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Transkript Ganzrationale Funktionen – Nullstellen 2

Hallo! Wir haben schon Nullstellen von ganzrationalen Funktionen mit dem Grad 0 und 1. Jetzt geht es um den Grad 2. Eine ganzrationale Funktion vom Grad 2 hat einen Funktionsterm, der als Polynom 2. Grades dargestellt werden kann. Und zwar sieht dann das Polynom allgemein so aus: a2×x2+a1×x+a0 (x1 kann man jetzt auch sagen, ich lasse es hier einfach bei dem x). Ja, und wenn man hier die Nullstellen sucht, dann setzt man diesen Funktionsterm =0. Und da sollten bei dir wieder alle Lichter angehen, von wegen: Das kenne ich doch, das habe ich doch schon mal gemacht. Genau, es sind quadratische Gleichungen. Hier ist jetzt eine quadratische Gleichung entstanden. Diese quadratische Gleichung kannst du lösen mit der p-q-Formel, mit der Mitternachtsformel, mit der a-b-c-Formel. Wenn du die p-q-Formel verwenden möchtest, musst du vorher noch auf die Normalform bringen. Das heißt, du müsstest diesen Term hier durch a2 teilen. Du kannst durch a2 teilen, weil a2 nicht 0 sein soll. Der führende Koeffizient eines Polynoms soll nicht 0 sein. So und was kann dann passieren? Also rein grafisch gesehen sehen solche Funktionen, also ganzrationale Funktionen vom Grad 2, ungefähr so aus. Es sind also irgendwelche Parabeln, die vielleicht überhaupt keine Nullstelle haben, vielleicht 1 Nullstelle haben, wenn sie so verlaufen, also die x-Achse da einmal berühren. Oder sie können auch 2 Nullstellen haben, wenn sie nämlich so verlaufen. Also diese 3 Fälle sind hier möglich. Ja und damit könnte ich jetzt eigentlich schon schließen für den Fall, dass man eine ganzrationale Funktion vom Grad 2 hat. Ich möchte aber noch 1 bis 2 Dinge anfügen, wenn du jetzt so einen Spezialfall hast, wie einen Funktionsterm, wo einfach x2 steht oder noch mit einem Vorfaktor hier, einem Koeffizienten a2. Was weiß ich, wenn da steht 3×x2, dann musst du nicht die p-q-Formel anwenden und nicht die Mitternachtsformel, sondern dann darfst du einfach sehen, dass die einzige Nullstelle hier bei x=0 liegt. Ja, das muss ich hoffentlich nicht weiter erklären, dass das so ist. Das darf man dann einfach sehen. Es kann auch vorkommen, dass eine solche Funktion in faktorisierter Form vorliegt, also der Funktionsterm in faktorisierter Form vorliegt. Und das könnte dann zum Beispiel so aussehen: Wir haben hier (x-5)×(x+2). Und es könnte hier auch noch etwas davorstehen, zum Beispiel eine 13. So könnte der Funktionsterm aussehen. Und dann brauchst du hier auch nicht die Methoden, die man auf quadratische Gleichungen anwendet, hier also verwenden, sondern du kannst die Nullstellen direkt ablesen. Und zwar deshalb, weil man sich hier überlegt: Wir haben ein Produkt. Das Produkt besteht aus 3 Faktoren, einmal hier 13 × diese Klammer × die nächste Klammer. Und ein Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Und das ist hier also der Fall. Naja, 13 kann nicht 0 werden, ist klar. Diese Klammer kann 0 werden, und zwar, wenn man für x=5 einsetzt. Da steht dann nämlich 5-5, das ist =0. Diese Klammer hier, die 2., kann 0 werden, wenn man für x=-2 einsetzt. Das bedeutet, die beiden Nullstellen einer Funktion, die einen solchen Funktionsterm hat, liegen bei 5 und -2. Und das ganze Andere kannst du dir dann sparen. Du kannst die Nullstellen also quasi direkt ablesen. Es kann auch vorkommen, dass dann der Funktionsterm so vorliegt, wie 13x×(x+18). Auch hier haben wir 3 Faktoren, nämlich die 13, das x und die Klammer mit x+18. Die Klammer könnte 0 werden, und zwar dann, wenn man für x=-18 einsetzt. Dieser Faktor hier, das x, wird nur dann 0, wenn x=0 ist. Aber ich glaube, der Fall ist dann auch einfach klar. Da muss man nicht so viele Worte darüber verlieren. Aber grundsätzlich kannst du halt immer das als quadratische Gleichung auffassen, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 2. Grades. Und dann klappt das auch immer, ist nur manchmal vielleicht umständlich. So. Was passiert, wenn wir eine Funktion 3. Grades haben? So, da müssen wir mal ein bisschen arbeiten. Und zwar deshalb, weil es nicht möglich ist, innerhalb der reellen Zahlen eine Gleichung 3. Grades geschlossen zu lösen. Also, es gibt Gleichungen, die man lösen kann, aber es ist nicht möglich, ein Verfahren anzugeben, mit dem man alle Gleichungen 3. Grades innerhalb der reellen Zahlen lösen kann. Die Angabe des Verfahrens bedeutet, es ist geschlossen lösbar. Und das klappt eben nur bis zum Grad 2 und dann nicht mehr. Deshalb sind hier mehrere Möglichkeiten vorhanden, wie man vorgehen kann. Also, zunächst einmal könnte Folgendes passieren. Du hast so eine Funktion wie x3, die einen solchen Funktionsterm hat. Dann darfst du direkt wissen, einmal, wie die aussieht, nämlich ungefähr so. Und die hat nur eine einzige Nullstelle, nämlich bei x=0. Ebenso, wenn hier ½×x3 steht zum Beispiel, dann bist du direkt fertig. Das ist der ganz einfache Fall. Der nächstkompliziertere Fall (in Anführungszeichen) ist der: Du hast so etwas vorliegen, wie 2×x3+4×x2+x. Da solltest du direkt sehen, dass du etwas ausklammern kannst. Das ist immer die nächste Methode, die man hier verwendet. Also, wenn man nicht die Nullstelle direkt sieht, dann versucht man ein x auszuklammern. Ja und man kann eben diesen Funktionsterm schreiben als x×(2×x2+4×x+1). Hier die +1 nicht vergessen, wenn man das x ausklammert. Und damit haben wir einen Funktionsterm, der ein Produkt ist. Ein Produkt wird nur dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist oder wenn ein Faktor 0 ist, kann man auch einfacher sagen. Ein Faktor ist x, x ist nur dann 0, wenn x=0 ist. Und hier haben wir eine Klammer. In dieser Klammer steht ein quadratischer Term. Der kann auch 0 werden, vielleicht. Und dann kannst du alles auf diesen Fall zurückführen, den wir gerade eben besprochen haben. Was kann noch passieren? Es könnte noch passieren, dass du faktorisieren kannst, und zwar Linearfaktoren. Das passiert folgendermaßen, beziehungsweise es kann so aussehen hier. Ich schreibe einfach mal so ein paar Linearfaktoren hin. Also, wir haben (x-2)×(x+3)×(x-7). Linear deshalb, diese Faktoren heißen Linearfaktoren, weil hier x immer nur in der 1. Potenz vorkommt, wie bei den linearen Funktionen, da ist das x auch nur in der 1. Potenz. Das ist hier halt auch der Fall in jedem Faktor. Ja und da gilt wieder die Regel: Ein Produkt wird nur dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Der 1. Faktor ist 0, wenn x=2 ist. Ja, man nimmt immer die Gegenzahl von der, die hier steht. Dieser Faktor ist 0, wenn x=-3 ist. Dieser Faktor ist 0, wenn x=7 ist. Das heißt, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion, die einen solchen Funktionsterm hat, liegen bei 2, -3 und +7. Da kann man das direkt ablesen. Das Ding nennt sich faktorisierte Form des Funktionsterms. Ja, das ist der ganz einfache Fall, da ist man dann direkt fertig. Jetzt kann aber noch Folgendes passieren, nämlich, dass alle diese Fälle nicht eintreten. Und das macht man so: Man braucht eine Nullstelle, also eine Nullstelle muss bekannt sein. Und dann kannst du das Polynom, den Funktionsterm, durch (x - Nullstelle) teilen. Und das machst du mit der Polynomdivision. Und wenn du ein Polynom durch (x - Nullstelle) teilst, dann geht das auf ohne Rest. Du erhältst ein Polynom, das einen kleineren Grad hat, einen um 1 kleineren Grad als das Ausgangspolynom, das, was du geteilt hast. Und wenn es hier um eine Funktion 3. Grades geht, bedeutet das, dass dann der Term, der dabei herauskommt, 2. Grad hat. Und damit kannst du wieder das anwenden, was wir hier besprochen haben für die Funktionen 2. Grades. Du kannst dann den Term, der herausgekommen ist, =0 setzen und findest dann die restlichen Nullstellen. Ja, um das noch mal vielleicht etwas gesitteter aufzuschreiben, wir können, wenn wir die Polynomdivision durchgeführt haben, den Funktionsterm folgendermaßen schreiben, nämlich: (x - Nullstelle) × (Term 2. Grades). Das ist dann unser neuer Funktionsterm. Und auch da gilt wieder: Dieser Term wird nur 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Hier wissen wir schon, was wir für x einsetzen müssen, damit dieser Term 0 wird, das ist nämlich die Nullstelle selber, die eine, die wir schon kennen. Also hier können wir auch =0 setzen, das ist aber dann ein Term 2. Grades. Und den kann man dann, wie gesagt, so behandeln, wie man das mit Termen 2. Grades halt tut. Ja, dann könnte noch auftreten, dass keine Nullstelle bekannt ist, du nicht faktorisieren kannst und die ganzen Methoden einfach alle nicht funktionieren. Du kannst kein x ausklammern und so weiter. Ja, was macht man dann? Dann hat man Pech gehabt, dann kann man vielleicht Näherungslösungen angeben. Vielleicht findet man zufällig eine Nullstelle, was auch immer. Auf jeden Fall ist dann hier erst einmal mit den Methoden Schluss. Zumindest innerhalb der reellen Zahlen ist das so. Vielleicht noch eine Sache zu den bekannten Nullstellen: Es kommt manchmal in Aufgaben vor, dass man wirklich eine Nullstelle raten soll. Das kommt in Klausuren vor, habe ich gesehen. Da sagt sich mancher: Ja, ist ja komisch, dass ich in der Mathematik etwas raten soll. Aber manchmal soll man das. Meistens ist es aber so, dass solche Aufgaben in einem Sachzusammenhang vorkommen und man weiß dann vorher schon, wo die Nullstellen sind. Was weiß ich, wenn man etwas Physikalisches jetzt modelliert, dann hat man vielleicht irgendeine Funktion, die so einen Bogen hat. Und man weiß, die tritt einmal bei x=1 durch die x-Achse und dann wieder bei x=8, könnte ja passieren. Dann weiß man natürlich, eine Nullstelle ist 1 und die andere Nullstelle ist 8. Das darf man dann hier schon verwenden. Das sind dann bekannte Nullstellen. Und irgendwo kommt man dann immer auf solche Nullstellen, die da irgendwo im Aufgabentext drin sind oder sich aus dem Sachzusammenhang ergeben. Dann müssen wir weiter machen mit Grad 4. Grad 3 ist damit abgehandelt. Grad 4, da kann jetzt Folgendes passieren. Also ich schreibe erst einmal den Funktionsterm hin, das ist also a4×x4+a3×x3+a2×x2+a1×x+a0. (Schade, passt nicht mehr ganz hin. Macht nichts.) Hier gibt es einen Spezialfall, nämlich den einer biquadratischen Funktion. Die kann also so aussehen: Wir haben -6×x4+5×x2-9 (vielleicht, irgendwas). Wenn man das jetzt =0 setzt, dann ist das eine biquadratische Gleichung. Man kann also substituieren, und zwar kann man x2/z substituieren. Ich schreibe es eben kurz auf. Dann ist x4=z2 und x2=z (jetzt hätte ich mich fast schon wieder verschrieben), -9 bleibt gleich. Man löst diese Gleichung, das ist eine quadratische Gleichung, resubstituiert hinterher wieder. Ich zeige das Verfahren an dieser Stelle jetzt nicht ganz genau, sondern wollte es nur kurz anreißen. (Da kann ich auch den Strich machen, wenn er da schon ist.) Ja, Stichwort also biquadratische Gleichung, die kann man dann auch lösen. Und wenn das nicht der Fall ist, dann machst du genau das, was du bei Funktionen 3. Grades machst. Entweder faktorisieren, x ausklammern, oder es ist ein Fall aufgetreten, der sowieso so einfach ist, dass du die Nullstellen direkt sehen kannst, wie hier zum Beispiel. Ansonsten kannst du auch Nullstellen kennen, raten, dann die Polynomdivision ausführen, also Funktionsterm / (x - Nullstelle). Dann entsteht ein Term, der 1 Grad geringer ist. Also, wenn du jetzt hier einen Term 4. Grades hast und nicht diesen Spezialfall anwenden kannst und auch sonst die faktorisierte Form nicht vorliegt, dann bräuchtest du also 2 bekannte Nullstellen und kannst dann jeweils durch (x - Nullstelle) teilen. Den Term nacheinander durch die beiden Terme (x - Nullstelle) teilen, und dann erhältst du einen Term 2. Grades und kannst dann alles das anwenden, was du für die Funktion 2. Grades kennst. Ja und das ist also im Wesentlichen das, was man hier anwenden kann, was in der Schulmathematik vorkommt. Und das ist dann auch so vollständig, mehr Methoden sind da auch nicht üblich. Dann viel Spaß damit, tschüss!

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3 Kommentare
  1. Default

    Naja, von diesem Videopaar (Nullstellen ganzrationaler Funktionen) bin ich nicht so begeistert. Ich konnte alles nur verstehen, weil ich dies in der Schule schon hatte. Aber als Unwissender würden mir diese Videos nicht weiterhelfen. Und die Polynomdivision hab ich auch nicht verstanden. Es wäre besser, wenn man zu jeder Methode ein ausführliches Beispiel gemacht hätte.

    Von Nick .., vor fast 4 Jahren
  2. Dsc01560

    Ja das würde ich auch gerne wissen. Ein Video dazu wäre toll.

    Von Johann S., vor fast 5 Jahren
  3. Default

    Ok! Alles gut und schön, aber ich frage mich wie man auf diese Methoden gekommen ist? Könnten Sie vielleicht ein Video machen worin Sie all diese Methoden deutlich erklären mit Beweise und vielleicht auch anschaulichen Erklärungen?

    Von John U., vor fast 5 Jahren
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