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Transkript Zweite Ableitung und Wendepunkte

Hallo, in diesem Video geht es darum, was die 2. Ableitung einer Funktion ist, um die Wendepunkte des Graphen und um die Krümmung des Graphen. Bisher haben wir schon gelernt, was zu einer Funktion die Ableitung ist. Die haben wir mit f'(x) bezeichnet und wir haben gesehen, dass das selber auch wieder eine Funktion ist. Und da das eine Funktion ist, können wir die ja auch wieder ableiten. Das wäre dann sozusagen (f')'(x), aber so umständlich schreibt man das nicht. Man schreibt f''(x). Hier wäre das 6x-14. Und so kann man das immer weiterführen und gleich die 3. Ableitung ausrechnen und die 4. und die 5. und so weiter. Hier wäre ab der 4. Ableitung jede Ableitung schon 0. f ist also die Funktion und f' ist die Steigung der Funktion. Dann muss also f'' die Steigung der Steigung sein. Und was sagt einem das jetzt? Erinnern wir uns mal daran, dass wenn man die 1. Ableitung 0 setzt, die Maxima und Minima der Funktion rausbekommt. Jetzt geht man einfach einen Schritt höher. Dann müsste man also, wenn man die 2. Ableitung 0 setzt, die Maxima und Minima der Ableitung rauskriegen. Ok, und wie sehen die aus? Sagen wir mal, dass der Graph der Funktion so aussieht und jetzt laufen wir einmal an dem Graph entlang und beobachten überall die Steigung. Am Anfang ist die Steigung negativ, dann wird sie ein bisschen größer, also ein bisschen weniger negativ, wird immer noch größer, irgendwann ist sie 0, aber sie wächst noch weiter, die Steigung ist positiv, wird immer größer und wenn ich hier über diese Stelle drüber weggehe, würde sie wieder kleiner werden. Also gehe ich zurück und ziehe da die Tangente und da ist für einen Moment an der Stelle die Steigung am größten. Da haben wir ein Maximum der Steigung. So, jetzt geht's weiter. Da war also das Maximum, die Steigung wird also wieder kleiner, kleiner, hier ist sie wieder 0, dann wird sie wieder negativ, wird immer noch kleiner und wenn ich aber über diese Stelle hinweggehe, wird sie wieder ein bisschen größer. Das heißt, ich gehe ein Stück zurück, ziehe die Tangente wieder und an der Stelle haben wir also ein Minimum der Steigung. Danach wird die Steigung zwar wieder größer, aber sie bleibt immer negativ. Diese Punkte heißen Wendepunkte. Das sind Punkte, bei denen sich die Krümmung des Graphen der Funktion ändert. Hier geht die Krümmung nach links, ab da geht sie nach rechts und ab da wieder nach links. Wenn die 2. Ableitung < 0 ist, heißt das, die Steigung wird kleiner, das ist in diesem Abschnitt der Kurve der Fall, das heißt, da liegt eine Rechtskrümmung vor. Ist die 2. Ableitung > 0, wird die Steigung größer, das ist in diesem Abschnitt der Fall, dann haben wir also eine Linkskrümmung. Und f''(x)=0 gilt genau an den Wendepunkten, da wo sich die Krümmung ändert. Die 2. Ableitung einer Funktion beschreibt also genau deren Krümmungsverhalten. Wenn es in der Physik um Bewegungen geht, dann steht x meistens für die Zeit und f(x) für den Weg. f'(x) ist dann die Wegänderung, also die Geschwindigkeit, und f''(x) ist die Geschwindigkeitsänderung, also die Beschleunigung. So kann man sich die 2. Ableitung sehr gut vorstellen, als Beschleunigung einer Bewegung. Ist die 2. Ableitung < 0, heißt das, die 1. Ableitung nimmt ab. Die Geschwindigkeit nimmt also ab, das heißt, es wird gebremst. Negative Beschleunigung bedeutet also bremsen. Ist die 2. Ableitung > 0, nimmt die 1. Ableitung zu, das heißt, die Geschwindigkeit wird größer, das bedeutet also beschleunigen. Ist die 2. Ableitung = 0, heißt das, es gibt keine Beschleunigung. Das heißt, dass die Geschwindigkeit gleich bleibt, die ist also konstant. Und das passt auch dazu, dass die Ableitung von konstanten Funktionen = 0 ist. Zum Abschluss wollen wir dann wirklich mal die Wendepunkte einer Funktion bestimmen. Als 1. schreiben wir uns die ersten 3 Ableitungen auf. Es gilt nämlich: xw ist eine Wendestelle, wenn die 2. Ableitung an der Stelle xw = 0 ist und die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Wir setzen also die 2. Ableitung = 0, formen das um und erhalten x=-2. Die -2 setzen wir in die 3. Ableitung ein, die ist sowieso immer 6, also > 0, also ist es tatsächlich eine Wendestelle. Und um die andere Koordinate des Wendepunktes zu erhalten, setzen wir -2 in die Ursprungsfunktion ein. Da kommt 12 raus. Der Wendepunkt hat also die Koordinaten (-2/12). Und damit sind wir mit dem Video über die 2. Ableitung fertig. Tschüss.

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16 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Js 02,
    du hast recht. Ich habe mich verrechnet. f(-2) = 20 und der Wendepunkt hat die Koordinaten W(-2; 20).
    Viel Erfolg weiterhin!

    Von Steve Taube, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Hallo, ich habe noch nicht ganz verstanden, warum bei der Y Koordinate des Wendepunkts 12 rauskommt, weil bei mir kommt da 20 raus, wenn ich -2 in f(x) einsetzte. Habe ich etwas vergessen oder wo liegt mein Fehler ?

    Von Js 02, vor etwa einem Jahr
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Marlon,

    vermutlich hast du den Term +6(-2)² falsch in den Taschenrechner eingegeben. Das passiert vielen Schülern. Du musst Klammern um die -2 setzen und dann "hoch 2", denn sonst wird erst quadriert und dann das "-" davorgesetzt. Dann ergäbe sich +6*(-4) = -24 und insgesamt -28. Also beim Einsetzen von negativen Zahlen in den Term x² oder x³ usw. nicht vergessen, eine Klammer um die negative Zahl zu setzen.

    Von Steve Taube, vor etwa einem Jahr
  4. Default

    Wenn man -2 in die Ausgangsfunktion einsetzt erhalte ich -28 und nicht 20.

    Von Marlon Wtal, vor etwa einem Jahr
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo Cedric,
    mit f"(x) = 0 und f'''(x) ungleich 0 erhält man die WENDESTELLEN des Graphen. Mit f'(x) = 0 und f"(x) ungleich 0 (also dem, was dir beigebracht wurde) erhält man die EXTREMSTELLEN des Graphen. Wahrscheinlich hast du es nur verwechselt.
    Viel Erfolg noch!

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  1. Default

    Hallo, mich hat das etwas verwirrt das du f''(x)=0 und f'''(x)=nicht 0 bei der Rechnung benutzt hast weil ich die so begebracht bekommen habe : f'(x)=0 und f''(x)= nicht 0;
    komme ich dadurch auch an das richtige Ergebnis ?

    Von Cedric Helfmeier, vor mehr als einem Jahr
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Sirchillalot,

    da hast du völlig Recht. Ich habe mich verrechnet. Dazu gibt es am Video auch schon einen Zeitleistenkommentar. Wenn man 2 in die Ursprungsfunktion einsetzt, kommt 20 heraus. f(-2) = 20. Der Wendepunkt hat die Koordinaten WP(-2;20).

    Von Steve Taube, vor etwa 4 Jahren
  3. Default

    wenn ich aber -2 in die Ursprungsfunktion einsetzte, dann kommt nicht 12 heraus??

    Von Sirchillalot, vor etwa 4 Jahren
  4. Default

    wo kann ich die erste Ableitung lernen? Wo lerne ich solche Funktionen abzuleiten? Finde es sehr schade das auf dieser Seite immer angenommen wird das man alles schon weiß, statt Leute die diese Sachen nicht wissen, auf ein video umzuleiten wo dies nochmal richtig erklärt ist, ich habe dadurch schon viel Zeit verloren!

    Von David23, vor etwa 4 Jahren
  5. Default

    Echt super gut und schnell erklärt! Danke!!

    Von Nfe, vor mehr als 4 Jahren
  6. Default

    Du kannst wirklich gut erklären. Deine Videos in Mathematik sind klasse. Ich glaube besser könnte man es nicht machen. Besten Dank und großes Lob dafür.

    Von Florian83, vor mehr als 6 Jahren
  7. Default

    Danke dir ja das stimmt!

    Aber die e variable leuft nicht gegen -1 sonder bricht bei 0 ab, aber da hast immer noch recht mit der irrationale annäherung von limes.an null

    meine frage war auch warum du die +4 entfernt hast, aber das hat sich auch erlädigt: korrigiere mich wenn ich falsch liege:

    +4 ist 4x hoch null ist gleich 0 daher weg damit!

    Aber ansonsten Respekt! ich finde deine videos hier echt lehrreich, vorallem wenn man das zeug vergessen hat :-).

    Gruß
    Francesco

    Von Francesco81, vor mehr als 7 Jahren
  8. Bewerbungsfoto

    Hallo Francesco,

    um deine Fragen aus dem ersten Kommentar zu beantworten: Du scheinst die Ableitungsregeln noch nicht zu kennen, dazu kannst du dir die folgenden beiden Videos anschauen, dann müsste das eigentlich klar sein: http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/ableitungen-der-grundfunktionen,
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/ableitung-von-summen-und-vielfachen

    Ableiten an sich hat nichts mit Gleichungssystemen zu tun und auch nicht mit Äquivalenumformungen. Man benutzt nur manchmal TERMUMFORMUNGEN, um den Term, den man für die Ableitung rausbekommen hat, zu vereinfachen, wie z.B. bei 6·2x = 12x.

    Den Grenzwert für die Ableitung hast du richtig hingeschrieben, aber man könnte das nicht so in C machen, wie du schreibst, denn du machst e immer um 1 kleiner, also z.B. e=7, e=6,..., e=1, e=0, e=-1,... Das macht aber für die Ableitung keinen Sinn. Da muss das e immer kleiner werden, aber es muss immer näher an die 0 herankommen, also z.B. e=1; e=0,1; e= 0,01; e=0,001;... Da müsstest du also deine Folge von e's anders implementieren. So kannst du aber dennoch keine allgemeine Ableitung ausrechnen, nur einen Näherungswert für eine konkrete Funktion an einer konkreten Stelle.

    Ich hoffe, ich konnte helfen.

    Von Steve Taube, vor mehr als 7 Jahren
  9. Default

    Ich hab es

    f'(x) = lim f(x + e) - f(x)
    e-> 0 ___________
    e

    in c würde man sowas wie folg machen

    int erg =0;
    while(e != 0){
    erg = (function(x + e) - function(x) ) / e;
    e--;
    }

    Gruß

    Von Francesco81, vor mehr als 7 Jahren
  10. Default

    sorry die kommentare haben sich verschoben :-(

    lim
    e-->0

    f '(x) = f(x + e) - f(x) / e

    Von Francesco81, vor mehr als 7 Jahren
  11. Default

    habe ich es richtig verstanden?

    f(x) = x³ + 6x² +4 // Funktion
    f'(x) = 3x² + 12x // Erste ableitung gibt die steigung ein
    f''(x) = 6x +12 // Krümmung wendepunkt
    f'''(x)= 6

    Die erste ableitung ist mir klar d.h. x³ ist gleich 3x also x * x * x, dann + 12x also 6x² 12x warum nehmst die 4 weg?
    Ist es vergleichbar mit ne gleichsystem Äquivalenzumformung?
    Könnt ihr mir bsp. für idioten zeigen?

    Gruß

    Von Francesco81, vor mehr als 7 Jahren
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