Betrag haben, also auch das kleinere Quadrat. Eine Nullstelle einer Funktion ist ein Wert, für den f(x)=0 gilt. Wenn für diese x-Werte der Funktionswert gleich 0 ist, also 0 auf der y-Achse, dann sind es genau die Punkte auf dem Graphen, wo der Graph die x-Achse schneidet. Unsere Funktion f(x)=x2-1 hat zum Beispiel die Nullstellen x1=-1 und x2=1. Kommen wir zum Schluss noch zu Extremstellen. Eine Extremstelle x ist ein Wert, für den der Funktionswert f(x) in seiner Umgebung der größte oder kleinste ist. Wie kann man sich das vorstellen? Sagen wir zum Beispiel, der Graph sieht so aus, dann haben wir an diesen 3 Punkten jeweils ein Tal oder einen Berg, und die x-Werte, die zu diesen Punkten gehören, das sind die Extremstellen. Zum Beispiel hat die Funktion f(x)=x2 ein Extremum, nämlich ein Minimum, bei x=0. Das ist unten das Tal, an dem der Graph die x-Achse berührt. Gut, das war mein kleiner Einstieg in die reellen Funktionen. Und jetzt geht´s zurück in die reale Welt.

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9 Kommentare
  1. Default

    Sonst eigentlich ok, aber irgendwie verkompliziert und nicht so schön gemacht.

    Von D Tamir, vor 12 Monaten
  2. Default

    Irgendwie leuchtet alles im Video so gelblich.

    Von D Tamir, vor 12 Monaten
  3. Ohne titel 1

    Video ok :)

    Von Michael Z., vor fast 2 Jahren
  4. Default

    Ich hab nichts verstanden :/

    Von Robert F., vor etwa 2 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo Guitarra,

    ich verstehe deine Frage nicht ganz genau. Meinst du x -> f(x)? Das ist nur eine Schrebweise für die Zuordnung von x zu seinem Funktionswert f(x). Oder meinst du die Funktion g(x) = x-f(x)?

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  1. Default

    Wie kann man die Zuordnung x- f(x) erklären?

    Von Guitarra, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Eine Super Übersicht über reelle Funktionen. Und zu schnell finde ich Deine Erklärungen auch nicht, man kann ja Pause drücken und darüber nachdenken! ;-) So einen Lehrer wie Dich hätte ich gern gehabt, dann hätte ich im Abi sicher auch Leistungskurs belegt! ;-)
    Ich freue mich über jedes Video, dass ich von Dir sehen kann, dann verstehe ich danach wenigstens was!
    Weiter so Steve!!!!!

    Von Deleted User 39796, vor mehr als 4 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Nein. So wie es da steht, ist es korrekt. Die Überschrift ist "Monoton fallend". Monoton fallend bedeutet: Für zwei x-Werte x1 < x2 (also x1 liegt LINKS von x2) ist der Funktionswert f(x1) größer als der Funktionswert f(x2). Das heißt, wenn man weiter mach rechts geht, geht der Graph nach unten. Genau das bedeutet monoton fallend.

    Von Steve Taube, vor fast 5 Jahren
  4. Default

    Müsste das bei 5:33 nicht: monoton fallend für x1>x2 heißen? Wenn nicht, warum nicht ^^

    Von Arlengo, vor fast 5 Jahren
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